Полиномы Чебышева - Chebyshev polynomials

В Полиномы Чебышева - две последовательности полиномов, связанных с функциями синуса и косинуса, обозначенные как $Т п (Икс)$ и $U п (Икс)$ . Их можно определить несколькими способами, которые имеют одинаковый конечный результат; в этой статье полиномы определяются, начиная с тригонометрические функции:

В Многочлены Чебышева первого рода (

Т п

) даны

Т п (cos (θ)) = cos (п θ)

.

Аналогичным образом определим Многочлены Чебышева второго рода (

U п

) так как

U п (cos (θ)) грех (θ) = грех ((п + 1) θ)

.

Эти определения не многочлены как таковой, но используя различные триггерные тождества они могут быть преобразованы в полиномиальную форму. Например, для $п = 2$ то $Т 2$ формулу можно преобразовать в многочлен с аргументом $Икс = cos (θ)$ , используя формулу двойного угла:

{ Displaystyle соз (2 тета) = 2 соз ^ {2} ( тета) -1}

Заменяя термины в формуле на определения выше, мы получаем

Т 2 (Икс) = 2 Икс 2 - 1

.

Другой $Т п (Икс)$ определяются аналогично, где для многочленов второго рода ( $U п$ ) мы должны использовать формула де Муавра получить $грех (п θ)$ так как $грех (θ)$ раз многочлен от $cos (θ)$ . Например,

{ Displaystyle грех (3 тета) = (4 соз ^ {2} ( тета) -1) , грех ( тета)}

дает

U 2 (Икс) = 4 Икс 2 - 1

.

После преобразования в полиномиальную форму $Т п (Икс)$ и $U п (Икс)$ называются Многочлены Чебышева первого и второй вид, соответственно.

И наоборот, произвольная целая степень тригонометрических функций может быть выражена как линейная комбинация тригонометрических функций с использованием полиномов Чебышева.

{ displaystyle cos ^ {n} theta = 2 ^ {1-n} mathop {{ sum} '} _ {j = 0, , nj , mathrm {even}} ^ {n} { binom {n} { tfrac {nj} {2}}} T_ {j} ( cos theta),}

где штрих у символа суммы означает, что вклад $j = 0$ необходимо уменьшить вдвое, если он появится, и ${ Displaystyle Т_ {J} ( соз тета) = соз J тета}$ .

Важное и удобное свойство $Т п (Икс)$ это они ортогональный с уважением к внутренний продукт

{ Displaystyle { bigl langle} , е (х), , г (х) , { bigr rangle} ~ = ~ int _ {- 1} ^ {1} , f (х) , g (x) , { frac { mathrm {d} x} {, { sqrt {1-x ^ {2} ,}} ,}} ~,}

и $U п (Икс)$ ортогональны по отношению к другому, аналогичные внутренний продукт продукт, указанный ниже. Это следует из того факта, что полиномы Чебышева решают Дифференциальные уравнения Чебышева

{ displaystyle (1-x ^ {2}) , y '' - x , y '+ n ^ {2} , y = 0 ~,}

{ Displaystyle (1-х ^ {2}) , у '' - 3 , х , у '+ п , (п + 2) , у = 0 ~,}

которые Дифференциальные уравнения Штурма – Лиувилля.. Общей чертой таких дифференциальных уравнений является выделенный ортонормированный набор решений. (Другой способ определить полиномы Чебышева - это решения эти уравнения.)

Многочлены Чебышева $Т п$ - многочлены с максимально возможным старшим коэффициентом, модуль которых на интервале $[-1, 1]$ ограничено числом 1. Они также являются «экстремальными» многочленами для многих других свойств.^[1]

Многочлены Чебышева важны в теория приближения потому что корни $Т п (Икс)$ , которые также называют Чебышевские узлы, используются как точки сопоставления для оптимизации полиномиальная интерполяция. Полученный интерполяционный полином сводит к минимуму проблему Феномен Рунге, и обеспечивает приближение, близкое к наилучшему полиномиальному приближению к непрерывная функция под максимальная норма, также называемый "минимакс "критерий. Это приближение непосредственно приводит к методу Квадратура Кленшоу – Кертиса.

Эти полиномы были названы в честь Пафнутый Чебышев.^[2] Письмо $Т$ используется из-за альтернативы транслитерации имени Чебышев так как Чебычев, Чебышев (Французский) или Tschebyschow (Немецкий).

Определение

Сюжет из первой пятерки

Т п

Многочлены Чебышева первого рода

В Многочлены Чебышева первого рода получены из отношение повторения

{ Displaystyle { begin {align} T_ {0} (x) & = 1 T_ {1} (x) & = x T_ {n + 1} (x) & = 2x , T_ {n } (x) -T_ {n-1} (x) ~. end {выравнивается}}}

В обычная производящая функция за $Т п$ является

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n} = { frac {1-tx} {1-2tx + t ^ {2}}} ~ .}

Доказательство —

{ displaystyle { begin {align} { text {Define}} quad G & Equiv sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n} & = T_ {0} (x) + tT_ {1} (x) + sum _ {n = 2} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n} & = 1 + tx + sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n + 2} (x) t ^ {n + 2} & = 1 + tx + sum _ {n = 0} ^ { infty} (2xT_ { n + 1} (x) -T_ {n} (x)) t ^ {n + 2} & = 1 + tx + sum _ {n = 0} ^ { infty} 2xT_ {n + 1} ( x) t ^ {n + 2} - sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n + 2} & = 1 + tx + 2tx sum _ { n = 0} ^ { infty} T_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} -t ^ {2} sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x ) t ^ {n} & = 1 + tx + 2tx ( sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n} -1) -t ^ {2} sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) t ^ {n} & = 1 + tx + 2tx (G-1) -t ^ {2} G & = 1 + tx + 2txG-2tx-t ^ {2} G G-2txG + t ^ {2} G & = 1 + tx-2tx G & = { frac {1-tx} {, 1-2tx + t ^ {2} ,}} end {выровнено}}}

Есть еще несколько производящие функции для полиномов Чебышева; то экспоненциальная производящая функция является

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} T_ {n} (x) , { frac {; t ^ {n} ,} {n!}} = { frac {1 } {2}} left (, e ^ {, t , left (, x - { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} , right) ,} + e ^ {t , left (, x + { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} , right)} , right) = e ^ {t , x} , cosh left (, t , { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} , right) ~.}

Производящая функция, актуальная для двумерных теория потенциала и мультипольное расширение является

{ displaystyle sum limits _ {n = 1} ^ { infty} , T_ {n} (x) , { frac {; t ^ {n} ,} {n}} = ln left ({ frac {1} {, { sqrt {1-2 , t , x + t ^ {2} ,}} ,}} right) ~.}

Сюжет из первой пятерки

U п

Многочлены Чебышева второго рода

В Многочлены Чебышева второго рода определяются рекуррентным соотношением

{ Displaystyle { begin {align} U_ {0} (x) & = 1 U_ {1} (x) & = 2x U_ {n + 1} (x) & = 2x , U_ {n } (x) -U_ {n-1} (x) ~. end {выравнивается}}}

Обратите внимание, что два набора рекуррентных отношений идентичны, за исключением ${ Displaystyle ~ T_ {1} (х) = х ~}$ vs. ${ displaystyle ~ U_ {1} (x) = 2x ~.}$ Обычная производящая функция для $U п$ является

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} U_ {n} (x) , t ^ {n} = { frac {1} {, 1-2tx + t ^ {2} ,}} ~;}

экспоненциальная производящая функция

{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} , U_ {n} (x) { frac {; t ^ {n} ,} {n!}} = e ^ {tx} left ( cosh left (, t , { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} , right) + { frac {x} {, { sqrt {x ^ { 2} -1 ,}} ,}} sinh left (, t , { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} , right) , right) ~.}

Тригонометрическое определение

Как описано во введении, полиномы Чебышева первого рода могут быть определены как единственные полиномы, удовлетворяющие

{ displaystyle T_ {n} (x) = { begin {case} cos { big (} , n arccos x , { big)} quad & { text {if}} ~ | x | leq 1 cosh { big (} n operatorname {arcosh} x { big)} quad & { text {if}} ~ x geq 1 (- 1) ^ {n} cosh { big (} n operatorname {arcosh} (-x) { big)} quad & { text {if}} ~ x leq -1 end {case}}}

или, другими словами, как единственные многочлены, удовлетворяющие

{ Displaystyle Т_ {п} ( соз тета) = соз (п тета)}

за $п = 0, 1, 2, 3, ...$ который с технической точки зрения является вариантом (эквивалентным транспонированием) Уравнение Шредера. Это, $Т п (Икс)$ функционально сопряжена с $п х$ , кодифицированный в свойстве вложенности ниже. Далее сравните с полиномы распространения в разделе ниже.

Полиномы второго рода удовлетворяют:

{ Displaystyle U_ {п-1} (, соз тета ,) CDOT грех тета = грех (п тета) ~,}

или

{ displaystyle U_ {n} (, cos theta ,) = { frac { sin { big (} , (n {+} 1) , theta , { big)}} { sin theta}} ~,}

который конструктивно очень похож на Ядро Дирихле $D п (Икс)$ :

{ displaystyle D_ {n} (x) = { frac { sin left (, (2n {+} 1) { dfrac {x} {2}} , right)} { sin { dfrac {, x ,} {2}}}} = U_ {2n} left (, cos { frac {, x ,} {2}} , right) ~.}

Это $потому что nx$ является $п$ многочлен степени от $потому что Икс$ можно увидеть, заметив, что $потому что nx$ это настоящая часть одной стороны формула де Муавра. Действительная часть другой стороны - это многочлен от $потому что Икс$ и $грех Икс$ , в котором все полномочия $грех Икс$ четные и, следовательно, заменяемые через тождество $потому что 2 Икс + грех 2 Икс = 1$ . По тем же соображениям $грех nx$ - мнимая часть многочлена, в котором все степени $грех Икс$ являются нечетными, и, таким образом, если исключить одну из них, оставшиеся можно заменить, чтобы создать $(п-1)$ многочлен степени от $потому что Икс$ .

Это тождество весьма полезно в сочетании с рекурсивной формулой генерирования, поскольку оно позволяет вычислить косинус любого целого кратного угла исключительно в терминах косинуса основного угла.

Вычисляя первые два полинома Чебышева,

{ Displaystyle T_ {0} ( соз тета) = соз 0 тета = 1}

и

{ Displaystyle T_ {1} ( соз тета) = соз тета,}

можно прямо определить, что

{ Displaystyle { begin {align} cos 2 theta & = 2 cos theta cos theta -1 = 2 cos ^ {2} theta -1 cos 3 theta & = 2 cos theta cos 2 theta - cos theta = 4 cos ^ {3} theta -3 cos theta, end {align}}}

и так далее.

Два непосредственных следствия: идентичность композиции (или же гнездовая собственность указав полугруппа )

{ Displaystyle T_ {n} { big (} , T_ {m} (x) , { big)} = T_ {nm} (x) ~;}

и выражение комплексного возведения в степень через полиномы Чебышева: дано $z = а + би$ ,

{ displaystyle { begin {align} z ^ {n} & = | z | ^ {n} left ( cos left (n arccos { frac {a} {| z |}} right) + i sin left (, n , arccos { frac {a} {, | z | ,}} right) , right) & = | z | ^ {n} T_ { n} left ({ frac {a} {, | z | ,}} right) + ib | z | ^ {n-1} U_ {n-1} left ({ frac {a } {, | z | ,}} right) ~. end {align}}}

Определение уравнения Пелла

Многочлены Чебышева также можно определить как решения Уравнение Пелла

{ displaystyle T_ {n} (x) ^ {2} - left (, x ^ {2} -1 , right) U_ {n-1} (x) ^ {2} = 1}

в кольце $р [Икс]$ .^[3] Таким образом, они могут быть сгенерированы стандартной техникой для уравнений Пелла взятия степеней фундаментального решения:

{ displaystyle T_ {n} (x) + U_ {n-1} (x) , { sqrt {x ^ {2} -1 ,}} = left (x + { sqrt {x ^ {2) } -1 ,}} right) ^ {n} ~.}

Произведения полиномов Чебышева

При работе с многочленами Чебышева довольно часто встречаются произведения двух из них. Эти произведения могут быть сведены к комбинациям полиномов Чебышева с более низкой или более высокой степенью, и заключительные утверждения о продукте сделать легче. Предполагается, что в дальнейшем индекс m больше или равен индексу n и n не является отрицательным. Для многочленов Чебышева первого рода произведение разлагается до

{ Displaystyle 2T_ {m} (x) T_ {n} (x) = T_ {m + n} (x) + T_ {| m-n |} (x)}

что является аналогией теорема сложения

{ Displaystyle 2 соз альфа , соз бета = соз ( альфа + бета) + соз ( альфа - бета)}

с идентичностями

{ Displaystyle Alpha Equiv m arccos x quad { text {and}} quad beta Equiv n arccos x ~.}

За $п = 1$ это приводит к уже известной формуле рекуррентности, только в другом порядке и с $п = 2$ он образует рекуррентное соотношение для всех четных или всех нечетных многочленов Чебышева (в зависимости от четности младших $м$ ), что позволяет проектировать функции с заданными свойствами симметрии. Из этого разложения в произведение можно заключить еще три полезные формулы для вычисления полиномов Чебышева:

{ displaystyle { begin {align} T_ {2n} (x) & = 2 , T_ {n} ^ {2} (x) -T_ {0} (x) && = 2T_ {n} ^ {2} (x) -1 T_ {2n + 1} (x) & = 2 , T_ {n + 1} (x) , T_ {n} (x) -T_ {1} (x) && = 2 , T_ {n + 1} (x) , T_ {n} (x) -x T_ {2n-1} (x) & = 2 , T_ {n-1} (x) , T_ {n} (x) -T_ {1} (x) && = 2 , T_ {n-1} (x) , T_ {n} (x) -x end {выровнено}}}

Для многочленов Чебышева второго рода произведения можно записать в виде:

{ Displaystyle U_ {m} (x) , U_ {n} (x) = sum _ {k = 0} ^ {n} , U_ {m-n + 2k} (x) = sum _ { underset {, { text {step 2}} ,} {p = mn}} ^ {m + n} U_ {p} (x) ~.}

за $м \geq п$ .

Этим, как и выше, с $п = 2$ рекуррентная формула для полиномов Чебышева второго рода сводится для обоих типов симметрии к

{ Displaystyle U_ {m + 2} (x) = U_ {2} (x) , U_ {m} (x) -U_ {m} (x) -U_ {m-2} (x) = U_ { m} (x) , { big (} U_ {2} (x) -1 { big)} - U_ {m-2} (x) ~,}

в зависимости от того, $м$ начинается с 2 или 3.

Связь между двумя видами многочленов Чебышева

Полиномы Чебышева первого и второго рода соответствуют дополнительной паре Последовательности Лукаса $Ṽ п (п, Q)$ и $Ũ п (п, Q)$ с параметрами $п = 2 Икс$ и $Q = 1$ :

{ displaystyle { begin {align} { tilde {U}} _ {n} (2x, 1) & = U_ {n-1} (x) ~, { tilde {V}} _ {n } (2x, 1) & = 2 , T_ {n} (x) ~. End {align}}}

Следовательно, они также удовлетворяют паре взаимно рекуррентных уравнений:

{ displaystyle { begin {align} T_ {n + 1} (x) & = x , T_ {n} (x) - (1-x ^ {2}) , U_ {n-1} (x ) ~, U_ {n + 1} (x) & = x , U_ {n} (x) + T_ {n + 1} (x) ~. End {выравнивается}}}

Многочлены Чебышева первого и второго рода также связаны следующими соотношениями:

{ displaystyle { begin {align} T_ {n} (x) & = { frac {1} {2}} { big (} , U_ {n} (x) -U_ {n-2} ( x) , { big)} ~. && T_ {n} (x) & = U_ {n} (x) -x , U_ {n-1} (x) ~. && U_ { n} (x) & = 2 , sum _ {{ text {odd}} j} ^ {n} T_ {j} (x) && { text {for odd}} n ~. U_ { n} (x) & = 2 , sum _ {{ text {even}} j} ^ {n} T_ {j} (x) -1 && { text {for even}} n ~. end { выровнено}}}

Рекуррентное соотношение производной полиномов Чебышева может быть получено из этих соотношений:

{ displaystyle 2 , T_ {n} (x) = { frac {1} {, n + 1 ,}} , { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} T_ {n + 1} (x) - { frac {1} {, n-1 ,}} , { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d } x ,}} , T_ {n-1} (x) qquad n = 2,3, ldots}

Это отношение используется в Спектральный метод Чебышева решения дифференциальных уравнений.

Неравенство Турана для полиномов Чебышева

{ displaystyle { begin {align} T_ {n} (x) ^ {2} -T_ {n-1} (x) , T_ {n + 1} (x) & = 1-x ^ {2} > 0 && { text {for}} - 1 0 ~. End {выровнено}}}

Интегральные отношения:

{ displaystyle { begin {align} int _ {- 1} ^ {1} { frac {T_ {n} (y) , mathrm {d} y} {, (yx) , { sqrt {1-y ^ {2} ,}} ,}} & = pi , U_ {n-1} (x) ~, int _ {- 1} ^ {1} { frac {{ sqrt {, 1-y ^ {2} ,}} , U_ {n-1} (y) , mathrm {d} y ,} {yx}} & = - pi , Т_ {п} (х) конец {выровнено}}}

где интегралы считаются главным значением.

Явные выражения

Различные подходы к определению полиномов Чебышева приводят к различным явным выражениям, таким как:

{ displaystyle { begin {align} T_ {n} (x) & = { begin {case} cos (n arccos x) qquad & { text {for}} ~ | x | leq 1 { dfrac {1} {2}} { bigg (} { Big (} x - { sqrt {x ^ {2} -1}} { Big)} ^ {n} + { Большой (} x + { sqrt {x ^ {2} -1}} { Big)} ^ {n} { bigg)} qquad & { text {for}} ~ | x | geq 1 end {case}} & = { begin {cases} cos (n arccos x) qquad quad & { text {for}} ~ -1 leq x leq 1 cosh (n operatorname {arcosh} x) qquad quad & { text {for}} ~ 1 leq x (- 1) ^ {n} cosh { big (} n имя оператора {arcosh} (-x) { big)} qquad quad & { text {for}} ~ x leq -1 end {case}} \ T_ {n} ( x) & = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {n} {2k}} left (x ^ {2 } -1 right) ^ {k} x ^ {n-2k} & = x ^ {n} sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {n} {2k}} left (1-x ^ {- 2} right) ^ {k} & = { frac {n} {2}} sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} (- 1) ^ {k} { frac {(nk-1)!} {k! (n -2k)!}} ~ (2x) ^ {n-2k} qquad qquad { text {for}} ~ n> 0 & = n sum _ {k = 0} ^ {n} (-2) ^ {k} { frac {(n + k-1)!} {(Nk)! (2k)!}} (1-x) ^ {k} qquad qquad ~ { text {for}} ~ n> 0 & = {} _ {2} F_ {1} left (-n, n; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {1} {2 }} (1-x) right) конец {выровнено}}}

с обратным^[4]^[5]

{ displaystyle x ^ {n} = 2 ^ {1-n} mathop {{ sum} '} _ {j = 0, , nj , mathrm {even}} ^ {n} { binom { n} { tfrac {nj} {2}}} T_ {j} (x),}

где штрих у символа суммы означает, что вклад $j = 0$ необходимо уменьшить вдвое, если он появится.

{ displaystyle { begin {align} U_ {n} (x) & = { frac { left (x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right) ^ {n + 1} - left (x - { sqrt {x ^ {2} -1}} right) ^ {n + 1}} {2 { sqrt {x ^ {2} -1}}}} & = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {n + 1} {2k + 1}} left (x ^ {2} - 1 right) ^ {k} x ^ {n-2k} & = x ^ {n} sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {n + 1} {2k + 1}} left (1-x ^ {- 2} right) ^ {k} & = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} { binom {2k- (n + 1)} {k}} ~ (2x) ^ {n-2k} & { text {для }} ~ n> 0 & = sum _ {k = 0} ^ { left lfloor { frac {n} {2}} right rfloor} (- 1) ^ {k} { binom {nk} {k}} ~ (2x) ^ {n-2k} & { text {for}} ~ n> 0 & = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 2) ^ {k} { frac {(n + k + 1)!} {(nk)! (2k + 1)!}} (1-x) ^ {k} & { text {for}} ~ n> 0 & = (n + 1) {} _ {2} F_ {1} left (-n, n + 2; { tfrac {3} {2}}; { tfrac {1} {2} } (1-x) right) конец {выровнено}}}

где $2 F 1$ это гипергеометрическая функция.

Характеристики

Симметрия

{ displaystyle { begin {align} T_ {n} (- x) & = (- 1) ^ {n} T_ {n} (x) = { begin {cases} T_ {n} (x) quad & ~ { text {for}} ~ n ~ { text {even}} - T_ {n} (x) quad & ~ { text {for}} ~ n ~ { text {odd }} end {case}} \ U_ {n} (- x) & = (- 1) ^ {n} U_ {n} (x) = { begin {cases} U_ {n} (x) quad & ~ { text {for}} ~ n ~ { text {even}} - U_ {n} (x) quad & ~ { text {for}} ~ n ~ { text {odd}} end {case}} end {align}}}

То есть полиномы Чебышева четного порядка имеют даже симметрия и содержат только четные степени $Икс$ . Многочлены Чебышева нечетного порядка имеют странная симметрия и содержат только нечетные степени $Икс$ .

Корни и экстремумы

Многочлен Чебышева любого вида со степенью $п$ имеет $п$ разные простые корни, называемые Чебышевские корни, в интервале $[-1, 1]$ . Корни полинома Чебышева первого рода иногда называют Чебышевские узлы потому что они используются как узлы в полиномиальной интерполяции. Используя тригонометрическое определение и тот факт, что

{ Displaystyle соз left ((2k + 1) { frac { pi} {2}} right) = 0}

можно показать, что корни $Т п$ находятся

{ displaystyle x_ {k} = cos left ({ frac { pi (k + 1/2)} {n}} right), quad k = 0, ldots, n-1.}

Точно так же корни $U п$ находятся

{ displaystyle x_ {k} = cos left ({ frac {k} {n + 1}} pi right), quad k = 1, ldots, n.}

В экстремумы из $Т п$ на интервале $-1 \leq Икс \leq 1$ расположены в

{ displaystyle x_ {k} = cos left ({ frac {k} {n}} pi right), quad k = 0, ldots, n.}

Одно уникальное свойство многочленов Чебышева первого рода состоит в том, что на интервале $-1 \leq Икс \leq 1$ все из экстремумы имеют значения либо -1, либо 1. Таким образом, эти многочлены имеют только два конечных критические значения, определяющее свойство Полиномы Шабата. И первый, и второй виды полиномов Чебышева имеют экстремумы на концах, определяемые выражением:

{ displaystyle T_ {n} (1) = 1}

{ displaystyle T_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}}

{ Displaystyle U_ {п} (1) = п + 1}

{ Displaystyle U_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n} , (n + 1) ~.}

Дифференциация и интеграция

Производные многочленов могут быть не такими простыми. Дифференцируя полиномы в их тригонометрической форме, можно показать, что:

{ Displaystyle { begin {align} { frac { mathrm {d} T_ {n}} { mathrm {d} x}} & = nU_ {n-1} { frac { mathrm {d } U_ {n}} { mathrm {d} x}} & = { frac {(n + 1) T_ {n + 1} -xU_ {n}} {x ^ {2} -1}} { frac { mathrm {d} ^ {2} T_ {n}} { mathrm {d} x ^ {2}}} & = n { frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x ^ {2} -1}} = n { frac {(n + 1) T_ {n} -U_ {n}} {x ^ {2} -1}}. end {выровнено}}}

Последние две формулы могут быть затруднительны в числовом отношении из-за деления на ноль (0/0 неопределенная форма, в частности) на $Икс = 1$ и $Икс = -1$ . Можно показать, что:

{ displaystyle { begin {align} left. { frac { mathrm {d} ^ {2} T_ {n}} { mathrm {d} x ^ {2}}} right | _ {x = 1} ! ! & = { Frac {n ^ {4} -n ^ {2}} {3}}, left. { Frac { mathrm {d} ^ {2} T_ {n }} { mathrm {d} x ^ {2}}} right | _ {x = -1} ! ! & = (- 1) ^ {n} { frac {n ^ {4} -n ^ {2}} {3}}. End {выравнивается}}}

Доказательство —

Вторая производная от Полином Чебышева первого типа

{ displaystyle T '' _ {n} = n { frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x ^ {2} -1}}}

что, если оценивать, как показано выше, создает проблему, потому что это неопределенный в $Икс = \pm1$ . Поскольку функция является полиномом, (все) производные должны существовать для всех действительных чисел, поэтому ограничение приведенного выше выражения должно дать желаемое значение:

{ displaystyle T '' _ {n} (1) = lim _ {x to 1} n { frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x ^ {2} -1}} }

где только $Икс = 1$ пока рассматривается. Факторизуем знаменатель:

{ displaystyle T '' _ {n} (1) = lim _ {x to 1} n { frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {(x + 1) (x-1 )}} = lim _ {x to 1} n { frac {; { dfrac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x-1}} ;} {x + 1} }.}

Поскольку предел в целом должен существовать, предел числителя и знаменателя должен существовать независимо, и

{ displaystyle T '' _ {n} (1) = n { frac { displaystyle { lim _ {x to 1}} { frac {nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x -1}}} { displaystyle { lim _ {x to 1}} (x + 1)}} = { frac {n} {2}} lim _ {x to 1} { frac { nT_ {n} -xU_ {n-1}} {x-1}}.}

Знаменатель (по-прежнему) ограничивается нулем, что подразумевает, что числитель должен ограничиваться нулем, т.е. $U п - 1 (1) = нТл п (1) = п$ что будет полезно позже. Поскольку числитель и знаменатель ограничиваются нулем, Правило L'Hôpital применяется:

{ displaystyle { begin {align} T '' _ {n} (1) & = { frac {, n ,} {2}} , lim _ {x to 1} , { frac {, { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , left (n , T_ {n} -x , U_ {n-1} справа) ,} {, { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , (x-1) ,}} & = { frac { n} {2}} lim _ {x to 1} { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , left (n , T_ {n} -x , U_ {n-1} right) & = { frac {n} {2}} lim _ {x to 1} left (; n ^ {2} , U_ { n-1} -U_ {n-1} -x { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , left (U_ {n-1} right) ; right) & = { frac {n} {2}} left (, n ^ {2} , U_ {n-1} (1) -U_ {n-1} (1) - lim _ {x to 1} x , { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , left (U_ {n-1} right) , right) & = { frac {; n ^ {4} ,} {2}} - { frac {, ; n ^ {2} ,} {2}} - { frac {1} {, 2 ,}} lim _ {x to 1} { frac { mathrm {d}} {, mathrm {d} x ,}} , left ( n , U_ {n-1} right) & = { frac {; n ^ {4} ,} {2}} - { frac {; n ^ {2} ,} { 2}} - { frac {, T '' _ {n} (1) ,} {2}} T '' _ {n} (1) & = { frac {, n ^ { 4} -n ^ {2} ,} {3}} ~. конец {выровнено}}}

Доказательство $Икс = -1$ аналогично, с тем, что $Т п (-1) = (-1) п$ быть важным.

В самом деле, имеет место следующая более общая формула:

{ displaystyle left. { frac {d ^ {p} T_ {n}} {dx ^ {p}}} right | _ {x = pm 1} ! ! = ( pm 1) ^ {n + p} prod _ {k = 0} ^ {p-1} { frac {, n ^ {2} -k ^ {2} ,} {2k + 1}} ~.}

Этот последний результат очень полезен при численном решении задач на собственные значения.

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {p}} {, mathrm {d} x ^ {p} ,}} T_ {n} (x) = 2 ^ {p} , n mathop {{ sum} '} _ {0 leq k leq np, , npk { text {even}}} { binom {{ frac {, n + pk ,} {2}} -1} { frac {, npk ,} {2}}} { frac { left ({ frac {, n + p + k ,} {2}} - 1 right)!} {, ​​ left ({ frac {, n-p + k ,} {2}} right)! ,}} , T_ {k} (x) ~, qquad p geq 1 ~ ,}

где штрих у символов суммирования означает, что член, внесенный $k = 0$ должно быть уменьшено вдвое, если оно появится.

Что касается интеграции, первая производная от $Т п$ подразумевает, что

{ displaystyle int U_ {n} , mathrm {d} x = { frac {, T_ {n + 1} ,} {n + 1}}}

а рекуррентное соотношение для многочленов первого рода, содержащих производные, устанавливает, что для $п \geq 2$

{ displaystyle int T_ {n} , mathrm {d} x = { frac {1} {2}} , left (, { frac {, T_ {n + 1} ,} {n + 1}} - { frac {, T_ {n-1} ,} {n-1}} , right) = { frac {, n , T_ {n + 1} ,} {n ^ {2} -1}} - { frac {, x , T_ {n} ,} {n-1}} ~.}

Последней формулой можно далее манипулировать, чтобы выразить интеграл от $Т п$ как функция только от полиномов Чебышева первого рода:

{ displaystyle int T_ {n} , mathrm {d} x = { frac {n} {n ^ {2} -1}} T_ {n + 1} - { frac {1} {n- 1}} T_ {1} T_ {n} = { frac {n} {, n ^ {2} -1 ,}} , T_ {n + 1} - { frac {1} {, 2 (n-1) ,}} , (T_ {n + 1} + T_ {n-1}) = { frac {1} {, 2 (n + 1) ,}} , T_ {n + 1} - { frac {1} {, 2 (n-1) ,}} , T_ {n-1} ~.}

Кроме того, у нас есть

{ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} T_ {n} (x) , mathrm {d} x = { begin {case} { frac {, (- 1) ^ {n} +1 ,} {, 1-n ^ {2} ,}} quad & { text {if}} ~ n neq 1 0 quad & { text {if}} ~ n = 1 end {case}} ~.}

Ортогональность

Обе $Т п$ и $U п$ сформировать последовательность ортогональные многочлены. Полиномы первого рода $Т п$ ортогональны относительно веса

{ displaystyle { frac {1} {, { sqrt {1-x ^ {2} ,}} ,}} ~,}

на интервале $[-1, 1]$ , т.е. имеем:

{ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} T_ {n} (x) , T_ {m} (x) , { frac { mathrm {d} x} {, { sqrt { 1-x ^ {2} ,}} ,}} = { begin {cases} ~~ 0 quad & ~ { text {if}} ~ n neq m ~, ~ pi quad & ~ { text {if}} ~ n = m = 0 ~, ~ { frac { pi} {2}} quad & ~ { text {if}} ~ n = m neq 0 ~. end {case}}}

Это можно доказать, позволив $Икс = cos θ$ и используя определяющую личность $Т п (потому что θ) = cos nθ$ .

Аналогично полиномы второго рода $U п$ ортогональны относительно веса

{ Displaystyle { sqrt {1-х ^ {2} ,}}}

на интервале $[-1, 1]$ , т.е. имеем:

{ displaystyle int _ {- 1} ^ {1} U_ {n} (x) , U_ {m} (x) , { sqrt {1-x ^ {2} ,}} , mathrm {d} x = { begin {cases} ~~ 0 quad & ~ { text {if}} ~ n neq m ~, ~ { frac {, pi ,} {2} } quad & ~ { text {if}} ~ n = m ~. end {case}}}

(Мера $\sqrt 1 - Икс 2 d Икс$ с точностью до нормирующей константы Распределение полукруга Вигнера.)

В $Т п$ также удовлетворяют условию дискретной ортогональности:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N-1} {T_ {i} (x_ {k}) , T_ {j} (x_ {k})} = { begin {cases} ~ 0 quad & ~ { text {if}} ~ i neq j ~, ~ N quad & ~ { text {if}} ~ i = j = 0 ~, ~ { frac {, N ,} {2}} quad & ~ { text {if}} ~ i = j neq 0 ~, end {case}}}

где $N$ любое целое число больше, чем $я + j$ , а $Икс k$ являются $N$ Чебышевские узлы (см. выше) $Т N (Икс)$ :

{ displaystyle x_ {k} = cos left (, pi , { frac {, 2k + 1 ,} {2N}} , right) quad ~ { text {for}} ~ k = 0,1, dots, N-1 ~.}

Для многочленов второго рода и любого целого $N > я + j$ с такими же чебышевскими узлами $Икс k$ , есть похожие суммы:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (x_ {k}) , U_ {j} (x_ {k}) left (1-x_ {k} ^ {2} right)} = { begin {cases} ~ 0 quad & { text {if}} ~ i neq j ~, ~ { frac {, N ,} {2}} quad & ~ { text {if}} ~ i = j ~, end {case}}}

и без весовой функции:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (x_ {k}) , U_ {j} (x_ {k})} = { begin {cases} ~ 0 quad & ~ { text {if}} ~ i not Equiv j { pmod {2}} ~, ~ N cdot (1+ min {i, j }) quad & ~ { text {if}} ~ i Equiv j { pmod {2}} ~. end {case}}}

Для любого целого числа $N > я + j$ , на основе $N$ нули $U N (Икс)$ :

{ displaystyle y_ {k} = cos left (, pi , { frac {k + 1} {, N + 1 ,}} , right) quad ~ { text {для }} ~ k = 0,1, точки, N-1 ~,}

можно получить сумму:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (y_ {k}) , U_ {j} (y_ {k}) (1-y_ {k} ^ {2 })} = { begin {cases} ~ 0 quad & ~ { text {if}} i neq j ~, ~ { frac {, N + 1 ,} {2}} quad & ~ { text {if}} i = j ~, end {case}}}

и снова без весовой функции:

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {N-1} {U_ {i} (y_ {k}) , U_ {j} (y_ {k})} = { begin {cases} ~ 0 quad & ~ { text {if}} ~ я not Equiv j { pmod {2}} ~, ~ { big (} min {i, j } + 1 { big) } { big (} N- max {i, j } { big)} quad & ~ { text {if}} ~ i Equiv j { pmod {2}} ~. end { случаи}}}

Минимальный $\infty$ -норма

Для любого данного $п \geq 1$ , среди многочленов степени $п$ с ведущим коэффициентом 1 (моник полиномы),

{ displaystyle f (x) = { frac {1} {, 2 ^ {n-1} ,}} , T_ {n} (x)}

это тот, у которого максимальное абсолютное значение на интервале [−1, 1] минимально.

Это максимальное абсолютное значение равно

{ displaystyle { frac {1} {2 ^ {n-1}}}}

и $| ж (Икс) |$ достигает этого максимума точно $п + 1$ раз в

{ displaystyle x = cos { frac {k pi} {n}} quad { text {for}} 0 leq k leq n.}

Доказательство —

Предположим, что $ш п (Икс)$ является многочленом степени $п$ с ведущим коэффициентом 1 с максимальным модулем на интервале $[-1,1]$ меньше, чем $1 / 2 п - 1$ .

Определить

{ displaystyle f_ {n} (x) = { frac {1} {, 2 ^ {n-1} ,}} , T_ {n} (x) -w_ {n} (x)}

Потому что в крайних точках $Т п$ у нас есть

{ displaystyle { begin {align} | w_ {n} (x) | & < left | { frac {1} {2 ^ {n-1}}} T_ {n} (x) right | f_ {n} (x) &> 0 qquad { text {for}} ~ x = cos { frac {2k pi} {n}} ~ && { text {where}} 0 leq 2k leq n f_ {n} (x) & <0 qquad { text {for}} ~ x = cos { frac {(2k + 1) pi} {n}} ~ && { text {где}} 0 leq 2k + 1 leq n end {выровнено}}}

От теорема о промежуточном значении, $ж п (Икс)$ имеет по крайней мере $п$ корни. Однако это невозможно, так как $ж п (Икс)$ является многочленом степени $п - 1$ , так что основная теорема алгебры подразумевает, что у него самое большее $п - 1$ корни.

Реплика: Теорема об эквивалентных колебаниях, среди всех многочленов степени $\leq п$ , многочлен $ж$ сводит к минимуму $|| ж || \infty$ на $[-1,1]$ если и только если есть $п + 2$ точки $-1 \leq Икс 0 < Икс 1 < ... < Икс п + 1 \leq 1$ такой, что $| ж (Икс я) | = || ж || \infty$ .

Конечно, нулевой многочлен на интервале $[-1,1]$ может подходить сам по себе и сводит к минимуму $\infty$ -норма.

Однако выше $| ж |$ достигает своего максимума только $п + 1$ раз, потому что мы ищем лучший многочлен степени $п \geq 1$ (поэтому приведенная ранее теорема не может быть использована).

Другие свойства

Многочлены Чебышева являются частным случаем ультрасферических или Полиномы Гегенбауэра, которые сами по себе являются частным случаем Многочлены Якоби:

{ displaystyle { begin {align} T_ {n} (x) & = { frac {n} {2}} lim _ {q to 0} { frac {1} {, q ,} } , C_ {n} ^ {(q)} (x) qquad ~ { text {if}} ~ n geq 1 ~, U_ {n} (x) & = { frac { n + 1} {, {n + { tfrac {1} {2}} choose n} ,}} P_ {n} ^ {({ tfrac {1} {2}}, { frac {1 } {2}})} (x) = { frac {n + 1} {, {n + { tfrac {1} {2}} choose n} ,}} C_ {n} ^ {(1 )} (х) ~. конец {выровнено}}}

Для каждого неотрицательного целого числа $п$ , $Т п (Икс)$ и $U п (Икс)$ оба многочлены степени $п$ . Они есть четные или нечетные функции из $Икс$ так как $п$ четное или нечетное, поэтому при записи в виде многочленов от $Икс$ , он имеет только члены четной или нечетной степени соответственно. По факту,

{ displaystyle T_ {2n} (x) = T_ {n} left (2x ^ {2} -1 right) = 2T_ {n} (x) ^ {2} -1}

и

{ displaystyle 2xU_ {n} left (, 1-2x ^ {2} , right) = (- 1) ^ {n} , U_ {2n + 1} (x) ~.}

Старший коэффициент $Т п$ является $2 п - 1$ если $1 \leq п$ , но 1, если $0 = п$ .

$Т п$ являются частным случаем Кривые Лиссажу с отношением частот равным $п$ .

Несколько полиномиальных последовательностей типа Полиномы Лукаса ( $L п$ ), Полиномы Диксона ( $D п$ ), Полиномы Фибоначчи ( $F п$ ) связаны с полиномами Чебышева $Т п$ и $U п$ .

Многочлены Чебышева первого рода удовлетворяют соотношению

{ Displaystyle T_ {j} (x) , T_ {k} (x) = { tfrac {1} {2}} left (, T_ {j + k} (x) + T_ {| kj | } (x) , right) ,, qquad forall j, k geq 0 ~,}

что легко доказывается из формула произведения к сумме для косинуса. Полиномы второго рода удовлетворяют аналогичному соотношению

{ displaystyle T_ {j} (x) , U_ {k} (x) = { begin {cases} { tfrac {1} {2}} left (, U_ {j + k} (x) + U_ {kj} (x) , right), quad & ~ { text {if}} ~ k geq j-1 ~, { tfrac {1} {2}} left (, U_ {j + k} (x) -U_ {jk-2} (x) , right), quad & ~ { text {if}} ~ k leq j-2 ~. End {случаи}}}

(с определением $U -1 \equiv 0$ условно ).

Аналогично формуле

{ Displaystyle Т_ {п} ( соз тета) = соз (п тета) ~,}

у нас есть аналогичная формула

{ Displaystyle T_ {2n + 1} ( sin theta) = (- 1) ^ {n} sin { big (} , (2n + 1) theta , { big)} ~.}

За $Икс \neq 0$ ,

{ displaystyle T_ {n} left ({ frac {, x + x ^ {- 1} ,} {2}} right) = { frac {, x ^ {n} + x ^ { -n} ,} {2}}}

и

{ displaystyle x ^ {n} = T_ {n} left (, { frac {, x + x ^ {- 1} ,} {2}} , right) + { frac { , xx ^ {- 1} ,} {2}} U_ {n-1} left (, { frac {, x + x ^ {- 1} ,} {2}} , right ) ~,}

что следует из того, что это верно по определению для $Икс = е iθ$ .

Определить

{ Displaystyle C_ {n} (x) Equiv 2T_ {n} left (, { frac {, x ,} {2}} , right) ~.}

потом $C п (Икс)$ и $C м (Икс)$ коммутирующие многочлены:

{ Displaystyle C_ {n} { big (} , C_ {m} (x) , { big)} = C_ {m} { big (} , C_ {n} (x) , { big)} ~,}

как видно из Абелев свойство вложенности, указанное выше.

Обобщенные многочлены Чебышева

Обобщенные многочлены Чебышева Т_а определены

{ displaystyle T_ {a} ( cos x) = {} _ {2} F_ {1} left (, a, -a; { tfrac {1} {2}}; { tfrac {1} {2}} (1- cos x) , right) = cos ax ,, qquad x in (- pi, pi) ~,}

где $а$ не обязательно целое число, и $2 F 1 (а, б; c; z)$ гауссовский гипергеометрическая функция; Например ${ displaystyle T_ {1/2} (x) = { sqrt { frac {1 + x} {2}}}}$ .Расширение степенного ряда

{ displaystyle T_ {a} (x) = cos left ({ frac { pi a} {2}} right) + a sum _ {j = 1} { frac {(2x) ^ { j}} {2j}} cos left (, { frac {, pi , (aj) ,} {2}} , right) {{ frac {, a + j- 2 ,} {2}} choose j-1}}

сходится для ${ Displaystyle х в [-1,1] ~.}$

Примеры

Первый вид

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода в области

-1 < Икс < 1

: Квартира

Т 0

,

Т 1

,

Т 2

,

Т 3

,

Т 4

и

Т 5

.

Первые несколько полиномов Чебышева первого рода: OEIS: A028297

{ displaystyle { begin {align} T_ {0} (x) & = 1 T_ {1} (x) & = x T_ {2} (x) & = 2x ^ {2} -1 T_ {3} (x) & = 4x ^ {3} -3x T_ {4} (x) & = 8x ^ {4} -8x ^ {2} +1 T_ {5} (x) & = 16x ^ {5} -20x ^ {3} + 5x T_ {6} (x) & = 32x ^ {6} -48x ^ {4} + 18x ^ {2} -1 T_ {7 } (x) & = 64x ^ {7} -112x ^ {5} + 56x ^ {3} -7x T_ {8} (x) & = 128x ^ {8} -256x ^ {6} + 160x ^ {4} -32x ^ {2} +1 T_ {9} (x) & = 256x ^ {9} -576x ^ {7} + 432x ^ {5} -120x ^ {3} + 9x T_ {10} (x) & = 512x ^ {10} -1280x ^ {8} + 1120x ^ {6} -400x ^ {4} + 50x ^ {2} -1 T_ {11} (x) & = 1024x ^ {11} -2816x ^ {9} + 2816x ^ {7} -1232x ^ {5} + 220x ^ {3} -11x end {выровнено}}}

Второй вид

Первые несколько полиномов Чебышева второго рода в области

-1 < Икс < 1

: Квартира

U 0

,

U 1

,

U 2

,

U 3

,

U 4

и

U 5

. Хотя на изображении не видно,

U п (1) = п + 1

и

U п (-1) = (п + 1)(-1) п

.

Первые несколько многочленов Чебышева второго рода - это OEIS: A053117

{ displaystyle { begin {align} U_ {0} (x) & = 1 U_ {1} (x) & = 2x U_ {2} (x) & = 4x ^ {2} -1 U_ {3} (x) & = 8x ^ {3} -4x U_ {4} (x) & = 16x ^ {4} -12x ^ {2} +1 U_ {5} (x) & = 32x ^ {5} -32x ^ {3} + 6x U_ {6} (x) & = 64x ^ {6} -80x ^ {4} + 24x ^ {2} -1 U_ {7 } (x) & = 128x ^ {7} -192x ^ {5} + 80x ^ {3} -8x U_ {8} (x) & = 256x ^ {8} -448x ^ {6} + 240x ^ {4} -40x ^ {2} +1 U_ {9} (x) & = 512x ^ {9} -1024x ^ {7} + 672x ^ {5} -160x ^ {3} + 10x end { выровнен}}}

В качестве базового набора

Негладкая функция (вверху)

у = - Икс 3 ЧАС (- Икс)

, где

ЧАС

это Ступенчатая функция Хевисайда, и (внизу) 5-я частичная сумма его разложения Чебышёва. 7-я сумма неотличима от исходной функции при разрешении графика.

В соответствующем Соболевское пространство, множество полиномов Чебышева образуют ортонормированный базис, так что функция в том же пространстве может на $-1 \leq Икс \leq 1$ быть выражено через расширение:^[6]

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} T_ {n} (x).}

Кроме того, как упоминалось ранее, полиномы Чебышева образуют ортогональный базис, который (среди прочего) подразумевает, что коэффициенты $а п$ можно легко определить, применив внутренний продукт. Эта сумма называется Чебышевская серия или Чебышевское расширение.

Поскольку ряд Чебышева связан с Ряд косинусов Фурье путем замены переменных, все теоремы, тождества и т. д., которые применяются к Ряд Фурье есть чебышевский коллега.^[6] Эти атрибуты включают:

Многочлены Чебышева образуют полный ортогональная система.
Ряд Чебышева сходится к $ж (Икс)$ если функция кусочно гладкий; плавный и непрерывный. Требование гладкости может быть ослаблено в большинстве случаев - до тех пор, пока имеется конечное число разрывов в $ж (Икс)$ и его производные.
На разрыве ряд сходится к среднему значению правого и левого пределов.

Обилие теорем и тождеств, унаследованных от Ряд Фурье сделать полиномы Чебышева важным инструментом в числовой анализ; например, это самые популярные базовые функции общего назначения, используемые в спектральный метод,^[6] часто в пользу тригонометрических рядов из-за более быстрой сходимости непрерывных функций (Феномен Гиббса все еще проблема).

Пример 1

Рассмотрим чебышёвское разложение $журнал (1 + Икс)$ . Можно выразить

{ displaystyle log (1 + x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}

Можно найти коэффициенты $а п$ либо посредством применения внутренний продукт или условием дискретной ортогональности. Для внутреннего продукта

{ displaystyle int _ {- 1} ^ {+ 1} , { frac {, T_ {m} (x) , log (1 + x) ,} {, { sqrt {1) -x ^ {2} ,}} ,}} , mathrm {d} x = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} int _ {- 1} ^ {+ 1} { frac {T_ {m} (x) , T_ {n} (x)} {, { sqrt {1-x ^ {2} ,}} ,}} , mathrm { d} x ~,}

который дает

{ displaystyle a_ {n} = { begin {cases} - log 2 quad & { text {for}} ~ n = 0 ~, { frac {, - 2 (-1) ^ { n} ,} {n}} quad & { text {for}} ~ n> 0 ~. end {case}}}

В качестве альтернативы, когда внутренний продукт аппроксимируемой функции не может быть вычислен, условие дискретной ортогональности дает часто полезный результат для приблизительный коэффициенты,

{ displaystyle a_ {n} приблизительно { frac {, 2- delta _ {0n} ,} {N}} , sum _ {k = 0} ^ {N-1} T_ {n} (x_ {k}) , log (1 + x_ {k}) ~,}

где $δ ij$ это Дельта Кронекера функция и $Икс k$ являются $N$ Нули Гаусса – Чебышева $Т N (Икс)$ :

{ displaystyle x_ {k} = cos left (, { frac { pi left (, k + { tfrac {1} {2}} , right)} {N}} , верно).}

Для любого $N$ , эти приближенные коэффициенты обеспечивают точное приближение к функции при $Икс k$ с контролируемой ошибкой между этими точками. Точные коэффициенты получаются с помощью $N = \infty$ , таким образом представляя функцию точно во всех точках в $[-1,1]$ . Скорость сходимости зависит от функции и ее гладкости.

Это позволяет нам вычислить приблизительные коэффициенты $а п$ очень эффективно через дискретное косинусное преобразование

{ displaystyle a_ {n} приблизительно { frac {2- delta _ {0n}} {N}} sum _ {k = 0} ^ {N-1} cos left (, { frac {n pi , left (, k + { tfrac {1} {2}} , right)} {N}} , right) log (1 + x_ {k}) ~.}

Пример 2

Другой пример:

{ displaystyle { begin {align} (1-x ^ {2}) ^ { alpha} & ~ = ~ - { frac {1} {, { sqrt { pi ,}} ,} } , { frac {, Gamma left (, { tfrac {1} {2}} + alpha , right) ,} { Gamma (, alpha +1 ,) }} + 2 ^ {1-2 alpha} , sum _ {n = 0} (- 1) ^ {n} , {2 alpha choose alpha -n} , T_ {2n} ( x) & ~ = ~ 2 ^ {- 2 alpha} , sum _ {n = 0} (- 1) ^ {n} , {2 alpha +1 choose alpha -n} , U_ {2n} (x) ~. End {align}}}

Частичные суммы

{ displaystyle f (x) = sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {n} T_ {n} (x)}

очень полезны в приближение различных функций и в решении дифференциальные уравнения (увидеть спектральный метод ). Два распространенных метода определения коэффициентов $а п$ через использование внутренний продукт как в Метод Галеркина и за счет использования словосочетание что связано с интерполяция.

В качестве интерполянта $N$ коэффициенты $(N - 1)$ -ю частичную сумму обычно получают на схеме Чебышева – Гаусса – Лобатто^[7] точек (или сетку Лобатто), что дает минимальную ошибку и позволяет избежать Феномен Рунге связанные с равномерной сеткой. Этот набор точек соответствует экстремумам полинома наивысшего порядка в сумме плюс конечные точки и определяется как:

{ Displaystyle х_ {к} = - соз влево (, { гидроразрыва {, к пи ,} {, N-1 ,}} , вправо) ,; qquad k = 0,1, точки, N-1 ~.}

Многочлен в форме Чебышева

Произвольный многочлен степени $N$ можно записать в терминах полиномов Чебышева первого рода.^[8] Такой многочлен $п (Икс)$ имеет форму

{ displaystyle p (x) = sum _ {n = 0} ^ {N} a_ {n} T_ {n} (x) ~.}

Многочлены в форме Чебышева можно вычислить с помощью Алгоритм Кленшоу.

Сдвинутые полиномы Чебышева

Сдвинутые полиномы Чебышева первого рода определяются как

{ Displaystyle T_ {n} ^ {*} (x) = T_ {n} (2x-1) ~.}

Когда аргумент полинома Чебышева находится в диапазоне $2 Икс - 1 \in [-1, 1]$ аргумент сдвинутого многочлена Чебышева равен $Икс \in [0, 1]$ . Точно так же можно определить сдвинутые полиномы для общих интервалов $[а, б]$ .

Полиномы распространения

В полиномы распространения являются перемасштабированием сдвинутых многочленов Чебышева первого рода, так что диапазон также $[0, 1]$ . Это,

{ displaystyle S_ {n} (x) = { frac {, 1-T_ {n} (1-2x) ,} {2}} ~.}

Смотрите также

Источники

Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. "Глава 22". Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. Г-Н 0167642. LCCN 65-12253.
Детте, Хольгер (1995). «Заметка о некоторых своеобразных нелинейных экстремальных явлениях полиномов Чебышева». Труды Эдинбургского математического общества. 38 (2): 343–355. arXiv:математика / 9406222. Дои:10.1017 / S001309150001912X. S2CID 16703489.
Эллиотт, Дэвид (1964). «Вычисление и оценка коэффициентов разложения функции в ряд Чебышева». Математика. Comp. 18 (86): 274–284. Дои:10.1090 / S0025-5718-1964-0166903-7. Г-Н 0166903.
Еременко, А .; Лемперт, Л. (1994). «Экстремальная задача для многочленов» (PDF). Труды Американского математического общества. 122 (1): 191–193. Дои:10.1090 / S0002-9939-1994-1207536-1. Г-Н 1207536.
Эрнандес, М. А. (2001). «Чебышевские аппроксимационные алгоритмы и приложения». Комп. Математика. Приложение. 41 (3–4): 433–445. Дои:10.1016 / s0898-1221 (00) 00286-8.
Мейсон, Дж. К. (1984). «Некоторые свойства и приложения полинома Чебышева и рациональной аппроксимации». Рациональная аппроксимация и интерполяция. Конспект лекций по математике. 1105. С. 27–48. Дои:10.1007 / BFb0072398. ISBN 978-3-540-13899-0.
Mason, J.C .; Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева. Тейлор и Фрэнсис.
Матар, Р. Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Appl. Математика. 196 (2): 596–607. arXiv:математика / 0403344. Bibcode:2006JCoAM.196..596M. Дои:10.1016 / j.cam.2005.10.013. S2CID 16476052.
Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, Г-Н 2723248
Ремес, Юджин. "Об одном экстремальном свойстве полиномов Чебышева" (PDF).
Зальцер, Герберт Э. (1976). «Преобразование интерполяционного ряда в ряд Чебышева по рекуррентным формулам». Математика. Comp. 30 (134): 295–302. Дои:10.1090 / S0025-5718-1976-0395159-3. Г-Н 0395159.
Scraton, R.E. (1969). «Решение интегральных уравнений в рядах Чебышева». Математика. Вычислить. 23 (108): 837–844. Дои:10.1090 / S0025-5718-1969-0260224-4. Г-Н 0260224.
Смит, Лайл Б. (1966). «Вычисление коэффициентов ряда Чебышева». Comm. ACM. 9 (2): 86–87. Дои:10.1145/365170.365195. S2CID 8876563. Алгоритм 277.
Суетин, П. К. (2001) [1994], «Многочлены Чебышева», Энциклопедия математики, EMS Press

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Многочлены Чебышева первого рода». MathWorld.
Мэтьюз, Джон Х. (2003). «Модуль для полиномов Чебышева». Кафедра математики. Заметки по математике 340 Числовой анализ И математика 440 Расширенный численный анализ. Фуллертон, Калифорния: Университет штата Калифорния. Архивировано из оригинал 29 мая 2007 г.. Получено 17 августа 2020.
«Чебышевская интерполяция: интерактивный тур». Математическая ассоциация Америки (MAA) - включает иллюстративный Java-апплет.
«Численные вычисления с функциями». Проект Chebfun.
«Есть ли интуитивное объяснение экстремальному свойству полиномов Чебышева?». Математическое переполнение. Вопрос 25534.
"Полиномиальное вычисление Чебышева и преобразование Чебышева". Увеличение. Математика.

[1] Ривлин, Теодор Дж. (1974). «Глава 2, Экстремальные свойства». Полиномы Чебышева.. Чистая и прикладная математика (1-е изд.). Нью-Йорк-Лондон-Сидней: Wiley-Interscience [John Wiley & Sons]. С. 56–123. ISBN 978-047172470-4.

[2] Впервые полиномы Чебышева были представлены в Чебышев, П. Л. (1854). "Теория механизма коннус су ле псевдоним параллограмм". Mémoires des Savants étrangers présentés в l'Académie de Saint-Pétersbourg (На французском). 7: 539–586.

[3] Демейер, Джерун (2007). Диофантовы множества над кольцами многочленов и десятая проблема Гильберта для функциональных полей (PDF) (Кандидатская диссертация). п. 70. Архивировано с оригинал (PDF) 2 июля 2007 г.

[Cody-4] Коди, У. Дж. (1970). «Обзор практических рациональных и полиномиальных приближений функций». SIAM Обзор. 12 (3): 400–423. Дои:10.1137/1012082.

[Mathar-5] Матар, Р. Дж. (2006). «Разложение обратных многочленов в ряд Чебышева». J. Comput. Appl. Математика. 196 (2): 596–607. arXiv:математика / 0403344. Bibcode:2006JCoAM..196.596M. Дои:10.1016 / j.cam.2005.10.013. S2CID 16476052.

[boyd-6] а ^б ^c Бойд, Джон П. (2001). Чебышева и спектральные методы Фурье. (PDF) (второе изд.). Дувр. ISBN 0-486-41183-4. Архивировано из оригинал (PDF) 31 марта 2010 г.. Получено 19 марта 2009.

[7] «Чебышевская интерполяция: интерактивный тур». Архивировано из оригинал 18 марта 2017 г.. Получено 2 июн 2016.

[8] Для получения дополнительной информации о коэффициентах см .: Мейсон, Дж. К. и Хэндскомб, округ Колумбия (2002). Полиномы Чебышева. Тейлор и Фрэнсис.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Полиномы Чебышева - Chebyshev polynomials

Содержание

Определение

Тригонометрическое определение

Определение уравнения Пелла

Произведения полиномов Чебышева

Связь между двумя видами многочленов Чебышева

Явные выражения

Характеристики

Симметрия

Корни и экстремумы

Дифференциация и интеграция

Ортогональность

Минимальный $\infty$ -норма

Другие свойства

Обобщенные многочлены Чебышева

Примеры

Первый вид

Второй вид

В качестве базового набора

Пример 1

Пример 2

Частичные суммы

Многочлен в форме Чебышева

Сдвинутые полиномы Чебышева

Полиномы распространения

Смотрите также

Рекомендации

Источники

внешняя ссылка

Полиномы Чебышева - Chebyshev polynomials

Определение

Тригонометрическое определение

Определение уравнения Пелла

Произведения полиномов Чебышева

Связь между двумя видами многочленов Чебышева

Явные выражения

Характеристики

Симметрия

Корни и экстремумы

Дифференциация и интеграция

Ортогональность

Минимальный ∞-норма

Другие свойства

Обобщенные многочлены Чебышева

Примеры

Первый вид

Второй вид

В качестве базового набора

Пример 1

Пример 2

Частичные суммы

Многочлен в форме Чебышева

Сдвинутые полиномы Чебышева

Полиномы распространения

Смотрите также

Рекомендации

Источники

внешняя ссылка

Минимальный $\infty$ -норма