Последовательность Лукаса - Lucas sequence

В математика, то Последовательности Лукаса ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$ уверены константно-рекурсивный целочисленные последовательности которые удовлетворяют отношение повторения

${ displaystyle x_ {n} = P cdot x_ {n-1} -Q cdot x_ {n-2}}$

куда ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ фиксированные целые числа. Любая последовательность, удовлетворяющая этому рекуррентному соотношению, может быть представлена ​​как линейная комбинация последовательностей Лукаса ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$.

В более общем смысле, последовательности Лукаса ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$ представляют собой последовательности многочлены в ${ displaystyle P}$ и ${ displaystyle Q}$ с целыми коэффициентами.

Известные примеры последовательностей Лукаса включают Числа Фибоначчи, Числа Мерсенна, Числа Пелла, Числа Лукаса, Числа Якобсталя, и надмножество Числа Ферма. Последовательности Лукаса названы в честь Французский математик Эдуард Лукас.

Повторяющиеся отношения

Учитывая два целочисленных параметра п и Q, последовательности Лукаса первого рода U_п(п,Q) и второго рода V_п(п,Q) определяются повторяющиеся отношения:

${ displaystyle { begin {align} U_ {0} (P, Q) & = 0, U_ {1} (P, Q) & = 1, U_ {n} (P, Q) & = P cdot U_ {n-1} (P, Q) -Q cdot U_ {n-2} (P, Q) { mbox {for}} n> 1, end {выравнивается}}}$

и

${ Displaystyle { begin {align} V_ {0} (P, Q) & = 2, V_ {1} (P, Q) & = P, V_ {n} (P, Q) & = P cdot V_ {n-1} (P, Q) -Q cdot V_ {n-2} (P, Q) { mbox {for}} n> 1. End {align}}}$

Нетрудно показать, что для ${ displaystyle n> 0}$,

${ Displaystyle { begin {align} U_ {n} (P, Q) & = { frac {P cdot U_ {n-1} (P, Q) + V_ {n-1} (P, Q) } {2}}, V_ {n} (P, Q) & = { frac {(P ^ {2} -4Q) cdot U_ {n-1} (P, Q) + P cdot V_ {n-1} (P, Q)} {2}}. end {выравнивается}}}$

Примеры

Начальные термины последовательностей Лукаса U_п(п,Q) и V_п(п,Q) приведены в таблице:

${ displaystyle { begin {array} {r | l | l} n & U_ {n} (P, Q) & V_ {n} (P, Q) hline 0 & 0 & 2 1 & 1 & P 2 & P & {P} ^ { 2} -2Q 3 & {P} ^ {2} -Q & {P} ^ {3} -3PQ 4 & {P} ^ {3} -2PQ & {P} ^ {4} -4 {P} ^ {2} Q + 2 {Q} ^ {2} 5 & {P} ^ {4} -3 {P} ^ {2} Q + {Q} ^ {2} & {P} ^ {5} -5 {P} ^ {3} Q + 5P {Q} ^ {2} 6 & {P} ^ {5} -4 {P} ^ {3} Q + 3P {Q} ^ {2} & {P} ^ {6} -6 {P} ^ {4} Q + 9 {P} ^ {2} {Q} ^ {2} -2 {Q} ^ {3} end {array}}}$

Явные выражения

Характеристическое уравнение рекуррентного соотношения для последовательностей Люка ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$ является:

${ Displaystyle х ^ {2} -Px + Q = 0 ,}$

Он имеет дискриминант ${ Displaystyle D = P ^ {2} -4Q}$ и корни:

${ displaystyle a = { frac {P + { sqrt {D}}} {2}} quad { text {and}} quad b = { frac {P - { sqrt {D}}} { 2}}. ,}$

Таким образом:

${ Displaystyle а + Ь = п ,,}$

${ displaystyle ab = { frac {1} {4}} (P ^ {2} -D) = Q ,,}$

${ displaystyle a-b = { sqrt {D}} ,.}$

Обратите внимание, что последовательность ${ Displaystyle а ^ {п}}$ и последовательность ${ displaystyle b ^ {n}}$ также удовлетворяют рекуррентному соотношению. Однако это могут быть не целые последовательности.

Отчетливые корни

Когда ${ displaystyle D neq 0}$, а и б различны, и можно быстро проверить, что

${ displaystyle a ^ {n} = { frac {V_ {n} + U_ {n} { sqrt {D}}} {2}}}$

${ displaystyle b ^ {n} = { frac {V_ {n} -U_ {n} { sqrt {D}}} {2}}}$.

