Расширенная строка действительных чисел - Википедия - Extended real number line

В математика, то аффинно расширенная система действительных чисел получается из настоящий номер система ${ Displaystyle mathbb {R}}$ добавив два элемента: ${ displaystyle + infty}$ и ${ displaystyle - infty}$ (читать как положительный бесконечность и отрицательная бесконечность соответственно), где бесконечности рассматриваются как действительные числа.^[1] Это полезно при описании алгебры бесконечностей и различных ограничивающее поведение в исчисление и математический анализ, особенно в теории мера и интеграция.^[2] Аффинно расширенная система действительных чисел обозначается ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ или же ${ displaystyle [- infty, + infty]}$ или же ${ Displaystyle mathbb {R} чашка {- infty, + infty }}$ .^[3]

Когда значение ясно из контекста, символ ${ displaystyle + infty}$ часто пишется просто как ${ displaystyle infty}$ .^[3]

Мотивация

Пределы

Часто бывает полезно описать поведение функции ${ displaystyle f (x)}$ , поскольку либо аргумент ${ displaystyle x}$ или значение функции ${ displaystyle f (x)}$ в каком-то смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию

{ displaystyle f (x) = x ^ {- 2}.}

График этой функции имеет горизонтальную асимптота при y = 0. Геометрически при движении все дальше вправо по ${ displaystyle x}$ -оси, значение ${ displaystyle textstyle { frac {1} {x ^ {2}}}}$ приближается к 0. Это ограничивающее поведение аналогично предел функции в настоящий номер, за исключением того, что нет действительного числа, к которому ${ displaystyle x}$ подходы.

Присоединив элементы ${ displaystyle + infty}$ и ${ displaystyle - infty}$ к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ , это позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологический свойства, аналогичные свойствам для ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .

Чтобы сделать вещи полностью формальными, Определение последовательностей Коши из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ позволяет определить ${ displaystyle + infty}$ как набор всех последовательностей ${ Displaystyle {а_ {п} }}$ рациональных чисел, так что каждый ${ Displaystyle M in mathbb {R}}$ связан с соответствующим ${ Displaystyle N in mathbb {N}}$ для которого ${ displaystyle a_ {n}> M}$ для всех ${ displaystyle n> N}$ . Определение ${ displaystyle - infty}$ можно построить аналогично.

Измерение и интеграция

В теория меры, часто бывает полезно разрешить множества с бесконечной мерой и интегралами, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из расчетов. Например, при присвоении мера к ${ Displaystyle mathbb {R}}$ что согласуется с обычной длиной интервалов, эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Также при рассмотрении несобственные интегралы, Такие как

{ displaystyle int _ {1} ^ { infty} { frac {dx} {x}}}

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, например

{ displaystyle f_ {n} (x) = { begin {cases} 2n (1-nx), & { mbox {if}} 0 leq x leq { frac {1} {n}} 0, & { mbox {if}} { frac {1} {n}}

Не позволяя функциям принимать бесконечные значения, такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости не имеет смысла.

Порядок и топологические свойства

Аффинно расширенную систему действительных чисел можно превратить в полностью заказанный набор, определяя ${ displaystyle - infty leq a leq + infty}$ для всех ${ displaystyle a}$ . С этим топология заказа, ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ имеет желаемое свойство компактность: каждое подмножество ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ имеет супремум и инфимум^[4] (нижняя грань пустого множества равна ${ displaystyle + infty,}$ и его супремум ${ displaystyle - infty}$ ). Более того, с этой топологией ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ является гомеоморфный к единичный интервал ${ displaystyle [0,1]}$ . Таким образом, топология метризуемый, соответствующую (для данного гомеоморфизма) обычной метрике на этом интервале. Нет метрики, которая была бы расширением обычной метрики на ${ Displaystyle mathbb {R}}$ .

В этой топологии набор ${ displaystyle U}$ это район из ${ displaystyle + infty}$ , тогда и только тогда, когда он содержит множество ${ Displaystyle {х: х> а }}$ для какого-то реального числа ${ displaystyle a}$ . Понятие окрестности ${ displaystyle - infty}$ можно определить аналогично. Используя эту характеристику расширенных вещественных окрестностей, специально определенные пределы за ${ displaystyle x}$ стремясь к ${ displaystyle + infty}$ и ${ displaystyle - infty}$ , а также специально определенные понятия пределов, равных ${ displaystyle + infty}$ и ${ displaystyle - infty}$ , сводятся к общему топологическому определению пределов.

Арифметические операции

Арифметические операции ${ Displaystyle mathbb {R}}$ может быть частично расширен до ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ следующее:^[3]

{ displaystyle { begin {align} a + infty = + infty + a & = + infty, & a & neq - infty a- infty = - infty + a & = - infty, & a & neq + infty a cdot ( pm infty) = pm infty cdot a & = pm infty, & a & in (0, + infty] a cdot ( pm infty) = pm infty cdot a & = mp infty, & a & in [- infty, 0) { frac {a} { pm infty}} & = 0, & a & in mathbb {R} { frac { pm infty} {a}} & = pm infty, & a & in (0, + infty) { frac { pm infty} {a}} & = mp infty, & a & in (- infty, 0) end {выровнено}}}

Для возведения в степень см. Возведение в степень # Пределы полномочий. Здесь, " ${ Displaystyle а + infty}$ "означает оба" ${ Displaystyle а + (+ infty)}$ " и " ${ Displaystyle а - (- infty)}$ ", пока " ${ displaystyle a- infty}$ "означает оба" ${ Displaystyle а - (+ infty)}$ " и " ${ Displaystyle а + (- infty)}$ ".

Выражения ${ Displaystyle infty - infty, 0 раз ( pm infty)}$ и ${ Displaystyle pm infty / pm infty}$ (называется неопределенные формы ) обычно оставляют неопределенный. Эти правила основаны на законах для бесконечные пределы. Однако в контексте теории вероятностей или меры ${ displaystyle 0 times pm infty}$ часто определяется как ${ displaystyle 0}$ .^[5]

При работе с положительными и отрицательными расширенными действительными числами выражение ${ displaystyle 1/0}$ обычно остается неопределенным, потому что, хотя это правда, что для каждой реальной ненулевой последовательности ${ displaystyle f}$ что сходится к ${ displaystyle 0}$ , обратная последовательность ${ displaystyle 1 / f}$ в конечном итоге содержится в каждой окрестности ${ Displaystyle { infty, - infty }}$ , это нет правда, что последовательность ${ displaystyle 1 / f}$ должен сам сходиться к ${ displaystyle - infty}$ или же ${ displaystyle infty}$ . Сказал по-другому, если непрерывная функция ${ displaystyle f}$ достигает нуля при определенном значении ${ displaystyle x_ {0}}$ , то не обязательно, чтобы ${ displaystyle 1 / f}$ имеет тенденцию к ${ displaystyle - infty}$ или же ${ displaystyle infty}$ в пределе как ${ displaystyle x}$ как правило ${ displaystyle x_ {0}}$ . Так обстоит дело в пределах функция идентичности ${ Displaystyle е (х) = х}$ когда ${ displaystyle x}$ стремится к 0, а из ${ Displaystyle е (х) = х ^ {2} грех (1 / х)}$ (для последней функции ни ${ displaystyle - infty}$ ни ${ displaystyle infty}$ это предел ${ displaystyle 1 / f (x),}$ даже если только положительные значения $Икс$ считаются).

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить ${ Displaystyle 1/0 = + infty}$ . Например, при работе с степенным рядом радиус схождения из степенной ряд с коэффициентами ${ displaystyle a_ {n}}$ часто определяется как величина, обратная предельному супремуму последовательности ${ displaystyle {| a_ {n} | ^ {1 / n} }}$ . Таким образом, если разрешить ${ displaystyle 1/0}$ принять ценность ${ displaystyle + infty}$ , то эту формулу можно использовать независимо от того, равен ли предел-супремум ${ displaystyle 0}$ или нет.

