Метрика (математика) - Metric (mathematics)

Иллюстрация сравнения метрика такси с евклидовой метрикой на плоскости: согласно метрике такси красный, желтый и синий пути имеют одинаковые длина (12). Согласно евклидовой метрике, зеленый путь имеет длину

{ displaystyle 6 { sqrt {2}} приблизительно 8,49}

, и является единственным кратчайшим путем.

В математика, а метрика или же функция расстояния это функция что определяет расстояние между каждой парой точечных элементов набор. Набор с метрикой называется метрическое пространство.^[1] Метрика индуцирует топология на множестве, но не все топологии могут быть сгенерированы метрикой. А топологическое пространство топология которого описывается метрикой, называется метризуемый.

Один важный источник показателей в дифференциальная геометрия находятся метрические тензоры, билинейные формы что может быть определено из касательные векторы из дифференцируемое многообразие на скаляр. Метрический тензор позволяет определять расстояния вдоль кривых посредством интегрирования и, таким образом, определяет метрику.

Определение

А метрика на съемочной площадке $Икс$ это функция (называется функция расстояния или просто расстояние)

{ displaystyle d: X times X to [0, infty)}

,

куда ${ displaystyle [0, infty)}$ это множество неотрицательных действительные числа и для всех ${ displaystyle x, y, z in X}$ , выполняются следующие три аксиомы:

1.	${ displaystyle d (x, y) = 0 Leftrightarrow x = y}$	идентичность неразличимых
2.	${ Displaystyle д (х, у) = д (у, х)}$	симметрия
3.	${ displaystyle d (x, y) leq d (x, z) + d (z, y)}$	субаддитивность или же неравенство треугольника

Эти аксиомы также подразумевают неотрицательность или же условие разделения:

{ Displaystyle д (х, у) geq 0}

для всех

{ displaystyle x, y in X}

А именно, применение аксиом 1, 3 и 2 в этом порядке дает ${ Displaystyle 0 = d (x, x) leq d (x, y) + d (y, x) = d (x, y) + d (x, y) = 2d (x, y)}$ что подразумевает ${ Displaystyle 0 Leq d (х, у)}$ .

Неотрицательность и аксиома 1 вместе определяют то, что называется положительно определенная функция.

Метрика называется ультраметрический если он удовлетворяет следующей более сильной версии неравенство треугольника где точки никогда не могут попадать "между" другими точками:

{ Displaystyle д (х, у) Leq макс (д (х, z), d (г, у))}

для всех ${ displaystyle x, y, z in X}$

Метрика $d$ на $Икс$ называется внутренний если есть две точки $Икс$ и $у$ в $Икс$ может быть присоединен изгиб с длина произвольно близко к $d (Икс, у)$ .

Метрика d в группе грамм (написано мультипликативно) называется левоинвариантный (соотв. правый инвариант) если у нас есть

{ Displaystyle d (zx, zy) = d (x, y)}

[соотв.

{ Displaystyle d (xz, yz) = d (x, y)}

]

для всех Икс, у, и z в грамм.

Примечания

Эти условия выражают интуитивные представления о концепции расстояние. Например, расстояние между отдельными точками положительно, а расстояние от Икс к у такое же, как и расстояние от у к Икс. Неравенство треугольника означает, что расстояние от Икс к z через у по крайней мере так же хорошо, как от Икс к z напрямую. Евклид в его работай заявил, что кратчайшее расстояние между двумя точками - это линия; это было неравенство треугольника для его геометрии.

Примеры

В дискретная метрика: если Икс = у тогда d(Икс,у) = 0. В противном случае d(Икс,у) = 1.
В Евклидова метрика инвариантен относительно сдвига и вращения.
В метрика такси инвариант перевода.
В более общем смысле, любая метрика, индуцированная норма инвариант перевода.
Если ${ displaystyle (p_ {n}) _ {n in N}}$ это последовательность из полунормы определение (локально выпуклый ) топологическое векторное пространство E, тогда

{ displaystyle d (x, y) = sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n}}} { frac {p_ {n} (xy)} { 1 + p_ {n} (xy)}}}

метрика, определяющая то же самое топология. (Можно заменить

{ displaystyle { frac {1} {2 ^ {n}}}}

любым суммируемая последовательность

{ Displaystyle (а_ {п})}

строго положительные числа.)

