Функция ошибки - Error function

График функции ошибок

В математике функция ошибки (также называемый Функция ошибок Гаусса), часто обозначаемый Эрф, является сложной функцией комплексной переменной, определяемой как:^[1]

${ displaystyle operatorname {erf} z = { frac {2} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {z} e ^ {- t ^ {2}} , dt.}$

Этот интеграл является специальный (неэлементарный ) и сигмовидный функция, которая часто встречается в вероятность, статистика, и уравнения в частных производных. Во многих из этих приложений аргумент функции является действительным числом. Если аргумент функции является действительным, значение функции также является действительным.

В статистике при неотрицательных значениях Икс, функция ошибки имеет следующую интерпретацию: для случайная переменная Y это нормально распределенный с иметь в виду 0 и отклонение 1/2, Эрф Икс вероятность того, что Y попадает в диапазон [−Икс, Икс].

Две тесно связанные функции: дополнительная функция ошибок (erfc) определяется как

${ displaystyle operatorname {erfc} z = 1- operatorname {erf} z,}$

и функция мнимой ошибки (Эрфи) определяется как

${ displaystyle operatorname {erfi} z = -i operatorname {erf} (iz),}$

где я это мнимая единица.

имя

Название «функция ошибки» и его сокращение. Эрф были предложены Дж. У. Л. Глейшер в 1871 г. из-за его связи с «теорией вероятностей, и особенно теорией Ошибки."^[2] Дополнение функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году.^[3]Для "закона легкости" ошибок, плотность дан кем-то

${ displaystyle f (x) = left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

(в нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между ${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ в качестве:

${ displaystyle left ({ frac {c} { pi}} right) ^ { tfrac {1} {2}} int _ {p} ^ {q} e ^ {- cx ^ {2} } dx = { tfrac {1} {2}} left ( operatorname {erf} (q { sqrt {c}}) - operatorname {erf} (p { sqrt {c}}) right) .}$

Приложения

Когда результаты серии измерений описываются нормальное распределение с среднеквадратичное отклонение ${ displaystyle sigma}$ и ожидаемое значение 0, тогда ${ displaystyle textstyle operatorname {erf} left ({ frac {a} { sigma { sqrt {2}}}} right)}$ вероятность того, что ошибка единичного измерения находится между -а и +а, для положительного а. Это полезно, например, при определении частота ошибок по битам цифровой системы связи.

Функции ошибок и дополнительных ошибок встречаются, например, в решениях уравнение теплопроводности когда граничные условия даны Ступенчатая функция Хевисайда.

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые верны. с большой вероятностью или с малой вероятностью. Учитывая случайную величину ${ displaystyle X sim operatorname {Norm} [ mu, sigma]}$ и постоянный ${ Displaystyle L < mu}$:

${ displaystyle Pr [X leq L] = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {L- mu} {{ sqrt {2}} sigma}} right) приблизительно A exp left (-B left ({ frac {L- mu} { sigma}} right) ^ {2} верно)}$

где А и B - определенные числовые константы. Если L достаточно далеко от среднего, т.е. ${ displaystyle mu -L geq sigma { sqrt { ln {k}}}}$, тогда:

${ Displaystyle Pr [Икс Leq L] Leq A ехр (-B ln {k}) = { frac {A} {k ^ {B}}}}$

так что вероятность стремится к 0 как ${ Displaystyle к к infty}$.

Характеристики

Сюжеты в комплексной плоскости

Интегрируем exp (-z²)

эрф (z)

Недвижимость ${ displaystyle operatorname {erf} (-z) = - operatorname {erf} (z)}$ означает, что функция ошибок является нечетная функция. Это напрямую связано с тем, что подынтегральное выражение ${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}$ является даже функция.

Для любого комплексное число z:

${ displaystyle operatorname {erf} ({ overline {z}}) = { overline { operatorname {erf} (z)}}}$

где ${ displaystyle { overline {z}}}$ это комплексно сопряженный из z.

Подынтегральное выражение ж = ехр (-z²) и ж = erf (z) показаны в комплексе z-плоскость на рисунках 2 и 3. Уровень Im (ж) = 0 отображается толстой зеленой линией. Отрицательные целые значения Im (ж) показаны толстыми красными линиями. Положительные целочисленные значения Im (ж) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im (ж) = constant показаны тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re (ж) = constant показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Гауссов интеграл ). На действительной оси erf (z) приближается к единице при z → + ∞ и −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ±я∞.

