Теорема расходимости - Divergence theorem

В векторное исчисление, то теорема расходимости, также известен как Теорема Гаусса или Теорема Остроградского,^[1] это теорема который связывает поток из векторное поле через закрытый поверхность к расхождение поля в прилагаемом томе.

Точнее, теорема о расходимости утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля над замкнутой поверхностью, которое называется поток через поверхность, равна объемный интеграл расходимости по области внутри поверхности. Интуитивно он утверждает, что сумма всех источников поля в регионе (со стоками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из области.

Теорема о расходимости - важный результат для математики физика и инженерное дело, особенно в электростатика и динамика жидкостей. В этих областях он обычно применяется в трех измерениях. Однако это обобщает к любому количеству размеров. В одном измерении это эквивалентно интеграция по частям. В двух измерениях это эквивалентно Теорема Грина.

Объяснение использования потока жидкости

Векторные поля часто иллюстрируются на примере скорость поле жидкость, например, газ или жидкость. Движущаяся жидкость имеет скорость - скорость и направление - в каждой точке, что может быть представлено вектор, так что скорость жидкости образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела с жидкостью, заключающего в себе объем жидкости. В поток жидкости из объема равна объемной скорости жидкости, пересекающей эту поверхность, т. е. поверхностный интеграл скорости по поверхности.

Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равно нулю. Если жидкость движется, она может перетекать в объем в некоторых точках поверхности. S и из объема в других точках, но количества, поступающие и выходящие в любой момент, равны, поэтому сеть поток жидкости из объема равен нулю.

Однако если источник Если жидкость находится внутри закрытой поверхности, такой как труба, через которую вводится жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. Это вызовет чистый выходящий поток через поверхность. S. Поток наружу через S равняется объемному расходу жидкости в S из трубы. Аналогично, если есть тонуть или слить внутрь SНапример, в трубе, по которой сливается жидкость, внешнее давление жидкости будет вызывать скорость жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемный расход жидкости внутрь через поверхность S равняется скорости жидкости, удаляемой мойкой.

Если внутри несколько источников и стоков жидкости S, поток через поверхность может быть рассчитан путем сложения объемной скорости жидкости, добавленной источниками, и вычитания скорости жидкости, сливаемой стоками. Объемный расход жидкости через источник или сток (с отрицательным знаком расхода через сток) равен расхождение поля скорости в устье трубы, поэтому суммируя (интегрируя) расходимость жидкости во всем объеме, заключенном S равна объемной скорости потока через S. Это теорема о расходимости.^[2]

Теорема о расходимости используется в любом закон сохранения в котором говорится, что полный объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема.^[3]

Математическое утверждение

Регион

V

ограниченный поверхностью

S = \partial V

с нормалью к поверхности

п

Предположим $V$ это подмножество ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ (на случай, если $п = 3, V$ представляет собой объем в трехмерное пространство ) который компактный и имеет кусочно гладкая граница $S$ (также обозначено $\partial V = S$ ). Если $F$ - непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное на окрестности из $V$ , тогда:^[4]^{[неудачная проверка – см. обсуждение]}

{ Displaystyle iiint _ {V} left ( mathbf { nabla} cdot mathbf {F} right) , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle ( mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}}) , dS.}

Левая сторона - это объемный интеграл по объему $V$ , правая сторона - это поверхностный интеграл над границей объема $V$ . Замкнутый коллектор $\partial V$ ориентирован наружу нормали, и $п$ нормаль на единицу направленной наружу в каждой точке границы $\partial V$ . ( $d S$ может использоваться как сокращение для $п dS$ .) В терминах интуитивно понятного описания выше, левая часть уравнения представляет собой сумму источников в томе. $V$ , а правая часть представляет собой полный поток через границу $S$ .

Неформальное происхождение

Теорема о расходимости следует из того факта, что если объем $V$ разделен на отдельные части, поток из исходного объема равна сумме потока из каждого объема компонента.^[5] Это верно, несмотря на то, что новые подобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного тома, потому что эти поверхности являются просто перегородками между двумя подобъемами, и поток через них просто проходит от одного объема к другому и, таким образом, сводится на нет. когда суммируется поток из подобъемов.

Том разделен на два подтома. Справа два подобъема разделены, чтобы показать потоки от разных поверхностей.

