Уравнение тепла - Heat equation

Анимированный график изменения температуры в квадратной металлической пластине, предсказанный уравнением теплопроводности. Высота и покраснение указывают на температуру в каждой точке. В исходном состоянии имеется равномерно горячая область в форме копытца (красный цвет), окруженная равномерно холодной областью (желтый цвет). Со временем тепло распространяется в холодную область.

В математика и физика, то уравнение теплопроводности это определенный уравнение в частных производных. Решения уравнения теплопроводности иногда называют калорийность. Теория уравнения теплопроводности была впервые разработана Жозеф Фурье в 1822 году с целью моделирования того, как величина, такая как высокая температура распространяется через данный регион.

В качестве прототипа параболическое уравнение в частных производных, уравнение теплопроводности - одна из наиболее широко изучаемых тем в чистая математика, и его анализ считается фундаментальным для более широкой области уравнения в частных производных. Уравнение теплопроводности также можно рассматривать на Римановы многообразия, что приводит ко многим геометрическим приложениям. После работы Суббарамия Минакшисундарам и Оке Плейель, уравнение теплопроводности тесно связано с спектральная геометрия. Плодотворный нелинейный вариант уравнения теплопроводности был представлен дифференциальная геометрия от Джеймс Иллс и Джозеф Сэмпсон в 1964 году, вдохновив на введение Риччи поток от Ричард Гамильтон в 1982 году и завершилась доказательством Гипотеза Пуанкаре от Григорий Перельман в 2003 году. Некоторые решения уравнения теплопроводности, известные как нагревать ядра предоставляют тонкую информацию о регионе, в котором они определены, как показано на примере их применения к Теорема Атьи – Зингера об индексе.^[1]

Уравнение теплопроводности, наряду с его вариантами, также важно во многих областях науки и Прикладная математика. В теория вероятности, уравнение теплопроводности связано с изучением случайные прогулки и Броуновское движение через Уравнение Фоккера – Планка. Печально известный Уравнение Блэка – Шоулза из финансовая математика является малым вариантом уравнения теплопроводности, а Уравнение Шредингера из квантовая механика можно рассматривать как уравнение теплопроводности в мнимое время. В анализ изображений, уравнение теплопроводности иногда используется для разрешения пикселизации и определить края. Следующий Роберт Рихтмайер и Джон фон Нейман введение методов «искусственной вязкости», решения уравнений теплопроводности были полезны при математической формулировке гидродинамические удары. Решениям уравнения теплопроводности также уделялось большое внимание в численный анализ литературе, начиная с 1950-х годов с работ Джима Дугласа, Д.В. Peaceman и Генри Рэчфорд-младший.

Постановка уравнения

В математике, если дано открытое подмножество U из ℝ^п и подынтервал я из ℝ, говорят, что функция ты : U × я → ℝ это решение уравнение теплопроводности если

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {1} ^ {2}}} + cdots + { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {n} ^ {2}}},}$

где (Икс₁, ..., Икс_п, т) обозначает общую точку области. Обычно обращаются к т как "время" и Икс₁, ..., Икс_п как «пространственные переменные», даже в абстрактном контексте, где эти фразы не имеют своего интуитивного значения. Набор пространственных переменных часто называют просто Икс. Для любого заданного значения т, правая часть уравнения - это Лапласиан функции ты(⋅, т) : U → ℝ. Таким образом, уравнение теплопроводности часто записывается более компактно как

В физическом и инженерном контекстах, особенно в контексте диффузии через среду, чаще фиксируют Декартова система координат а затем рассмотреть конкретный случай функция ты(Икс, у, z, т) трех пространственных переменных (Икс, у, z) и время переменная т. Затем говорят, что ты является решением уравнения теплопроводности, если

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = alpha left ({ frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial y ^ {2}}} + { frac { partial ^ {2} u} { partial z ^ {2}}} right)}$

в котором α положительный коэффициент называется диффузионность среды. Помимо других физических явлений, это уравнение описывает поток тепла в однородной и изотропной среде с ты(Икс, у, z, т) температура в точке (Икс, у, z) и время т. Если среда неоднородна и изотропна, то α не будет фиксированным коэффициентом, а будет зависеть от (Икс, у, z); уравнение также имело бы несколько иной вид. В физической и инженерной литературе принято использовать ∇² для обозначения лапласиана, а не ∆.

В математике, а также в физике и инженерии принято использовать Обозначение Ньютона для производных по времени, так что ${ displaystyle { dot {u}}}$ используется для обозначения ∂ты/∂т. Также обратите внимание, что возможность использовать либо ∆ или ∇² для обозначения лапласиана без явной ссылки на пространственные переменные является отражением того факта, что лапласиан не зависит от выбора системы координат. С математической точки зрения можно сказать, что лапласиан «трансляционно и вращательно инвариантен». Фактически, это (грубо говоря) простейший дифференциальный оператор, обладающий этими симметриями. Это можно рассматривать как существенное (и чисто математическое) обоснование использования лапласиана и уравнения теплопроводности при моделировании любых физических явлений, которые являются однородными и изотропными, главным примером которых является диффузия тепла.

«Константа диффузии» α часто не присутствует в математических исследованиях уравнения теплопроводности, в то время как его значение может быть очень важным в технике. Это несущественная разница по следующей причине. Позволять ты быть функцией с

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = alpha Delta u.}$

Определите новую функцию ${ Displaystyle v (т, х) = и (т / альфа, х). }$Тогда, согласно Правило цепи, надо

${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} v (t, x) = { frac { partial} { partial t}} u (t / alpha, x) = alpha ^ { -1} { frac { partial u} { partial t}} (t / alpha, x) = Delta u (t / alpha, x) = Delta v (t, x) (*)}$

Таким образом, существует простой способ перехода между решениями уравнения теплопроводности с общим значением α и решения уравнения теплопроводности с α = 1. Таким образом, для математического анализа часто достаточно рассмотреть только случай α = 1.

поскольку ${ displaystyle alpha> 0}$ есть еще один вариант определения ${ displaystyle v}$ удовлетворение ${ Displaystyle { frac { partial} { partial t}} v = Delta v }$ как в ${ displaystyle (*)}$ выше, установив${ Displaystyle v (т, х) = и (т, альфа ^ {- 1/2} х). }$Обратите внимание, что два возможных способа определения новой функции ${ displaystyle v}$ Обсуждаемая здесь сумма, в физическом выражении, заключается в изменении единицы измерения времени или единицы измерения длины.

Интерпретация

Физическая интерпретация уравнения

Неформально лапласов оператор ∆ дает разницу между средним значением функции в окрестности точки и ее значением в этой точке. Таким образом, если ты это температура, ∆ показывает, является ли (и насколько) материал, окружающий каждую точку, в среднем горячее или холоднее, чем материал в этой точке.