Серия Тейлор

Функция ошибок - это вся функция; он не имеет особенностей (кроме бесконечности) и его Расширение Тейлора всегда сходится, но, как известно, «[...] плохая сходимость, если x> 1».^[4]

Определяющий интеграл нельзя вычислить в закрытая форма с точки зрения элементарные функции, но за счет расширения интегрировать е^−z2 в его Серия Маклорена и интегрируя почленно, можно получить ряд Маклорена функции ошибок как:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ { n} z ^ {2n + 1}} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z - { frac {z ^ {3}) } {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} - { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} - cdots right)}$

которое справедливо для каждого комплексное число  z. Члены знаменателя - это последовательность A007680 в OEIS.

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} left (z prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}} right) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z} {2n + 1}} prod _ {k = 1} ^ {n} { frac {-z ^ {2}} {k }}}$

потому что ${ displaystyle { frac {- (2k-1) z ^ {2}} {k (2k + 1)}}}$ выражает множитель, чтобы повернуть k^th член в (k + 1)^ул срок (учитывая z как первый член).

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

${ displaystyle operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {z ^ {2n + 1 }} {n! (2n + 1)}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} left (z + { frac {z ^ {3}} {3}} + { frac {z ^ {5}} {10}} + { frac {z ^ {7}} {42}} + { frac {z ^ {9}} {216}} + cdots right)}$

которое справедливо для каждого комплексное число  z.

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}}.}$

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

${ displaystyle { frac {d} {dz}} operatorname {erfi} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {z ^ {2}}.}$

An первообразный функции ошибок, которую можно получить интеграция по частям, является

${ displaystyle z operatorname {erf} (z) + { frac {e ^ {- z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}.$

Первообразной функции мнимой ошибки, также получаемой интегрированием по частям, является

${ displaystyle z operatorname {erfi} (z) - { frac {e ^ {z ^ {2}}} { sqrt { pi}}}.}$

Производные высшего порядка даются формулами

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {(k)} (z) = { frac {2 (-1) ^ {k-1}} { sqrt { pi}}} { mathit {H}} _ {k-1} (z) e ^ {- z ^ {2}} = { frac {2} { sqrt { pi}}} { frac {d ^ {k-1}} {dz ^ {k-1}}} left (e ^ {- z ^ {2}} right), qquad k = 1,2, dots}$

где ${ displaystyle { mathit {H}}}$ физики Полиномы Эрмита.^[5]

Bürmann серии

Расширение,^[6] который сходится быстрее для всех реальных значений ${ displaystyle x}$ чем разложение Тейлора, получается с помощью Ганс Генрих Бюрманн Теорема:^[7]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {-x ^ {2}}}} left (1 - { frac {1} {12}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) - { frac {7} {480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {2} - { frac {5} {896}} left (1-e ^ {- x ^ {2 }} right) ^ {3} - { frac {787} {276480}} left (1-e ^ {- x ^ {2}} right) ^ {4} - cdots right) [10pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2}}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + sum _ {k = 1} ^ { infty} c_ {k} e ^ {- kx ^ {2}} right). end {выровнено }}}$

Сохраняя только первые два коэффициента и выбирая ${ displaystyle c_ {1} = { frac {31} {200}}}$ и ${ displaystyle c_ {2} = - { frac {341} {8000}},}$ полученное приближение показывает наибольшую относительную ошибку при ${ displaystyle x = pm 1.3796,}$ где меньше чем ${ displaystyle 3.6127 cdot 10 ^ {- 3}}$:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно { frac {2} { sqrt { pi}}} operatorname {sgn} (x) { sqrt {1-e ^ {- x ^ {2 }}}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} + { frac {31} {200}} e ^ {- x ^ {2}} - { frac {341} {8000}} e ^ {- 2x ^ {2}} right).}$

Обратные функции

Функция обратной ошибки

Учитывая комплексное число z, это не уникальный комплексное число ш удовлетворение ${ Displaystyle OperatorName {erf} (ш) = г}$, поэтому истинная обратная функция будет многозначной. Однако для −1 < Икс < 1, есть уникальный настоящий число обозначено ${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x)}$ удовлетворение

${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (x) right) = x.}$

В функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (−1,1), и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно расширить на диск |z| < 1 комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