Отсюда следует, что члены последовательностей Люка могут быть выражены в терминах а и б следующее

${ displaystyle U_ {n} = { frac {a ^ {n} -b ^ {n}} {ab}} = { frac {a ^ {n} -b ^ {n}} { sqrt {D }}}}$

${ displaystyle V_ {n} = a ^ {n} + b ^ {n} ,}$

Повторный корень

Дело ${ displaystyle D = 0}$ происходит именно тогда, когда ${ Displaystyle P = 2S { text {и}} Q = S ^ {2}}$ для некоторого целого числа S так что ${ displaystyle a = b = S}$. В этом случае легко найти, что

${ Displaystyle U_ {n} (P, Q) = U_ {n} (2S, S ^ {2}) = nS ^ {n-1} ,}$

${ Displaystyle V_ {n} (P, Q) = V_ {n} (2S, S ^ {2}) = 2S ^ {n} ,}$.

Свойства

Производящие функции

Обычный производящие функции находятся

${ displaystyle sum _ {n geq 0} U_ {n} (P, Q) z ^ {n} = { frac {z} {1-Pz + Qz ^ {2}}};}$

${ displaystyle sum _ {n geq 0} V_ {n} (P, Q) z ^ {n} = { frac {2-Pz} {1-Pz + Qz ^ {2}}}.}$

Последовательности с одинаковым дискриминантом

Если последовательности Лукаса ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$ иметь разборчивый ${ Displaystyle D = P ^ {2} -4Q}$, то последовательности на основе ${ displaystyle P_ {2}}$ и ${ displaystyle Q_ {2}}$ куда

${ Displaystyle P_ {2} = P + 2}$

${ displaystyle Q_ {2} = P + Q + 1}$

имеют одинаковый дискриминант: ${ Displaystyle P_ {2} ^ {2} -4Q_ {2} = (P + 2) ^ {2} -4 (P + Q + 1) = P ^ {2} -4Q = D}$.

Уравнения Пелла

Когда ${ displaystyle Q = pm 1}$, последовательности Лукаса ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ и ${ displaystyle V_ {n} (P, Q)}$ удовлетворить определенные Уравнения Пелла:

${ Displaystyle V_ {n} (P, 1) ^ {2} -D cdot U_ {n} (P, 1) ^ {2} = 4,}$

${ Displaystyle V_ {2n} (P, -1) ^ {2} -D cdot U_ {2n} (P, -1) ^ {2} = 4,}$

${ Displaystyle V_ {2n + 1} (P, -1) ^ {2} -D cdot U_ {2n + 1} (P, -1) ^ {2} = - 4.}$

Прочие отношения

Члены последовательностей Люка удовлетворяют соотношениям, которые являются обобщениями соотношений между Числа Фибоначчи ${ displaystyle F_ {n} = U_ {n} (1, -1)}$ и Числа Лукаса ${ Displaystyle L_ {n} = V_ {n} (1, -1)}$. Например:

