Изометрия - Isometry

В математика, изометрия (или же соответствие, или же конгруэнтное преобразование) это расстояние -сохраняющее преобразование между метрические пространства, обычно считается биективный.^[1]

А сочинение из двух противоположный изометрии - это прямая изометрия. Отражение в линии - противоположная изометрия, например

р 1

или же

р 2

на рисунке. Перевод

Т

прямая изометрия: жесткое движение.^[2]

Вступление

Учитывая метрическое пространство (грубо говоря, набор и схему для определения расстояний между элементами набора), изометрия - это трансформация который сопоставляет элементы с тем же или другим метрическим пространством, так что расстояние между элементами изображения в новом метрическом пространстве равно расстоянию между элементами в исходном метрическом пространстве. В двухмерном или трехмерном Евклидово пространство, две геометрические фигуры конгруэнтный если они связаны изометрией;^[3] изометрия, которая их связывает, представляет собой либо жесткое движение (поступательное движение или вращение), либо сочинение жесткого движения и отражение.

Изометрии часто используются в конструкциях, где одно пространство встроенный в другом пространстве. Например, завершение метрического пространства M включает изометрию из M в M ', а набор частных пространства Последовательности Коши на M. Оригинальное пространство M таким образом изометрически изоморфный в подпространство полное метрическое пространство, и его обычно отождествляют с этим подпространством. Другие конструкции вложения показывают, что каждое метрическое пространство изометрически изоморфно закрытое подмножество некоторых нормированное векторное пространство и что каждое полное метрическое пространство изометрически изоморфно замкнутому подмножеству некоторого Банахово пространство.

Изометрический сюръективный линейный оператор на Гильбертово пространство называется унитарный оператор.

Определение изометрии

Позволять Икс и Y быть метрические пространства с метриками d_Икс и d_Y. А карта ж : Икс → Y называется изометрия или же сохранение расстояния если для любого а,б ∈ Икс надо

{ displaystyle d_ {Y} ! left (f (a), f (b) right) = d_ {X} (a, b).}

^[4]

Изометрия выполняется автоматически инъективный;^[1] в противном случае две разные точки, а и б, можно было бы отобразить в одну и ту же точку, что противоречит аксиоме совпадения метрики d. Это доказательство аналогично доказательству того, что заказать встраивание между частично упорядоченные наборы инъективно. Ясно, что любая изометрия между метрическими пространствами является топологическим вложением.

А глобальная изометрия, изометрический изоморфизм или же сопоставление это биективный изометрия. Как и любая другая биекция, глобальная изометрия имеет обратная функция. Обратное к глобальной изометрии также является глобальной изометрией.

Два метрических пространства Икс и Y называются изометрический если существует биективная изометрия из Икс к Y. В набор биективных изометрий из метрического пространства в себя образует группа относительно функциональная композиция, называется группа изометрии.

Есть также более слабое понятие изометрия пути или же дуговая изометрия:

А изометрия пути или же дуговая изометрия карта, сохраняющая длины кривых; такое отображение не обязательно является изометрией в смысле сохранения расстояния, и оно не обязательно должно быть биективным или даже инъективным. Этот термин часто сокращают до просто изометрия, поэтому следует позаботиться о том, чтобы определить из контекста, какой тип предназначен.

Примеры

Любой отражение, перевод и вращение является глобальной изометрией на Евклидовы пространства. Смотрите также Евклидова группа и Евклидово пространство § Изометрии.
Карта ${ Displaystyle х mapsto | х |}$ в ${ Displaystyle { mathbb {R}}}$ представляет собой изометрию пути, но не изометрию. Обратите внимание, что в отличие от изометрии, это не инъективно.

Изометрии между нормированными пространствами

Следующая теорема принадлежит Мазуру и Уламу.

Определение:^[5] В середина из двух элементов

Икс

и

у

в векторном пространстве - это вектор

1 / 2 (Икс + у)

.

Теорема^[5]^[6] — Позволять $А : Икс \to Y$ быть сюръективной изометрией между нормированные пространства который отображает 0 в 0 (Стефан Банах назвал такие карты вращения) где отметим, что $А$ является нет предполагается, что это линейный изометрия. потом $А$ отображает средние точки в средние точки и является линейным, как карта по действительным числам $ℝ$ . Если $Икс$ и $Y$ комплексные векторные пространства, то $А$ может не быть линейным, как карта $ℂ$ .