где c₀ = 1 и

${ displaystyle c_ {k} = sum _ {m = 0} ^ {k-1} { frac {c_ {m} c_ {k-1-m}} {(m + 1) (2m + 1) }} = left {1,1, { frac {7} {6}}, { frac {127} {90}}, { frac {4369} {2520}}, { frac {34807} {16200}}, ldots right }.}$

Итак, у нас есть разложение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (z) = { tfrac {1} {2}} { sqrt { pi}} left (z + { frac { pi} {12}} z ^ {3} + { frac {7 pi ^ {2}} {480}} z ^ {5} + { frac {127 pi ^ {3}} {40320}} z ^ {7} + { frac {4369 pi ^ {4}} {5806080}} z ^ {9} + { frac {34807 pi ^ {5}} {182476800}} z ^ {11} + cdots right). }$

(После отмены дроби числителя / знаменателя являются записями OEIS: A092676/OEIS: A092677 в OEIS; без отмены условия в числителе приведены в записи OEIS: A002067.) Значение функции ошибок при ± ∞ равно ± 1.

За |z| < 1, у нас есть ${ displaystyle operatorname {erf} left ( operatorname {erf} ^ {- 1} (z) right) = z}$.

В обратная дополнительная функция ошибок определяется как

${ displaystyle operatorname {erfc} ^ {- 1} (1-z) = operatorname {erf} ^ {- 1} (z).}$

За настоящий Икс, есть уникальный настоящий количество ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$ удовлетворение ${ displaystyle operatorname {erfi} left ( operatorname {erfi} ^ {- 1} (x) right) = x}$. В функция обратной мнимой ошибки определяется как ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$.^[8]

Для любого реального Икс, Метод Ньютона можно использовать для вычисления ${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (x)}$, и для ${ Displaystyle -1 Leq х Leq 1}$сходится следующий ряд Маклорена:

${ displaystyle operatorname {erfi} ^ {- 1} (z) = sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {k} c_ {k}} {2k + 1}} left ({ frac { sqrt { pi}} {2}} z right) ^ {2k + 1},}$

где c_k определяется, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезный асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (а, следовательно, и функции ошибок) для больших вещественных Икс является

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} right ] = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}},}$

где (2п - 1) !! это двойной факториал из (2п - 1), который является произведением всех нечетных чисел до (2п - 1). Этот ряд расходится для каждого конечного Икс, и его смысл как асимптотического разложения состоит в том, что для любого ${ Displaystyle N in mathbb {N}}$ надо

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) = { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x { sqrt { pi}}}} sum _ {n = 0} ^ {N -1} (- 1) ^ {n} { frac {(2n-1) !!} {(2x ^ {2}) ^ {n}}} + R_ {N} (x)}$

где остаток, в Обозначения Ландау, является

${ displaystyle R_ {N} (x) = O left (x ^ {1-2N} e ^ {- x ^ {2}} right)}$

так как ${ displaystyle x to infty.}$

Действительно, точное значение остатка равно

${ displaystyle R_ {N} (x): = { frac {(-1) ^ {N}} { sqrt { pi}}} 2 ^ {1-2N} { frac {(2N)!} {N!}} Int _ {x} ^ { infty} t ^ {- 2N} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}$

что легко следует по индукции, записывая

${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}} = - (2t) ^ {- 1} left (e ^ {- t ^ {2}} right) '}$

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x нужны только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc (Икс) (при не слишком больших значениях Икс, приведенное выше разложение Тейлора в 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

А непрерывная дробь расширение дополнительной функции ошибок:^[9]

${ displaystyle operatorname {erfc} (z) = { frac {z} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} { cfrac {1} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {1}} {1 + { cfrac {a_ {2}} {z ^ {2} + { cfrac {a_ {3}} {1+ dotsb}}}}}}}} qquad a_ {m} = { frac {m} {2}}.}$

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} operatorname {erf} left (ax + b right) { frac {1} { sqrt {2 pi sigma ^ {2}} }} e ^ {- { frac {(x- mu) ^ {2}} {2 sigma ^ {2}}}} , dx = operatorname {erf} left [{ frac {a mu + b} { sqrt {1 + 2a ^ {2} sigma ^ {2}}} right], qquad a, b, mu, sigma in mathbb {R}}$

Факторный ряд

• Обратное факториальный ряд:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} z & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} Q_ {n}} {{(z ^ {2} +1)} ^ { bar {n}}}} & = { frac {e ^ {- z ^ {2}}} {{ sqrt { pi}} , z}} left (1 - { frac {1} {2}} { frac {1 } {(z ^ {2} +1)}} + { frac {1} {4}} { frac {1} {(z ^ {2} +1) (z ^ {2} +2)} } - cdots right) end {выравнивается}}}$

сходится для ${ displaystyle operatorname {Re} (z ^ {2})> 0.}$ Здесь

${ displaystyle Q_ {n} { stackrel { text {def}} {=}} { frac {1} { Gamma (1/2)}} int _ {0} ^ { infty} tau ( tau -1) cdots ( tau -n + 1) tau ^ {- 1/2} e ^ {- tau} d tau = sum _ {k = 0} ^ {n} left ({ frac {1} {2}} right) ^ { bar {k}} s (n, k),}$   

${ Displaystyle г ^ { бар {п}}}$ обозначает возрастающий факториал, и ${ Displaystyle s (п, к)}$ обозначает подписанный Число Стирлинга первого рода.^[10][11]

• Представление бесконечной суммой, содержащей двойной факториал:

${ displaystyle operatorname {erf} (z) = { frac {2} { sqrt { pi}}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-2) ^ { n} (2n-1) !!} {(2n + 1)!}} z ^ {2n + 1}}$

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

• Абрамовиц и Стегун дают несколько приближений с различной точностью (уравнения 7.1.25–28). Это позволяет выбрать наиболее быстрое приближение, подходящее для данного приложения. В порядке увеличения точности это:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + a_ {3} x ^ {3}) + a_ {4} x ^ {4}) ^ {4}}}, qquad x geq 0}$

(максимальная ошибка: 5 × 10⁻⁴)

где а₁ = 0.278393, а₂ = 0.230389, а₃ = 0.000972, а₄ = 0.078108

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + a_ {3} t ^ {3}) e ^ {- x ^ {2 }}, quad t = { frac {1} {1 + px}}, qquad x geq 0}$ (максимальная ошибка: 2,5 × 10⁻⁵)

где п = 0.47047, а₁ = 0.3480242, а₂ = −0.0958798, а₃ = 0.7478556

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1 - { frac {1} {(1 + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {6} x ^ {6}) ^ {16}}}, qquad x geq 0}$ (максимальная ошибка: 3 × 10⁻⁷)

где а₁ = 0.0705230784, а₂ = 0.0422820123, а₃ = 0.0092705272, а₄ = 0.0001520143, а₅ = 0.0002765672, а₆ = 0.0000430638

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно 1- (a_ {1} t + a_ {2} t ^ {2} + cdots + a_ {5} t ^ {5}) e ^ {- x ^ {2}}, quad t = { frac {1} {1 + px}}}$ (максимальная погрешность: 1,5 × 10⁻⁷)

где п = 0.3275911, а₁ = 0.254829592, а₂ = −0.284496736, а₃ = 1.421413741, а₄ = −1.453152027, а₅ = 1.061405429

Все эти приближения справедливы для Икс ≥ 0. Чтобы использовать эти приближения для отрицательных Икс, используйте тот факт, что erf (x) - нечетная функция, поэтому erf (Икс) = −erf (-Икс).

• Экспоненциальные границы и чисто экспоненциальное приближение для дополнительной функции ошибок даются формулами ^[12]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) & leq { frac {1} {2}} e ^ {- 2x ^ {2}} + { frac {1} {2} } e ^ {- x ^ {2}} leq e ^ {- x ^ {2}}, qquad x> 0 имя оператора {erfc} (x) & приблизительно { frac {1} {6 }} e ^ {- x ^ {2}} + { frac {1} {2}} e ^ {- { frac {4} {3}} x ^ {2}}, qquad x> 0. конец {выровнено}}}$

• Вышеупомянутые были обобщены на суммы ${ displaystyle N}$ экспоненты^[13] с повышением точности по ${ displaystyle N}$ так что ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ может быть точно аппроксимирован или ограничен ${ Displaystyle 2 { тильда {Q}} ({ sqrt {2}} х)}$, где

${ displaystyle { tilde {Q}} (x) = sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} e ^ {- b_ {n} x ^ {2}}.}$

