Реальное координатное пространство - Real coordinate space

Эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Реальное координатное пространство»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (апрель 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Декартова структура произведения р² на Декартова плоскость из заказанные пары (Икс, у). Синие линии обозначают оси координат, горизонтальные зеленые линии целое число у, вертикальные голубые линии - целые числа Икс, коричнево-оранжевые линии показывают полуцелое число Икс или же у, пурпурный и его оттенок кратны одна десятая (лучше всего видно при увеличении)

В математика, а реальное координатное пространство из измерение п, написано р^п (/ɑːrˈɛп/ ар-EN ) или же ℝ^п, это координатное пространство над действительные числа. Это означает, что это набор п- пары действительных чисел (последовательности п действительные числа). При покомпонентном сложении и скалярном умножении это реальное векторное пространство.

Обычно Декартовы координаты элементов Евклидово пространство образуют реальные координатные пространства. Это объясняет название координатное пространство и тот факт, что геометрический термины часто используются при работе с координатными пространствами. Например, р² это самолет.

Координатные пространства широко используются в геометрия и физика, поскольку их элементы позволяют находить точки в евклидовых пространствах и выполнять с ними вычисления.

Определение и структуры

Для любого натуральное число п, то набор р^п состоит из всех п-кортежи из действительные числа (р). Это называется "п-мерное реальное пространство »или« реальное п-Космос".

Элемент р^п таким образом п-tuple, и пишется

${ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n})}$

где каждый Икс_я это действительное число. Итак, в многомерное исчисление, то домен из функция нескольких действительных переменных и содомен настоящего векторная функция находятся подмножества из р^п для некоторых п.

Реальный п-space имеет несколько дополнительных свойств, а именно:

• С покомпонентно дополнение и скалярное умножение, это реальное векторное пространство. Каждый п-мерное вещественное векторное пространство изоморфный к нему.
• С скалярное произведение (сумма посроченного произведения компонентов), это внутреннее пространство продукта. Каждый п-мерное реальное внутреннее пространство продукта изоморфно ему.
• Как и любое внутреннее пространство продукта, это топологическое пространство, а топологическое векторное пространство.
• Это Евклидово пространство и настоящий аффинное пространство, и каждое евклидово или аффинное пространство изоморфно ему.
• Это аналитическое многообразие, и может рассматриваться как прототип всех коллекторы, поскольку, по определению, многообразие вблизи каждой точки изоморфно открытое подмножество из р^п.
• Это алгебраическое многообразие, и каждый вещественное алгебраическое многообразие это подмножество р^п.

Эти свойства и структуры р^п сделать его фундаментальным почти во всех областях математики и областях их применения, таких как статистика, теория вероятности, и многие части физика.

Область определения функции нескольких переменных

Любая функция ж(Икс₁, Икс₂, … , Икс_п) из п вещественные переменные можно рассматривать как функцию от р^п (то есть с р^п как его домен ). Использование настоящего п-пространство вместо нескольких переменных, рассматриваемых по отдельности, может упростить обозначения и предложить разумные определения. Считайте, что для п = 2, а функциональная композиция следующего вида:

${ Displaystyle F (t) = f (g_ {1} (t), g_ {2} (t)),}$

где функции грамм₁ и грамм₂ находятся непрерывный. Если

∀Икс₁ ∈ р : ж(Икс₁, ·) непрерывно (по Икс₂)

∀Икс₂ ∈ р : ж(·, Икс₂) непрерывно (по Икс₁)

тогда F не обязательно непрерывно. Непрерывность - более сильное условие: непрерывность ж в естественном р² топология (обсуждается ниже ), также называемый многомерная непрерывность, что достаточно для непрерывности композиции F.