${ displaystyle { begin {array} {r | l} { text {Общий случай}} & (P, Q) = (1, -1) hline (P ^ {2} -4Q) U_ { n} = {V_ {n + 1} -QV_ {n-1}} = 2V_ {n + 1} -PV_ {n} & 5F_ {n} = {L_ {n + 1} + L_ {n-1}} = 2L_ {n + 1} -L_ {n} V_ {n} = U_ {n + 1} -QU_ {n-1} = 2U_ {n + 1} -PU_ {n} & L_ {n} = F_ {n + 1} + F_ {n-1} = 2F_ {n + 1} -F_ {n} U_ {2n} = U_ {n} V_ {n} & F_ {2n} = F_ {n} L_ { n} V_ {2n} = V_ {n} ^ {2} -2Q ^ {n} & L_ {2n} = L_ {n} ^ {2} -2 (-1) ^ {n} U_ { m + n} = U_ {n} U_ {m + 1} -QU_ {m} U_ {n-1} = { frac {U_ {m} V_ {n} + U_ {n} V_ {m}} { 2}} & F_ {m + n} = F_ {n} F_ {m + 1} + F_ {m} F_ {n-1} = { frac {F_ {m} L_ {n} + F_ {n} L_ {m}} {2}} V_ {m + n} = V_ {m} V_ {n} -Q ^ {n} V_ {mn} = DU_ {m} U_ {n} + Q ^ {n} V_ {mn} & L_ {m + n} = L_ {m} L_ {n} - (- 1) ^ {n} L_ {mn} = 5F_ {m} F_ {n} + (- 1) ^ {n} L_ {mn} V_ {n} ^ {2} -DU_ {n} ^ {2} = 4Q ^ {n} & L_ {n} ^ {2} -5F_ {n} ^ {2} = 4 (- 1) ^ {n} U_ {n} ^ {2} -U_ {n-1} U_ {n + 1} = Q ^ {n-1} & F_ {n} ^ {2} -F_ {n- 1} F_ {n + 1} = (- 1) ^ {n-1} DU_ {n} = V_ {n + 1} -QV_ {n-1} & F_ {n} = { frac {L_ { n + 1} + L_ {n-1}} {5}} V_ {m + n} = { frac {V_ {m} V_ {n} + DU_ {m} U_ {n}} {2} } & L_ {m + n} = { frac {L_ {m} L_ {n} + 5F_ {m} F_ {n}} {2}} U_ {m + n} = U_ {m} V_ {n } -Q ^ {n} U_ {mn} & F_ {n + m} = F_ {m} L_ {n} - (- 1) ^ {n} F_ {mn} 2 ^ {n-1} U_ { n} = {n choose 1} P ^ {n-1} + {n choose 3} P ^ {n-3} D + cdots & 2 ^ {n-1} F_ {n} = {n choose 1} +5 {n choose 3} + cdots 2 ^ {n-1} V_ {n} = P ^ {n} + {n choose 2} P ^ {n-2} D + {n choose 4} P ^ {n-4} D ^ {2} + cdots & 2 ^ {n-1} L_ {n} = 1 + 5 {n choose 2} + 5 ^ {2} {n choose 4} + cdots end {array}}}$

Среди последствий - то, что ${ displaystyle U_ {км} (P, Q)}$ кратно ${ displaystyle U_ {m} (P, Q)}$, т.е. последовательность ${ displaystyle (U_ {m} (P, Q)) _ {m geq 1}}$это последовательность делимости. Это означает, в частности, что ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ может быть простым только тогда, когда п простое. Другое следствие является аналогом возведение в степень возведением в квадрат что позволяет быстро вычислить ${ displaystyle U_ {n} (P, Q)}$ для больших значений п. Более того, если ${ displaystyle gcd (P, Q) = 1}$, тогда ${ displaystyle (U_ {m} (P, Q)) _ {m geq 1}}$ - последовательность сильной делимости.

Другие свойства делимости следующие:^[1]

• Если п / м странно, то ${ displaystyle V_ {m}}$ разделяет ${ displaystyle V_ {n}}$.
• Позволять N быть целым числом, относительно простым с 2Q. Если наименьшее положительное целое число р для которого N разделяет ${ displaystyle U_ {r}}$ существует, то множество п для которого N разделяет ${ displaystyle U_ {n}}$ это в точности набор кратных р.
• Если п и Q четные, тогда ${ displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$ всегда даже кроме ${ displaystyle U_ {1}}$.
• Если п даже и Q нечетно, то четность ${ displaystyle U_ {n}}$ такой же как п и ${ displaystyle V_ {n}}$ всегда ровно.
• Если п это странно и Q четно, тогда ${ displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$ всегда странно для ${ Displaystyle п = 1,2, ldots}$.
• Если п и Q нечетные, то ${ displaystyle U_ {n}, V_ {n}}$ даже если и только если п делится на 3.
• Если п нечетное простое число, то ${ Displaystyle U_ {p} Equiv left ({ frac {D} {p}} right), V_ {p} Equiv P { pmod {p}}}$ (видеть Символ Лежандра ).
• Если п является нечетным простым числом и делит п и Q, тогда п разделяет ${ displaystyle U_ {n}}$ для каждого ${ displaystyle n> 1}$.
• Если п является нечетным простым числом и делит п но нет Q, тогда п разделяет ${ displaystyle U_ {n}}$ если и только если п даже.
• Если п является нечетным простым числом и не делит п но Q, тогда п никогда не делит ${ displaystyle U_ {n}}$ за ${ Displaystyle п = 1,2, ldots}$.
• Если п является нечетным простым числом и не делит PQ но D, тогда п разделяет ${ displaystyle U_ {n}}$ если и только если п разделяет п.
• Если п нечетное простое число и не делит PQD, тогда п разделяет ${ displaystyle U_ {l}}$, куда ${ displaystyle l = p- left ({ frac {D} {p}} right)}$.