См. Схему. Замкнутый, ограниченный объем $V$ разделен на два тома $V 1$ и $V 2$ по поверхности $S 3$ (зеленый). Поток $Φ (V я)$ из каждого компонента региона $V я$ равна сумме потока, проходящего через его две грани, поэтому сумма потока из двух частей равна

{ Displaystyle Phi (V _ { text {1}}) + Phi (V _ { text {2}}) = Phi _ { text {1}} + Phi _ { text {31}} + Phi _ { text {2}} + Phi _ { text {32}}}

где $Φ 1$ и $Φ 2$ поток из поверхностей $S 1$ и $S 2$ , $Φ 31$ поток через $S 3$ из тома 1, и $Φ 32$ поток через $S 3$ вне объема 2. Дело в том, что поверхность $S 3$ является частью поверхности обоих объемов. «Внешнее» направление нормальный вектор ${ Displaystyle mathbf { шляпа {п}}}$ противоположен для каждого объема, поэтому поток из одного через $S 3$ равен отрицательному потоку из другого

{ Displaystyle Phi _ { текст {32}} = iint _ {S_ {3}} mathbf {F} cdot (- mathbf { hat {n}}) ; dS = - iint _ {S_ {3}} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS = - Phi _ { text {31}}}

так что эти два потока сокращаются в сумме. Следовательно

{ displaystyle Phi (V _ { text {1}}) + Phi (V _ { text {2}}) = Phi _ { text {1}} + Phi _ { text {2}} }

Поскольку объединение поверхностей $S 1$ и $S 2$ является $S$

{ Displaystyle Phi (V _ { text {1}}) + Phi (V _ { text {2}}) = Phi (V)}

Объем можно разделить на любое количество подобъемов и поток из V равна сумме потока из каждого подобъема, потому что поток через зеленый поверхности сокращается в сумме. В (b) объемы показаны немного разделенными, что показывает, что каждое зеленое разделение является частью границы двух смежных объемов.

Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме.^[5] Поскольку интеграл по каждому внутреннему разбиению (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух соседних объемов, которые они сокращают, и единственный вклад в поток - интеграл по внешним поверхностям (серый). Поскольку внешние поверхности всех составляющих объемов равны исходной поверхности.

{ displaystyle Phi (V) = sum _ {V _ { text {i}} subset V} Phi (V _ { text {i}})}

Поскольку объем разделен на более мелкие части, отношение потока

{ displaystyle Phi (V _ { text {i}})}

из каждого тома в том

{ displaystyle | V _ { text {i}} |}

подходы

{ displaystyle operatorname {div} mathbf {F}}

Поток $Φ$ из каждого объема - поверхностный интеграл векторного поля $F (Икс)$ по поверхности

{ Displaystyle iint _ {S (V)} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS = sum _ {V _ { text {i}} subset V} iint _ {S (V _ { текст {i}})} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS}

Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечное множество бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на меньшие и меньшие части, поверхностный интеграл справа, поток из каждого подобъема, приближается к нулю, потому что площадь поверхности $S (V я)$ приближается к нулю. Однако из определения расхождение, отношение потока к объему, ${ displaystyle { frac { Phi (V _ { text {i}})} {| V _ { text {i}} |}} = { frac {1} {| V _ { text {i}} |}} iint _ {S (V _ { text {i}})} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS}$ , часть в скобках ниже, вообще говоря, не исчезает, а приближается к расхождение $div F$ когда объем приближается к нулю.^[5]

{ Displaystyle iint _ {S (V)} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS = sum _ {V _ { text {i}} subset V} left ({ frac {1} {| V _ { text {i}} |}} iint _ {S (V _ { text {i}})} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n }} ; dS right) | V _ { text {i}} |}

Пока векторное поле $F (Икс)$ имеет непрерывные производные, указанная выше сумма верна даже в предел когда объем делится на бесконечно малые приращения

{ Displaystyle iint _ {S (V)} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS = lim _ {| V _ { text {i}} | to 0} sum _ {V _ { text {i}} subset V} left ({ frac {1} {| V _ { text {i}} |}} iint _ {S (V _ { text {i }})} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS right) | V _ { text {i}} |}

Так как ${ displaystyle | V _ { text {i}} |}$ приближается к нулевому объему, он становится бесконечно малым $dV$ , часть в скобках становится расходимостью, а сумма становится объемный интеграл над $V$

${ displaystyle ; iint _ {S (V)} mathbf {F} cdot mathbf { hat {n}} ; dS = iiint _ {V} operatorname {div} mathbf {F} ; dV ;}$

Поскольку этот вывод не содержит координат, он показывает, что расхождение не зависит от используемых координат.

