Теорема Мазура – ​​Улама - Википедия - Mazur–Ulam theorem

В математике Теорема Мазура – ​​Улама заявляет, что если ${ displaystyle V}$ и ${ displaystyle W}$ находятся нормированные пространства над р и отображение

${ displaystyle f двоеточие с V на W}$

сюръективно изометрия, тогда ${ displaystyle f}$ является аффинный.

Он назван в честь Станислав Мазур и Станислав Улам в ответ на вопрос, поднятый Стефан Банах. За строго выпуклые пространства результат верен и прост даже для изометрий, которые не обязательно сюръективны. В этом случае для любого ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ в ${ displaystyle V}$, и для любого ${ displaystyle t}$ в ${ displaystyle [0,1]}$, обозначая ${ displaystyle r: = | u-v | _ {V} = | f (u) -f (v) | _ {W}}$, есть это ${ displaystyle tu + (1-t) v}$ уникальный элемент ${ displaystyle { bar {B}} (v, tr) cap { bar {B}} (u, (1-t) r)}$Итак, будучи ${ displaystyle f}$ инъективный, ${ Displaystyle f (tu + (1-t) v)}$ уникальный элемент ${ displaystyle f { big (} { bar {B}} (v, tr) cap { bar {B}} (u, (1-t) r { big)} = f { big ( } { bar {B}} (v, tr) { big)} cap f { big (} { bar {B}} (u, (1-t) r { big)} = { бар {B}} { big (} f (v), tr { big)} cap { bar {B}} { big (} f (u), (1-t) r { big) }}$, а именно ${ Displaystyle tf (u) + (1-t) f (v)}$. Следовательно ${ displaystyle f}$ является аффинным отображением. Этот аргумент не работает в общем случае, потому что в нормированном пространстве, которое не является строго выпуклым, два касательных шара могут встретиться в некоторой плоской выпуклой области их границы, а не только в одной точке.

Рекомендации

• Ричард Дж. Флеминг; Джеймс Э. Джеймисон (2003). Изометрии на банаховых пространствах: функциональные пространства. CRC Press. п. 6. ISBN  1-58488-040-6.
• Станислав Мазур; Станислав Улам (1932). "Sur les трансформации isométriques d'espaces vectoriels norm". C. R. Acad. Sci. Париж. 194: 946–948.
• Юсси Вяйсяля (2003). «Доказательство теоремы Мазур-Улама». Американский математический ежемесячник. 110 (7): 633–635.

внешняя ссылка

• Ника, Богдан (2013). "Доказательство теоремы Мазура – ​​Улама в предположении ж биективно ". arXiv:1306.2380. Цитировать журнал требует | журнал = (помощь)
• Вяйсяля, Юсси. «Доказательство теоремы Мазура – ​​Улама» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) 16 мая 2018 г.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.