Четные и нечетные функции - Even and odd functions

В функция синуса и все его Полиномы Тейлора - нечетные функции. Это изображение показывает

{ Displaystyle грех (х)}

и его приближения Тейлора, многочлены степени 1, 3, 5, 7, 9, 11 и 13.

В функция косинуса и все его Полиномы Тейлора четные функции. Это изображение показывает

{ Displaystyle соз (х)}

и его приближение Тейлора степени 4.

В математика, четные функции и нечетные функции находятся функции которые удовлетворяют конкретным симметрия отношения, в отношении принятия аддитивное обратное. Они важны во многих областях математический анализ, особенно теория степенной ряд и Ряд Фурье. Они названы в честь паритет полномочий степенные функции которые удовлетворяют каждому условию: функция ${ Displaystyle е (х) = х ^ {п}}$ является четной функцией, если п это даже целое число, и это нечетная функция, если п нечетное целое число.

Определение и примеры

Ровность и нечетность обычно рассматриваются для реальные функции, то есть действительные функции действительной переменной. Однако в более общем плане концепции могут быть определены для функций, чьи домен и codomain оба имеют представление о Противоположное число. Это включает в себя абелевы группы, все кольца, все поля, и все векторные пространства. Так, например, реальная функция может быть нечетной или четной, как и сложный -значная функция векторной переменной и т. д.

Приведенные примеры являются реальными функциями, чтобы проиллюстрировать симметрия от их графики.

Четные функции

{ Displaystyle е (х) = х ^ {2}}

является примером четной функции.

Позволять ж быть действительной функцией действительной переменной. потом ж является четное если для всех Икс такой, что Икс и -Икс в области ж:^[1]^{:п. 11}

{ Displaystyle f (x) = f (-x)}

(Уравнение 1)

или, что то же самое, если для всех таких Икс:

{ Displaystyle f (x) -f (-x) = 0.}

Геометрически график четной функции имеет вид симметричный с уважением к у-axis, что означает, что его график остается неизменным после отражение о у-ось.

Примеры четных функций:

В абсолютная величина ${ Displaystyle х mapsto | х |,}$
${ Displaystyle х mapsto х ^ {2},}$
${ Displaystyle х mapsto х ^ {4},}$
косинус ${ displaystyle cos,}$
гиперболический косинус ${ displaystyle cosh.}$

Странные функции

{ Displaystyle е (х) = х ^ {3}}

это пример нечетной функции.

Опять же, пусть ж быть действительной функцией действительной переменной. потом ж является странный если для всех Икс такой, что Икс и -Икс находятся в сфере ж:^[1]^{:п. 72}

{ Displaystyle -f (х) = f (-x)}

(Уравнение 2)

или, что то же самое, если для всех таких Икс:

{ Displaystyle f (x) + f (-x) = 0.}

Геометрически график нечетной функции имеет вращательную симметрию относительно источник, что означает, что его график не изменится после вращение из 180 градусы о происхождении.

Примеры нечетных функций:

Функция идентичности ${ Displaystyle х mapsto х,}$
${ Displaystyle х mapsto х ^ {3},}$
синус ${ displaystyle sin,}$
гиперболический синус ${ displaystyle sinh,}$
В функция ошибки ${ displaystyle operatorname {erf}.}$

{ Displaystyle е (х) = х ^ {3} +1}

не является ни четным, ни нечетным.

Основные свойства

Уникальность

Если функция является как четной, так и нечетной, она равна 0 везде, где она определена.
Если функция нечетная, абсолютная величина этой функции является четной функцией.

Сложение и вычитание

В сумма из двух четных функций будет четным.
Сумма двух нечетных функций нечетная.
В разница между двумя нечетными функциями является нечетным.
Разница между двумя четными функциями четная.
Сумма четной и нечетной функции не является ни четной, ни нечетной, если только одна из функций не равна нулю в данном домен.

Умножение и деление

В товар двух четных функций является четной функцией.
Произведение двух нечетных функций является четной функцией.
Произведение четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.
В частное двух четных функций является четной функцией.
Частное двух нечетных функций является четной функцией.
Частное четной функции и нечетной функции является нечетной функцией.

Сочинение

В сочинение из двух четных функций будет четным.
Композиция двух нечетных функций нечетная.
Композиция четной функции и нечетной функции четна.
Композиция любой функции с четной функцией четна (но не наоборот).

Четно-нечетное разложение

Каждую функцию можно однозначно разложить на сумму четной и нечетной функции, которые соответственно называются даже часть и странная часть функции; если определить

{ displaystyle f _ { text {e}} (x) = { frac {f (x) + f (-x)} {2}}}

(Уравнение 3)

и

{ displaystyle f _ { text {o}} (x) = { frac {f (x) -f (-x)} {2}}}

(Уравнение 4)

тогда ${ displaystyle f _ { text {e}}}$ даже, ${ displaystyle f _ { text {o}}}$ странно, и

{ displaystyle f (x) = f _ { text {e}} (x) + f _ { text {o}} (x).}

Наоборот, если

{ Displaystyle е (х) = г (х) + час (х),}

куда $грамм$ даже и $час$ странно, то ${ displaystyle g = f _ { text {e}}}$ и ${ displaystyle h = f _ { text {o}},}$ поскольку

{ Displaystyle { begin {align} 2f _ { text {e}} (x) & = f (x) + f (-x) = g (x) + g (-x) + h (x) + h (-x) = 2g (x), 2f _ { text {o}} (x) & = f (x) -f (-x) = g (x) -g (-x) + h (x ) -h (-x) = 2h (x). end {align}}}

Например, гиперболический косинус и гиперболический синус можно рассматривать как четную и нечетную части экспоненциальной функции, поскольку первая является четной функцией, вторая - нечетной и

{ displaystyle e ^ {x} = underbrace { cosh (x)} _ {f _ { text {e}} (x)} + underbrace { sinh (x)} _ {f _ { text {o }}(Икс)}}

.

Дополнительные алгебраические свойства

Любой линейная комбинация четных функций является четным, а четные функции образуют векторное пространство над реалы. Аналогично, любая линейная комбинация нечетных функций является нечетной, и нечетные функции также образуют векторное пространство над действительными числами. Фактически, векторное пространство все реальные функции прямая сумма из подпространства четных и нечетных функций. Это более абстрактный способ выражения свойства, описанного в предыдущем разделе.
- Пространство функций можно рассматривать как градуированная алгебра над действительными числами этим свойством, а также некоторыми из перечисленных выше.

Четные функции образуют коммутативная алгебра над реалами. Однако нечетные функции нет образуют алгебру над действительными числами, поскольку они не закрыто при умножении.

Аналитические свойства

Четность или нечетность функции не подразумевает дифференцируемость, или даже непрерывность. Например, Функция Дирихле четное, но нигде не непрерывное.

Далее свойства, включающие производные, Ряд Фурье, Серия Тейлор и т. д. предположим, что эти концепции определены для рассматриваемых функций.

Основные аналитические свойства

В производная четной функции является нечетной.
Производная нечетной функции четная.
В интеграл нечетной функции из -А к +А равно нулю (где А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между -А и А). Для нечетной функции, интегрируемой на симметричном интервале, например ${ displaystyle [-A, A]}$ , результат интеграла по этому интервалу равен нулю; то есть^[2]

{ Displaystyle int _ {- A} ^ {A} е (х) , dx = 0}

.

Интеграл четной функции от -А к +А это удвоенный интеграл от 0 до +А (куда А конечна, и функция не имеет вертикальных асимптот между -А и А. Это также верно, когда А бесконечно, но только если интеграл сходится); то есть

{ displaystyle int _ {- A} ^ {A} f (x) , dx = 2 int _ {0} ^ {A} f (x) , dx}

.

Серии

В Серия Маклорена четной функции включает только четные полномочия.
Ряд Маклорена нечетной функции включает только нечетные степени.
В Ряд Фурье из периодический четная функция включает только косинус термины.
Ряд Фурье периодической нечетной функции включает только синус термины.
В преобразование Фурье чисто вещественной четной функции действительна и четна. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )
Преобразование Фурье чисто вещественнозначной нечетной функции бывает мнимым и нечетным. (видеть Анализ Фурье § Свойства симметрии )

Гармоники

В обработка сигналов, гармоническое искажение происходит, когда синусоидальная волна сигнал отправляется через без памяти нелинейная система, то есть система, выход которой в момент времени т зависит только от ввода во время т и не зависит от ввода ранее. Такая система описывается функцией отклика ${ displaystyle V _ { text {out}} (t) = f (V _ { text {in}} (t))}$ . Тип гармоники производится в зависимости от функции отклика ж:^[3]

Когда функция отклика является четной, результирующий сигнал будет состоять только из четных гармоник входной синусоидальной волны; ${ displaystyle 0f, 2f, 4f, 6f, dots}$ ${ displaystyle 0f, 2f, 4f, 6f, dots}$
- В фундаментальный также является нечетной гармоникой, поэтому не будет присутствовать.
- Простой пример - двухполупериодный выпрямитель.
- В ${ displaystyle 0f}$ Компонент представляет смещение постоянного тока из-за одностороннего характера четно-симметричных передаточных функций.
Если он нечетный, результирующий сигнал будет состоять только из нечетных гармоник входной синусоидальной волны; ${ displaystyle 1f, 3f, 5f, dots}$ ${ displaystyle 1f, 3f, 5f, dots}$
- Выходной сигнал будет полуволновым. симметричный.
- Простой пример: вырезка в симметричном двухтактный усилитель.
Когда он асимметричен, результирующий сигнал может содержать как четные, так и нечетные гармоники; ${ displaystyle 1f, 2f, 3f, dots}$ ${ displaystyle 1f, 2f, 3f, dots}$
- Простые примеры - однополупериодный выпрямитель и несимметричный усилитель класса А.

Обратите внимание, что это не относится к более сложным сигналам. А пилообразная волна например, содержит как четные, так и нечетные гармоники. После четно-симметричного двухполупериодного выпрямления он становится треугольная волна, который, кроме смещения постоянного тока, содержит только нечетные гармоники.

Обобщения

Многомерные функции

Ровная симметрия:

Функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ называется даже симметричный если:

{ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = f (-x_ {1}, - x_ {2}, ldots, -x_ {n}) quad { text {для всех}} x_ {1}, ldots, x_ {n} in mathbb {R}}

Странная симметрия:

Функция ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {n} to mathbb {R}}$ называется нечетно симметричный если:

{ displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n}) = - f (-x_ {1}, - x_ {2}, ldots, -x_ {n}) quad { text {для всех}} x_ {1}, ldots, x_ {n} in mathbb {R}}

Комплексные функции

Определения четной и нечетной симметрии для комплексный функции реального аргумента аналогичны реальному случаю, но включают комплексное сопряжение.

Ровная симметрия:

Комплексная функция действительного аргумента ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {C}}$ называется даже симметричный если:

{ displaystyle f (x) = { overline {f (-x)}} quad { text {для всех}} x in mathbb {R}}

Странная симметрия:

Комплексная функция действительного аргумента ${ displaystyle f: mathbb {R} to mathbb {C}}$ называется нечетно симметричный если:

{ displaystyle f (x) = - { overline {f (-x)}} quad { text {для всех}} x in mathbb {R}}

Последовательности конечной длины

Определения нечетной и четной симметрии распространяются на N-точечные последовательности (т.е. функции вида ${ displaystyle f: left {0,1, ldots, N-1 right } to mathbb {R}}$ ) следующее:^[4]^{:п. 411}

Ровная симметрия:

А N-точечная последовательность называется даже симметричный если

{ displaystyle f (n) = f (N-n) quad { text {для всех}} n in left {1, ldots, N-1 right }.}

Такую последовательность часто называют палиндромная последовательность; смотрите также Палиндромный полином.

Странная симметрия:

А N-точечная последовательность называется нечетно симметричный если

{ displaystyle f (n) = - е (N-n) quad { text {для всех}} n in left {1, ldots, N-1 right }.}

Такую последовательность иногда называют антипалиндромная последовательность; смотрите также Антипалиндромный полином.

Смотрите также

Эрмитова функция для обобщения в комплексных числах
Серия Тейлор
Ряд Фурье
Метод голштинской селедки
Четность (физика)

Примечания

^ ^а ^б Gel'Fand, I.M .; Глаголева, Э.Г .; Шнол, Э.Е. (1990). Функции и графики. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.
^ В., Вайсштейн, Эрик. «Нечетная функция». mathworld.wolfram.com.
^ Бернерс, Дэйв (октябрь 2005 г.). "Спросите врачей: ламповые и твердотельные гармоники". UA WebZine. Универсальное аудио. Получено 2016-09-22. Подводя итог, если функция f (x) нечетная, входной косинус не будет производить четных гармоник. Если функция f (x) четная, косинусный вход не будет производить нечетных гармоник (но может содержать составляющую постоянного тока). Если функция не является ни нечетной, ни четной, на выходе могут присутствовать все гармоники.
^ Proakis, John G .; Манолакис, Дмитрий Г. (1996), Цифровая обработка сигналов: принципы, алгоритмы и приложения (3-е изд.), Верхняя Сэдл-Ривер, Нью-Джерси: Prentice-Hall International, ISBN 9780133942897, sAcfAQAAIAAJ

Четные и нечетные функции - Even and odd functions

Содержание

Определение и примеры

Четные функции

Странные функции

Основные свойства

Уникальность

Сложение и вычитание

Умножение и деление

Сочинение

Четно-нечетное разложение

Дополнительные алгебраические свойства

Аналитические свойства

Основные аналитические свойства

Серии

Гармоники

Обобщения

Многомерные функции

Комплексные функции

Последовательности конечной длины

Смотрите также

Примечания

Рекомендации