Число Лукаса - Lucas number

Спираль Лукаса, состоящая из четверти дуги, является хорошим приближением золотая спираль когда его сроки велики. Однако, когда его члены становятся очень маленькими, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.

В Числа Лукаса или Серия Лукас являются целочисленная последовательность назван в честь математика Франсуа Эдуар Анатоль Лукас (1842–91), изучавшие как эту последовательность, так и близкородственные Числа Фибоначчи. Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные примеры Последовательности Лукаса.

Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения, что и Последовательность Фибоначчи, где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями.^[1] Это дает последовательность, в которой отношения следующих друг за другом членов приближаются к Золотое сечение, и фактически сами термины округления целых степеней золотого сечения.^[2] Последовательность также имеет множество отношений с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на два члена в последовательности Фибоначчи приводит к промежуточному числу Люка.^[3]

Первые несколько чисел Лукаса

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, ....

Определение

Подобно числам Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух его непосредственных предыдущих членов, тем самым формируя Целочисленная последовательность Фибоначчи. Первые два числа Лукаса L₀ = 2 и L₁ = 1 в отличие от первых двух чисел Фибоначчи F₀ = 0 и F₁ = 1.^[4]^{[нужен лучший источник ]} Хотя числа Лукаса и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают разными свойствами.

Таким образом, числа Лукаса можно определить следующим образом:

{ displaystyle L_ {n}: = { begin {case} 2 & { text {if}} n = 0; 1 & { text {if}} n = 1; L_ {n-1} + L_ {n-2} & { text {if}} n> 1. end {cases}}}

(куда п принадлежит к натуральным числам)

Последовательность первых двенадцати чисел Лукаса такова:

{ Displaystyle 2, ; 1, ; 3, ; 4, ; 7, ; 11, ; 18, ; 29, ; 47, ; 76, ; 123, ; 199, ; ldots ;}

(последовательность A000032 в OEIS ).

Все целочисленные последовательности, подобные Фибоначчи, появляются в сдвинутой форме в виде строки Массив Wythoff; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка - второй строкой. Также, как и во всех целочисленных последовательностях, подобных Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к Золотое сечение.

Расширение до отрицательных целых чисел

С помощью L_п−2 = L_п − L_п−1, можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить вдвойне бесконечную последовательность:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (условия

{ displaystyle L_ {n}}

за

{ displaystyle -5 leq {} п leq 5}

показаны).

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

{ Displaystyle L _ {- n} = (- 1) ^ {n} L_ {n}. !}

Связь с числами Фибоначчи

Первая идентичность, выраженная визуально

Числа Лукаса связаны с числами Фибоначчи многими тождествами. Среди них следующие:

${ Displaystyle L_ {n} = F_ {n-1} + F_ {n + 1} = F_ {n} + 2F_ {n-1} = F_ {n + 2} -F_ {n-2}}$
${ Displaystyle L_ {m + n} = L_ {m + 1} F_ {n} + L_ {m} F_ {n-1}}$
${ displaystyle L_ {n} ^ {2} = 5F_ {n} ^ {2} +4 (-1) ^ {n}}$ , и, таким образом, как ${ Displaystyle п ,}$ подходы +∞, Соотношение ${ displaystyle { frac {L_ {n}} {F_ {n}}}}$ подходы ${ displaystyle { sqrt {5}}.}$
${ Displaystyle F_ {2n} = L_ {n} F_ {n}}$
${ Displaystyle F_ {n + k} + (- 1) ^ {k} F_ {n-k} = L_ {k} F_ {n}}$
${ Displaystyle L_ {n + k} - (- 1) ^ {k} L_ {n-k} = 5F_ {n} F_ {k}}$ ; особенно, ${ Displaystyle F_ {n} = {L_ {n-1} + L_ {n + 1} более 5}}$

Их закрытая формула дается как:

{ displaystyle L_ {n} = varphi ^ {n} + (1- varphi) ^ {n} = varphi ^ {n} + (- varphi) ^ {- n} = left ({1+ { sqrt {5}} over 2} right) ^ {n} + left ({1 - { sqrt {5}} over 2} right) ^ {n} ,,}

где ${ displaystyle varphi}$ это Золотое сечение. В качестве альтернативы, как для ${ displaystyle n> 1}$ величина срока ${ Displaystyle (- varphi) ^ {- п}}$ меньше 1/2, ${ displaystyle L_ {n}}$ это ближайшее целое число к ${ displaystyle varphi ^ {n}}$ или, что то же самое, целая часть ${ Displaystyle varphi ^ {п} +1/2}$ , также записывается как ${ displaystyle lfloor varphi ^ {n} +1/2 rfloor}$ .

Комбинируя вышеуказанное с Формула Бине,

{ Displaystyle F_ {п} = { гидроразрыва { varphi ^ {n} - (1- varphi) ^ {n}} { sqrt {5}}} ,,}

формула для ${ displaystyle varphi ^ {n}}$ получается:

{ displaystyle varphi ^ {n} = {{L_ {n} + F_ {n} { sqrt {5}}} over 2} ,.}

Отношения конгруэнтности

Если F_п ≥ 5 является числом Фибоначчи, тогда никакое число Люка не делится на F_п.