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (апрель 2013)

Векторное пространство

Координатное пространство р^п образует п-размерный векторное пространство над поле действительных чисел с добавлением структуры линейность, и часто все еще обозначается р^п. Операции на р^п как векторное пространство обычно определяются как

${ displaystyle mathbf {x} + mathbf {y} = (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, ldots, x_ {n} + y_ {n})}$

${ displaystyle alpha mathbf {x} = ( alpha x_ {1}, alpha x_ {2}, ldots, alpha x_ {n}).}$

В нулевой вектор дан кем-то

${ Displaystyle mathbf {0} = (0,0, ldots, 0)}$

и Противоположное число вектора Икс дан кем-то

${ displaystyle - mathbf {x} = (- x_ {1}, - x_ {2}, ldots, -x_ {n}).}$

Эта структура важна, потому что любая п-мерное вещественное векторное пространство изоморфно векторному пространству р^п.

Матричные обозначения

В стандартной матрица обозначение, каждый элемент р^п обычно записывается как вектор столбца

${ Displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {bmatrix}}}$

а иногда как вектор строки:

${ displaystyle mathbf {x} = { begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} end {bmatrix}}.}$

Координатное пространство р^п можно тогда интерпретировать как пространство всех п × 1 вектор-столбец, или все 1 × п векторы-строки с обычными матричными операциями сложения и скалярное умножение.

Линейные преобразования из р^п к р^м тогда можно записать как м × п матрицы, которые действуют на элементы р^п через оставили умножение (когда элементы р^п являются векторами-столбцами) и на элементах р^м посредством умножения справа (когда они являются векторами-строками). Формула умножения слева, частный случай матричное умножение, является:

${ displaystyle (A { mathbf {x}}) _ {k} = sum limits _ {l = 1} ^ {n} A_ {kl} x_ {l}}$

Любое линейное преобразование - это непрерывная функция (видеть ниже ). Кроме того, матрица определяет открытая карта из р^п к р^м если и только если ранг матрицы равно м.

Стандартная основа

Координатное пространство р^п в стандартной комплектации:

${ displaystyle { begin {align} mathbf {e} _ {1} & = (1,0, ldots, 0) mathbf {e} _ {2} & = (0,1, ldots , 0) & {} vdots mathbf {e} _ {n} & = (0,0, ldots, 1) end {выравнивается}}}$

Чтобы увидеть, что это базис, обратите внимание, что произвольный вектор в р^п можно записать однозначно в виде

${ displaystyle mathbf {x} = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} mathbf {e} _ {i}.}$

Геометрические свойства и использование

Ориентация

Дело в том, что действительные числа в отличие от многих других поля, составляют упорядоченное поле дает структура ориентации на р^п. Любой полноправный линейная карта р^п самому себе либо сохраняет, либо меняет ориентацию пространства в зависимости от знак из детерминант своей матрицы. Если один переставляет координаты (или, другими словами, элементы основы), итоговая ориентация будет зависеть от четность перестановки.

Диффеоморфизмы из р^п или же домены в нем, чтобы избежать нулевого Якобиан, также классифицируются как сохраняющие ориентацию и меняющие ориентацию. Это имеет важные последствия для теории дифференциальные формы, чьи приложения включают электродинамика.

Еще одним проявлением этой структуры является то, что точечное отражение в р^п имеет разные свойства в зависимости от ровность п. Даже для п сохраняет ориентацию, а при нечетных п он перевернут (см. также неправильное вращение ).

Аффинное пространство

р^п под аффинным пространством понимается то же самое пространство, где р^п как векторное пространство действует к переводы. И наоборот, вектор следует понимать как "разница между двумя точками ", обычно отрезок соединение двух точек. Различие говорит, что нет канонический выбор того, где источник должен идти в аффинном п-пространство, потому что его можно перевести куда угодно.

Выпуклость

В п-симплекс (см. ниже ) - стандартное выпуклое множество, которое отображается в любой многогранник, и является пересечением стандартного (п + 1) аффинная гиперплоскость (стандартное аффинное пространство) и стандартное (п + 1) ортант (стандартный конус).

В реальном векторном пространстве, таком как р^п, можно определить выпуклый конус, который содержит все неотрицательный линейные комбинации его векторов. Соответствующим понятием в аффинном пространстве является выпуклый набор, что позволяет только выпуклые комбинации (неотрицательные линейные комбинации, сумма которых равна 1).

На языке универсальная алгебра, векторное пространство - это алгебра над универсальным векторным пространством р^∞ конечных последовательностей коэффициентов, соответствующих конечным суммам векторов, а аффинное пространство - это алгебра над универсальной аффинной гиперплоскостью в этом пространстве (конечных последовательностей, сумма которых равна 1), конус - это алгебра над универсальной гиперплоскостью. ортодоксальный (конечных последовательностей неотрицательных чисел), а выпуклое множество является алгеброй над универсальным симплекс (конечных последовательностей неотрицательных чисел в сумме до 1). Это геометризует аксиомы в терминах «сумм с (возможными) ограничениями на координаты».

Еще одна концепция выпуклого анализа - это выпуклая функция из р^п к действительным числам, что определяется через неравенство между его значением на выпуклой комбинации точки и сумма значений в тех точках с одинаковыми коэффициентами.

Евклидово пространство

В скалярное произведение

${ displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i} = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + cdots + x_ {n} y_ {n}}$

определяет норма |Икс| = √Икс ⋅ Икс в векторном пространстве р^п. Если каждый вектор имеет свой Евклидова норма, то для любой пары точек расстояние

${ displaystyle d ( mathbf {x}, mathbf {y}) = | mathbf {x} - mathbf {y} | = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} -y_ {i}) ^ {2}}}}$

определяется, обеспечивая метрическое пространство структура на р^п в дополнение к его аффинной структуре.

Что касается структуры векторного пространства, то обычно предполагается, что скалярное произведение и евклидово расстояние существуют в р^п без особых пояснений. Однако настоящая п-пространство и евклидово п-пространство - это, строго говоря, отдельные объекты. Любой евклидов п-пространство имеет система координат где скалярное произведение и евклидово расстояние имеют вид, показанный выше, называемый Декартово. Но есть много Декартовы системы координат в евклидовом пространстве.

И наоборот, приведенная выше формула для евклидовой метрики определяет стандарт Евклидова структура на р^п, но не единственно возможный. Собственно, любой положительно определенная квадратичная форма q определяет свою «дистанцию» √q(Икс − у), но он не сильно отличается от евклидовой в том смысле, что

${ Displaystyle существует C_ {1}> 0, существует C_ {2}> 0, forall mathbf {x}, mathbf {y} in mathbb {R} ^ {n}: C_ { 1} d ( mathbf {x}, mathbf {y}) leq { sqrt {q ( mathbf {x} - mathbf {y})}} leq C_ {2} d ( mathbf {x }, mathbf {y}).}$

Такое изменение метрики сохраняет некоторые ее свойства, например свойство быть метрикой. полное метрическое пространство Отсюда также следует, что любое линейное преобразование полного ранга р^п, или его аффинное преобразование, не увеличивает расстояния больше, чем на некоторые фиксированные C₂, и не делает расстояния меньше, чем 1 ∕ C₁ раз, фиксированное конечное число раз меньше.^{[требуется разъяснение ]}

Упомянутая выше эквивалентность метрических функций остается в силе, если √q(Икс − у) заменяется на M(Икс − у), куда M любой выпуклый положительный однородная функция степени 1, т.е. векторная норма (видеть Расстояние Минковского за полезные примеры). Из-за того, что любая «естественная» метрика на р^п не особо отличается от евклидовой метрики, р^п не всегда отличается от евклидова п-пространство даже в профессиональных математических работах.

В алгебраической и дифференциальной геометрии

Хотя определение многообразие не требует, чтобы его пространство модели было р^п, этот вариант является наиболее распространенным и практически эксклюзивным в дифференциальная геометрия.