Метрика графика, метрика, определенная в терминах расстояний в определенном графе.
В Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
Риманова метрика, тип метрической функции, которую можно наложить на любую дифференцируемое многообразие. Для любого такого многообразие, в каждой точке p выбирается симметричная положительно определенная билинейная форма L: T_п × т_п → ℝ на касательное пространство Т_п в p, делая это плавно. Эта форма определяет длину любого касательного вектора v на многообразии по определению || v || знак равно ${ Displaystyle { sqrt {L ( mathbf {v}, mathbf {v})}}}$ . Тогда для любого дифференцируемого пути на многообразии его длина определяется как интеграл длины касательного вектора к пути в любой точке, где интегрирование выполняется по параметру пути. Наконец, чтобы получить метрику, определенную на любой паре {x, y} точек многообразия, берется точная нижняя грань по всем путям от x до y набора длин путей. Гладкое многообразие, снабженное римановой метрикой, называется Риманово многообразие.
В Метрика Фубини – Этюд на сложное проективное пространство. Это пример римановой метрики.
Строковые показатели, Такие как Расстояние Левенштейна и другие расстояние редактирования строки, определите метрику над струны.
Расстояние редактирования графика определяет функцию расстояния между графики.
В Метрика Вассерштейна функция расстояния, определенная между двумя распределения вероятностей.
В Метрика Финслера - непрерывная неотрицательная функция F: TM → [0, + ∞), определенная на касательном расслоении.

Эквивалентность показателей

Для данного набора Икс, две метрики d₁ и d₂ называются топологически эквивалентный (равноценно), если тождественное отображение

я бы: (Икс,d₁) → (Икс,d₂)

это гомеоморфизм (равномерный изоморфизм ).

Например, если ${ displaystyle d}$ метрика, то ${ Displaystyle мин (д, 1)}$ и ${ displaystyle {d over 1 + d}}$ метрики эквивалентны ${ displaystyle d.}$

Метрики в векторных пространствах

Нормы на векторных пространствах эквивалентны определенным метрикам, а именно однородным, трансляционно-инвариантным. Другими словами, каждая норма определяет метрику, а некоторые метрики определяют норму.

Учитывая нормированное векторное пространство ${ Displaystyle (Х, | cdot |)}$ мы можем определить метрику на Икс к

{ Displaystyle д (х, у): = | х-у |}

.

Метрика d как говорят индуцированный норма ${ displaystyle | cdot |}$ .

И наоборот, если метрика d на векторное пространство Икс удовлетворяет свойствам

${ Displaystyle д (х, у) = д (х + а, у + а)}$ (инвариантность перевода)
${ Displaystyle d ( альфа х, альфа у) = | альфа | d (х, у)}$ (однородность)

тогда мы можем определить норма на Икс к

{ Displaystyle | х |: = d (х, 0)}

Аналогично полунорма индуцирует псевдометрику (см. ниже), а однородная, инвариантная относительно сдвига псевдометрия индуцирует полунорму.

Метрики на мультимножествах

Мы можем обобщить понятие метрики от расстояния между двумя элементами до расстояния между двумя непустыми конечными мультимножествами элементов. А мультимножество является обобщением понятия набор так что элемент может встречаться более одного раза. Определять ${ displaystyle Z = XY}$ если ${ displaystyle Z}$ мультимножество, состоящее из элементов мультимножеств ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ , то есть если ${ displaystyle x}$ происходит один раз в ${ displaystyle X}$ и однажды в ${ displaystyle Y}$ затем это происходит дважды в ${ displaystyle Z}$ . Функция расстояния ${ displaystyle d}$ на множестве непустых конечных мультимножеств - метрика^[2] если

${ displaystyle d (X) = 0}$ если все элементы ${ displaystyle X}$ равны и ${ displaystyle d (X)> 0}$ иначе (положительная определенность ), то есть, (неотрицательность плюс идентичность неразличимых )
${ displaystyle d (X)}$ инвариантен относительно всех перестановок ${ displaystyle X}$ (симметрия )
${ Displaystyle d (XY) Leq d (XZ) + d (ZY)}$ (неравенство треугольника )

Обратите внимание, что знакомая метрика между двумя элементами получается, если мультимножество ${ displaystyle X}$ имеет два элемента в 1 и 2 и мультимножества ${ displaystyle X, Y, Z}$ иметь по одному элементу в 3. Например, если ${ displaystyle X}$ состоит из двух вхождений ${ displaystyle x}$ , тогда ${ displaystyle d (X) = 0}$ согласно 1.