Посредством второй закон термодинамики, тепло будет перетекать от более горячих тел к соседним более холодным телам пропорционально разнице температуры и теплопроводность материала между ними. Когда тепло поступает в материал (соответственно из него), его температура увеличивается (соответственно уменьшается) пропорционально количеству тепла, деленному на количество (масса ) материала, с коэффициент пропорциональности называется удельная теплоемкость материала.

Комбинируя эти наблюдения, уравнение теплопроводности говорит, что скорость ${ displaystyle { dot {u}}}$ при которой материал в точке нагревается (или остывает), пропорционально тому, насколько горячее (или холоднее) окружающий материал. Коэффициент α в уравнении учитывает теплопроводность, удельную теплоемкость и плотность материала.

Математическая интерпретация уравнения

Первую половину изложенного выше физического мышления можно облечь в математическую форму. Ключ в том, что для любого фиксированного Икс, надо

${ displaystyle { begin {align} u _ {(x)} (0) & = u (x) u _ {(x)} '(0) & = 0 u _ {(x)}' '( 0) & = { frac {1} {n}} Delta u (x) end {выравнивается}}}$

где ты_(Икс)(р) - функция одной переменной, обозначающая Средняя стоимость из ты по поверхности сферы радиуса р сосредоточен на Икс; это может быть определено

${ Displaystyle и _ {(х)} (г) = { гидроразрыва {1} { omega _ {п-1} г ^ {п-1}}} int _ { {у: | ху | = г }} и , d { mathcal {H}} ^ {n-1},}$

в котором ω_{п − 1} обозначает площадь поверхности единичного шара в п-мерное евклидово пространство. Это формализует приведенное выше утверждение о том, что значение ∆ты в какой-то момент Икс измеряет разницу между значением ты(Икс) и ценность ты в точках поблизости от Икс, в том смысле, что последний кодируется значениями ты_(Икс)(р) для малых положительных значений р.

Следуя этому наблюдению, можно интерпретировать уравнение теплопроводности как наложение бесконечно малое усреднение функции. Учитывая решение уравнения теплопроводности, значение ты(Икс, т + т) для небольшого положительного значения τ можно приблизительно представить как 1/2п умноженное на среднее значение функции ты(⋅, т) над сферой очень малого радиуса с центром в Икс.

Характер решений

Решение одномерного уравнения в частных производных теплопроводности. Температура (${ displaystyle u}$) изначально распределяется на одномерном интервале длиной в одну единицу (Икс = [0,1]) с изолированными конечными точками. Распределение со временем приближается к равновесию.

Поведение температуры, когда стороны одномерного стержня находятся при фиксированных температурах (в данном случае 0,8 и 0 с начальным распределением Гаусса). Температура приближается к линейной функции, потому что это устойчивое решение уравнения: везде, где температура имеет ненулевую вторую пространственную производную, производная по времени также отлична от нуля.

Уравнение теплопроводности предполагает, что пики (локальные максимумы ) из ${ displaystyle u}$ будут постепенно размываться, а депрессии (локальные минимумы ) будет заполнено. Значение в какой-то момент будет оставаться стабильным только до тех пор, пока оно равно среднему значению в его ближайшем окружении. В частности, если значения в окрестности очень близки к линейной функции ${ displaystyle Ax + By + Cz + D}$, то значение в центре этой окрестности в этот момент не изменится (то есть производная ${ displaystyle { dot {u}}}$ будет нулем).

Более тонкое следствие - принцип максимума, что говорит о том, что максимальное значение ${ displaystyle u}$ в любом регионе ${ displaystyle R}$ среды не будет превышать максимальное значение, которое ранее имело место в ${ displaystyle R}$, если он не находится на границе ${ displaystyle R}$. То есть максимальная температура в регионе ${ displaystyle R}$ может увеличиваться только при поступлении тепла извне ${ displaystyle R}$. Это свойство параболические уравнения в частных производных и его нетрудно доказать математически (см. ниже).

Еще одно интересное свойство: даже если ${ displaystyle u}$ изначально имеет резкий скачок (разрыв) значения через некоторую поверхность внутри среды, скачок немедленно сглаживается мгновенным, бесконечно коротким, но бесконечно большим потоком тепла через эту поверхность. Например, если два изолированных тела первоначально при одинаковых, но разных температурах ${ displaystyle u_ {0}}$ и ${ displaystyle u_ {1}}$, соприкасаются друг с другом, температура в точке контакта немедленно принимает некоторое промежуточное значение, и вокруг этой точки образуется зона, в которой ${ displaystyle u}$ будет постепенно меняться между ${ displaystyle u_ {0}}$ и ${ displaystyle u_ {1}}$.

Если к какой-то точке среды внезапно приложить определенное количество тепла, оно будет распространяться во всех направлениях в виде диффузионная волна. в отличие от эластичный и электромагнитные волны скорость диффузионной волны со временем падает: по мере того, как она распространяется на большую область, градиент температуры уменьшается, и, следовательно, уменьшается и тепловой поток.

Конкретные примеры

Тепловой поток в однородном стержне

Для теплового потока уравнение теплопроводности следует из физических законов проводимость тепла и сохранение энергии (Пушка 1984 ).

От Закон Фурье для изотропной среды скорость потока тепловой энергии на единицу площади через поверхность пропорциональна отрицательному градиенту температуры на ней:

${ displaystyle mathbf {q} = -k , nabla u }$

где ${ displaystyle k}$ это теплопроводность материала, ${ Displaystyle и = и ( mathbf {х}, т)}$ это температура, а ${ displaystyle mathbf {q} = mathbf {q} ( mathbf {x}, t)}$ это вектор поле, которое представляет величину и направление теплового потока в точке ${ displaystyle mathbf {x}}$ пространства и времени ${ displaystyle t}$.

Если среда представляет собой тонкий стержень с одинаковым сечением и материалом, положение представляет собой единую координату ${ displaystyle x}$, тепловой поток в сторону увеличения ${ displaystyle x}$ скалярное поле ${ Displaystyle д = д (т, х)}$ , а градиент - обычная производная по ${ displaystyle x}$. Уравнение становится

${ displaystyle q = -k , { frac { partial u} { partial x}}}$

Позволять ${ Displaystyle Q = Q (х, t)}$ - внутренняя тепловая энергия на единицу объема стержня в каждый момент и время. При отсутствии выработки тепловой энергии из внешних или внутренних источников скорость изменения внутренней тепловой энергии на единицу объема в материале, ${ displaystyle partial Q / partial t}$, пропорциональна скорости изменения его температуры, ${ displaystyle partial u / partial t}$. Это,

${ displaystyle { frac { partial Q} { partial t}} = c , rho , { frac { partial u} { partial t}}}$

где ${ displaystyle c}$ - удельная теплоемкость (при постоянном давлении, в случае газа) и ${ displaystyle rho}$ - плотность (масса на единицу объема) материала. Этот вывод предполагает, что материал имеет постоянную массовую плотность и теплоемкость как в пространстве, так и во времени.