Линейная изометрия

Учитывая два нормированные векторные пространства ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ , а линейная изометрия это линейная карта ${ displaystyle A: V to W}$ что сохраняет нормы:

{ Displaystyle | Av | = | v |}

для всех ${ displaystyle v in V}$ .^[7] Линейные изометрии - это карты, сохраняющие расстояние в указанном выше смысле. Они являются глобальными изометриями тогда и только тогда, когда они сюръективный.

В внутреннее пространство продукта, приведенное выше определение сводится к

{ Displaystyle langle v, v rangle = langle Av, Av rangle}

для всех ${ displaystyle v in V}$ , что эквивалентно утверждению, что ${ displaystyle A ^ { dagger} A = operatorname {I} _ {V}}$ . Это также означает, что изометрии сохраняют внутренние продукты, поскольку

{ displaystyle langle Au, Av rangle = langle u, A ^ { dagger} Av rangle = langle u, v rangle.}

Линейные изометрии не всегда унитарные операторы, хотя, поскольку они требуют дополнительно, чтобы ${ Displaystyle V = W}$ и ${ displaystyle AA ^ { dagger} = operatorname {I} _ {V}}$ .

Посредством Теорема Мазура – Улама, любая изометрия нормированных векторных пространств над р является аффинный.

Примеры

Изометрические линейные карты из C^п себе даются унитарные матрицы.^[8]^[9]^[10]^[11]

Коллекторы

Изометрия многообразие - любое (гладкое) отображение этого многообразия в себя или в другое многообразие, сохраняющее понятие расстояния между точками. Определение изометрии требует понятия метрика на коллекторе; многообразие с (положительно определенной) метрикой является Риманово многообразие, один с индефинитной метрикой является псевдориманово многообразие. Таким образом, изометрии изучаются в Риманова геометрия.

А локальная изометрия от одного (псевдо -)Риманово многообразие другому - карта, которая тянет обратно в метрический тензор на втором многообразии к метрическому тензору на первом. Когда такая карта тоже диффеоморфизм, такое отображение называется изометрия (или же изометрический изоморфизм), и дает понятие изоморфизм («одинаковость») в категория Rm римановых многообразий.

Определение

Позволять ${ Displaystyle R = (М, г)}$ и ${ Displaystyle R '= (М', г ')}$ - два (псевдо) риманова многообразия, и пусть ${ displaystyle f: R to R '}$ - диффеоморфизм. потом ${ displaystyle f}$ называется изометрия (или же изометрический изоморфизм) если

{ Displaystyle г = е ^ {*} г ', ,}

куда ${ displaystyle f ^ {*} g '}$ обозначает откат метрического тензора ранга (0, 2) ${ displaystyle g '}$ к ${ displaystyle f}$ . Эквивалентно с точки зрения продвигать ${ displaystyle f _ {*}}$ , у нас есть это для любых двух векторных полей ${ displaystyle v, w}$ на ${ displaystyle M}$ (т.е. разделы касательный пучок ${ displaystyle mathrm {T} M}$ ),

{ displaystyle g (v, w) = g ' left (f _ {*} v, f _ {*} w right). ,}

Если ${ displaystyle f}$ это локальный диффеоморфизм такой, что ${ displaystyle g = f ^ {*} g '}$ , тогда ${ displaystyle f}$ называется локальная изометрия.

Характеристики

Набор изометрий обычно образует группу, группа изометрии. Когда группа непрерывная группа, то бесконечно малые генераторы группы являются Убивающие векторные поля.

В Теорема Майерса – Стинрода. утверждает, что любая изометрия между двумя связными римановыми многообразиями является гладкой (дифференцируемой). Вторая форма этой теоремы утверждает, что группа изометрий риманова многообразия является Группа Ли.

Римановы многообразия которые имеют изометрии, определенные в каждой точке, называются симметричные пространства.

Обобщения

Для положительного действительного числа ε ε-изометрия или же почти изометрия (также называемый Хаусдорф приближение) - это карта ${ displaystyle f: от X до Y}$ $е: от X до Y$ между метрическими пространствами такими, что
1. за Икс,Икс′ ∈ Икс есть |d_Y(ƒ (Икс), ƒ (Икс′))−d_Икс(Икс,Икс′) | <ε, и
2. для любой точки у ∈ Y есть точка Икс ∈ Икс с d_Y(у, ƒ (Икс)) <ε

То есть ε-изометрия сохраняет расстояния с точностью до ε и не оставляет никаких элементов содомена дальше, чем ε от изображения элемента области. Обратите внимание, что ε-изометрии не считаются непрерывный.