Простым примером является множество всех непустых конечных мультимножеств ${ displaystyle X}$ целых чисел с ${ displaystyle d (X) = max {x: x in X } - min {x: x in X }}$ . Более сложные примеры: информационное расстояние в мультимножествах;^[2] и нормализованное расстояние сжатия (НИЗ) в мультимножествах.^[3]

Обобщенные метрики

Существует множество способов ослабить аксиомы метрики, что дает начало различным понятиям обобщенных метрических пространств. Эти обобщения также можно комбинировать. Терминология, используемая для их описания, не полностью стандартизирована. В частности, в функциональный анализ псевдометрика часто исходит из полунормы на векторных пространствах, поэтому их естественно называть «полуметриками». Это противоречит использованию термина в топология.

Расширенные метрики

Некоторые авторы допускают функцию расстояния d для достижения значения ∞, т.е. расстояния являются неотрицательными числами на расширенная строка действительных чисел. Такая функция называется расширенная метрика или «∞-метрика». Каждую расширенную метрику можно преобразовать в конечную метрику, так что метрические пространства эквивалентны в том, что касается понятий топология (Такие как непрерывность или же конвергенция ) обеспокоены. Это можно сделать с помощью субаддитив монотонно возрастающая ограниченная функция, которая равна нулю в нуле, например d′(Икс, у) = d(Икс, у) / (1 + d(Икс, у)) или же d′′(Икс, у) = min (1, d(Икс, у)).

Требование о том, чтобы метрика принимала значения в [0, ∞), можно даже ослабить, чтобы рассматривать метрики со значениями в других направленные наборы. Переформулировка аксиом в этом случае приводит к построению равномерные пространства: топологические пространства с абстрактной структурой, позволяющие сравнивать локальные топологии разных точек.

Псевдометрика

А псевдометрический на Икс это функция d : Икс × Икс → р которое удовлетворяет аксиомам метрики, за исключением того, что вместо второго (тождество неразличимых) только d(Икс,Икс) = 0 для всех Икс необходимо. Другими словами, аксиомы псевдометрии таковы:

d(Икс, у) ≥ 0
d(Икс, Икс) = 0 (но возможно d(Икс, у) = 0 для некоторых различных значений Икс ≠ у.)
d(Икс, у) = d(у, Икс)
d(Икс, z) ≤ d(Икс, у) + d(у, z).

В некоторых контекстах псевдометрику называют полуметрика из-за их отношения к полунормы.

Квазиметрики

Иногда квазиметрический определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам метрики, за исключением, возможно, симметрии:^[4]^[5]. Название этого обобщения не совсем стандартизировано.^[6]

d(Икс, у) ≥ 0 (позитивность)
d(Икс, у) = 0 тогда и только тогда, когда Икс = у (положительная определенность)
~~d(Икс, у) = d(у, Икс)~~ (симметрия, упавший)
d(Икс, z) ≤ d(Икс, у) + d(у, z) (неравенство треугольника)

Квазиметрия - обычное дело в реальной жизни. Например, учитывая набор Икс горных деревень, типичное время ходьбы между элементами Икс образуют квазиметрический, потому что путешествие вверх по холму занимает больше времени, чем спуск вниз. Другой пример - геометрия такси топология с улицами с односторонним движением, где путь от точки А В точку B состоит из набора улиц, отличных от пути от B к А.

Квазиметрику вещественных чисел можно определить, задав

d(Икс, у) = Икс − у если Икс ≥ у, и

d(Икс, у) = 1 в противном случае. 1 можно заменить на бесконечность или на

{ displaystyle 1 + 10 ^ {(y-x)}}

.

Топологическое пространство, лежащее в основе этого квазиметрического пространства, - это Линия Sorgenfrey. Это место описывает процесс подавать металлическая палочка: ее легко уменьшить, а вырастить - сложно или невозможно.

Если d является квазиметрикой на Икс, метрика d ' на Икс можно сформировать, взяв

d '(Икс, у) = ¹⁄₂(d(Икс, у) + d(у, Икс)).