Следствия

Заменив $F$ в теореме о расходимости с конкретными формами можно вывести другие полезные тождества (ср. векторные тождества ).^[4]

С участием ${ displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} g}$ для скалярной функции $г$ и векторное поле $F$ ,

{ displaystyle iiint _ {V} left [ mathbf {F} cdot left ( nabla g right) + g left ( nabla cdot mathbf {F} right) right] dV = }

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle g mathbf {F} cdot mathbf {n} dS.}

Частным случаем этого является

F = \nabla ж

, и в этом случае теорема является основой Личность Грина.

С участием ${ Displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} times mathbf {G}}$ для двух векторных полей $F$ и $г$ , где ${ displaystyle times}$ обозначает перекрестное произведение,

{ displaystyle iiint _ {V} left [ mathbf {G} cdot left ( nabla times mathbf {F} right) - mathbf {F} cdot left ( nabla times mathbf {G} right) right] , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle ( mathbf {F} times mathbf {G}) cdot mathbf {n} d mathbf {S}.}

С участием ${ Displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {F} cdot mathbf {G}}$ для двух векторных полей $F$ и $г$ , где ${ displaystyle cdot}$ обозначает скалярное произведение,

{ displaystyle iiint _ {V} nabla left ( mathbf {F} cdot mathbf {G} right) dV = iiint _ {V} left [ mathbf {F} cdot left ( nabla cdot mathbf {G} right) + left ( nabla cdot mathbf {F} right) cdot mathbf {G} right] , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle ( mathbf {F} cdot mathbf {G}) cdot mathbf {n} d mathbf {S}.}

С участием ${ displaystyle mathbf {F} rightarrow f mathbf {c}}$ для скалярной функции $ж$ и векторное поле c:^[6]

{ displaystyle iiint _ {V} mathbf {c} cdot nabla f , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle ( mathbf {c} f) cdot mathbf {n} dS- iiint _ {V} f ( nabla cdot mathbf {c}) , dV.}

Последний член справа обращается в нуль при постоянном

{ displaystyle mathbf {c}}

или любое бездивергентное (соленоидальное) векторное поле, например Несжимаемые потоки без источников или стоков, таких как фазовые превращения, химические реакции и т. Д.

{ displaystyle mathbf {c}}

быть постоянным:

{ displaystyle iiint _ {V} nabla f , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle fd mathbf {S}.}

С участием ${ Displaystyle mathbf {F} rightarrow mathbf {c} times mathbf {F}}$ для векторного поля $F$ и постоянный вектор c:^[6]

{ displaystyle iiint _ {V} mathbf {c} cdot ( nabla times mathbf {F}) , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle ( mathbf {F} times mathbf {c}) cdot mathbf {n} d mathbf {S}.}

Переупорядочив тройное произведение в правой части и вычитая постоянный вектор интеграла,

{ displaystyle iiint _ {V} ( nabla times mathbf {F}) , dV cdot mathbf {c} =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle (d mathbf {S} times mathbf {F}) cdot mathbf {c}.}

Следовательно,

{ Displaystyle iiint _ {V} ( набла раз mathbf {F}) , dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle mathbf {n} times mathbf {F} dS.}

пример

Векторное поле, соответствующее показанному примеру. Векторы могут указывать внутрь или за пределы сферы.

Теорема о расходимости может быть использована для расчета потока через закрытая поверхность который полностью охватывает объем, как и любая из поверхностей слева. Он может не непосредственно использоваться для расчета потока через поверхности с границами, как те, что справа. (Поверхности синие, границы красные.)

Предположим, мы хотим оценить

{ displaystyle scriptstyle S}

{ Displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {п} , DS,}

где $S$ это единичная сфера определяется

{ displaystyle S = left {(x, y, z) in mathbb {R} ^ {3} : x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 правильно},}

и $F$ это векторное поле

{ displaystyle mathbf {F} = 2x mathbf {i} + y ^ {2} mathbf {j} + z ^ {2} mathbf {k}.}

Прямое вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, потому что теорема о расходимости говорит, что интеграл равен:

{ displaystyle iiint _ {W} ( nabla cdot mathbf {F}) , dV = 2 iiint _ {W} (1 + y + z) , dV = 2 iiint _ {W} dV +2 iiint _ {W} y , dV + 2 iiint _ {W} z , dV,}

где $W$ это единичный шар:

{ displaystyle W = left {(x, y, z) in mathbb {R} ^ {3} : x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} leq 1 правильно}.}

Поскольку функция $у$ положительна в одном полушарии $W$ и отрицательным в другом, равным и противоположным образом, его полный интеграл по $W$ равно нулю. То же верно и для $z$ :

{ displaystyle iiint _ {W} y , dV = iiint _ {W} z , dV = 0.}

Следовательно,

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} , {d} S = 2 iiint _ {W} , dV = { frac {8 pi} {3}},}

потому что единичный мяч $W$ имеет объем $4 π / 3$ .

Приложения

Дифференциальная форма и интегральная форма физических законов

В результате теоремы о расходимости множество физических законов может быть записано как в дифференциальной форме (где одна величина является дивергенцией другой), так и в интегральной форме (где поток одной величины через замкнутую поверхность равен потоку другой величины. количество). Три примера: Закон Гаусса (в электростатика ), Закон Гаусса для магнетизма, и Закон Гаусса для гравитации.

Уравнения неразрывности

Уравнения неразрывности Предлагаем больше примеров законов как с дифференциальной, так и с интегральной формами, связанных друг с другом теоремой о расходимости. В динамика жидкостей, электромагнетизм, квантовая механика, теория относительности, и ряд других полей, есть уравнения неразрывности которые описывают сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. Обычно эти уравнения утверждают, что дивергенция потока сохраняемой величины равна распределению источники или раковины этого количества. Теорема о дивергенции утверждает, что любое такое уравнение неразрывности может быть записано в дифференциальной форме (в терминах дивергенции) и в интегральной форме (в терминах потока).^[7]

Законы обратных квадратов

Любые закон обратных квадратов вместо этого можно записать в Закон Гаусса-типная форма (с дифференциальной и интегральной формами, как описано выше). Два примера: Закон Гаусса (в электростатике), что следует из обратного квадрата Закон Кулона, и Закон Гаусса для гравитации, что следует из обратного квадрата Закон всемирного тяготения Ньютона. Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулировки обратных квадратов или наоборот абсолютно одинаков в обоих случаях; подробности см. в любой из этих статей.^[7]

История

Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 г. и снова в более общих терминах в 1811 г. во втором издании своего Аналитическая механика. Лагранж использовал поверхностные интегралы в своих работах по механике жидкости.^[8] Он открыл теорему о расходимости в 1762 году.^[9]

Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал частные случаи теоремы о расходимости.^[10]^[8] Он доказал дополнительные частные случаи в 1833 и 1839 гг.^[11] Но это было Михаил Остроградский, который дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока.^[12] Особые случаи были доказаны Джордж Грин в 1828 г. в Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма,^[13]^[11] Симеон Дени Пуассон в 1824 г. в статье об эластичности и Фредерик Саррус в 1828 г. в работе о плавучих телах.^[14]^[11]

Примеры работ

Пример 1

Чтобы проверить планарный вариант теоремы о расходимости для области ${ displaystyle R}$ :

{ Displaystyle R = left {(x, y) in mathbb {R} ^ {2} : x ^ {2} + y ^ {2} leq 1 right },}

и векторное поле:

{ displaystyle mathbf {F} (x, y) = 2y mathbf {i} + 5x mathbf {j}.}

Граница ${ displaystyle R}$ это единичный круг, ${ displaystyle C}$ , который параметрически может быть представлен как:

{ Displaystyle х = соз (s), quad y = sin (s)}

такой, что ${ displaystyle 0 leq s leq 2 pi}$ где ${ displaystyle s}$ единицы - длина дуги от точки ${ displaystyle s = 0}$ к точке ${ displaystyle P}$ на ${ displaystyle C}$ . Тогда векторное уравнение ${ displaystyle C}$ является

{ Displaystyle C (s) = cos (s) mathbf {i} + sin (s) mathbf {j}.}

В какой-то момент ${ displaystyle P}$ на ${ displaystyle C}$ :

{ Displaystyle P = ( соз (s), , sin (s)) , Rightarrow , mathbf {F} = 2 sin (s) mathbf {i} +5 cos (s) mathbf {j}.}

Следовательно,

{ displaystyle { begin {align} oint _ {C} mathbf {F} cdot mathbf {n} , ds & = int _ {0} ^ {2 pi} (2 sin (s) mathbf {i} +5 cos (s) mathbf {j}) cdot ( cos (s) mathbf {i} + sin (s) mathbf {j}) , ds & = int _ {0} ^ {2 pi} (2 sin (s) cos (s) +5 sin (s) cos (s)) , ds & = 7 int _ {0 } ^ {2 pi} sin (s) cos (s) , ds & = 0. end {align}}}

