Полнота действительных чисел - Completeness of the real numbers

Интуитивно полнота подразумевает отсутствие каких-либо «пробелов» (в терминологии Дедекинда) или «недостающих точек» в действительная числовая линия. Это контрастирует с рациональное число, чья соответствующая числовая строка имеет «пробел» на каждой иррациональный ценить. в десятичная система счисления, полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр на самом деле является десятичное представление за какое-то реальное число.

В зависимости от конструкции используемых действительных чисел полнота может принимать форму аксиома (в аксиома полноты), или может быть теорема проверено конструкцией. Есть много эквивалент формы завершенности, наиболее заметное существо Дедекиндова полнота и Полнота Коши (полнота как метрическое пространство ).

Формы полноты

В действительные числа возможно определено синтетически как упорядоченное поле удовлетворение некоторой версии аксиома полноты. Различные версии этой аксиомы эквивалентны в том смысле, что любое упорядоченное поле, удовлетворяющее одной форме полноты, удовлетворяет всем им, за исключением теоремы о полноте Коши и вложенных интервалов, которые строго слабее в том смысле, что существуют не Архимедовы поля которые упорядочены и Коши завершены. Когда вместо этого реальные числа строятся с использованием модели, полнота становится теорема или сборник теорем.

Наименьшее свойство верхней границы

В свойство с наименьшей верхней границей заявляет, что каждый непустой подмножество действительных чисел, имеющих верхняя граница должен иметь наименьшая верхняя граница (или супремум) в множестве действительных чисел.

В рациональная числовая линия Q не имеет свойства наименьшей верхней границы. Примером может служить подмножество рациональных чисел

{ displaystyle S = {x in mathbf {Q} | x ^ {2} <2 }.}

У этого набора есть верхняя граница. Однако этот набор не имеет точной верхней границы в $Q$ : наименьшая верхняя граница как подмножество вещественных чисел будет $\sqrt2$ , но его нет в $Q$ .Для любой верхней границы $Икс \in Q$ , есть еще одна верхняя граница $у \in Q$ с $у < Икс$ .

Например, возьмите $Икс = 1.5$ , тогда $Икс$ безусловно, верхняя граница $S$ , поскольку $Икс$ положительный и $Икс 2 = 2.25 \geq 2$ ; то есть ни один элемент $S$ больше чем $Икс$ . Однако мы можем выбрать меньшую верхнюю границу, скажем $у = 1.45$ ; это также верхняя граница $S$ по тем же причинам, но он меньше, чем $Икс$ , так $Икс$ не является наименьшей верхней границей $S$ . Аналогичным образом можно найти верхнюю границу $S$ это меньше чем $у$ , сказать $z = 1.42$ и т. д., так что мы никогда не находим наименьшую верхнюю границу $S$ в $Q$ .

Свойство наименьшей верхней границы можно обобщить на настройку частично упорядоченные наборы. Видеть полнота (теория порядка).

Дедекиндова полнота

Видеть Дедекиндова полнота для более общих понятий, носящих это имя.

Дедекиндова полнота - это то свойство, что каждый Дедекинда вырезать действительных чисел генерируется действительным числом. В синтетическом подходе к действительным числам это вариант полноты, который чаще всего включается в качестве аксиомы.

В рациональная числовая линия Q не является Дедекиндом полным. Примером может служить дедекиндовская огранка.

{ displaystyle L = {x in mathbf {Q} | x ^ {2} leq 2 vee x <0 }.}

{ displaystyle R = {x in mathbf {Q} | x ^ {2} geq 2 wedge x> 0 }.}

L не имеет максимума и р не имеет минимума, поэтому этот разрез не порождается рациональным числом.

Существует построение действительных чисел основан на идее использования дедекиндовских сокращений рациональных чисел для именования действительных чисел; например срез (Л, П) описанный выше назвал бы ${ displaystyle { sqrt {2}}}$ . Если бы кто-то повторил построение действительных чисел с дедекиндовыми разрезами (т.е. «замкнул» набор действительных чисел, добавив все возможные дедекиндовы разрезы), то не получил бы никаких дополнительных чисел, потому что действительные числа уже являются дедекиндовыми.

Полнота Коши

Полнота Коши утверждение, что каждый Последовательность Коши реальных чисел сходится.

В рациональная числовая линия Q не является полным по Коши. Примером может служить следующая последовательность рациональных чисел:

{ displaystyle 3, quad 3.1, quad 3.14, quad 3.142, quad 3.1416, quad ldots}

Здесь п-й член в последовательности - это п-е десятичное приближение для число Пи. Хотя это последовательность рациональных чисел Коши, она не сходится ни к какому рациональному числу. (В этой числовой строке эта последовательность сходится к числу пи.)

Полнота Коши связана с построением действительных чисел с использованием последовательностей Коши. По сути, этот метод определяет действительное число как предел последовательности рациональных чисел Коши.

В математический анализ, Полнота Коши может быть обобщена до понятия полноты для любого метрическое пространство. Видеть полное метрическое пространство.

Для упорядоченное поле, Полнота по Коши слабее, чем другие формы полноты на этой странице. Но полнота Коши и Архимедова собственность вместе взятые, эквивалентны остальным.

Теорема о вложенных интервалах

В теорема о вложенном интервале это еще одна форма полноты. Позволять $я п = [а п, б п]$ последовательность замкнутых интервалы, и предположим, что эти интервалы вложены в том смысле, что

{ Displaystyle I_ {1} ; supset ; I_ {2} ; supset ; I_ {3} ; supset ; cdots}

Кроме того, предположим, что $б п -а п \to 0$ в качестве $п \to + \infty$ . Теорема о вложенном интервале утверждает, что пересечение всех интервалов $я п$ содержит ровно одну точку.

В рациональная числовая линия не удовлетворяет теореме о вложенном интервале. Например, последовательность (члены которой образованы от цифр число Пи предложенным способом)

{ Displaystyle [3,4] ; supset ; [3.1,3.2] ; supset ; [3.14,3.15] ; supset ; [3.141,3.142] ; supset ; cdots}

представляет собой вложенную последовательность отрезков в рациональных числах, пересечение которых пусто. (В вещественных числах пересечение этих интервалов содержит число число Пи.)

Теорема о вложенных интервалах имеет тот же логический статус, что и полнота Коши в этом спектре выражений полноты. Другими словами, теорема о вложенных интервалах сама по себе слабее, чем другие формы полноты, хотя вместе с Архимедова собственность, он эквивалентен остальным.

Теорема о монотонной сходимости

В теорема о монотонной сходимости (описывается как фундаментальная аксиома анализа к Кёрнер (2004) ) утверждает, что любая неубывающая ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Это можно рассматривать как частный случай свойства наименьшей верхней границы, но его также можно довольно непосредственно использовать для доказательства полноты Коши действительных чисел.

Теорема Больцано – Вейерштрасса

В Теорема Больцано – Вейерштрасса утверждает, что каждая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность. Опять же, эта теорема эквивалентна другим формам полноты, приведенным выше.

Теорема о промежуточном значении

В теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция, которая принимает как отрицательные, так и положительные значения, имеет корень. Это следствие свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать для доказательства свойства наименьшей верхней границы, если рассматривать его как аксиому. (Определение непрерывности не зависит от какой-либо формы полноты, поэтому оно не является круговым.)

Смотрите также

Список реальных тем анализа