Метаметрики

В метаметрический, все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомы метаметрики следующие:

d(Икс, у) ≥ 0
d(Икс, у) = 0 влечет Икс = у (но не наоборот.)
d(Икс, у) = d(у, Икс)
d(Икс, z) ≤ d(Икс, у) + d(у, z).

Метаметрики появляются при изучении Громова гиперболические метрические пространства и их границы. В визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет d(Икс, Икс) = 0 для точек Икс на границе, а в остальном d(Икс, Икс) примерно расстояние от Икс к границе. Метаметрики впервые были определены Юсси Вяйсяля.^[7]

Полиметрика

А полуметрический на Икс это функция d : Икс × Икс → р который удовлетворяет первым трем аксиомам, но не обязательно неравенству треугольника:

d(Икс, у) ≥ 0
d(Икс, у) = 0 тогда и только тогда, когда Икс = у
d(Икс, у) = d(у, Икс)

Некоторые авторы работают с более слабой формой неравенства треугольника, например:

d(Икс, z) ≤ ρ (d(Икс, у) + d(у, z)) (ρ-релаксирующее неравенство треугольника)

d(Икс, z) ≤ ρ max (d(Икс, у), d(у, z)) (ρ-инфраметрическое неравенство).

Из ρ-инфраметрического неравенства следует ρ-релаксированное неравенство треугольника (в предположении первой аксиомы), а из ρ-релаксированного неравенства треугольника следует 2ρ-инфраметрическое неравенство. Полиметрики, удовлетворяющие этим эквивалентным условиям, иногда называются «квазиметриками»,^[8] "ближнеметрика"^[9] или же инфраструктура.^[10]

Ρ-инфраметрические неравенства были введены в модель время задержки туда и обратно в Интернет.^[10] Неравенство треугольника влечет 2-инфраструктурное неравенство, а ультраметрическое неравенство является в точности 1-инфраметрическим неравенством.

Преметрики

Ослабление последних трех аксиом приводит к понятию преметрический, т.е. функция, удовлетворяющая следующим условиям:

d(Икс, у) ≥ 0
d(Икс, Икс) = 0
d(Икс, у) = d(у, Икс)

Это нестандартный термин. Иногда он используется для обозначения других обобщений показателей, таких как псевдосемиметрики.^[11] или псевдометрика;^[12] в переводах русских книг иногда встречается как «праметрический».^[13] Его еще называют расстоянием.^[14]

Любая преметрика порождает следующую топологию. Для позитивного реального р, то р-бол с центром в точке п определяется как

B_р(п) = { Икс | d(Икс, п)

Набор называется открыто если для любой точки п в комплекте есть р-бол с центром в п который содержится в наборе. Каждое преметрическое пространство является топологическим пространством и фактически последовательное пространство.В целом р-шары сами по себе не обязательно должны быть открытыми множествами по отношению к этой топологии. Что касается метрик, то расстояние между двумя наборами А и B, определяется как

d(А, B) = inf_{Икс∊А, у∊B} d(Икс, у).

Это определяет преметрику на набор мощности дометрического пространства. Если мы начнем с (псевдополеметрического) пространства, мы получим псевдосемиметрическую, то есть симметричную преметрику. Любая преметрика порождает оператор предварительного закрытия cl следующее:

cl(А) = { Икс | d(Икс, А) = 0 }.

Псевдоквазиметрия

Приставки псевдо-, квази и полу- также могут быть объединены, например, псевдоквазиметрический (иногда называют гемиметрический) ослабляет аксиому неразличимости и аксиому симметрии и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытая р-шары составляют основу открытых наборов. Очень простой пример псевдоквазиметрического пространства - это множество {0,1} с преметрикой, заданной формулой d(0,1) = 1 и d(1,0) = 0. Соответствующее топологическое пространство - это Пространство Серпинского.

Установки, оснащенные расширенной псевдоквазиметрикой, исследовались Уильям Ловер как «обобщенные метрические пространства».^[15]^[16] Из категоричный с точки зрения расширенных псевдометрических пространств и расширенных псевдоквазиметрических пространств, вместе с соответствующими им нерасширяющими отображениями, лучше всего ведут себя категории метрических пространств. Можно брать произвольные продукты и сопродукты и формировать частные объекты в рамках данной категории. Если отказаться от «расширенного», можно будет брать только конечные продукты и сопродукции. Если отбросить «псевдо», нельзя брать частные. Пространства подхода являются обобщением метрических пространств, которое сохраняет эти хорошие категориальные свойства.