В частности, существует систематическая методология решения числовых коэффициентов ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ что дает минимакс приближение или оценка тесно связанных Q-функция: ${ Displaystyle Q (х) приблизительно { тильда {Q}} (х)}$, ${ Displaystyle Q (х) leq { тильда {Q}} (х)}$, или ${ Displaystyle Q (х) geq { тильда {Q}} (х)}$ за ${ Displaystyle х geq 0}$. Коэффициенты ${ displaystyle {(a_ {n}, b_ {n}) } _ {n = 1} ^ {N}}$ для многих вариаций экспоненциальных приближений и оценок вплоть до ${ displaystyle N = 25}$ были выпущены в открытый доступ в виде исчерпывающего набора данных.^[14]

• Точная аппроксимация дополнительной функции ошибок для ${ Displaystyle х в [0, infty)}$ предоставлено Karagiannidis & Lioumpas (2007)^[15] кто показал за правильный выбор параметров ${ Displaystyle {А, В }}$ это

${ displaystyle operatorname {erfc} left (x right) приблизительно { frac { left (1-e ^ {- Ax} right) e ^ {- x ^ {2}}} {B { sqrt { pi}} x}}.}$

Они определили ${ Displaystyle {А, В } = {1.98,1.135 },}$ что дало хорошее приближение для всех ${ displaystyle x geq 0.}$

• Одноканальная нижняя граница^[16]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x) geq { sqrt { frac {2e} { pi}}} { frac { sqrt { beta -1}} { beta}} e ^ {- beta x ^ {2}}, qquad x geq 0, beta> 1,}$

где параметр β можно выбрать, чтобы минимизировать ошибку на желаемом интервале приближения.

• Другое приближение дано Сергеем Виницким с использованием его «глобальных приближений Паде»:^{[17][18]:2–3}

${ displaystyle operatorname {erf} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {1- exp left (-x ^ {2} { frac {{ frac {4} {) pi}} + ax ^ {2}} {1 + ax ^ {2}}} right)}}}$

где

${ displaystyle a = { frac {8 ( pi -3)} {3 pi (4- pi)}} приблизительно 0,140012.}$

Это сделано так, чтобы быть очень точным в окрестности 0 и в окрестности бесконечности, а родственник ошибка меньше 0,00035 для всех реальных Икс. Использование альтернативного значения а ≈ 0,147 снижает максимальную относительную погрешность примерно до 0,00013.^[19]

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение обратной функции ошибок:

${ displaystyle operatorname {erf} ^ {- 1} (x) приблизительно operatorname {sgn} (x) { sqrt {{ sqrt { left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right) ^ {2} - { frac { ln (1-x ^ {2})} {a}}}} - left ({ frac {2} { pi a}} + { frac { ln (1-x ^ {2})} {2}} right)}}.}$

Полиномиальный

Приближение с максимальной ошибкой ${ displaystyle 1,2 times 10 ^ {- 7}}$ для любого реального аргумента это:^[20]

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { begin {cases} 1- tau & x geq 0 tau -1 & x <0 end {cases}}}$

с

${ displaystyle { begin {align} tau & = t cdot exp left (-x ^ {2} -1.26551223 + 1.00002368t + 0.37409196t ^ {2} + 0,09678418t ^ {3} -0.18628806t ^ {4} right. & left. Qquad qquad qquad + 0,27886807t ^ {5} -1,13520398t ^ {6} + 1,48851587t ^ {7} -0,82215223t ^ {8} + 0,17087277t ^ {9} right) end {align}}}$

и

${ displaystyle t = { frac {1} {1 + 0,5 | x |}}.}$

Таблица значений

Связанные функции

Дополнительная функция ошибок

В дополнительная функция ошибок, обозначенный ${ displaystyle mathrm {erfc}}$, определяется как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfc} (x) & = 1- operatorname {erf} (x) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {x} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt [5pt] & = e ^ {- x ^ {2}} operatorname {erfcx} (x) , end {align}}}$

который также определяет ${ displaystyle mathrm {erfcx}}$, то масштабированная дополнительная функция ошибок^[21] (который можно использовать вместо erfc, чтобы избежать арифметическое истощение^[21][22]). Другая форма ${ displaystyle operatorname {erfc} (x)}$ для неотрицательных ${ displaystyle x}$ известна как формула Крейга в честь ее первооткрывателя:^[23]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x mid x geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Это выражение действительно только для положительных значений Икс, но его можно использовать вместе с erfc (Икс) = 2 - erfc (-Икс) для получения erfc (Икс) для отрицательных значений. Эта форма выгодна тем, что диапазон интегрирования является фиксированным и конечным. Расширение этого выражения для ${ displaystyle mathrm {erfc}}$ суммы двух неотрицательных переменных выглядит следующим образом:^[24]

${ displaystyle operatorname {erfc} (x + y mid x, y geq 0) = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { pi / 2} exp left (- { frac {x ^ {2}} { sin ^ {2} theta}} - { frac {y ^ {2}} { cos ^ {2} theta}} right) , d theta.}$

Функция мнимой ошибки

В функция мнимой ошибки, обозначенный Эрфи, определяется как

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erfi} (x) & = - i operatorname {erf} (ix) [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}} } int _ {0} ^ {x} e ^ {t ^ {2}} , dt [5pt] & = { frac {2} { sqrt { pi}}} e ^ {x ^ {2}} D (x), end {align}}}$

где D(Икс) это Функция Доусона (который можно использовать вместо erfi, чтобы избежать арифметическое переполнение^[21]).

Несмотря на название «функция мнимой ошибки», ${ Displaystyle OperatorName {erfi} (х)}$ реально, когда Икс реально.

Когда функция ошибок оценивается для произвольного сложный аргументы z, результирующий сложная функция ошибок обычно обсуждается в масштабированной форме как Функция Фаддеева:

${ displaystyle w (z) = e ^ {- z ^ {2}} operatorname {erfc} (-iz) = operatorname {erfcx} (-iz).}$

Кумулятивная функция распределения

Функция ошибок практически идентична стандартной. нормальная кумулятивная функция распределения, обозначаемый Φ, также называемый нормой (Икс) некоторыми языками программного обеспечения^{[нужна цитата ]}, так как они отличаются только масштабированием и переводом. Действительно,

${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} int _ {- infty} ^ {x} e ^ { tfrac {-t ^ {2}} {2}} , dt = { frac {1} {2}} left [1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right ] = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left (- { frac {x} { sqrt {2}}} right)}$

или переставил для erf и erfc:

${ displaystyle { begin {align} operatorname {erf} (x) & = 2 Phi left (x { sqrt {2}} right) -1 operatorname {erfc} (x) & = 2 Phi left (-x { sqrt {2}} right) = 2 left (1- Phi left (x { sqrt {2}} right) right). End {выравнивается} }}$

Следовательно, функция ошибок также тесно связана с Q-функция, которая представляет собой хвостовую вероятность стандартного нормального распределения. Q-функция может быть выражена через функцию ошибок как

${ displaystyle Q (x) = { frac {1} {2}} - { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}) } right) = { frac {1} {2}} operatorname {erfc} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right).}$

В обратный из ${ displaystyle Phi}$ известен как нормальная квантильная функция, или пробит функция и может быть выражена через обратную функцию ошибок как

${ displaystyle operatorname {probit} (p) = Phi ^ {- 1} (p) = { sqrt {2}} operatorname {erf} ^ {- 1} (2p-1) = - { sqrt {2}} operatorname {erfc} ^ {- 1} (2p).}$

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок - это частный случай Функция Миттаг-Леффлера, а также может быть выражено как конфлюэнтная гипергеометрическая функция (Функция Куммера):

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = { frac {2x} { sqrt { pi}}} M left ({ frac {1} {2}}, { frac {3} {2 }}, - x ^ {2} right).}$

Он имеет простое выражение в терминах Интеграл Френеля.^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

Что касается регуляризованная гамма-функция P и неполная гамма-функция,

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = operatorname {sgn} (x) P left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right) = { frac { operatorname {sgn} (x)} { sqrt { pi}}} gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} right).}$

${ displaystyle operatorname {sgn} (x)}$ это функция знака.

Обобщенные функции ошибок

График обобщенных функций ошибок E_п(Икс):
серая кривая: E₁(Икс) = (1 - e ^−Икс)/${ displaystyle scriptstyle { sqrt { pi}}}$
красная кривая: E₂(Икс) = erf (Икс)
зеленая кривая: E₃(Икс)
синяя кривая: E₄(Икс)
золотая кривая: E₅(Икс).

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:^{[нужна цитата ]}

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {n!} { sqrt { pi}}} int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {n}} , dt = { frac {n!} { sqrt { pi}}} sum _ {p = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {p} { frac {x ^ {np + 1}} {(np + 1) p!}}.}$

Известные случаи:

• E₀(Икс) - прямая линия, проходящая через начало координат: ${ displaystyle textstyle E_ {0} (x) = { dfrac {x} {e { sqrt { pi}}}}}$
• E₂(Икс) - функция ошибок, erf (Икс).

После деления на п!, все E_п для нечетных п похожи (но не идентичны) друг на друга. Точно так же E_п даже для п похожи (но не идентичны) друг на друга после простого деления на п!. Все обобщенные функции ошибок для п > 0 похожи на положительные Икс сторона графика.

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для Икс > 0 с помощью гамма-функция и неполная гамма-функция:

${ displaystyle E_ {n} (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma (n) left ( Gamma left ({ frac {1} {n}} right) - Gamma left ({ frac {1} {n}}, x ^ {n} right) right), quad quad x> 0.}$

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

${ displaystyle operatorname {erf} (x) = 1 - { frac {1} { sqrt { pi}}} Gamma left ({ frac {1} {2}}, x ^ {2} верно).}$

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как^[25]

${ displaystyle { begin {align} operatorname {i ^ {n} erfc} (z) & = int _ {z} ^ { infty} operatorname {i ^ {n-1} erfc} ( zeta ) , d zeta operatorname {i ^ {0} erfc} (z) & = operatorname {erfc} (z) OperatorName {i ^ {1} erfc} (z) & = operatorname {ierfc} (z) = { frac {1} { sqrt { pi}}} e ^ {- z ^ {2}} - z operatorname {erfc} (z) operatorname {i ^ { 2} erfc} (z) & = { frac {1} {4}} left [ operatorname {erfc} (z) -2z operatorname {ierfc} (z) right] конец {выровнено} }}$

Общая рекуррентная формула

${ displaystyle 2n operatorname {я ^ {n} erfc} (z) = operatorname {i ^ {n-2} erfc} (z) -2z operatorname {i ^ {n-1} erfc} (z) }$

У них есть степенной ряд

${ displaystyle i ^ {n} operatorname {erfc} (z) = sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(-z) ^ {j}} {2 ^ {nj} j ! Gamma left (1 + { frac {nj} {2}} right)}},}$

откуда следуют свойства симметрии

${ displaystyle i ^ {2m} operatorname {erfc} (-z) = - i ^ {2m} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { frac {z ^ {2q}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q)! (Mq)!}}}$

и

${ displaystyle i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (-z) = i ^ {2m + 1} operatorname {erfc} (z) + sum _ {q = 0} ^ {m} { гидроразрыв {z ^ {2q + 1}} {2 ^ {2 (mq) -1} (2q + 1)! (mq)!}}.}$

Реализации

Как реальная функция реального аргумента

• В Posix совместимые операционные системы, заголовок math.h объявляет и математическая библиотека libm обеспечивает функции Эрф и erfc (двойная точность ) а также их одинарная точность и повышенная точность аналоги эрфф, эрфл и erfc, erfcl.^[26]
• В Научная библиотека GNU обеспечивает Эрф, erfc, журнал (erf), и масштабированные функции ошибок.^[27]

Как сложная функция сложного аргумента

• libcerf, числовая библиотека C для сложных функций ошибок, предоставляет сложные функции Cerf, Cerfc, Cerfcx и реальные функции Эрфи, erfcx с точностью примерно 13–14 цифр, в зависимости от Функция Фаддеева как реализовано в Пакет МИТ Фаддеева

Смотрите также

Связанные функции

• Гауссов интеграл, по всей реальной линии
• Функция Гаусса, производная
• Функция Доусона, перенормированная функция мнимой ошибки
• Интеграл Гудвина – Стэтона

По вероятности

• Нормальное распределение
• Нормальная кумулятивная функция распределения, масштабированная и сдвинутая форма функции ошибок
• Пробит, обратное или квантильная функция нормального CDF
• Q-функция, хвостовая вероятность нормального распределения

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен Энн, ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон.; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. Г-Н  0167642. LCCN  65-12253.
• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 6.2. Неполная гамма-функция и функция ошибок», Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-88068-8
• Темме, Нико М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248

внешняя ссылка

• MathWorld - Эрф
• Таблица интегралов функций ошибок