Потому что ${ Displaystyle M = 2y, { frac { partial M} { partial x}} = 0}$ , и потому что ${ displaystyle N = 5x, { frac { partial N} { partial y}} = 0}$ . Таким образом

{ Displaystyle iint _ {R} , mathbf { nabla} cdot mathbf {F} , dA = iint _ {R} left ({ frac { partial M} { partial x} } + { frac { partial N} { partial y}} right) , dA = 0.}

Пример 2

Допустим, мы хотели оценить поток следующих векторное поле определяется ${ displaystyle mathbf {F} = 2x ^ {2} { textbf {i}} + 2y ^ {2} { textbf {j}} + 2z ^ {2} { textbf {k}}}$ ограниченный следующими неравенствами:

{ Displaystyle влево {0 Leq х Leq 3 вправо } влево {- 2 Leq у Leq 2 вправо } влево {0 Leq Z Leq 2 пи вправо }}

По теореме о расходимости

${ displaystyle iiint _ {V} left ( mathbf { nabla} cdot mathbf {F} right) dV =}$ ${ displaystyle scriptstyle S}$ ${ Displaystyle ( mathbf {F} cdot mathbf {n}) , DS.}$

Теперь нам нужно определить расхождение ${ displaystyle { textbf {F}}}$ . Если ${ displaystyle mathbf {F}}$ является трехмерным векторным полем, то расходимость ${ displaystyle { textbf {F}}}$ дан кем-то ${ displaystyle nabla cdot { textbf {F}} = left ({ frac { partial} { partial x}} { textbf {i}} + { frac { partial} { partial y }} { textbf {j}} + { frac { partial} { partial z}} { textbf {k}} right) cdot { textbf {F}}}$ .

Таким образом, мы можем установить следующий интеграл потока ${ displaystyle I =}$ ${ displaystyle { scriptstyle S}}$ ${ displaystyle mathbf {F} cdot mathbf {n} dS,}$ следующим образом:

{ displaystyle { begin {align} I & = iiint _ {V} nabla cdot mathbf {F} dV [6pt] & = iiint _ {V} { frac { partial mathbf {F_ {x}}} { partial {x}}} + { frac { partial mathbf {F_ {y}}} { partial {y}}} + { frac { partial mathbf {F_ {z }}} { partial {z}}} dV [6pt] & = iiint _ {V} 4x + 4y + 4zdV [6pt] & = int _ {0} ^ {3} int _ {-2} ^ {2} int _ {0} ^ {2 pi} 4x + 4y + 4z , dV end {выровнено}}}

Теперь, когда мы установили интеграл, мы можем его вычислить.

{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {3} int _ {- 2} ^ {2} int _ {0} ^ {2 pi} 4x + 4y + 4zdV & = int _ {- 2} ^ {2} int _ {0} ^ {2 pi} 12y + 12z + 18dydz [6pt] & = int _ {0} ^ {2 pi} 24 (2z + 3 ) , dz [6pt] & = 48 pi cdot (2 pi +3) end {align}}}

Обобщения

Несколько измерений

Можно использовать общее Теорема Стокса приравнять $п$ -мерный объемный интеграл от расходимости векторного поля $F$ по региону $U$ к $(п - 1)$ -мерный поверхностный интеграл $F$ через границу $U$ :

{ displaystyle underbrace { int cdots int _ {U}} _ {n} nabla cdot mathbf {F} , dV = underbrace { oint cdots oint _ { partial U}} _ {n-1} mathbf {F} cdot mathbf {n} , dS}

Это уравнение также известно как теорема о расходимости.

Когда $п = 2$ , это эквивалентно Теорема Грина.

Когда $п = 1$ , это сводится к интеграция по частям.

Тензорные поля

Записывая теорему на Обозначения Эйнштейна:

{ displaystyle iiint _ {V} { dfrac { partial mathbf {F} _ {i}} { partial x_ {i}}} dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle mathbf {F} _ {i} n_ {i} , dS}

наводя на мысль, заменяя векторное поле $F$ в звании- $п$ тензорное поле $Т$ , это можно обобщить на:^[15]

{ displaystyle iiint _ {V} { dfrac { partial T_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {q} cdots i_ {n}}} { partial x_ {i_ {q}}} } dV =}

{ displaystyle scriptstyle S}

{ displaystyle T_ {i_ {1} i_ {2} cdots i_ {q} cdots i_ {n}} n_ {i_ {q}} , dS.}

где по бокам тензорное сжатие встречается хотя бы для одного индекса. Эта форма теоремы все еще находится в трехмерном пространстве, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Ее можно обобщить еще до более высоких (или более низких) измерений (например, до 4d. пространство-время в общая теория относительности^[16]).