Важные случаи обобщенных показателей

В дифференциальная геометрия, считается метрический тензор, которую можно рассматривать как «бесконечно малую» квадратичную метрическую функцию. Это определяется как невырожденный симметричный билинейная форма на касательное пространство из многообразие с соответствующим дифференцируемость требование. Хотя это не метрические функции, как определено в этой статье, они индуцируют то, что называется псевдополиметрической функцией посредством интеграция из квадратного корня вдоль пути через многообразие. Если наложить требование положительной определенности внутренний продукт на метрическом тензоре это ограничивается случаем Риманово многообразие, а интегрирование по пути дает метрику.

В общая теория относительности связанная концепция - это метрический тензор (общая теория относительности) который выражает структуру псевдориманово многообразие. Хотя используется термин «метрика», основная идея отличается, потому что есть ненулевые нулевые векторы в касательном пространстве этих многообразий, а векторы могут иметь отрицательные квадраты нормы. Этот обобщенный взгляд на "метрики", в котором нулевое расстояние нет подразумевают идентичность, проникли и в некоторые математические сочинения:^[17]^[18]

Смотрите также

Примечания

^ Чех, Эдуард (1969). Наборы точек. Нью-Йорк: Academic Press. п. 42.
^ ^а ^б Витани, Пол М. Б. (2011). «Информационное расстояние в кратных величинах». IEEE Transactions по теории информации. 57 (4): 2451–2456. arXiv:0905.3347. Дои:10.1109 / TIT.2011.2110130. S2CID 6302496.
^ Коэн, Эндрю Р .; Витани, Пол М. Б. (2012). «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 37 (8): 1602–1614. arXiv:1212.5711. Дои:10.1109 / TPAMI.2014.2375175. ЧВК 4566858. PMID 26352998.
^ Например. Стин и Зеебах (1995).
^ Смит, М. (1987). M.Main; А.Мелтон; M.Mislove; Д. Шмидт (ред.). Квазиравномерности: согласование областей с метрическими пространствами. 3-я конференция «Математические основы семантики языков программирования». Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298. pp. 236–253. Дои:10.1007/3-540-19020-1_12.
^ Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы, Springer, ISBN 90-277-2186-6, OCLC 13064804 В этой книге они называются «полуметрики». Этот же термин также часто используется для двух других обобщений показателей.
^ Вяйсяля, Юсси (2005), «Гиперболические пространства Громова» (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, Дои:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, МИСТЕР 2164775
^ Ся, Q. (2009), "Геодезическая проблема в квазиметрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, Дои:10.1007 / s12220-008-9065-4, S2CID 17475581
^ Цинлан Ся (2008), "Проблема геодезических в околометрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, Bibcode:2008arXiv0807.3377X.
^ ^а ^б * Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Виеннот, Л. (2008). «Инфраметрическая модель Интернета». 2008 IEEE INFOCOM - 27-я конференция по компьютерным коммуникациям. IEEE INFOCOM 2008. 27-я конференция по компьютерным коммуникациям. С. 1085–1093. CiteSeerX 10.1.1.113.6748. Дои:10.1109 / INFOCOM.2008.163. ISBN 978-1-4244-2026-1. S2CID 5733968..
^ Булдыгин, В.В .; Козаченко, И.Ю. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов, ISBN 9780821897911.
^ Хелемский (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу.
^ Архангельский и Понтрягин (1990). Aldrovandi, R .; Перейра, Дж. (1995), Введение в геометрическую физику.
^ Deza, M.M .; Лоран, М. (1997), Геометрия вырезов и метрики.
^ Ловер, Ф.В. (2002) [1973], Метрические пространства, обобщенная логика и замкнутые категории (PDF), Отпечатки в теории и приложениях категорий, 1, стр. 1–37.
^ Викерс, Стивен (2005), «Локальное пополнение обобщенных метрических пространств I», Теория и приложения категорий, 14: 328–356
^ С. Парротт (1987) Релятивистская электродинамика и дифференциальная геометрия., стр. 4, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5 : "Эту билинейную форму по-разному называют Метрика Лоренца, или же Метрика Минковского или же метрический тензор."
^ Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли, стр. 9, Springer-Verlag ISBN 0-387-97747-3 : "Мы называем это скалярное произведение Метрика Лоренца"

внешняя ссылка

[1] Чех, Эдуард (1969). Наборы точек. Нью-Йорк: Academic Press. п. 42.