L_п конгруэнтно 1 мод.п если п простое, но некоторые составные значения п тоже есть это свойство. Эти Псевдопримеры Фибоначчи.

L_п - L_п-4 конгруэнтно 0 мод 5.

Простые числа Лукаса

А Лукас Прайм это число Лукаса, которое премьер. Первые несколько простых чисел Лукаса

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ).

Индексы этих простых чисел (например, L₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ).

Если L_п тогда простое п 0, простое число или степень двойки.^[5] L_2^м является основным для м = 1, 2, 3 и 4 и никакие другие известные значениям.

Генерация серии

Позволять

{ displaystyle Phi (x) = 2 + x + 3x ^ {2} + 4x ^ {3} + cdots = sum _ {n = 0} ^ { infty} L_ {n} x ^ {n} }

быть генерирующий ряд чисел Лукаса. Прямым вычислением

{ displaystyle { begin {align} Phi (x) & = L_ {0} + L_ {1} x + sum _ {n = 2} ^ { infty} L_ {n} x ^ {n} & = 2 + x + sum _ {n = 2} ^ { infty} (L_ {n-1} + L_ {n-2}) x ^ {n} & = 2 + x + sum _ {n = 1} ^ { infty} L_ {n} x ^ {n + 1} + sum _ {n = 0} ^ { infty} L_ {n} x ^ {n + 2} & = 2+ х + х ( Phi (x) -2) + x ^ {2} Phi (x) конец {выровнено}}}

который можно переформатировать как

{ displaystyle Phi (x) = { frac {2-x} {1-x-x ^ {2}}}.}

В частичное разложение на фракции дан кем-то

{ Displaystyle Phi (x) = { frac {1} {1- varphi x}} + { frac {1} {1- phi x}}}

где ${ displaystyle varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}}}$ это золотое сечение и ${ displaystyle phi = { frac {1 - { sqrt {5}}} {2}}}$ является его сопряженным.

Полиномы Лукаса

Так же, как Полиномы Фибоначчи получены из Числа Фибоначчи, то Полиномы Лукаса L_п(Икс) площадь полиномиальная последовательность получено из чисел Лукаса.

Смотрите также

Обобщения чисел Фибоначчи

использованная литература

^ Вайсштейн, Эрик В. "Число Лукаса". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-11.
^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении. Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ISBN 978-0-374-53563-6.
^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении. Фаррар, Штраус и Жиру. п. 282. ISBN 978-0-374-53563-6.
^ Новый вид науки [1]
^ Крис Колдуэлл "Глоссарий Prime: Лукас Прайм " от Prime Pages.

внешняя ссылка

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Число Лукаса". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-11.

[2] Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении. Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ISBN 978-0-374-53563-6.

[3] Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении. Фаррар, Штраус и Жиру. п. 282. ISBN 978-0-374-53563-6.

[NKS_note_a-4] Новый вид науки [1]

[5] Крис Колдуэлл "Глоссарий Prime: Лукас Прайм " от Prime Pages.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

простое число классы
По формуле	Ферма ( $2 2 п + 1$ ) Мерсенн ( $2 п - 1$ ) Двойной Мерсенн ( $2 2 п -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 п + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 п + 1$ ) Факториал ( $п! \pm 1$ ) Первобытный ( $п п # \pm 1$ ) Евклид ( $п п # + 1$ ) Пифагорейский ( $4 п + 1$ ) Pierpont ( $2 м \cdot3 п + 1$ ) Квартан ( $Икс 4 + у 4$ ) Солинас ( $2 м \pm 2 п \pm 1$ ) Каллен ( $п \cdot2 п + 1$ ) Вудалл ( $п \cdot2 п - 1$ ) Кубинский ( $Икс 3 - у 3)/(Икс - у$ ) Кэрол $(2 п - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 п + 1) 2 - 2$ Лейланд ( $Икс у + у Икс$ ) Табит ( $3\cdot2 п - 1$ ) Уильямс ( $(б -1)\cdot б п - 1$ ) Миллс ( $⌊ А 3 п ⌋$ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих (пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хорошо Супер Хиггс Очень cototient
База -зависимый	Палиндромный Эмирп Repunit $(10 п - 1)/9$ Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Я Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( $п, п + 2$ ) Двусторонняя цепь ( $п - 1, п + 1, 2 п - 1, 2 п + 1, \dots$ ) Триплет ( $п, п + 2 или п + 4, п + 6$ ) Четверной ( $п, п + 2, п + 6, п + 8$ ) k−Tuple Двоюродная сестра ( $п, п + 4$ ) Сексуальный ( $п, п + 6$ ) Чен Софи Жермен / Сейф ( $п, 2 п + 1$ ) Каннингем ( $п, 2 п \pm 1, 4 п \pm 3, 8 п \pm 7, ...$ ) Арифметическая прогрессия ( $п + а \cdot п, п = 0, 1, 2, 3, ...$ ) Сбалансированный ( $последовательный п - п, п, п + п$ )
По размеру	Титаник (Более 1000 цифр) Гигантский (10 000+ цифр) Мега (Более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел