Последовательность Коши - Cauchy sequence

(а) Сюжет Коши последовательность ${displaystyle (x_ {n}),}$ показано синим цветом, как ${displaystyle x_ {n}}$ против ${displaystyle n}$. Если пространство, содержащее последовательность, заполнено, «конечный пункт назначения» этой последовательности (то есть предел) существует.

(б) Последовательность, не являющаяся Коши. В элементы последовательности не могут произвольно приблизиться друг к другу по мере ее продвижения.

В математика, а Последовательность Коши (Французское произношение:[koʃi]; Английский: /ˈkoʊʃя/ КОН-ши ), названный в честь Огюстен-Луи Коши, это последовательность чей элементы становятся произвольно близкими друг к другу по мере развития последовательности.^[1] Точнее, при любом небольшом положительном расстоянии все элементы последовательности, кроме конечного, меньше указанного расстояния друг от друга.

Недостаточно, чтобы каждый член произвольно приближался к предшествующий срок. Например, в последовательности квадратных корней натуральных чисел:

${displaystyle a_ {n} = {sqrt {n}},}$

последовательные члены становятся произвольно близкими друг к другу:

${displaystyle a_ {n + 1} -a_ {n} = {sqrt {n + 1}} - {sqrt {n}} = {frac {1} {{sqrt {n + 1}} + {sqrt {n}) }}} <{frac {1} {2 {sqrt {n}}}}.}$

Однако с ростом значений индекса п, условия а_п стать произвольно большим. Итак, для любого индекса п и расстояние d, существует индекс м достаточно большой, чтобы а_м – а_п > d. (Собственно, любой м > (√п + d)² достаточно.) В результате, несмотря на то, как далеко зайти, оставшиеся члены последовательности никогда не приблизятся к друг друга, следовательно, последовательность не коши.

Полезность последовательностей Коши заключается в том, что в полное метрическое пространство (тот, где все такие последовательности известны сходиться к пределу ) критерий конвергенция зависит только от условий самой последовательности, в отличие от определения сходимости, которое использует предельное значение, а также термины. Это часто используется в алгоритмы, как теоретические, так и прикладные, где итерационный процесс относительно легко можно показать, что она создает последовательность Коши, состоящую из итераций, таким образом выполняя логическое условие, такое как завершение.

Более абстрактные обобщения последовательностей Коши равномерные пространства существуют в виде Фильтры Коши и Сети Коши.

В реальных цифрах

Последовательность

${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ldots}$

действительных чисел называется последовательностью Коши, если для каждого положительный настоящий номер ε, есть положительный целое число N такой, что для всех натуральные числа м, п > N

${displaystyle | x_ {m} -x_ {n} |$

где вертикальные полосы обозначают абсолютная величина. Аналогичным образом можно определить последовательности Коши рациональных или комплексных чисел. Коши сформулировал такое условие, потребовав ${displaystyle x_ {m} -x_ {n}}$ быть бесконечно малый для каждой пары бесконечных м, п.

Для любого реального числа р, последовательность усеченных десятичных разложений р образует последовательность Коши. Например, когда р = π, эта последовательность есть (3, 3.1, 3.14, 3.141, ...). В мй и птермы отличаются не более чем на 10^1−м когда м < п, и, как м растет, становится меньше любого фиксированного положительного числа ε.

Модуль сходимости Коши

Если ${displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, ...)}$ последовательность из множества ${displaystyle X}$, затем модуль сходимости Коши поскольку последовательность - это функция ${displaystyle alpha}$ из набора натуральные числа себе, так что ${displaystyle forall kforall m, n> alpha (k), | x_ {m} -x_ {n} | <1 / k}$.

Любая последовательность с модулем сходимости Коши является последовательностью Коши. Существование модуля у последовательности Коши следует из в хорошем состоянии натуральных чисел (пусть ${displaystyle alpha (k)}$ быть как можно меньше ${displaystyle N}$ в определении последовательности Коши, взяв ${displaystyle r}$ быть ${displaystyle 1 / k}$). Существование модуля следует также из принципа зависимый выбор, которая является слабой формой выбранной аксиомы, а также следует из еще более слабого условия, называемого AC₀₀. Регулярные последовательности Коши - последовательности с заданным модулем сходимости по Коши (обычно ${displaystyle alpha (k) = k}$ или же ${displaystyle alpha (k) = 2 ^ {k}}$). Любая последовательность Коши с модулем сходимости Коши эквивалентна регулярной последовательности Коши; это может быть доказано без использования какой-либо аксиомы выбора.