[Vi11-2] а ^б Витани, Пол М. Б. (2011). «Информационное расстояние в кратных величинах». IEEE Transactions по теории информации. 57 (4): 2451–2456. arXiv:0905.3347. Дои:10.1109 / TIT.2011.2110130. S2CID 6302496.

[3] Коэн, Эндрю Р .; Витани, Пол М. Б. (2012). «Нормализованное расстояние сжатия мультимножеств с приложениями». IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу. 37 (8): 1602–1614. arXiv:1212.5711. Дои:10.1109 / TPAMI.2014.2375175. ЧВК 4566858. PMID 26352998.

[4] Например. Стин и Зеебах (1995).

[5] Смит, М. (1987). M.Main; А.Мелтон; M.Mislove; Д. Шмидт (ред.). Квазиравномерности: согласование областей с метрическими пространствами. 3-я конференция «Математические основы семантики языков программирования». Springer-Verlag, Lecture Notes in Computer Science 298. pp. 236–253. Дои:10.1007/3-540-19020-1_12.

[6] Ролевич, Стефан (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы, Springer, ISBN 90-277-2186-6, OCLC 13064804 В этой книге они называются «полуметрики». Этот же термин также часто используется для двух других обобщений показателей.

[7] Вяйсяля, Юсси (2005), «Гиперболические пространства Громова» (PDF), Expositiones Mathematicae, 23 (3): 187–231, Дои:10.1016 / j.exmath.2005.01.010, МИСТЕР 2164775

[8] Ся, Q. (2009), "Геодезическая проблема в квазиметрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, Дои:10.1007 / s12220-008-9065-4, S2CID 17475581

[9] Цинлан Ся (2008), "Проблема геодезических в околометрических пространствах", Журнал геометрического анализа, 19 (2): 452–479, arXiv:0807.3377, Bibcode:2008arXiv0807.3377X.

[inframetrics-10] а ^б * Fraigniaud, P .; Lebhar, E .; Виеннот, Л. (2008). «Инфраметрическая модель Интернета». 2008 IEEE INFOCOM - 27-я конференция по компьютерным коммуникациям. IEEE INFOCOM 2008. 27-я конференция по компьютерным коммуникациям. С. 1085–1093. CiteSeerX 10.1.1.113.6748. Дои:10.1109 / INFOCOM.2008.163. ISBN 978-1-4244-2026-1. S2CID 5733968..

[11] Булдыгин, В.В .; Козаченко, И.Ю. (2000), Метрическая характеристика случайных величин и случайных процессов, ISBN 9780821897911.

[12] Хелемский (2006), Лекции и упражнения по функциональному анализу.

[13] Архангельский и Понтрягин (1990). Aldrovandi, R .; Перейра, Дж. (1995), Введение в геометрическую физику.

[14] Deza, M.M .; Лоран, М. (1997), Геометрия вырезов и метрики.

[15] Ловер, Ф.В. (2002) [1973], Метрические пространства, обобщенная логика и замкнутые категории (PDF), Отпечатки в теории и приложениях категорий, 1, стр. 1–37.

[16] Викерс, Стивен (2005), «Локальное пополнение обобщенных метрических пространств I», Теория и приложения категорий, 14: 328–356

[17] С. Парротт (1987) Релятивистская электродинамика и дифференциальная геометрия., стр. 4, Springer-Verlag ISBN 0-387-96435-5 : "Эту билинейную форму по-разному называют Метрика Лоренца, или же Метрика Минковского или же метрический тензор."

[18] Томас Э. Сесил (1992) Геометрия сферы Ли, стр. 9, Springer-Verlag ISBN 0-387-97747-3 : "Мы называем это скалярное произведение Метрика Лоренца"

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

Метрика (математика) - Metric (mathematics)

Содержание

Определение

Примечания

Примеры

Эквивалентность показателей

Метрики в векторных пространствах

Метрики на мультимножествах

Обобщенные метрики

Расширенные метрики

Псевдометрика

Квазиметрики

Метаметрики

Полиметрика

Преметрики

Псевдоквазиметрия

Важные случаи обобщенных показателей

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка