Мономиальный - Википедия - Monomial

В математика, а одночлен это, грубо говоря, многочлен который имеет только один срок. Можно встретить два определения монома:

Моном, также называемый энергетический продукт, является продуктом степеней переменные с неотрицательное целое число экспоненты, или, другими словами, произведение переменных, возможно, с повторениями. Например, ${ displaystyle x ^ {2} yz ^ {3} = xxyzzz}$ является мономом. Константа 1 является мономом и равна пустой продукт и чтобы $Икс$ ⁰ для любой переменной $Икс$ . Если только одна переменная $Икс$ считается, это означает, что моном равен либо 1, либо степени $Икс п$ из $Икс$ , с $п$ положительное целое число. Если рассматривать несколько переменных, скажем, ${ Displaystyle х, у, г,}$ тогда каждому может быть дана экспонента, так что любой моном имеет вид ${ displaystyle x ^ {a} y ^ {b} z ^ {c}}$ с ${ displaystyle a, b, c}$ неотрицательные целые числа (обратите внимание, что любой показатель степени 0 делает соответствующий множитель равным 1).
Моном - это моном в первом смысле, умноженный на ненулевую константу, называемую коэффициент монома. Моном в первом смысле - это частный случай монома во втором смысле, где коэффициент равен 1. Например, в этой интерпретации ${ displaystyle -7x ^ {5}}$ и ${ displaystyle (3-4i) x ^ {4} yz ^ {13}}$ являются мономами (во втором примере переменные ${ displaystyle x, y, z,}$ а коэффициент равен комплексное число ).

В контексте Полиномы Лорана и Серия Laurent, показатели монома могут быть отрицательными, и в контексте Серия Puiseux, показатели могут быть рациональное число.

Поскольку слово «одночлен», как и слово «многочлен», происходит от позднего латинского слова «binomium» (бином), при изменении приставки «bi» (два на латыни) одночлен теоретически следует называть «a» монономиальный ". «Моном» - это обморок к гаплология из «монономиального».^[1]

Сравнение двух определений

С любым определением набор одночленов - это подмножество всех многочленов, замкнутое относительно умножения.

Можно найти оба использования этого понятия, и во многих случаях различие просто игнорируется, см., Например, примеры для первого^[2] и второй^[3] смысл. В неформальных дискуссиях различие редко бывает важным, и наблюдается тенденция к более широкому второму значению. Однако при изучении структуры многочленов часто однозначно требуется понятие с первым значением. Это, например, случай, когда рассматривается мономиальный базис из кольцо многочленов, или мономиальный порядок этой основы. Аргументом в пользу первого значения является также то, что не существует других очевидных понятий для обозначения этих значений (термин энергетический продукт используется, в частности, когда одночлен используется с первым значением, но это также не делает очевидным отсутствие констант), тогда как термин понятия полинома однозначно совпадает со вторым значением одночлена.

Остальная часть этой статьи предполагает первое значение слова «моном».

Мономиальный базис

Наиболее очевидный факт о мономах (первое значение) состоит в том, что любой многочлен является линейная комбинация из них, поэтому они образуют основа из векторное пространство всех многочленов, называемых мономиальный базис - факт постоянного неявного использования в математике.

Число

Количество одночленов степени d в п переменных - это количество мультикомбинации из d элементы, выбранные среди п переменные (переменная может быть выбрана более одного раза, но порядок не имеет значения), который задается коэффициент мультимножества ${ displaystyle textstyle { left (! ! {п выберите d} ! ! right)}}$ . Это выражение также можно представить в виде биномиальный коэффициент, как полиномиальное выражение в d, или используя возрастающая факторная мощность из d + 1:

{ displaystyle left (! ! {п выберите d} ! ! right) = { binom {n + d-1} {d}} = { binom {d + (n-1)} {n-1}} = { frac {(d + 1) times (d + 2) times cdots times (d + n-1)} {1 times 2 times cdots times (n -1)}} = { frac {1} {(n-1)!}} (D + 1) ^ { overline {n-1}}.}

Последние формы особенно полезны, когда фиксируется количество переменных, а степень варьируется. Из этих выражений видно, что при фиксированных п, количество одночленов степени d является полиномиальным выражением от d степени ${ displaystyle n-1}$ с ведущим коэффициентом ${ Displaystyle { tfrac {1} {(п-1)!}}}$ .

Например, количество одночленов от трех переменных ( ${ displaystyle n = 3}$ ) степени d является ${ displaystyle textstyle { frac {1} {2}} (d + 1) ^ { overline {2}} = textstyle { frac {1} {2}} (d + 1) (d + 2 )}$ ; эти числа образуют последовательность 1, 3, 6, 10, 15, ... треугольные числа.

В Ряд Гильберта - компактный способ выразить количество одночленов данной степени: число одночленов степени $d$ в $п$ переменные - коэффициент степени $d$ из формальный степенной ряд расширение

{ displaystyle { frac {1} {(1-t) ^ {n}}}.}

Количество одночленов степени не выше $d$ в $п$ переменные ${ displaystyle { binom {n + d} {n}} = { binom {n + d} {d}}.}$ Это следует из взаимно однозначного соответствия мономов степени $d$ в $п +1$ переменных и одночленов степени не выше $d$ в $п$ переменных, который заключается в замене на 1 дополнительной переменной.

Обозначение

Обозначение для одночленов постоянно требуется в таких полях, как уравнения в частных производных. Если используемые переменные образуют индексированное семейство, например ${ displaystyle x_ {1}}$ , ${ displaystyle x_ {2}}$ , ${ displaystyle x_ {3}}$ , ..., тогда многоиндексная запись полезно: если мы напишем

{ Displaystyle альфа = (а, Ь, с)}

мы можем определить

{ displaystyle x ^ { alpha} = x_ {1} ^ {a} , x_ {2} ^ {b} , x_ {3} ^ {c}}

для компактности.

Степень

Степень монома определяется как сумма всех показателей степени переменных, включая неявные показатели степени 1 для переменных, которые появляются без показателя степени; например, в примере из предыдущего раздела степень равна ${ displaystyle a + b + c}$ . Степень ${ displaystyle xyz ^ {2}}$ равно 1 + 1 + 2 = 4. Степень ненулевой константы равна 0. Например, степень -7 равна 0.

Степень монома иногда называют порядком, в основном в контексте ряда. Ее также называют общей степенью, когда необходимо отличить ее от степени по одной из переменных.

Мономиальная степень является фундаментальной в теории одномерных и многомерных многочленов. В явном виде он используется для определения степень полинома и понятие однородный многочлен, а также для градуированных мономиальные порядки используется при формулировании и вычислении Базы Грёбнера. Неявно он используется при группировке терминов Ряд Тейлора от нескольких переменных.

Геометрия

В алгебраическая геометрия многообразия, определяемые мономиальными уравнениями ${ displaystyle x ^ { alpha} = 0}$ для некоторого набора α обладают особыми свойствами однородности. Это можно сформулировать на языке алгебраические группы, с точки зрения существования групповое действие из алгебраический тор (эквивалентно мультипликативной группой диагональные матрицы ). Эта область изучается под названием вложения тора.

Смотрите также

Примечания

^ Словарь английского языка American Heritage, 1969.
^ Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Донал О'Ши (1998). Использование алгебраической геометрии. Springer Verlag. стр.1. ISBN 0-387-98487-9.
^ «Мономиальный», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Словарь английского языка American Heritage, 1969.

[2] Кокс, Дэвид; Джон Литтл; Донал О'Ши (1998). Использование алгебраической геометрии. Springer Verlag. стр.1. ISBN 0-387-98487-9.

[3] «Мономиальный», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]

[1]

[2]

[3]

Полиномы и полиномиальные функции
К степень	Нулевой многочлен (неопределенная степень или -1 или -∞) Постоянная функция (0) Линейная функция (1) Линейное уравнение Квадратичная функция (2) Квадратное уровненеие Кубическая функция (3) Кубическое уравнение Функция четвертого порядка (4) Уравнение четвертой степени Квинтик функция (5) Шестическое уравнение (6) Септическое уравнение (7)
По свойствам	Одномерный Двумерный Многомерный Моном Биномиальный Трехчлен Неприводимый Без квадратов Однородный Квазиоднородный
Инструменты и алгоритмы	Факторизация Наибольший общий делитель Разделение Метод оценки Хорнера Результирующий Дискриминантный Основа Грёбнера