Модули сходимости Коши используются конструктивными математиками, которые не хотят использовать какую-либо форму выбора. Использование модуля сходимости Коши может упростить как определения, так и теоремы конструктивного анализа. Регулярные последовательности Коши использовались Эрретт Бишоп в его Основы конструктивного анализа, и по Дуглас Бриджес в неконструктивном учебнике (ISBN  978-0-387-98239-7).

В метрическом пространстве

Поскольку определение последовательности Коши включает только метрические понятия, его несложно обобщить на любое метрическое пространство. Икс. Для этого абсолютное значение |Икс_м - Икс_п| заменяется расстоянием d(Икс_м, Икс_п) (куда d обозначает метрика ) между Икс_м и Икс_п.

Формально, учитывая метрическое пространство (Икс, d), последовательность

Икс₁, Икс₂, Икс₃, ...

является Коши, если для каждого положительного настоящий номер ε > 0 есть положительный целое число N такой, что для всех натуральных чисел м, п > N, Расстояние

d(Икс_м, Икс_п) < ε.

Грубо говоря, члены последовательности становятся все ближе и ближе друг к другу, что предполагает, что последовательность должна иметь предел в Икс. Тем не менее, такой предел не всегда существует в пределах Икс: свойство пространства, состоящее в том, что каждая последовательность Коши сходится в пространстве, называется полнота, и подробно описано ниже.

Полнота

Метрическое пространство (Икс, d), в котором каждая последовательность Коши сходится к элементу из Икс называется полный.

Примеры

В действительные числа полны относительно метрики, индуцированной обычным модулем, и одной из стандартных конструкции действительных чисел включает в себя последовательности Коши рациональное число. В этой конструкции каждый класс эквивалентности последовательностей Коши рациональных чисел с определенным поведением хвоста, то есть каждый класс последовательностей, которые сколь угодно близки друг к другу, является действительным числом.

Совсем другой пример - метрическое пространство Икс который имеет дискретная метрика (где любые две различные точки находятся на расстоянии 1 друг от друга). Любая последовательность Коши элементов Икс должен быть постоянным за пределами некоторой фиксированной точки и сходиться к повторяющемуся члену.

Не пример: рациональные числа

В рациональное число Q не полные (для обычного расстояния):
Есть последовательности рациональных чисел, которые сходятся (в р) к иррациональные числа; это последовательности Коши, не имеющие предела в Q. На самом деле, если действительное число Икс иррационально, то последовательность (Икс_п), чей п-й член - это усечение до п десятичные разряды десятичного разложения Икс, дает последовательность рациональных чисел Коши с иррациональным пределом Икс. Безусловно, иррациональные числа существуют в р, Например:

• Последовательность, определяемая ${displaystyle x_ {0} = 1, x_ {n + 1} = {frac {x_ {n} + {frac {2} {x_ {n}}}} {2}}}$ состоит из рациональных чисел (1, 3/2, 17/12, ...), что ясно из определения; однако он сходится к иррациональный квадратный корень из двух, см. Вавилонский метод вычисления квадратного корня.
• Последовательность ${displaystyle x_ {n} = F_ {n} / F_ ​​{n-1}}$ соотношений последовательных Числа Фибоначчи который, если он вообще сходится, сходится к пределу ${displaystyle phi}$ удовлетворение ${displaystyle phi ^ {2} = phi +1}$, и ни одно рациональное число не обладает этим свойством. Однако, если рассматривать это как последовательность действительных чисел, она сходится к действительному числу. ${displaystyle varphi = (1+ {sqrt {5}}) / 2}$, то Золотое сечение, что иррационально.
• Значения экспоненты, синуса и косинуса, exp (Икс), грех (Икс), cos (Икс), как известно, иррациональны при любом рациональном значении Икс≠ 0, но каждый может быть определен как предел рациональной последовательности Коши, используя, например, Серия Маклорена.

Не пример: открытый интервал

Открытый интервал ${displaystyle X = (0,2)}$ в множестве действительных чисел с обычным расстоянием в р не полный пробел: есть последовательность ${displaystyle x_ {n} = 1 / n}$ в нем, который является Коши (для сколь угодно малого расстояния оценка ${displaystyle d> 0}$ все условия ${displaystyle x_ {n}}$ из ${displaystyle n> 1 / d}$ вписаться в ${displaystyle (0, d)}$ интервал), однако не сходится в ${displaystyle X}$ - его 'предел', количество ${displaystyle 0}$, не принадлежит пространству ${displaystyle X}$.