Применяя закон сохранения энергии к малому элементу среды с центром в ${ displaystyle x}$, можно сделать вывод, что скорость, с которой тепло накапливается в данной точке ${ displaystyle x}$ равна производной теплового потока в этой точке, в отрицании. Это,

${ displaystyle { frac { partial Q} { partial t}} = - { frac { partial q} { partial x}}}$

Из приведенных выше уравнений следует, что

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} ; = ; - { frac {1} {c , rho}} { frac { partial q} { partial x} } ; = ; - { frac {1} {c , rho}} { frac { partial} { partial x}} left (-k , { frac { partial u} { partial x}} right) ; = ; { frac {k} {c , rho}} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ {2}}}}$

которое является уравнением теплопроводности в одном измерении с коэффициентом диффузии

${ displaystyle alpha = { frac {k} {c rho}}}$

Эта величина называется температуропроводность среды.

Учет радиационных потерь

В уравнение можно ввести дополнительный член для учета потери тепла на излучение. Согласно Закон Стефана – Больцмана, этот термин ${ displaystyle mu (и ^ {4} -v ^ {4})}$, где ${ Displaystyle v = v (x, t)}$ температура окружающей среды, и ${ displaystyle mu}$ - коэффициент, зависящий от физических свойств материала. Скорость изменения внутренней энергии становится

${ displaystyle { frac { partial Q} { partial t}} = - { frac { partial q} { partial x}} - mu (u ^ {4} -v ^ {4})}$

и уравнение эволюции ${ displaystyle u}$ становится

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = { frac {k} {c , rho}} { frac { partial ^ {2} u} { partial x ^ { 2}}} - { frac { mu} {c , rho}} (u ^ {4} -v ^ {4})}$.

Неоднородная изотропная среда

Обратите внимание, что уравнение состояния, заданное первый закон термодинамики (т.е. сохранение энергии) записывается в следующей форме (при условии отсутствия массопереноса или излучения). Эта форма является более общей и особенно полезной для определения того, какое свойство (например, c_п или ${ displaystyle rho}$) влияет на то, какой термин.

${ displaystyle rho c_ {p} { frac { partial T} { partial t}} - nabla cdot left (k nabla T right) = { dot {q}} _ {V} }$

где ${ displaystyle { dot {q}} _ {V}}$ - объемный источник тепла.

Трехмерная проблема

В частных случаях распространения тепла в изотропный и однородный средний в 3-размерный пространство, это уравнение

${ displaystyle { partial u over partial t} = alpha nabla ^ {2} u = alpha left ({ partial ^ {2} u over partial x ^ {2}} + { partial ^ {2} u over partial y ^ {2}} + { partial ^ {2} u over partial z ^ {2}} right)}$   ${ Displaystyle = альфа (u_ {xx} + u_ {yy} + u_ {zz}) quad}$

где:

• ${ Displaystyle и = и (х, у, г, т)}$ температура как функция пространства и времени;
• ${ Displaystyle { tfrac { partial u} { partial t}}}$ скорость изменения температуры в определенный момент времени;
• ${ displaystyle u_ {xx}}$, ${ displaystyle u_ {yy}}$, и ${ displaystyle u_ {zz}}$ вторые пространственные производные (теплопроводность) температуры в ${ displaystyle x}$, ${ displaystyle y}$, и ${ displaystyle z}$ направления соответственно;
• ${ Displaystyle альфа эквив { tfrac {к} {c_ {p} rho}}}$ это температуропроводность, количество материала зависит от теплопроводность ${ displaystyle k}$, то удельная теплоемкость ${ displaystyle c_ {p}}$, а плотность вещества ${ displaystyle rho}$.

Уравнение теплопроводности является следствием закона проводимости Фурье (см. теплопроводность ).

Если среда не является всем пространством, для однозначного решения уравнения теплопроводности нам также необходимо указать граничные условия для ты. Для определения единственности решений во всем пространстве необходимо предположить экспоненциальную оценку роста решений.^[2]

Решения уравнения теплопроводности характеризуются постепенным сглаживанием начального распределения температуры потоком высокая температура от более теплых к более холодным областям объекта. Как правило, много разных состояний и начальных условий будут стремиться к одной и той же стабильной равновесие. Как следствие, изменить решение и сделать вывод о более ранних временах или начальных условиях на основе текущего распределения тепла очень неточно, за исключением самого короткого периода времени.

Уравнение теплопроводности является типичным примером параболическое уравнение в частных производных.

С использованием Оператор Лапласа, уравнение теплопроводности можно упростить и обобщить на аналогичные уравнения в пространствах произвольного числа измерений, как

${ displaystyle u_ {t} = alpha nabla ^ {2} u = alpha Delta u, quad}$

где оператор Лапласа, Δ или ∇², дивергенция градиента берется в пространственных переменных.

Уравнение теплопроводности определяет диффузию тепла, а также другие диффузионные процессы, такие как диффузия частиц или распространение потенциал действия в нервных клетках. Хотя они не являются диффузными по своей природе, некоторые задачи квантовой механики также регулируются математическим аналогом уравнения теплопроводности (см. Ниже). Его также можно использовать для моделирования некоторых явлений, возникающих в финансы, словно Блэк – Скоулз или Процессы Орнштейна-Уленбека. Уравнение и различные нелинейные аналоги также использовались при анализе изображений.

Уравнение теплопроводности технически нарушает специальная теория относительности, поскольку его решения включают мгновенное распространение возмущения. Часть нарушения вне нападающего световой конус обычно можно безопасно пренебречь, но если необходимо развить разумную скорость для передачи тепла, гиперболическая проблема вместо этого следует рассматривать - как уравнение в частных производных, включающее производную второго порядка по времени. Некоторые модели нелинейной теплопроводности (которые также являются параболическими уравнениями) имеют решения с конечной скоростью передачи тепла.^[3][4]

Внутреннее тепловыделение

Функция ты выше представляет температуру тела. В качестве альтернативы, иногда удобно менять единицы измерения и представлять ты как плотность тепла среды. Поскольку плотность тепла пропорциональна температуре в однородной среде, уравнение теплопроводности по-прежнему соблюдается в новых единицах измерения.

Предположим, что тело подчиняется уравнению теплопроводности и, кроме того, генерирует собственное тепло на единицу объема (например, в ваттах / литр - Вт / л) со скоростью, определяемой известной функцией q различающиеся в пространстве и времени.^[5] Тогда тепло на единицу объема ты удовлетворяет уравнению

${ displaystyle { frac {1} { alpha}} { frac { partial u} { partial t}} = left ({ partial ^ {2} u over partial x ^ {2}} + { partial ^ {2} u over partial y ^ {2}} + { partial ^ {2} u over partial z ^ {2}} right) + { frac {1} {k }} q.}$

Например, нить накала вольфрамовой лампочки выделяет тепло, поэтому она будет иметь положительное ненулевое значение для q при включении. Пока свет выключен, значение q для вольфрамовой нити было бы нулем.

Решение уравнения теплопроводности с помощью ряда Фурье

Идеальная физическая установка для теплопроводности в стержне с однородными граничными условиями.

Следующий способ решения уравнения теплопроводности был предложен Жозеф Фурье в его трактате Теория аналитик де ла шалёр, опубликовано в 1822 году. Рассмотрим уравнение теплопроводности для одной пространственной переменной. Это может быть использовано для моделирования теплопроводности стержня. Уравнение

${ Displaystyle Displaystyle и_ {т} = альфа и_ {хх}}$

(1)

где ты = ты(Икс, т) является функцией двух переменных Икс и т. Вот

• Икс это пространственная переменная, поэтому Икс ∈ [0, L], где L длина стержня.
• т переменная времени, поэтому т ≥ 0.

Предположим начальное условие

${ Displaystyle и (х, 0) = е (х) четырехъядерный forall х в [0, L]}$

(2)

где функция ж задано, а граничные условия

${ displaystyle u (0, t) = 0 = u (L, t) quad forall t> 0}$.

(3)

Попытаемся найти решение (1), не равная тождественно нулю, удовлетворяющая граничным условиям (3), но со следующим свойством: ты продукт, в котором зависимость ты на Икс, т разделяется, то есть:

${ displaystyle displaystyle u (x, t) = X (x) T (t).}$

(4)

Этот способ решения называется разделение переменных. Подстановка ты обратно в уравнение (1),

${ displaystyle { frac {T '(t)} { alpha T (t)}} = { frac {X' '(x)} {X (x)}}.}.$

Поскольку правая часть зависит только от Икс а левая сторона только на т, обе части равны некоторому постоянному значению −λ. Таким образом:

${ Displaystyle Т '(т) = - лямбда альфа Т (т)}$

(5)

и

${ Displaystyle X '' (x) = - lambda X (x).}$

(6)

Теперь покажем, что нетривиальные решения для (6) для значений λ ≤ 0 не может произойти:

Это решает уравнение теплопроводности в частном случае, когда зависимость ты имеет специальный вид (4В общем случае сумма решений (1), удовлетворяющие граничным условиям (3) также удовлетворяет (1) и (3). Мы можем показать, что решение (1), (2) и (3) дан кем-то

${ displaystyle u (x, t) = sum _ {n = 1} ^ { infty} D_ {n} sin left ({ frac {n pi x} {L}} right) e ^ {- { frac {n ^ {2} pi ^ {2} alpha t} {L ^ {2}}}}}$

где

${ displaystyle D_ {n} = { frac {2} {L}} int _ {0} ^ {L} f (x) sin left ({ frac {n pi x} {L}} right) , dx.}$

Обобщение техники решения

Метод решения, использованный выше, может быть значительно расширен на многие другие типы уравнений. По идее, оператор ты_хх с нулевыми граничными условиями можно представить в терминах его собственные функции. Это естественным образом приводит к одной из основных идей спектральная теория линейных самосопряженные операторы.

Рассмотрим линейный оператор Δты = ты_хх. Бесконечная последовательность функций

${ displaystyle e_ {n} (x) = { sqrt { frac {2} {L}}} sin left ({ frac {n pi x} {L}} right)}$

для п ≥ 1 - собственные функции Δ. Действительно,

${ displaystyle Delta e_ {n} = - { frac {n ^ {2} pi ^ {2}} {L ^ {2}}} e_ {n}.}$

Более того, любая собственная функция ж Δ с граничными условиями ж(0) = ж(L) = 0 имеет вид е_п для некоторых п ≥ 1. Функции е_п для п ≥ 1 образуют ортонормированный последовательность относительно некоторого внутренний продукт на пространстве вещественнозначных функций на [0, L]. Это означает

${ displaystyle langle e_ {n}, e_ {m} rangle = int _ {0} ^ {L} e_ {n} (x) e_ {m} ^ {*} (x) dx = delta _ {mn}}$

Наконец, последовательность {е_п}_{п ∈ N} охватывает плотное линейное подпространство L²((0, L)). Это показывает, что в действительности мы имеем диагонализованный оператор Δ.

Теплопроводность в неоднородных анизотропных средах

В целом изучение теплопроводности основано на нескольких принципах. Тепловой поток - это форма энергия поток, и поэтому имеет смысл говорить о временной скорости потока тепла в область пространства.

• Скорость теплового потока в область V дается зависящей от времени величиной q_т(V). Мы предполагаем q имеет плотность Q, так что

${ displaystyle q_ {t} (V) = int _ {V} Q (x, t) , dx quad}$

• Тепловой поток - это зависящая от времени векторная функция ЧАС(Икс) характеризуется следующим образом: скорость прохождения тепла через бесконечно малый элемент поверхности площадью dS и с единичным вектором нормали п является

${ Displaystyle mathbf {H} (х) cdot mathbf {п} (х) , dS}$

Таким образом, скорость теплового потока в V также задается поверхностным интегралом

${ displaystyle q_ {t} (V) = - int _ { partial V} mathbf {H} (x) cdot mathbf {n} (x) , dS}$

где п(Икс) - направленный наружу вектор нормали в точке Икс.

• В Закон Фурье утверждает, что поток тепловой энергии имеет следующую линейную зависимость от градиента температуры

${ displaystyle mathbf {H} (x) = - mathbf {A} (x) cdot nabla u (x)}$

где А(Икс) является вещественным числом 3 × 3 матрица это симметричный и положительно определенный.