С другой стороны, Теоремы вложения Уитни заявляют, что любой настоящий дифференцируемый м-мерное многообразие возможно встроенный в р^2м.

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (апрель 2013)

Другие выступления

Другие конструкции, рассмотренные на р^п включить один из псевдоевклидово пространство, симплектическая структура (четное п), и структура контактов (странный п). Все эти структуры, хотя и могут быть определены безкоординатным образом, допускают стандартные (и достаточно простые) формы в координатах.

р^п также является вещественным векторным подпространством в C^п который инвариантен к комплексное сопряжение; смотрите также комплексирование.

Многогранники в R^п

Есть три семейства многогранники которые имеют простые представления в р^п пространства, для любых п, и может использоваться для визуализации любой аффинной системы координат в реальном п-Космос. Вершины а гиперкуб иметь координаты (Икс₁, Икс₂, … , Икс_п) где каждый Икс_k принимает одно из двух значений, обычно 0 или 1. Однако можно выбрать любые два числа вместо 0 и 1, например −1 и 1. п-гиперкуб можно рассматривать как декартово произведение п идентичный интервалы (такой как единичный интервал [0,1]) на реальной линии. Как п-мерное подмножество его можно описать система 2п неравенство:

${ displaystyle displaystyle { begin {matrix} 0 leq x_ {1} leq 1 vdots 0 leq x_ {n} leq 1 end {matrix}}}$ (за [0,1])

${ displaystyle displaystyle { begin {matrix} | x_ {1} | leq 1 vdots | x_ {n} | leq 1 end {matrix}}}$ (за [−1,1])

Каждая вершина кросс-многогранник для некоторых k, то Икс_k координата равна ±1 а все остальные координаты равны 0 (так что это kth стандартный базисный вектор вплоть до знак ). Это двойственный многогранник гиперкуба. Как п-мерное подмножество его можно описать одним неравенством, которое использует абсолютная величина операция:

${ Displaystyle сумма пределы _ {к = 1} ^ {n} | x_ {k} | Leq 1 ,,}$

но это можно выразить с помощью системы 2^п линейные неравенства.

Третий многогранник с просто перечислимыми координатами - это стандартный симплекс, вершины которого п стандартные базисные векторы и Происхождение (0, 0, … , 0). Как п-мерное подмножество описывается системой п + 1 линейные неравенства:

${ displaystyle { begin {matrix} 0 leq x_ {1} vdots 0 leq x_ {n} sum limits _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} leq 1 end {matrix}}}$

Замена всех «≤» на «<» дает внутренности этих многогранников.

Топологические свойства

В топологическая структура из р^п (называется стандартная топология, Евклидова топология, или же обычная топология) можно получить не только из декартова произведения. Он также идентичен естественная топология индуцированный Евклидова метрика, обсуждаемая выше: набор есть открыто в евклидовой топологии если и только если он содержит открытый мяч вокруг каждой из его точек. Также, р^п это линейное топологическое пространство (видеть непрерывность линейных отображений выше), и существует только одна возможная (нетривиальная) топология, совместимая с ее линейной структурой. Поскольку существует много открытых линейных карт из р^п себе, которые не изометрии, может быть много евклидовых структур на р^п которые соответствуют той же топологии. Собственно, даже от линейной структуры это не сильно зависит: существует множество нелинейных диффеоморфизмы (и другие гомеоморфизмы) р^п на себя или на его части, такие как открытый евклидов шар или внутренность гиперкуба ).

р^п имеет топологическая размерность пВажный результат о топологии р^п, что далеко не поверхностно, Брауэр с неизменность домена. Любое подмножество р^п (с этими топология подпространства ) то есть гомеоморфный к другому открытому подмножеству р^п сам по себе открыт. Непосредственным следствием этого является то, что р^м не является гомеоморфный к р^п если м ≠ п - интуитивно «очевидный» результат, который, тем не менее, трудно доказать.

Несмотря на разницу в топологическом измерении и вопреки наивному представлению, можно отобразить менее размерный^{[требуется разъяснение ]} реальное пространство непрерывно и сюръективно на р^п. Непрерывный (хотя и не плавный) кривая заполнения пространства (изображение р¹) возможно.^{[требуется разъяснение ]}

Примеры

Пустой вектор-столбец единственный элемент р0

р1

п ≤ 1

Случаи 0 ≤ п ≤ 1 не предлагаю ничего нового: р¹ это реальная линия, в то время как р⁰ (пространство, содержащее пустой вектор-столбец) является одиночка, понимаемый как нулевое векторное пространство. Однако полезно включить их как банальный случаи теорий, которые описывают различные п.

п = 2

И гиперкуб, и кросс-многогранник в р² находятся квадраты, но координаты вершин устроены иначе

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (апрель 2013)

п = 3

Куб (гиперкуб) и октаэдр (кросс-многогранник) р³. Координаты не отображаются

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (апрель 2013)

п = 4

р⁴ можно представить, используя тот факт, что 16 точки (Икс₁, Икс₂, Икс₃, Икс₄), где каждый Икс_k 0 или 1, являются вершинами тессеракт (на фото), 4-гиперкуб (см. над ).

Первое крупное использование р⁴ это пространство-время модель: три пространственные координаты плюс одна временный. Обычно это связано с теория относительности, хотя для таких моделей использовались четыре размера, поскольку Галилей. Однако выбор теории приводит к иной структуре: в Галилея относительность то т координата является привилегированной, но в теории относительности Эйнштейна это не так. Специальная теория относительности установлена ​​в Пространство Минковского. Общая теория относительности использует искривленные пространства, которые можно рассматривать как р⁴ с изогнутая метрика для большинства практических целей. Ни одна из этих структур не обеспечивает (положительно-определенного) метрика на р⁴.

Евклидово р⁴ также привлекает внимание математиков, например, из-за его связи с кватернионы, 4-мерный действительная алгебра самих себя. Видеть вращения в 4-мерном евклидовом пространстве для некоторой информации.

В дифференциальной геометрии п = 4 это единственный случай, когда р^п допускает нестандартный дифференциальная структура: видеть экзотический R⁴.

Нормы по р^п

Можно определить много норм на векторное пространство р^п. Некоторые общие примеры:

• то p-норма, определяется ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ {p}: = { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p }}}}$ для всех ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ р^п куда ${ displaystyle p}$ положительное целое число. Дело ${ displaystyle p = 2}$ очень важно, потому что именно Евклидова норма.
• то ${ displaystyle infty}$-norm или максимальная норма, определяется ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ { infty}: = max {x_ {1}, dots, x_ {n} }}$ для всех ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ р^п. Это предел всех р-нормы: ${ displaystyle || { textbf {x}} || _ { infty} = lim limits _ {p to infty} { sqrt [{p}] { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p}}}}$.

Действительно удивительный и полезный результат заключается в том, что каждая норма, определенная на р^п является эквивалент. Это означает, что для двух произвольных норм ${ displaystyle || cdot ||}$ и ${ Displaystyle || cdot || ^ { prime}}$ на р^п вы всегда можете найти положительные действительные числа ${ displaystyle alpha, beta> 0}$, так что

${ displaystyle alpha cdot || { textbf {x}} || leq || { textbf {x}} || ^ { prime} leq beta cdot || { textbf {x} } ||}$ для всех ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ р^п.

Это определяет отношение эквивалентности по набору всех норм на р^п. С помощью этого результата вы можете проверить, что последовательность векторов в р^п сходится с ${ displaystyle || cdot ||}$ тогда и только тогда, когда он сходится с ${ Displaystyle || cdot || ^ { prime}}$.

Вот набросок того, как может выглядеть доказательство этого результата:

Из-за отношение эквивалентности достаточно показать, что каждая норма на р^п эквивалентен Евклидова норма ${ displaystyle || cdot || _ {2}}$. Позволять ${ displaystyle || cdot ||}$ - произвольная норма на р^п. Доказательство делится на два этапа:

• Покажем, что существует ${ displaystyle beta> 0}$, так что ${ displaystyle || { textbf {x}} || leq beta cdot || { textbf {x}} || _ {2}}$ для всех ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ р^п. На этом этапе вы используете тот факт, что каждый ${ displaystyle { textbf {x}} = (x_ {1}, dots, x_ {n}) in}$ р^п можно представить как линейную комбинацию стандартных основа: ${ displaystyle { textbf {x}} = sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} cdot x_ {i}}$. Затем с Неравенство Коши – Шварца ${ displaystyle || { textbf {x}} || = left | left | sum _ {i = 1} ^ {n} e_ {i} cdot x_ {i} right | right | leq sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || cdot | x_ {i} | leq { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || ^ {2}}} cdot { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}} = beta cdot || { textbf {x}} || _ {2}}$, куда ${ displaystyle beta: = { sqrt { sum _ {i = 1} ^ {n} || e_ {i} || ^ {2}}}}$.
• Теперь нам нужно найти ${ displaystyle alpha> 0}$, так что ${ displaystyle alpha cdot || { textbf {x}} || _ {2} leq || { textbf {x}} ||}$ для всех ${ displaystyle { textbf {x}} in}$ р^п. Предположим, что такого ${ displaystyle alpha}$. Тогда существует для каждого ${ Displaystyle к в mathbb {N}}$ а ${ displaystyle { textbf {x}} _ {k} in}$ р^п, так что ${ displaystyle || { textbf {x}} _ {k} || _ {2}> k cdot || { textbf {x}} _ {k} ||}$. Определите вторую последовательность ${ displaystyle ({ тильда { textbf {x}}} _ {k}) _ {k in mathbb {N}}}$ к ${ displaystyle { tilde { textbf {x}}} _ {k}: = { frac {{ textbf {x}} _ {k}} {|| { textbf {x}} _ {k} || _ {2}}}}$. Эта последовательность ограничена, потому что ${ displaystyle || { тильда { textbf {x}}} _ {k} || _ {2} = 1}$. Так что из-за Теорема Больцано – Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность ${ displaystyle ({ тильда { textbf {x}}} _ {k_ {j}}) _ {j in mathbb {N}}}$ с лимитом ${ displaystyle { textbf {a}} in}$ р^п. Теперь покажем, что ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = 1}$ но ${ displaystyle { textbf {a}} = { textbf {0}}}$, что противоречит. это ${ displaystyle || { textbf {a}} || leq || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || + || { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || leq beta cdot || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ { j}} || _ {2} + { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ {2}}} { overset {j to infty} { to}} 0}$, потому что ${ displaystyle || { textbf {a}} - { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || to 0}$ и ${ displaystyle 0 leq { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ { 2}}} <{ frac {1} {k_ {j}}}}$, так ${ displaystyle { frac {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} ||} {|| { textbf {x}} _ {k_ {j}} || _ {2}} } в 0}$. Из этого следует ${ displaystyle || { textbf {a}} || = 0}$, так ${ displaystyle { textbf {a}} = { textbf {0}}}$. С другой стороны ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = 1}$, потому что ${ displaystyle || { textbf {a}} || _ {2} = || lim limits _ {j to infty} { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j} } || _ {2} = lim limits _ {j to infty} || { tilde { textbf {x}}} _ {k_ {j}} || _ {2} = 1}$. Это никогда не может быть правдой, поэтому предположение было ложным и существует такое ${ displaystyle alpha> 0}$.

Смотрите также

• Экспоненциальный объект, для теоретического объяснения надстрочной записи
• Реальное проективное пространство

Сноски

Рекомендации

• Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90125-6.
• Мункрес, Джеймс (1999). Топология. Прентис-Холл. ISBN  0-13-181629-2.