Последовательность делимости - Divisibility sequence

В математике последовательность делимости является целочисленная последовательность ${ Displaystyle (а_ {п})}$ проиндексировано положительные целые числа п такой, что

{ displaystyle { text {if}} m mid n { text {then}} a_ {m} mid a_ {n}}

для всехм, п. То есть, всякий раз, когда один индекс кратен другому, соответствующий термин также кратен другому члену. Эту концепцию можно обобщить на последовательности со значениями в любом звенеть где концепция делимость определено.

А последовательность сильной делимости это целочисленная последовательность ${ Displaystyle (а_ {п})}$ такой, что для всех натуральных чиселм, п,

{ displaystyle gcd (a_ {m}, a_ {n}) = a _ { gcd (m, n)}.}

Каждая последовательность сильной делимости - это последовательность делимости: ${ Displaystyle НОД (т, п) = м}$ если и только если ${ displaystyle m mid n}$ . Следовательно, по свойству сильной делимости ${ displaystyle gcd (a_ {m}, a_ {n}) = a_ {m}}$ и поэтому ${ displaystyle a_ {m} mid a_ {n}}$ .

Примеры

Любая постоянная последовательность - это последовательность строгой делимости.
Каждая последовательность формы ${ displaystyle a_ {n} = kn,}$ для некоторого ненулевого целого числа k, - последовательность делимости.
Цифры формы ${ displaystyle 2 ^ {n} -1}$ (Числа Мерсенна ) образуют последовательность сильной делимости.
В объединить числа в любой базе $р п (б)$ образуют последовательность сильной делимости.
В более общем смысле, любая последовательность формы ${ displaystyle a_ {n} = A ^ {n} -B ^ {n}}$ для целых чисел ${ displaystyle A> B> 0}$ - последовательность делимости.
В Числа Фибоначчи $F п$ образуют последовательность сильной делимости.
В общем, любой Последовательность Лукаса первого вида $U п (п, Q)$ - последовательность делимости. Более того, это последовательность сильной делимости, когда $gcd (п, Q) = 1$ .
Последовательности эллиптической делимости - еще один класс таких последовательностей.

Последовательность делимости - Divisibility sequence

Примеры

Рекомендации