Серия Puiseux - Puiseux series

Эта статья может быть слишком техническим для большинства читателей, чтобы понять. Пожалуйста помогите улучшить это к сделать понятным для неспециалистов, не снимая технических деталей. (Апрель 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, Серия Puiseux являются обобщением степенной ряд которые учитывают отрицательные и дробные показатели степени неопределенный Т. Впервые они были представлены Исаак Ньютон в 1676 г.^[1] и заново открыт Виктор Пюизо в 1850 г.^[2] Например, сериал

${ displaystyle T ^ {- 2} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + 2T ^ {11/6} + T ^ {8/3} + 2T ^ {25/6} + T ^ {5} + 2T ^ {13/2} + cdots}$

это серия Puiseux вТ.

Теорема Пюизо, иногда также называемый Теорема Ньютона – Пюизо, утверждает, что, учитывая полиномиальное уравнение ${ Displaystyle P (х, y) = 0}$, его решения в у, рассматриваемые как функции Икс, могут быть расширены как серии Puiseux, сходящийся в некоторых район начала координат (за исключением 0, если решение стремится к бесконечности в начале координат). Другими словами, каждая ветвь алгебраическая кривая может быть локально (с точки зрения Икс), описанный серией Пюизо.

Набор из серии Puiseux над алгебраически замкнутое поле характеристики 0 само является алгебраически замкнутым полем, называемым поле серии Puiseux. Это алгебраическое замыкание из поле серии Лорана. Это заявление также упоминается как Теорема Пюизо, являясь выражением исходной теоремы Пюизо на современном абстрактном языке. Ряды Пюизе обобщены Серия Hahn.

Формальное определение

Если K это поле (такой как сложные числа ), то мы можем определить поле рядов Пюизо с коэффициентами в K неформально как набор выражений формы

${ displaystyle f = sum _ {k = k_ {0}} ^ {+ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}$

куда ${ displaystyle n}$ положительное целое число и ${ displaystyle k_ {0}}$ - произвольное целое число. Другими словами, серия Puiseux отличается от Серия Laurent в том, что они допускают дробные показатели неопределенности, пока эти дробные показатели имеют ограниченный знаменатель (здесь п). Как и в случае с рядами Лорана, ряды Пюизо допускают отрицательные показатели неопределенности, если эти отрицательные показатели ограничены снизу (здесь ${ displaystyle k_ {0}}$). Сложение и умножение соответствуют ожиданиям: например,

${ displaystyle (T ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + cdots) + (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2} +2+ cdots) = T ^ {- 5/4} + T ^ {- 1} + T ^ {- 1/2} +2+ cdots}$

и

${ displaystyle (T ^ {- 1} + 2T ^ {- 1/2} + T ^ {1/3} + cdots) cdot (T ^ {- 5/4} -T ^ {- 1/2 } +2+ cdots) = T ^ {- 9/4} + 2T ^ {- 7/4} -T ^ {- 3/2} + T ^ {- 11/12} + 4T ^ {- 1 / 2} + cdots}$.

Их можно определить, сначала «повысив» знаменатель показателей до некоторого общего знаменателя. N а затем выполняя операцию в соответствующем поле формального ряда Лорана ${ displaystyle T ^ {1 / N}}$.

Другими словами, поле рядов Пюизе с коэффициентами в K это объединение полей ${ Displaystyle К (! (T ^ {1 / n}) !)}$ (куда п пробегает положительные целые числа), где каждый элемент объединения является полем формальных рядов Лорана над ${ displaystyle T ^ {1 / n}}$ (рассматривается как неопределенное), и где каждое такое поле рассматривается как подполе тех, у которых больше п переписав дробные показатели степени, чтобы использовать больший знаменатель (так, например, ${ displaystyle T ^ {1/2}}$ отождествляется с ${ displaystyle T ^ {15/30}}$ ).^{[требуется разъяснение ]}

Это дает формальное определение поля ряда Пюизо: это поле прямой предел прямой системы, индексированной по ненулевым натуральным числам п заказан делимость, чьи объекты все ${ Displaystyle К (! (Т) !)}$ (поле формальных рядов Лорана, которое мы перепишем как ${ Displaystyle К (! (T_ {п}) !)}$ для наглядности), с морфизмом ${ Displaystyle К (! (T_ {m}) !) к К (! (T_ {n}) !)}$ дается, когда м разделяет п, к ${ Displaystyle Т_ {м} mapsto (Т_ {п}) ^ {н / м}}$.

Оценка и порядок

Серия Пюизо над полем K сформировать ценится поле с группой значений ${ displaystyle mathbb {Q}}$ (в рациональные ): оценка ${ displaystyle v (f)}$ из серии

${ displaystyle f = sum _ {k = k_ {0}} ^ {+ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}$

как указано выше, определяется как наименьшее рациональное ${ displaystyle k / n}$ такой, что коэффициент ${ displaystyle c_ {k}}$ члена с показателем ${ displaystyle k / n}$ не равно нулю (с обычным соглашением, что оценка 0 равна + ∞). Коэффициент ${ displaystyle c_ {k}}$ рассматриваемый обычно называется коэффициент оценки изж.

Эта оценка, в свою очередь, определяет (инвариантный к переводу) расстояние (который ультраметрический ), следовательно, a топология на поле серии Пюизо, допуская расстояние от ж до 0 быть ${ Displaystyle ехр (-v (f))}$. Это оправдывает апостериорный обозначение

${ displaystyle f = sum _ {k = k_ {0}} ^ {+ infty} c_ {k} T ^ {k / n}}$

поскольку рассматриваемый ряд действительно сходится к ж в поле серии Пюизе (в отличие от Серия Hahn который не можешь рассматривать как сходящиеся ряды).

Если базовое поле K является упорядоченный, то поле ряда Пюизо над K также естественно («лексикографически ”) В следующем порядке: ненулевой ряд Пюизо. ж с 0 объявляется положительным, если его коэффициент оценки таков. По сути, это означает, что любая положительная рациональная сила неопределенного Т делается положительным, но меньше любого положительного элемента в базовом поле K.

Если базовое поле K наделен оценкой ш, то мы можем построить другую оценку поля ряда Пюизо по K давая оценку ${ displaystyle { hat {w}} (е)}$ быть ${ displaystyle omega cdot v + w (c_ {k}),}$ куда ${ Displaystyle v = к / п}$ - ранее определенная оценка (${ displaystyle c_ {k}}$ - первый ненулевой коэффициент), а ω бесконечно велика (другими словами, группа значений ${ displaystyle { hat {w}}}$ является ${ Displaystyle mathbb {Q} times Gamma}$ упорядочены лексикографически, где Γ - группа значений ш). По сути, это означает, что ранее определенная оценка v корректируется на бесконечно малую сумму, чтобы учесть оценку ш дано на базовом поле.

Алгебраическая замкнутость рядов Пюизо

Одно важное свойство рядов Пюизо выражается следующей теоремой, приписываемой Пюизо^[2] (за ${ Displaystyle К = mathbb {C}}$), но что было неявно в Ньютон использование Многоугольник Ньютона еще в 1671 г.^[3] и поэтому известна либо как теорема Пюизо, либо как теорема Ньютона – Пюизо:^[4]

Теорема: Если K является алгебраически замкнутым полем характеристики нуль, то поле рядов Пюизо над K является алгебраическим замыканием поля формальных рядов Лорана над K.^[5]

Грубо говоря, доказательство по существу проводится путем изучения многоугольника Ньютона уравнения и извлечения коэффициентов один за другим с использованием оценочной формы Метод Ньютона. При условии, что алгебраические уравнения могут быть решены алгоритмически в базовом поле K, то коэффициенты решений ряда Пюизо могут быть вычислены в любом заданном порядке.

Например, уравнение ${ displaystyle X ^ {2} -X = T ^ {- 1}}$ есть решения

${ displaystyle X = T ^ {- 1/2} + { frac {1} {2}} + { frac {1} {8}} T ^ {1/2} - { frac {1} { 128}} T ^ {3/2} + cdots}$

и

${ displaystyle X = -T ^ {- 1/2} + { frac {1} {2}} - { frac {1} {8}} T ^ {1/2} + { frac {1} {128}} T ^ {3/2} + cdots}$

(по первым нескольким условиям легко проверить, что сумма и произведение этих двух рядов равны 1 и ${ displaystyle -T ^ {- 1}}$ соответственно; это действительно, когда базовое поле K имеет характеристики, отличные от 2).

Поскольку степени двойки в знаменателях коэффициентов в предыдущем примере могут заставить поверить, утверждение теоремы неверно в положительной характеристике. Пример Артин-Шрайер уравнение ${ displaystyle X ^ {p} -X = T ^ {- 1}}$ показывает это: рассуждения с оценками показывают, что Икс должна иметь оценку ${ displaystyle - { frac {1} {p}}}$, и если мы его перепишем как ${ Displaystyle X = T ^ {- 1 / p} + X_ {1}}$ тогда

${ displaystyle X ^ {p} = T ^ {- 1} + {X_ {1}} ^ {p}, { text {so}} {X_ {1}} ^ {p} -X_ {1} = Т ^ {- 1 / p}}$

и аналогично показано, что ${ displaystyle X_ {1}}$ должна иметь оценку ${ displaystyle - { frac {1} {p ^ {2}}}}$, и поступая таким образом, получаем ряд

${ displaystyle T ^ {- 1 / p} + T ^ {- 1 / p ^ {2}} + T ^ {- 1 / p ^ {3}} + cdots;}$

поскольку этот ряд не имеет смысла как ряд Пюизо - поскольку показатели имеют неограниченные знаменатели - исходное уравнение не имеет решения. Однако такие Уравнения Эйзенштейна по сути, единственные, у кого нет решения, потому что, если K алгебраически замкнуто характеристики п> 0, то поле ряда Пюизо над K идеальное закрытие максимального ручного разветвленный расширение ${ Displaystyle К (! (Т) !)}$.^[4]

Аналогично случаю алгебраического замыкания существует аналогичная теорема для реальное закрытие: если K - действительное замкнутое поле, то поле ряда Пюизо над K является действительным замыканием поля формальных рядов Лорана над K.^[6] (Отсюда следует первая теорема, поскольку любое алгебраически замкнутое поле характеристики нуль является единственным квадратичным расширением некоторого вещественно-замкнутого поля.)

Аналогичный результат имеется и для p-адическое замыкание: если K это п-адически замкнутое поле относительно оценки ш, то поле ряда Пюизо над K это также п-адически закрыто.^[7]

Разложение Пюизо алгебраических кривых и функций

Алгебраические кривые

Позволять Икс быть алгебраическая кривая^[8] заданный аффинным уравнением ${ Displaystyle F (х, y) = 0}$ над алгебраически замкнутым полем K нулевой характеристики и рассмотрим точку п на Икс которое мы можем считать равным (0,0). Мы также предполагаем, что Икс не ось координат Икс = 0. Тогда a Расширение Puiseux из у координата) Икс в п это серия Puiseux ж имея положительную оценку, такую ​​что ${ Displaystyle F (х, f (х)) = 0}$.

Точнее, определим ветви из Икс в п быть точками q из нормализация Y из Икс какая карта п. Для каждого такого q, есть локальная координата т из Y в q (которая является гладкой точкой) такая, что координаты Икс и у можно выразить как формальный степенной ряд т, сказать ${ Displaystyle х = т ^ {п} + cdots}$ (поскольку K алгебраически замкнуто, можно принять коэффициент оценки равным 1) и ${ displaystyle y = ct ^ {k} + cdots}$: тогда есть уникальная серия Пюизе вида ${ displaystyle f = cT ^ {k / n} + cdots}$ (степенной ряд в ${ displaystyle T ^ {1 / n}}$), такое что ${ Displaystyle у (т) = е (х (т))}$ (последнее выражение имеет смысл, поскольку ${ Displaystyle х (т) ^ {1 / п} = т + cdots}$ хорошо определенный степенной ряд в т). Это расширение Puiseux Икс в п который, как говорят, связан с ветвью, заданной q (или просто расширение Puiseux этой ветви Икс), и каждое разложение Пюизо Икс в п дано таким образом для уникальной ветви Икс в п.^[9][10]

Это существование формальной параметризации ветвей алгебраической кривой или функции также называется Теорема Пюизо: он, возможно, имеет то же математическое содержание, что и тот факт, что поле ряда Пюизо является алгебраически замкнутым, и является исторически более точным описанием первоначального утверждения автора.^[11]

Например, кривая ${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3} + х ^ {2}}$ (нормализация которого представляет собой линию с координатой т и карта ${ Displaystyle т mapsto (т ^ {2} -1, т ^ {3} -t)}$) имеет две ветви в двойной точке (0,0), соответствующие точкам т = +1 и т = −1 на нормировку, разложения Пюизо которой имеют вид ${ displaystyle y = x + { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {8}} x ^ {3} + cdots}$ и ${ displaystyle y = -x - { frac {1} {2}} x ^ {2} + { frac {1} {8}} x ^ {3} + cdots}$ соответственно (здесь оба являются степенными рядами, потому что Икс координата эталь в соответствующих точках нормализации). В гладкой точке (−1,0) (т.е. т = 0 в нормализации), он имеет единственную ветвь, заданную разложением Пюизо ${ Displaystyle у = - (х + 1) ^ {1/2} + (х + 1) ^ {3/2}}$ (в Икс координата разветвляется в этой точке, поэтому это не степенной ряд).

Кривая ${ Displaystyle у ^ {2} = х ^ {3}}$ (нормализация которого снова представляет собой линию с координатой т и карта ${ Displaystyle т mapsto (т ^ {2}, т ^ {3})}$), с другой стороны, имеет единственную ветвь на точка возврата (0,0), разложение Пюизо которого имеет вид ${ Displaystyle у = х ^ {3/2}}$.

