Унитарный оператор - Unitary operator

В функциональный анализ, филиал математика, а унитарный оператор это сюръективный ограниченный оператор на Гильбертово пространство сохранение внутренний продукт. Унитарные операторы обычно рассматриваются как операционные на гильбертово пространство, но это же понятие служит для определения концепции изоморфизм между Гильбертовые пространства.

А унитарный элемент является обобщением унитарного оператора. В унитальная алгебра, элемент $U$ алгебры называется унитарным элементом, если $U * U = UU * = я$ ,куда $я$ является элементом идентичности.^[1]

Определение

Определение 1. А унитарный оператор это ограниченный линейный оператор $U : ЧАС \to ЧАС$ в гильбертовом пространстве $ЧАС$ это удовлетворяет $U * U = UU * = я$ , куда $U *$ это прилегающий из $U$ , и $я : ЧАС \to ЧАС$ это личность оператор.

Более слабое состояние $U * U = я$ определяет изометрия. Другое условие, $UU * = я$ , определяет коизометрия. Таким образом, унитарный оператор - это ограниченный линейный оператор, который одновременно является изометрией и коизометрией,^[2] или, что то же самое, сюръективный изометрия.^[3]

Эквивалентное определение следующее:

Определение 2. А унитарный оператор - линейный ограниченный оператор $U : ЧАС \to ЧАС$ в гильбертовом пространстве $ЧАС$ для которых справедливо следующее:

$U$ является сюръективный, и
$U$ сохраняет внутренний продукт гильбертова пространства, $ЧАС$ . Другими словами, для всех векторов $Икс$ и $у$ в $ЧАС$ у нас есть:

{ displaystyle langle Ux, Uy rangle _ {H} = langle x, y rangle _ {H}.}

Понятие изоморфизма в категория из гильбертовых пространств захватывается, если домен и диапазон могут отличаться в этом определении. Изометрии сохраняют Последовательности Коши, следовательно полнота свойство гильбертовых пространств сохраняется^[4]

Следующее, казалось бы, более слабое определение также эквивалентно:

Определение 3. А унитарный оператор - линейный ограниченный оператор $U : ЧАС \to ЧАС$ в гильбертовом пространстве $ЧАС$ для которых справедливо следующее:

диапазон $U$ является плотный в $ЧАС$ , и
$U$ сохраняет скалярное произведение гильбертова пространства, $ЧАС$ . Другими словами, для всех векторов $Икс$ и $у$ в $ЧАС$ у нас есть:

{ displaystyle langle Ux, Uy rangle _ {H} = langle x, y rangle _ {H}.}

Чтобы убедиться, что определения 1 и 3 эквивалентны, обратите внимание, что $U$ сохранение внутреннего продукта подразумевает $U$ является изометрия (таким образом, ограниченный линейный оператор ). Дело в том, что $U$ имеет плотный диапазон, гарантирует, что он имеет ограниченный обратный $U -1$ . Ясно, что $U -1 = U *$ .

Таким образом, унитарные операторы просто автоморфизмы гильбертовых пространств, т.е. они сохраняют структуру (в данном случае линейную структуру пространства, скалярное произведение и, следовательно, топология ) пространства, на котором они действуют. В группа всех унитарных операторов из данного гильбертова пространства $ЧАС$ сам по себе иногда называют Группа гильберта из $ЧАС$ , обозначенный $Хильб (ЧАС)$ или же $U (ЧАС)$ .

Примеры

В функция идентичности тривиально является унитарным оператором.
Вращения в $р 2$ являются простейшим нетривиальным примером унитарных операторов. Вращения не изменяют длину вектора или угол между двумя векторами. Этот пример можно расширить до $р 3$ .
На векторное пространство $C$ из сложные числа, умножение на число абсолютная величина $1$ , то есть число вида $е iθ$ за $θ \in р$ , - унитарный оператор. $θ$ называется фазой, а это умножение называется умножением на фазу. Обратите внимание, что значение $θ$ по модулю $2 π$ не влияет на результат умножения, поэтому независимые унитарные операторы на $C$ параметризованы кружком. Соответствующая группа, представляющая собой круг, называется $U (1)$ .
В более общем смысле, унитарные матрицы являются в точности унитарными операторами на конечномерных Гильбертовы пространства, поэтому понятие унитарного оператора является обобщением понятия унитарной матрицы. Ортогональные матрицы являются частным случаем унитарных матриц, в которых все элементы действительны. Они являются унитарными операторами на $р п$ .
В двусторонний сдвиг на пространство последовательности $ℓ 2$ индексируется целые числа унитарен. В общем, любой оператор в гильбертовом пространстве, действующий путем перестановки ортонормированный базис унитарен. В конечномерном случае такими операторами являются матрицы перестановок.
В односторонний сдвиг (сдвиг вправо) - изометрия; его сопряжение (сдвиг влево) - коизометрия.
В Оператор Фурье - унитарный оператор, т.е. оператор, выполняющий преобразование Фурье (с правильной нормализацией). Это следует из Теорема Парсеваля.
Унитарные операторы используются в унитарные представления.
Квантовые логические ворота являются унитарными операторами. Не все ворота Эрмитский.

Линейность

Требование линейности в определении унитарного оператора можно отбросить без изменения смысла, поскольку оно может быть выведено из линейности и положительной определенности оператора скалярное произведение:

{ Displaystyle { begin {align} | лямбда U (х) -U ( лямбда х) | ^ {2} & = лямбда лямбда U (х) -U ( лямбда х), лямбда U (x) -U ( lambda x) rangle & = | lambda U (x) | ^ {2} + | U ( lambda x) | ^ {2} - langle U ( lambda x), lambda U (x) rangle - langle lambda U (x), U ( lambda x) rangle & = | lambda | ^ {2} | U (x) | ^ {2} + | U ( lambda x) | ^ {2} - { overline { lambda}} langle U ( lambda x), U (x) rangle - lambda langle U (x), U ( lambda x) rangle & = | lambda | ^ {2} | x | ^ {2} + | lambda x | ^ {2} - { overline { lambda}} langle lambda x, x rangle - lambda langle x, lambda x rangle & = 0 end {выравнивается}}}

Аналогично вы получаете

{ Displaystyle | U (х + y) - (Ux + Uy) | = 0.}

Характеристики

В спектр унитарного оператора $U$ лежит на единичной окружности. То есть для любого комплексного числа $λ$ в спектре $| λ | = 1$ . Это можно рассматривать как следствие спектральная теорема за нормальные операторы. По теореме $U$ унитарно эквивалентно умножению на измеримое по Борелю $ж$ на $L 2 (μ)$ , для некоторого пространства конечной меры $(Икс, μ)$ . Сейчас же $UU * = я$ подразумевает $| ж (Икс)| 2 = 1$ , $μ$ -a.e. Это показывает, что существенный диапазон $ж$ , поэтому спектр $U$ , лежит на единичной окружности.
Линейное отображение унитарно, если оно сюръективно и изометрично. (Использовать Поляризационная идентичность чтобы показать только если часть.)

Смотрите также

Сноски

^ Доран и Белфи 1986, п. 55
^ Халмос 1982, Разд. 127, стр. 69
^ Конвей 1990, Предложение I.5.2
^ Конвей 1990, Определение I.5.1

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Гильбертовы пространства
Базовые концепты	Примыкающий Внутренний продукт и L-полувнутренний продукт Гильбертово пространство и Предгильбертово пространство
Основные результаты	Неравенство Бесселя Неравенство Коши – Шварца Представительство Рисса
Другие результаты	Личность Парсеваля Поляризационная идентичность
Карты	Компактный оператор в гильбертовом пространстве Плотно очерченный Эрмитова форма Гильберта-Шмидта Нормальный Самосопряженный Полуторалинейная форма Класс трассировки Унитарный
Примеры	C^п(K) с K компактный и п<∞ Сегал – Баргманн F