• Посредством теорема расходимости, предыдущий поверхностный интеграл для теплового потока в V можно преобразовать в объемный интеграл

${ Displaystyle { begin {align} q_ {t} (V) & = - int _ { partial V} mathbf {H} (x) cdot mathbf {n} (x) , dS & = int _ { partial V} mathbf {A} (x) cdot nabla u (x) cdot mathbf {n} (x) , dS & = int _ {V} сумма _ {i, j} partial _ {x_ {i}} { bigl (} a_ {ij} (x) partial _ {x_ {j}} u (x, t) { bigr)} , dx end {выровнено}}}$

• Скорость изменения температуры при Икс пропорциональна теплу, поступающему в бесконечно малый элемент объема, где коэффициент пропорциональности зависит от константы κ

${ Displaystyle partial _ {t} и (х, т) = каппа (х) Q (х, т)}$

Объединение этих уравнений дает общее уравнение теплового потока:

${ displaystyle partial _ {t} U (x, t) = kappa (x) sum _ {i, j} partial _ {x_ {i}} { bigl (} a_ {ij} (x) partial _ {x_ {j}} u (x, t) { bigr)}}$

Замечания.

• Коэффициент κ(Икс) является обратным удельная теплоемкость вещества на Икс × плотность вещества на Икс: κ=${ displaystyle 1 / ( rho c_ {p})}$.
• В случае изотропной среды матрица А - скалярная матрица, равная теплопроводность k.
• В анизотропном случае, когда матрица коэффициентов А не скалярный и / или если он зависит от Икс, то явную формулу для решения уравнения теплопроводности можно записать редко, хотя обычно можно рассмотреть связанный с ней абстрактный Задача Коши и показать, что это хорошо поставленная проблема и / или показать некоторые качественные свойства (например, сохранение положительных исходных данных, бесконечная скорость распространения, сходимость к равновесию, сглаживающие свойства). Обычно это делается однопараметрические полугруппы теория: например, если А является симметричной матрицей, то эллиптический оператор определяется

${ displaystyle Au (x): = sum _ {i, j} partial _ {x_ {i}} a_ {ij} (x) partial _ {x_ {j}} u (x)}$

является самосопряженный и диссипативный, таким образом спектральная теорема это порождает однопараметрическая полугруппа.

Фундаментальные решения

А фундаментальное решение, также называемый тепловое ядро, является решением уравнения теплопроводности, соответствующим начальному состоянию начального точечного источника тепла в известном положении. Их можно использовать для поиска общего решения уравнения теплопроводности в определенных областях; см., например, (Эванс 2010 ) для вводного лечения.

В одной переменной Функция Грина является решением начальной задачи (по Принцип Дюамеля, что эквивалентно определению функции Грина как функции с дельта-функцией в качестве решения первого уравнения)

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} (x, t) -ku_ {xx} (x, t) = 0 & (x, t) in mathbf {R} times (0, infty) u (x, 0) = delta (x) & end {case}}}$

где δ - Дельта-функция Дирака. Решением этой проблемы является фундаментальное решение (тепловое ядро )

${ displaystyle Phi (x, t) = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4kt}} right ).}$

Можно получить общее решение уравнения теплопроводности с одной переменной с начальным условием ты(Икс, 0) = г(Икс) при −∞ < Икс <∞ и 0 < т <∞, применяя свертка:

${ displaystyle u (x, t) = int Phi (x-y, t) g (y) dy.}$

В нескольких пространственных переменных фундаментальное решение решает аналогичную задачу

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} ( mathbf {x}, t) -k sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {x_ {i} x_ {i}} ( mathbf {x}, t) = 0 & ( mathbf {x}, t) in mathbf {R} ^ {n} times (0, infty) u ( mathbf {x}, 0) = дельта ( mathbf {x}) end {case}}}$

В п-переменное фундаментальное решение - произведение фундаментальных решений по каждой переменной; т.е.

${ Displaystyle Phi ( mathbf {x}, t) = Phi (x_ {1}, t) Phi (x_ {2}, t) dots Phi (x_ {n}, t) = { frac {1} { sqrt {(4 pi kt) ^ {n}}}} exp left (- { frac { mathbf {x} cdot mathbf {x}} {4kt}} right ).}$

Общее решение уравнения теплопроводности на р^п затем получается сверткой, так что для решения задачи начального значения с ты(Икс, 0) = г(Икс), надо

${ Displaystyle и ( mathbf {x}, t) = int _ { mathbf {R} ^ {n}} Phi ( mathbf {x} - mathbf {y}, t) g ( mathbf { y}) d mathbf {y}.}$

Общая задача об области Ω в р^п является

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} ( mathbf {x}, t) -k sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {x_ {i} x_ {i}} ( mathbf {x}, t) = 0 & ( mathbf {x}, t) in Omega times (0, infty) u ( mathbf {x}, 0) = g ( mathbf {x}) & mathbf {x} in Omega end {case}}}$

либо с Дирихле или Neumann граничные данные. А Функция Грина всегда существует, но, если область Ω не может быть легко разложена на задачи с одной переменной (см. ниже), может быть невозможно записать ее явно. Другие методы получения функций Грина включают метод изображений, разделение переменных, и Преобразования Лапласа (Коул, 2011).

Некоторые решения функций Грина в 1D

Здесь записаны разнообразные решения элементарных функций Грина в одномерном пространстве; многие другие доступны в других местах.^[6] В некоторых из них пространственная область равна (−∞, ∞). В других случаях это полубесконечный интервал (0, ∞) либо Neumann или Дирихле граничные условия. Еще один вариант состоит в том, что некоторые из них решают неоднородное уравнение

${ displaystyle u_ {t} = ku_ {xx} + f.}$

где ж некоторая заданная функция Икс и т.

Однородное уравнение теплопроводности

Задача начального значения на (−∞, ∞)

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} & (x, t) in mathbf {R} times (0, infty) u (x, 0) = g ( x) и IC end {case}}}$

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} int _ {- infty} ^ { infty} exp left (- { frac { (ху) ^ {2}} {4kt}} right) g (y) , dy}$

Фундаментальное решение одномерного уравнения теплопроводности. Красный: ход времени ${ Displaystyle Phi (х, т)}$. Синий: временной ход ${ displaystyle Phi (x_ {0}, t)}$ для двух выбранных точек x₀ = 0,2 и x₀ = 1. Обратите внимание на разные времена нарастания / задержки и амплитуды.
Интерактивная версия.

Комментарий. Это решение является свертка по переменной Икс фундаментального решения

${ displaystyle Phi (x, t): = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4kt}} верно),}$

и функция г(Икс). (The Номер функции Грина фундаментального решения - X00.)

Следовательно, согласно общим свойствам свертки относительно дифференцирования, ты = г ∗ Φ - решение того же уравнения теплопроводности при

${ Displaystyle влево ( partial _ {t} -k partial _ {x} ^ {2} right) ( Phi * g) = left [ left ( partial _ {t} -k partial _ {x} ^ {2} right) Phi right] * g = 0.}$

Более того,

${ displaystyle Phi (x, t) = { frac {1} { sqrt {t}}} , Phi left ({ frac {x} { sqrt {t}}}, 1 right )}$

${ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (x, t) , dx = 1,}$

так что по общим сведениям о приближение к тождеству, Φ (⋅, т) ∗ г → г так как т → 0 в различных смыслах, в зависимости от конкретного г. Например, если г предполагается ограниченным и непрерывным на р тогда Φ (⋅, т) ∗ г равномерно сходится к г так как т → 0, что означает, что ты(Икс, т) непрерывна на р × [0, ∞) с ты(Икс, 0) = г(Икс).

Задача начального значения на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = g (x) & IC u (0, t) = 0 & BC end {case}}}$

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} int _ {0} ^ { infty} left [ exp left (- { frac {(xy) ^ {2}} {4kt}} right) - exp left (- { frac {(x + y) ^ {2}} {4kt}} right) right] g (y ) , dy}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным г(Икс) подходящим образом расширен до р, чтобы быть нечетная функция, то есть позволяя г(−Икс) := −г(Икс) для всех Икс. Соответственно, решение начальной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по переменной Икс для всех значений т, и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле ты(0, т) = 0. Номер функции Грина этого решения - X10.

Задача начального значения на (0, ∞) с однородными граничными условиями Неймана

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = g (x) & IC u_ {x} (0, t) = 0 & BC end {case}}}$

${ displaystyle u (x, t) = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} int _ {0} ^ { infty} left [ exp left (- { frac {(xy) ^ {2}} {4kt}} right) + exp left (- { frac {(x + y) ^ {2}} {4kt}} right) right] g (y ) , dy}$

Комментарий. Это решение получается из формулы первого решения применительно к данным г (х) подходящим образом расширен до р чтобы быть даже функция, то есть позволяя г(−Икс) := г(Икс) для всех Икс. Соответственно, решение начальной задачи на р является четной функцией по переменной Икс для всех значений т > 0, и, в частности, будучи гладким, он удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана ты_Икс(0, т) = 0. Номер функции Грина этого решения X20.

Задача на (0, ∞) с однородными начальными условиями и неоднородными граничными условиями Дирихле

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = 0 & IC u (0, t) = h (t) & BC end {case}}}$

${ displaystyle u (x, t) = int _ {0} ^ {t} { frac {x} { sqrt {4 pi k (ts) ^ {3}}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4k (ts)}} right) h (s) , ds, qquad forall x> 0}$

Комментарий. Это решение является свертка по переменной т из

${ displaystyle psi (x, t): = - 2k partial _ {x} Phi (x, t) = { frac {x} { sqrt {4 pi kt ^ {3}}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4kt}} right)}$

и функция час(т). Поскольку Φ (Икс, т) является фундаментальным решением

${ displaystyle partial _ {t} -k partial _ {x} ^ {2},}$

функция ψ (х, т) также является решением того же уравнения теплопроводности, как и ты : = ψ ∗ час, благодаря общим свойствам свертки относительно дифференцирования. Более того,

${ displaystyle psi (x, t) = { frac {1} {x ^ {2}}} , psi left (1, { frac {t} {x ^ {2}}} right )}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} psi (x, t) , dt = 1,}$

так что по общим сведениям о приближение к тождеству, ψ (Икс, ⋅) ∗ час → час так как Икс → 0 в различных смыслах, в зависимости от конкретного час. Например, если час предполагается непрерывным на р с носителем в [0, ∞), то ψ (Икс, ⋅) ∗ час сходится равномерно на компактах к час так как Икс → 0, что означает, что и (х, т) непрерывна на [0, ∞) × [0, ∞) с ты(0, т) = час(т).

Изображено численное решение неоднородного уравнения теплопроводности. Уравнение было решено с нулевыми начальными и граничными условиями и источником, представляющим горелку.

Неоднородное уравнение теплопроводности

Задача на (-∞, ∞) однородных начальных условиях

Комментарий. Это решение представляет собой свертку в р², то есть по обеим переменным Икс и тфундаментального решения

${ displaystyle Phi (x, t): = { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4kt}} верно)}$

и функция ж(х, т), оба означают, что они определены в целом р² и тождественно 0 для всех т → 0. Проверяется, что

${ displaystyle left ( partial _ {t} -k partial _ {x} ^ {2} right) ( Phi * f) = f,}$

который выражается на языке дистрибутивов, становится

${ displaystyle left ( partial _ {t} -k partial _ {x} ^ {2} right) Phi = delta,}$

где распределение δ - это Дельта-функция Дирака, то есть оценка на 0.

Задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Дирихле и начальными условиями

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} + f (x, t) & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = 0 & IC u (0, t) = 0 & BC end {case}}}$

${ displaystyle u (x, t) = int _ {0} ^ {t} int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {4 pi k (ts)}} } left ( exp left (- { frac {(xy) ^ {2}} {4k (ts)}} right) - exp left (- { frac {(x + y) ^ { 2}} {4k (ts)}} right) right) f (y, s) , dy , ds}$

Комментарий. Это решение получается из предыдущей формулы применительно к данным ж(Икс, т) подходящим образом расширен до р × [0, ∞), чтобы быть нечетной функцией переменной Икс, то есть позволяя ж(−Икс, т) := −ж(Икс, т) для всех Икс и т. Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) является нечетной функцией по переменной Икс для всех значений т, и, в частности, удовлетворяет однородным граничным условиям Дирихле ты(0, т) = 0.

Задача на (0, ∞) с однородными граничными условиями Неймана и начальными условиями

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} + f (x, t) & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = 0 & IC u_ {x} (0, t) = 0 & BC end {cases}}}$

${ displaystyle u (x, t) = int _ {0} ^ {t} int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { sqrt {4 pi k (ts)}} } left ( exp left (- { frac {(xy) ^ {2}} {4k (ts)}} right) + exp left (- { frac {(x + y) ^ { 2}} {4k (ts)}} right) right) f (y, s) , dy , ds}$

Комментарий. Это решение получается из первой формулы применительно к данным ж(Икс, т) подходящим образом расширен до р × [0, ∞), чтобы быть четной функцией переменной Икс, то есть позволяя ж(−Икс, т) := ж(Икс, т) для всех Икс и т. Соответственно, решение неоднородной задачи на (−∞, ∞) является четной функцией по переменной Икс для всех значений т, и, в частности, будучи гладкой функцией, она удовлетворяет однородным граничным условиям Неймана ты_Икс(0, т) = 0.

Примеры

Поскольку уравнение теплопроводности является линейным, решения других комбинаций граничных условий, неоднородного члена и начальных условий могут быть найдены путем выбора подходящего линейная комбинация решений вышеуказанных функций Грина.

Например, чтобы решить

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} + f & (x, t) in mathbf {R} times (0, infty) u (x, 0) = g (x) & IC end {case}}}$

позволять ты = ш + v где ш и v решить проблемы

${ displaystyle { begin {cases} v_ {t} = kv_ {xx} + f, , w_ {t} = kw_ {xx} , & (x, t) in mathbf {R} times ( 0, infty) v (x, 0) = 0, , w (x, 0) = g (x) , & IC end {case}}}$

Аналогично решить

${ displaystyle { begin {cases} u_ {t} = ku_ {xx} + f & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) u (x, 0) = g (x) & IC u (0, t) = h (t) & BC end {case}}}$

позволять ты = ш + v + р где ш, v, и р решить проблемы

${ displaystyle { begin {cases} v_ {t} = kv_ {xx} + f, , w_ {t} = kw_ {xx}, , r_ {t} = kr_ {xx} & (x, t) in [0, infty) times (0, infty) v (x, 0) = 0, ; w (x, 0) = g (x), ; r (x, 0) = 0 & IC v (0, t) = 0, ; w (0, t) = 0, ; r (0, t) = h (t) & BC end {cases}}}$

Свойство среднего значения для уравнения теплопроводности

Решения уравнений теплопроводности

${ Displaystyle ( partial _ {t} - Delta) и = 0}$

удовлетворяют свойству среднего значения, аналогичному свойствам среднего значения гармонические функции, решения

${ displaystyle Delta u = 0}$,

хотя немного посложнее. Именно, если ты решает

${ Displaystyle ( partial _ {t} - Delta) и = 0}$

и

${ displaystyle (x, t) + E _ { lambda} subset mathrm {dom} (u)}$

тогда

${ displaystyle u (x, t) = { frac { lambda} {4}} int _ {E _ { lambda}} u (xy, ts) { frac {| y | ^ {2}} { s ^ {2}}} ds , dy,}$

где E_λ представляет собой «тепловой шар», то есть набор суперуровня фундаментального решения уравнения теплопроводности:

${ Displaystyle E _ { lambda}: = {(y, s) ,: , Phi (y, s)> lambda },}$

${ displaystyle Phi (x, t): = (4t pi) ^ {- { frac {n} {2}}} exp left (- { frac {| x | ^ {2}} { 4t}} right).}$

Заметь

${ displaystyle mathrm {diam} (E _ { lambda}) = о (1)}$

при λ → ∞, поэтому приведенная выше формула верна для любого (х, т) в (открытом) множестве dom (ты) при достаточно большом λ.^[7] Это можно показать рассуждением, аналогичным аналогичному для гармонические функции.

Уравнение стационарной теплопроводности

Уравнение установившейся теплопроводности по определению не зависит от времени. Другими словами, предполагается, что существуют такие условия, что:

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = 0}$

Это условие зависит от постоянной времени и количества времени, прошедшего с момента наложения граничных условий. Таким образом, условие выполняется в ситуациях, когда постоянная времени равновесия достаточно быстро что более сложное зависящее от времени уравнение теплопроводности можно аппроксимировать стационарным случаем. Эквивалентно условие установившегося состояния существует для всех случаев, когда прошло достаточно времени что тепловое поле ты больше не развивается во времени.

В стационарном случае пространственный температурный градиент может (или не может) существовать, но если он есть, он не изменяется во времени. Таким образом, это уравнение описывает конечный результат всех тепловых проблем, в которых включается источник (например, двигатель запускается в автомобиле), и прошло достаточно времени для того, чтобы все постоянные градиенты температуры установились в пространстве, после чего эти пространственные градиенты больше не меняются во времени (как и в случае с автомобилем, в котором двигатель проработал достаточно долго). Другое (тривиальное) решение состоит в том, чтобы также исчезнуть все пространственные градиенты температуры, и в этом случае температура также станет однородной в пространстве.

Уравнение намного проще и может помочь лучше понять физику материалов, не обращая внимания на динамику процесса переноса тепла. Он широко используется для решения простых инженерных задач, предполагающих наличие равновесия температурных полей и переноса тепла со временем.

Устойчивое состояние:

${ displaystyle { frac { partial u} { partial t}} = 0}$

Уравнение стационарной теплопроводности для объема, содержащего источник тепла (неоднородный случай), представляет собой Уравнение Пуассона:

${ displaystyle -k nabla ^ {2} u = q}$

где ты это температура, k - теплопроводность и q плотность теплового потока источника.

В электростатика, это эквивалентно случаю, когда в рассматриваемом пространстве есть электрический заряд.

Уравнение стационарной теплопроводности без источника тепла в объеме (однородный случай) - это уравнение в электростатике для объема свободного пространства, не содержащего заряд. Это описывается Уравнение Лапласа:

${ displaystyle nabla ^ {2} и = 0}$

Приложения

Диффузия частиц

Можно моделировать частицу распространение уравнением, включающим:

• объемный концентрация частиц, обозначенных c, на случай, если коллективное распространение большого количества частиц, или
• то функция плотности вероятности связанный с положением отдельной частицы, обозначенный п.

В любом случае используется уравнение теплопроводности

${ displaystyle c_ {t} = D Delta c, quad}$

или

${ Displaystyle P_ {t} = D Delta P. quad}$

И то и другое c и п являются функциями положения и времени. D - коэффициент диффузии, который контролирует скорость диффузионного процесса, и обычно выражается в метрах в квадрате за секунду. Если коэффициент диффузии D не постоянный, но зависит от концентрации c (или п во втором случае), то получается уравнение нелинейной диффузии.

Броуновское движение

Пусть случайный процесс ${ displaystyle X}$ быть решением стохастическое дифференциальное уравнение

${ displaystyle left {{ begin {array} {ll} { text {d}} X_ {t} = { sqrt {2k}} ; { text {d}} B_ {t} X_ {0} = 0 end {array}} right.}$

где ${ displaystyle B}$ это Винеровский процесс (стандартное броуновское движение). Тогда функция плотности вероятности из ${ displaystyle X}$ дается в любое время ${ displaystyle t}$ от

${ displaystyle { frac {1} { sqrt {4 pi kt}}} exp left (- { frac {x ^ {2}} {4kt}} right)}$

которое является решением начальной задачи

${ displaystyle left {{ begin {array} {ll} u_ {t} (x, t) -ku_ {xx} (x, t) = 0, quad (x, t) in mathbb { R} times (0, + infty) u (x, 0) = delta (x) end {array}} right.}$

где ${ displaystyle delta}$ это Дельта-функция Дирака.

Уравнение Шредингера для свободной частицы

При простом делении Уравнение Шредингера для одной частицы масса м в отсутствие приложенного силового поля можно переписать следующим образом:

${ displaystyle psi _ {t} = { frac {i hbar} {2m}} Delta psi}$,

где я это мнимая единица, час это приведенная постоянная Планка, и ψ это волновая функция частицы.