Аналитическая конвергенция

Когда ${ Displaystyle К = mathbb {C}}$ поле комплексных чисел, разложение Пюизо алгебраической кривой (как определено выше) есть сходящийся в том смысле, что для данного выбора п-й корень из Икс, они сходятся при достаточно малых ${ displaystyle | x |}$, поэтому определим аналитическую параметризацию каждой ветви Икс в районе п (точнее, параметризация п-й корень из Икс).

Обобщения

Поле Леви-Чивита

Поле серии Puiseux не полный как метрическое пространство. Его завершение, названное Поле Леви-Чивита, можно описать следующим образом: это поле формальных выражений вида ${ displaystyle f = sum _ {e} c_ {e} T ^ {e},}$ где носитель коэффициентов (т. е. набор е такой, что ${ displaystyle c_ {e} neq 0}$) - это диапазон возрастающей последовательности рациональных чисел, которая либо конечна, либо стремится к + ∞. Другими словами, такие ряды допускают показатели с неограниченными знаменателями, если имеется конечное число членов с показателем, меньшим, чем А для любой заданной границы А. Например, ${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {+ infty} T ^ {k + { frac {1} {k}}}}$ это не серия Пюизо, но это предел Последовательность Коши серии Puiseux; в частности, это предел ${ displaystyle sum _ {к = 1} ^ {N} T ^ {k + { frac {1} {k}}}}$ в качестве ${ displaystyle N to + infty}$. Однако даже это завершение все еще не является «максимально полным» в том смысле, что оно допускает нетривиальные расширения, которые представляют собой поля со значениями, имеющие одинаковую группу значений и поле вычетов,^[12][13] отсюда и возможность его завершения еще больше.

Серия Hahn

Серия Hahn являются дальнейшим (большим) обобщением ряда Пюизо, введенным Ганс Хан в ходе доказательства его теорема вложения в 1907 г., а затем изучал его подход к Семнадцатая проблема Гильберта. В рядах Хана вместо того, чтобы требовать, чтобы показатели имели ограниченный знаменатель, они должны формировать упорядоченное подмножество группы значений (обычно ${ displaystyle mathbb {Q}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {R}}$). Позже они были обобщены Анатолий Мальцев и Бернхард Нойманн в некоммутативную установку (поэтому их иногда называют Ряды Хана – Мальцева – Неймана). Используя ряды Хана, можно дать описание алгебраического замыкания поля степенного ряда в положительной характеристике, которое в некоторой степени аналогично полю ряда Пюизо.^[14]

Примечания

Смотрите также

• Серия Laurent
• Серия Мадхава
• Интерполяция разделенной разности Ньютона
• Аппроксимация Паде

Рекомендации

• Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза (2006). Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Алгоритмы и вычисления в математике 10 (2-е изд.). Springer-Verlag. Дои:10.1007/3-540-33099-2. ISBN  978-3-540-33098-1.
• Черлин, Грег (1976). Избранные темы теоретической алгебры моделей. Конспект лекций по математике 521. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-07696-4.^{[мертвая ссылка ]}
• Каткоски, Стивен Дейл (2004). Разрешение сингулярностей. Аспирантура по математике 63. Американское математическое общество. ISBN  0-8218-3555-6.
• Эйзенбуд, Дэвид (1995). Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике 150. Springer-Verlag. ISBN  3-540-94269-6.
• Кедлая, Киран Шридхара (2001). «Алгебраическое замыкание поля степенного ряда в положительной характеристике». Proc. Амер. Математика. Soc. 129: 3461–3470. Дои:10.1090 / S0002-9939-01-06001-4.
• Ньютон, Исаак (1736) [1671], Метод потоков и бесконечных рядов; с его применением к геометрии кривых линий, переведено Колсон, Джон, Лондон: Генри Вудфолл, стр. 378 (В переводе с латыни)
• Ньютон, Исаак (1960). «письмо в Ольденбург от 24 октября 1676 года». Переписка Исаака Ньютона. II. Издательство Кембриджского университета. стр.126–127. ISBN  0-521-08722-8.
• Пюизо, Виктор Александр (1850). "Recherches sur les fonctions algébriques" (PDF). J. Math. Pures Appl. 15: 365–480.
• Пюизо, Виктор Александр (1851). "Новые научные исследования". (PDF). J. Math. Pures Appl. 16: 228–240.
• Шафаревич Игорь Ростиславович (1994). Базовая алгебраическая геометрия (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  3-540-54812-2.
• Уокер, Р.Дж. (1978). Алгебраические кривые (PDF) (Перепечатка ред.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-90361-5.

внешняя ссылка

• «Точка разветвления», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Серия Puiseux в MathWorld
• Теорема Пюизо в MathWorld
• Серия Puiseux в PlanetMath