Алгебраические свойства

С этими определениями ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ является нет даже полугруппа не говоря уже о группа, а звенеть или поле как в случае с ${ Displaystyle mathbb {R}}$ . Однако у него есть несколько удобных свойств:

${ Displaystyle а + (Ь + с)}$ и ${ Displaystyle (а + б) + с}$ либо равны, либо оба не определены.
${ displaystyle a + b}$ и ${ displaystyle b + a}$ либо равны, либо оба не определены.
${ Displaystyle а cdot (б cdot с)}$ и ${ Displaystyle (а cdot b) cdot c}$ либо равны, либо оба не определены.
${ displaystyle a cdot b}$ и ${ displaystyle b cdot a}$ либо равны, либо оба не определены
${ Displaystyle а cdot (Ь + с)}$ и ${ Displaystyle (а cdot b) + (а cdot c)}$ равны, если оба определены.
Если ${ displaystyle a leq b}$ и если оба ${ displaystyle a + c}$ и ${ displaystyle b + c}$ определены, то ${ Displaystyle а + с leq Ь + с}$ .
Если ${ displaystyle a leq b}$ и ${ displaystyle c> 0}$ и если оба ${ displaystyle a cdot c}$ и ${ displaystyle b cdot c}$ определены, то ${ Displaystyle а cdot c leq b cdot c}$ .

В общем, все законы арифметики верны в ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ - пока определены все встречающиеся выражения.

Разное

Несколько функции возможно непрерывно распространен на ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ принимая пределы. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций следующим образом: ${ Displaystyle ехр (- infty) = 0, ln (0) = - infty, tanh ( pm infty) = pm 1, arctan ( pm infty) = pm { frac { pi} {2}}}$

Немного особенности может быть дополнительно удален. Например, функция ${ displaystyle 1 / x ^ {2}}$ можно непрерывно расширять до ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}}}$ (под немного определения непрерывности), задав значение ${ displaystyle + infty}$ за ${ displaystyle x = 0}$ , и ${ displaystyle 0}$ за ${ Displaystyle х = + infty}$ и ${ Displaystyle х = - infty}$ . С другой стороны, функция ${ displaystyle 1 / x}$ может нет непрерывно расширяться, поскольку функция приближается ${ displaystyle - infty}$ в качестве ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle 0}$ снизу и ${ displaystyle + infty}$ в качестве ${ displaystyle x}$ подходы ${ displaystyle 0}$ сверху.

Похожая, но другая система реального времени, проективно расширенная действительная линия, не различает ${ displaystyle + infty}$ и ${ displaystyle - infty}$ (т.е. бесконечность беззнаковая).^[6] В результате функция может иметь ограничение ${ displaystyle infty}$ на проективно расширенной действительной прямой, в то время как в аффинно расширенной системе действительных чисел только абсолютное значение функции имеет предел, например в случае функции ${ displaystyle 1 / x}$ в ${ displaystyle x = 0}$ . С другой стороны

{ Displaystyle lim _ {х к - infty} {е (х)}}

и

{ Displaystyle lim _ {х к + infty} {е (х)}}

соответствуют на проективно расширенной вещественной прямой только пределу справа и одному пределу слева, соответственно, причем полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции ${ displaystyle e ^ {x}}$ и ${ Displaystyle arctan (х)}$ не может быть непрерывным при ${ Displaystyle х = infty}$ на проективно продолженной действительной прямой.

Смотрите также

Проективно расширенная действительная линия
Деление на ноль
Расширенная комплексная плоскость
Неправильный интеграл
бесконечность
Серия (математика)
Полукольцо журнала
Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей точкой § Бесконечности и IEEE с плавающей точкой

дальнейшее чтение

Aliprantis, Charalambos D .; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7, МИСТЕР 1669668
Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа». MathWorld.

[1] "Окончательный словарь высшего математического жаргона - бесконечность". Математическое хранилище. 2019-08-01. Получено 2019-12-03.

[2] Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система вещественных чисел» (PDF). maths.tcd.ie. Получено 2019-12-03.

[:0-3] а ^б ^c Вайсштейн, Эрик В. «Аффинно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-03.

[4] Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC. п. 74. ISBN 9781498761147. Получено 8 декабря 2019.

[5] "расширенное действительное число в nLab". ncatlab.org. Получено 2019-12-03.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа». mathworld.wolfram.com. Получено 2019-12-03.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]