Это уравнение формально аналогично уравнению диффузии частиц, которое получается с помощью следующего преобразования:

${ displaystyle { begin {align} c ( mathbf {R}, t) & to psi ( mathbf {R}, t) D & to { frac {i hbar} {2m}} конец {выровнено}}}$

Применение этого преобразования к выражениям функций Грина, определенных в случае диффузии частиц, дает функции Грина Уравнение Шредингера, что, в свою очередь, может быть использовано для получения волновая функция в любое время через интеграл на волновая функция в т = 0:

${ Displaystyle psi ( mathbf {R}, t) = int psi ( mathbf {R} ^ {0}, t = 0) G ( mathbf {R} - mathbf {R} ^ {0 }, t) dR_ {x} ^ {0} , dR_ {y} ^ {0} , dR_ {z} ^ {0},}$

с участием

${ Displaystyle G ( mathbf {R}, t) = { bigg (} { frac {m} {2 pi i hbar t}} { bigg)} ^ {3/2} e ^ {- { frac { mathbf {R} ^ {2} m} {2i hbar t}}}.}$

Замечание: эта аналогия между квантовой механикой и диффузией носит чисто формальный характер. Физически эволюция волновая функция удовлетворение Уравнение Шредингера может иметь другое происхождение, кроме диффузии.

Температуропроводность в полимерах

Прямое практическое применение уравнения теплопроводности в сочетании с Теория Фурье в сферических координатах - это прогноз профилей теплопередачи и измерение температуропроводность в полимеры (Ансуорт и Дуарте ). Этот двойной теоретико-экспериментальный метод применим к резине, различным другим полимерным материалам, представляющим практический интерес, и микрожидкостям. Эти авторы вывели выражение для температуры в центре сферы Т_C

${ displaystyle { frac {T_ {C} -T_ {S}} {T_ {0} -T_ {S}}} = 2 sum _ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ { n + 1} exp left ({- { frac {n ^ {2} pi ^ {2} alpha t} {L ^ {2}}}} right)}$

где Т₀ - начальная температура шара и Т_S температура на поверхности сферы радиуса L. Это уравнение также нашло применение в переносе энергии белками и тепловом моделировании в биофизике.

Дальнейшие приложения

Уравнение теплопроводности возникает в моделирование ряда явлений и часто используется в финансовая математика в моделировании опции. Известный Блэк – Скоулз модель ценообразования опционов дифференциальное уравнение может быть преобразовано в уравнение теплопроводности, позволяющее получить относительно простые решения из знакомой математики. Многие из расширений простых моделей опционов не имеют решений в закрытой форме и, следовательно, должны решаться численно, чтобы получить смоделированную цену опциона. Уравнение, описывающее диффузию давления в пористой среде, идентично по форме уравнению теплопроводности. Проблемы диффузии, связанные с Дирихле, Neumann и Граничные условия Робина имеют аналитические решения в замкнутой форме (Thambynayagam 2011 Уравнение теплопроводности также широко используется при анализе изображений (Перона и Малик 1990 ) и машинного обучения как движущей теории, лежащей в основе масштабное пространство или граф лапласиан методы. Уравнение теплопроводности может быть эффективно решено численно, используя неявный Метод Кранка – Николсона из (Крэнк и Николсон 1947 ). Этот метод можно распространить на многие модели без решения в закрытой форме, см., Например, (Уилмотт, Ховисон и Дьюинн, 1995 г. ).

Абстрактная форма уравнения теплопроводности на коллекторы обеспечивает основной подход к Теорема Атьи – Зингера об индексе, и привел к дальнейшим исследованиям уравнений теплопроводности в Риманова геометрия.

Смотрите также

• Калорический полином
• Кривая сокращения потока
• Уравнение диффузии
• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение Шредингера
• Преобразование Вейерштрасса

Примечания

использованная литература

• Crank, J .; Николсон, П. (1947), "Практический метод численной оценки решений уравнений с частными производными типа теплопроводности", Труды Кембриджского философского общества, 43 (1): 50–67, Bibcode:1947PCPS ... 43 ... 50C, Дои:10.1017 / S0305004100023197
• Эйнштейн, Альберт (1905), "Über die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen", Annalen der Physik, 322 (8): 549–560, Bibcode:1905AnP ... 322..549E, Дои:10.1002 / andp.19053220806
• Thambynayagam, Р. К. М. (2011), Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров, McGraw-Hill Professional, ISBN  978-0-07-175184-1
• Perona, P; Малик, Дж. (1990), «Масштабное пространство и обнаружение краев с использованием анизотропной диффузии» (PDF), IEEE Transactions по анализу шаблонов и машинному анализу, 12 (7): 629–639, Дои:10.1109/34.56205
• Unsworth, J .; Дуарте, Ф. Дж. (1979), "Рассеивание тепла в твердой сфере и теория Фурье", Am. J. Phys., 47 (11): 891–893, Bibcode:1979AmJPh..47..981U, Дои:10.1119/1.11601

Учебники

• Кэннон, Джон Розьер (1984), Одномерное уравнение теплопроводности, Энциклопедия математики и ее приложений, 23, Ридинг, Массачусетс: издательство Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, ISBN  0-201-13522-1, Г-Н  0747979, Zbl  0567.35001
• Карслав, H.S.; Jaeger, J.C. (1988), Проводимость тепла в твердых телах, Oxford Science Publications (2-е изд.), Нью-Йорк: The Clarendon Press, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853368-9
• Коул, Кевин Д.; Бек, Джеймс V .; Хаджи-Шейх, А .; Литкоухи, Бахан (2011), Теплопроводность с использованием функций Грина, Series in Computational and Physical Processes in Mechanics and Thermal Sciences (2nd ed.), Boca Raton, FL: CRC Press, ISBN  978-1-43-981354-6
• Эванс, Лоуренс К. (2010), Уравнения с частными производными, Аспирантура по математике, 19 (2-е изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-4974-3
• Фридман, Авнер (1964), Уравнения с частными производными параболического типа, Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.
• Джон, Фриц (1991), Уравнения с частными производными (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90609-6
• Виддер, Д.В. (1975), Уравнение теплопроводности, Чистая и прикладная математика, 67, Нью-Йорк-Лондон: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]
• Уилмотт, Пол; Ховисон, Сэм; Дьюинн, Джефф (1995), Математика производных финансовых инструментов. Введение для студентов, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-49699-3

внешние ссылки

• Вывод уравнения теплопроводности
• Линейные уравнения теплопроводности: Частные решения и краевые задачи - из EqWorld
• "Уравнение тепла". Бесконечная серия PBS. 17 ноября 2017 г. - через YouTube.