Последний факт обобщает Маленькая теорема Ферма. Эти факты используются в Тест на простоту Лукаса-Лемера Обратное к последнему факту неверно, как и обратное к малой теореме Ферма. Существует составная п относительно простой D и разделение ${ displaystyle U_ {l}}$, куда ${ displaystyle l = n- left ({ frac {D} {n}} right)}$. Такой композит называется Лукас псевдопрайм.

А главный фактор члена в последовательности Лукаса, который не делит ни одного более раннего члена в последовательности, называется примитивный.Теорема Кармайкла утверждает, что все, кроме конечного числа членов в последовательности Лукаса, имеют примитивный главный фактор.^[2] Действительно, Кармайкл (1913) показал, что если D положительный и п не 1, 2 или 6, тогда ${ displaystyle U_ {n}}$ имеет примитивный простой фактор. В случае D отрицательный, глубокий результат Bilu, Hanrot, Voutier и Mignotte^[3] показывает, что если п > 30, то ${ displaystyle U_ {n}}$ имеет примитивный простой фактор и определяет все случаи ${ displaystyle U_ {n}}$ не имеет примитивного простого множителя.

Конкретные имена

Последовательности Лукаса для некоторых значений п и Q иметь конкретные имена:

U_п(1,−1) : Числа Фибоначчи

V_п(1,−1) : Числа Лукаса

U_п(2,−1) : Числа Пелла

V_п(2,−1) : Числа Пелла-Лукаса (сопутствующие числа Пелла)

U_п(1,−2) : Числа Якобсталя

V_п(1,−2) : Числа Якобсталя-Лукаса

U_п(3, 2) : Числа Мерсенна 2^п − 1

V_п(3, 2) : Числа формы 2^п + 1, включая Числа Ферма (Ябута 2001 ) ошибка harv: несколько целей (2 ×): CITEREFYabuta2001 (помощь).

U_п(6, 1) : Квадратный корень из квадратные треугольные числа.

U_п(Икс,−1) : Полиномы Фибоначчи

V_п(Икс,−1) : Полиномы Лукаса

U_п(2Икс, 1) : Полиномы Чебышева второго рода

V_п(2Икс, 1) : Полиномы Чебышева первого рода умноженное на 2

U_п(Икс+1, Икс) : Repunits основание Икс

V_п(Икс+1, Икс) : Икс^п + 1

Некоторые последовательности Лукаса имеют записи в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей:

${ Displaystyle P ,}$	${ Displaystyle Q ,}$	${ Displaystyle U_ {п} (P, Q) ,}$	${ Displaystyle V_ {п} (P, Q) ,}$
−1	3	OEIS: A214733
1	−1	OEIS: A000045	OEIS: A000032
1	1	OEIS: A128834	OEIS: A087204
1	2	OEIS: A107920	OEIS: A002249
2	−1	OEIS: A000129	OEIS: A002203
2	1	OEIS: A001477
2	2	OEIS: A009545	OEIS: A007395
2	3	OEIS: A088137
2	4	OEIS: A088138
2	5	OEIS: A045873
3	−5	OEIS: A015523	OEIS: A072263
3	−4	OEIS: A015521	OEIS: A201455
3	−3	OEIS: A030195	OEIS: A172012
3	−2	OEIS: A007482	OEIS: A206776
3	−1	OEIS: A006190	OEIS: A006497
3	1	OEIS: A001906	OEIS: A005248
3	2	OEIS: A000225	OEIS: A000051
3	5	OEIS: A190959
4	−3	OEIS: A015530	OEIS: A080042
4	−2	OEIS: A090017
4	−1	OEIS: A001076	OEIS: A014448
4	1	OEIS: A001353	OEIS: A003500
4	2	OEIS: A007070	OEIS: A056236
4	3	OEIS: A003462	OEIS: A034472
4	4	OEIS: A001787
5	−3	OEIS: A015536
5	−2	OEIS: A015535
5	−1	OEIS: A052918	OEIS: A087130
5	1	OEIS: A004254	OEIS: A003501
5	4	OEIS: A002450	OEIS: A052539
6	1	OEIS: A001109	OEIS: A003499

Приложения

• Последовательности Люка используются в вероятностных Лукас псевдопрайм тесты, которые являются частью обычно используемых Тест на простоту Baillie-PSW.
• Последовательности Лукаса используются в некоторых методах доказательства простоты, включая Тест Лукаса-Лемера-Ризеля, а также N + 1 и гибридный N-1 / N + 1 методы, такие как методы Brillhart-Lehmer-Selfridge 1975^[4]
• LUC - это криптосистема с открытым ключом на основе последовательностей Лукаса^[5] который реализует аналоги Эль-Гамаль (ЛЮСЕЛЬГ), Диффи-Хеллман (LUCDIF) и ЮАР (LUCRSA). Шифрование сообщения в LUC вычисляется как член определенной последовательности Лукаса вместо использования модульное возведение в степень как в RSA или Diffie-Hellman. Однако в статье Bleichenbacher et al.^[6] показывает, что многие из предполагаемых преимуществ безопасности LUC над криптосистемами, основанными на модульном возведении в степень, либо отсутствуют, либо не столь существенны, как заявлено.

Смотрите также

• Лукас псевдопрайм
• Псевдопросто Фробениуса
• Псевдопреступление Сомера – Лукаса

Примечания

Рекомендации

• Кармайкл, Р. Д. (1913), «О числовых множителях арифметических форм α^п± β^п", Анналы математики, 15 (1/4): 30–70, Дои:10.2307/1967797, JSTOR  1967797CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лемер, Д. Х. (1930). «Расширенная теория функций Лукаса». Анналы математики. 31 (3): 419–448. Bibcode:1930AnMat..31..419L. Дои:10.2307/1968235. JSTOR  1968235.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Уорд, Морган (1954). «Простые делители повторяющихся последовательностей второго порядка». Duke Math. J. 21 (4): 607–614. Дои:10.1215 / S0012-7094-54-02163-8. HDL:10338.dmlcz / 137477. МИСТЕР  0064073.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Сомер, Лоуренс (1980). "Свойства делимости первичных повторений Лукаса относительно простых чисел" (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 18: 316.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лагариас, Дж. К. (1985). «Множество простых чисел, делящих числа Лукаса, имеет плотность 2/3». Pac. J. Math. 118 (2): 449–461. Дои:10.2140 / pjm.1985.118.449. МИСТЕР  0789184.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Ханс Ризель (1994). Простые числа и компьютерные методы факторизации. Успехи в математике. 126 (2-е изд.). Birkhäuser. С. 107–121. ISBN  0-8176-3743-5.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рибенбойм, Пауло; Макдэниел, Уэйн Л. (1996). «Квадратные члены в последовательностях Лукаса». J. Теория чисел. 58 (1): 104–123. Дои:10.1006 / jnth.1996.0068.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Joye, M .; Quisquater, J.-J. (1996). «Эффективное вычисление полных последовательностей Лукаса» (PDF). Письма об электронике. 32 (6): 537–538. Дои:10.1049 / el: 19960359. Архивировано из оригинал (PDF) на 02.02.2015.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рибенбойм, Пауло (1996). Новая книга рекордов простых чисел (Электронная книга под ред.). Springer-Verlag, Нью-Йорк. Дои:10.1007/978-1-4612-0759-7. ISBN  978-1-4612-0759-7.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Рибенбойм, Пауло (2000). Мои числа, мои друзья: популярные лекции по теории чисел. Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 1–50. ISBN  0-387-98911-0.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Лука, Флориан (2000). «Совершенные числа Фибоначчи и Лукаса». Ренд. Circ Matem. Палермо. 49 (2): 313–318. Дои:10.1007 / BF02904236. S2CID  121789033.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Ябута, М. (2001). «Простое доказательство теоремы Кармайкла о примитивных делителях» (PDF). Ежеквартальный отчет Фибоначчи. 39: 439–443.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Бенджамин, Артур Т.; Куинн, Дженнифер Дж. (2003). Доказательства, которые действительно важны: искусство комбинаторного доказательства. Математические экспозиции Дольчиани. 27. Математическая ассоциация Америки. п.35. ISBN  978-0-88385-333-7.CS1 maint: ref = harv (связь)
• Последовательность Лукаса в Энциклопедия математики.
• Вайсштейн, Эрик В. "Последовательность Лукаса". MathWorld.
• Вэй Дай. «Последовательности Лукаса в криптографии».