В свойство ограниченной изометрии характеризует почти изометрические матрицы для разреженных векторов.
Квазиизометрия еще одно полезное обобщение.
Можно также определить элемент абстрактной унитальной C * -алгебры как изометрию:
${ displaystyle a in { mathfrak {A}}}$ является изометрией тогда и только тогда, когда ${ Displaystyle а ^ {*} cdot а = 1}$ .

Обратите внимание, что, как упоминалось во введении, это не обязательно унитарный элемент, потому что, как правило, левый обратный не является правым обратным.

На псевдоевклидово пространство, период, термин изометрия означает, что линейная биекция сохраняет величину. Смотрите также Квадратичные пространства.

Смотрите также

Библиография

Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл Наука / Инженерия / Математика. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шефер, Гельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Вилански, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Библиография

Кокстер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию, второе издание. Wiley. ISBN 9780471504580.
Ли, Джеффри М. (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4815-9.

[CoxeterIsometryDef-1] а ^б Кокстер 1969, п. 29
"Мы сочтем удобным использовать слово трансформация в особом смысле взаимно однозначного соответствия ${ Displaystyle P to P '}$ среди всех точек на плоскости (или в пространстве), то есть правило для связывания пар точек, с пониманием того, что каждая пара имеет первый член $п$ и второй член $П'$ и что каждая точка встречается как первый член только одной пары, а также как второй член только одной пары ...
В частности, изометрия (или «конгруэнтное преобразование» или «конгруэнтность») - это преобразование, которое сохраняет длину ... »

[2] Кокстер 1969, п. 46
3.51 Любая прямая изометрия - это либо перенос, либо вращение. Любая противоположная изометрия является либо отражением, либо скользящим отражением.

[3] Кокстер 1969, п. 39
3.11 Любые два конгруэнтных треугольника связаны единственной изометрией.

[4] Beckman, F. S .; Куорлз, Д. А., младший (1953). «Об изометриях евклидовых пространств» (PDF). Труды Американского математического общества. 4 (5): 810–815. Дои:10.2307/2032415. JSTOR 2032415. МИСТЕР 0058193.
Позволять $Т$ - преобразование (возможно, многозначное) ${ displaystyle E ^ {n}}$ ( ${ Displaystyle 2 Leq п < infty}$ ) в себя.
Позволять ${ displaystyle d (p, q)}$ расстояние между точками $п$ и $q$ из ${ displaystyle E ^ {n}}$ , и разреши $Tp$ , $Tq$ быть любыми изображениями $п$ и $q$ , соответственно.
Если есть длина $а$ > 0 такой, что ${ Displaystyle d (Tp, Tq) = а}$ в любое время ${ displaystyle d (p, q) = a}$ , тогда $Т$ является евклидовым преобразованием ${ displaystyle E ^ {n}}$ на себя.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275-339-5] а ^б Наричи и Бекенштейн 2011 С. 275-339.

[FOOTNOTEWilansky201321-26-6] Виланский 2013, стр. 21-26.

[Thomsen_2017_p125-7] Томсен, Джеспер Фанч (2017). Линейная алгебра [Линейная алгебра] (на датском). Орхус: математический факультет Орхусского университета. п. 125.

[8] Roweis, S.T .; Саул, Л. К. (2000). «Снижение нелинейной размерности локально линейным вложением». Наука. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313. Дои:10.1126 / science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[9] Саул, Лоуренс К .; Роуейс, Сэм Т. (2003). «Мыслите глобально, подходите локально: обучение нелинейным многообразиям без учителя». Журнал исследований в области машинного обучения. 4 (Июнь): 119–155. Квадратичная оптимизация ${ Displaystyle mathbf {M} = (I-W) ^ { top} (I-W)}$ (стр. 135) так, что ${ Displaystyle mathbf {M} Equiv YY ^ { top}}$

[10] Чжан, Чжэньюэ; Чжа, Хунюань (2004). "Основные многообразия и уменьшение нелинейной размерности посредством локального выравнивания касательного пространства". Журнал SIAM по научным вычислениям. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957. Дои:10,1137 / с1064827502419154.

[11] Чжан, Чжэньюэ; Ван, Цзин (2006). «MLLE: модифицированное локально линейное вложение с использованием множественных весов». Достижения в системах обработки нейронной информации. 19. Он может найти идеальное вложение, если MLLE применяется к точкам данных, выбранным из изометрического коллектора.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Изометрия - Isometry

Содержание

Вступление

Определение изометрии

Изометрии между нормированными пространствами

Линейная изометрия

Коллекторы

Определение

Характеристики

Обобщения

Смотрите также

Рекомендации

Библиография

Библиография