Другие свойства

• Каждая сходящаяся последовательность (с пределом s, скажем) является последовательностью Коши, поскольку для любого действительного числа ε > 0, за некоторой фиксированной точкой, каждый член последовательности находится на расстоянии ε/ 2 из s, поэтому любые два члена последовательности находятся на расстоянии ε друг друга.
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши Икс_п является ограниченный (поскольку для некоторых N, все члены последовательности из N-ые и далее находятся на расстоянии 1 друг от друга, а если M это наибольшее расстояние между Икс_N и любые условия до N-th, то ни один член последовательности не имеет расстояния больше, чем M + 1 из Икс_N).
• В любом метрическом пространстве последовательность Коши, имеющая сходящуюся подпоследовательность с пределом s сам сходится (с тем же пределом), поскольку для любого действительного числа р > 0, за пределами некоторой фиксированной точки в исходной последовательности, каждый член подпоследовательности находится на расстоянии р/ 2 из s, и любые два члена исходной последовательности находятся на расстоянии р/ 2 друг от друга, поэтому каждый член исходной последовательности находится на расстоянии р из s.

Эти последние два свойства вместе с Теорема Больцано – Вейерштрасса, дают одно стандартное доказательство полноты действительных чисел, тесно связанное как с теоремой Больцано – Вейерштрасса, так и с Теорема Гейне – Бореля. Каждая последовательность Коши действительных чисел ограничена, следовательно, согласно Больцано-Вейерштрассу имеет сходящуюся подпоследовательность, следовательно, сама сходится. Это доказательство полноты действительных чисел неявно использует аксиома наименьшей верхней границы. Упомянутый выше альтернативный подход строительство реальные числа как завершение рациональных чисел, делает полноту действительных чисел тавтологической.

Одна из стандартных иллюстраций преимущества возможности работать с последовательностями Коши и использования полноты обеспечивается рассмотрением суммирования бесконечная серия действительных чисел (или, в более общем смысле, элементов любого полного нормированное линейное пространство, или же Банахово пространство ). Такая серия ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} x_ {n}}$ считается сходящейся тогда и только тогда, когда последовательность частичные суммы ${displaystyle (s_ {m})}$ сходится, где ${displaystyle s_ {m} = sum _ {n = 1} ^ {m} x_ {n}}$. Определение того, является ли последовательность частичных сумм последовательностью Коши или нет, является обычным делом, поскольку для натуральных чисел п > q,

${displaystyle s_ {p} -s_ {q} = sum _ {n = q + 1} ^ {p} x_ {n}.}$

Если ${displaystyle fcolon Mightarrow N}$ это равномерно непрерывный карта между метрическими пространствами M и N и (Икс_п) - последовательность Коши в M, тогда ${displaystyle (f (x_ {n}))}$ последовательность Коши в N. Если ${displaystyle (x_ {n})}$ и ${displaystyle (y_ {n})}$ - две последовательности Коши в рациональных, действительных или комплексных числах, то сумма ${displaystyle (x_ {n} + y_ {n})}$ и продукт ${displaystyle (x_ {n} y_ {n})}$ также являются последовательностями Коши.

Обобщения

В топологических векторных пространствах

Существует также понятие последовательности Коши для топологическое векторное пространство ${displaystyle X}$: Выберите местная база ${displaystyle B}$ за ${displaystyle X}$ около 0; тогда (${displaystyle x_ {k}}$) является последовательностью Коши, если для каждого члена ${displaystyle Vin B}$, есть номер ${displaystyle N}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle n, m> N, x_ {n} -x_ {m}}$ является элементом ${displaystyle V}$. Если топология ${displaystyle X}$ совместим с трансляционно-инвариантная метрика ${displaystyle d}$, два определения совпадают.

В топологических группах

Поскольку определение последовательности Коши в топологическом векторном пространстве требует только непрерывной операции «вычитания», ее можно точно так же сформулировать в контексте топологическая группа: Последовательность ${displaystyle (x_ {k})}$ в топологической группе ${displaystyle G}$ является последовательностью Коши, если для любой открытой окрестности ${displaystyle U}$ из личность в ${displaystyle G}$ существует какое-то число ${displaystyle N}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle m, n> N}$ следует, что ${displaystyle x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} в U}$. Как и выше, достаточно проверить это для окрестностей в любой локальной базе тождества в ${displaystyle G}$.

Как в построение пополнения метрического пространства, можно, кроме того, определить бинарное отношение на последовательностях Коши в ${displaystyle G}$ который ${displaystyle (x_ {k})}$ и ${displaystyle (y_ {k})}$ эквивалентны, если для каждого открытого район ${displaystyle U}$ идентичности в ${displaystyle G}$ существует какое-то число ${displaystyle N}$ так что всякий раз, когда ${displaystyle m, n> N}$ следует, что ${displaystyle x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} в U}$. Это отношение является отношение эквивалентности: Это рефлексивно, поскольку последовательности являются последовательностями Коши. Он симметричен, поскольку ${displaystyle y_ {n} x_ {m} ^ {- 1} = (x_ {m} y_ {n} ^ {- 1}) ^ {- 1} в U ^ {- 1}}$ которая по непрерывности обратного является другой открытой окрестностью тождества. это переходный поскольку ${displaystyle x_ {n} z_ {l} ^ {- 1} = x_ {n} y_ {m} ^ {- 1} y_ {m} z_ {l} ^ {- 1} in U'U ''}$ куда ${displaystyle U '}$ и ${displaystyle U ''}$ - открытые окрестности единицы такие, что ${displaystyle U'U''subseteq U}$; такие пары существуют в силу непрерывности групповой операции.

В группах

Также существует понятие последовательности Коши в группе ${displaystyle G}$:Позволять ${displaystyle H = (H_ {r})}$ быть убывающей последовательностью нормальные подгруппы из ${displaystyle G}$ конечных индекс.Тогда последовательность ${displaystyle (x_ {n})}$ в ${displaystyle G}$ называется Коши (w.r.t. ${displaystyle H}$) если и только если для любого ${displaystyle r}$ есть ${displaystyle N}$ такой, что ${displaystyle forall m, n> N, x_ {n} x_ {m} ^ {- 1} в H_ {r}}$.

Технически это то же самое, что последовательность топологической группы Коши для определенного выбора топологии на ${displaystyle G}$, а именно то, для чего ${displaystyle H}$ это местная база.

Набор ${displaystyle C}$ таких последовательностей Коши образует группу (для покомпонентного произведения), а множество ${displaystyle C_ {0}}$ нулевых последовательностей (s.th. ${displaystyle forall r, существует N, forall n> N, x_ {n} в H_ {r}}$) - нормальная подгруппа группы ${displaystyle C}$. В факторная группа ${displaystyle C / C_ {0}}$ называется завершением ${displaystyle G}$ относительно ${displaystyle H}$.

Тогда можно показать, что это пополнение изоморфно обратный предел последовательности ${displaystyle (G / H_ {r})}$.

Пример этой конструкции, знакомый по теория чисел и алгебраическая геометрия это строительство п-адическое завершение целых чисел относительно простого п. В этом случае, грамм - добавляемые целые числа, и ЧАС_р аддитивная подгруппа, состоящая из целых кратных п^р.

Если ${displaystyle H}$ это финальный последовательность (т.е. любая нормальная подгруппа конечного индекса содержит ${displaystyle H_ {r}}$), то это пополнение канонический в том смысле, что он изоморфен обратному пределу ${displaystyle (G / H) _ {H}}$, куда ${displaystyle H}$ варьируется в зависимости от все нормальные подгруппы конечных индекс. Подробнее см. Гл. I.10 в Lang "Алгебра".

В гиперреальном континууме

Настоящая последовательность ${displaystyle langle u_ {n}: nin mathbb {N} угол}$ имеет естественный гиперреальный расширение, определенное для сверхъестественный значения ЧАС индекса п в дополнение к обычным натуральным п. Последовательность коши тогда и только тогда, когда для каждого бесконечного ЧАС и K, ценности ${displaystyle u_ {H}}$ и ${displaystyle u_ {K}}$ бесконечно близки, или адекватный, т.е.

${displaystyle, mathrm {st} (u_ {H} -u_ {K}) = 0}$

где "st" - это стандартная функция детали.

Пополнение категорий Коши

Краузе (2018) ввел понятие пополнения Коши категория. Применительно к Q (категория, объектами которой являются рациональные числа, и существует морфизм из Икс к у если и только если Икс ≤ у) это пополнение Коши дает р (снова интерпретируется как категория с использованием ее естественного порядка).

Смотрите также

• Способы сходимости (аннотированный указатель)
• Дедекинда вырезать

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Бурбаки, Николас (1972). Коммутативная алгебра (Английский перевод под ред.). Эддисон-Уэсли. ISBN  0-201-00644-8.
• Краузе, Хеннинг (2018), Завершение совершенных комплексов: с приложениями Тобиаса Бартеля и Бернхарда Келлера, arXiv:1805.10751, Bibcode:2018arXiv180510751B
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN  978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Спивак Михаил (1994). Исчисление (3-е изд.). Беркли, Калифорния: Опубликовать или погибнуть. ISBN  0-914098-89-6. Архивировано из оригинал на 2007-05-17. Получено 2007-05-26.
• Троэльстра, А.С.; Д. ван Дален. Конструктивизм в математике: введение. (для использования в конструктивной математике)

внешняя ссылка

• «Фундаментальная последовательность», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]