Смотрите также

Теорема Кельвина – Стокса

использованная литература

^ Кац, Виктор Дж. (1979). «История теоремы Стокса». Математический журнал. 52 (3): 146–156. Дои:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. перепечатано в Андерсон, Марлоу (2009). Кто дал вам эпсилон ?: и другие истории математики. Математическая ассоциация Америки. С. 78–79. ISBN 978-0883855690.
^ Р. Г. Лернер; Г. Л. Тригг (1994). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.
^ Байрон, Фредерик; Фуллер, Роберт (1992), Математика классической и квантовой физики, Dover Publications, стр.22, ISBN 978-0-486-67164-2
^ ^а ^б М. Р. Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ. Очерки Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ ^а ^б ^c Перселл, Эдвард М .; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge Univ. Нажмите. С. 56–58. ISBN 978-1107014022.
^ ^а ^б MathWorld
^ ^а ^б К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.
^ ^а ^б Кац, Виктор (2009). «Глава 22: Векторный анализ». История математики: введение. Эддисон-Уэсли. С. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.
^ В своей статье о звуке 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы о расходимости: Лагранж (1762 г.) «Новые исследования природы и распространения звука» (Новые исследования природы и распространения звука), Разное Taurinensia (также известен как: Mélanges de Turin ), 2: 11 - 172. Эта статья перепечатывается как: "Новые исследования о природе и пропаганде сына" в: J.A. Серре, изд., Oeuvres de Lagrange(Париж, Франция: Готье-Виллар, 1867 г.), т. 1, страницы 151–316; на страницах 263–265, Лагранж преобразует тройные интегралы в двойные интегралы, используя интегрирование по частям.
^ К. Ф. Гаусс (1813) "Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methoddo nova tractata", Комментарии societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores, 2: 355–378; Гаусс рассмотрел частный случай теоремы; см. 4-ю, 5-ю и 6-ю страницы его статьи.
^ ^а ^б ^c Кац, Виктор (май 1979). "История теоремы Стокса". Математический журнал. 52 (3): 146–156. Дои:10.1080 / 0025570X.1979.11976770. JSTOR 2690275.
^
Михаил Остраградский представил свое доказательство теоремы о расходимости Парижской академии в 1826 году; однако его работа не была опубликована Академией. Он вернулся в Санкт-Петербург, Россия, где в 1828–1829 годах он прочитал работу, которую он сделал во Франции, в Санкт-Петербургскую академию, которая опубликовала его работу в сокращенной форме в 1831 году.
- Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un théorème du Calcul intégral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе с другой его статьей. См .: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) «Неопубликованные работы М.В. Остроградского» (Неопубликованные произведения М.В. Остроградского), Историко-математические исследования (Историко-математические исследования / Историко-математические исследования), 16: 49–96; см. раздел «Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления» (Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления).
- М. Остроградский (подарен 5 ноября 1828 г .; опубликован: 1831 г.) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Первое замечание по теории тепла) Mémoires de l'Académie imériale des Sciences de Saint Pétersbourg, серия 6, 1: 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на страницах 130–131.
- Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса», В архиве 2 апреля 2015 г. Wayback Machine Математический журнал, 52(3): 146–156; доказательство теоремы о расходимости Остраградским см. на страницах 147–148.
^ Джордж Грин, Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1838). Форма «теоремы о расходимости» появляется на страницы 10–12.
^
Другие ранние исследователи, которые использовали ту или иную форму теоремы о расходимости, включают:
- Пуассон (представлено: 2 февраля 1824 г .; опубликовано: 1826 г.) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Воспоминания по теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France, 5: 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует интеграл объема (который используется для вычисления величины Q) в интеграл поверхности. Чтобы сделать это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.
- Фредерик Саррус (1828) «Mémoire sur les колебания des corps flottans» (Воспоминание о колебаниях плавающих тел), Анналы чистой математики и аппликации (Нисмес), 19: 185–211.
^ К.Ф. Райли; М.П. Хобсон; С.Дж. Бенс (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.
^ см. например:
J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 978-0-7167-0344-0., и
Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

внешние ссылки

«Формула Остроградского», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
Дифференциальные операторы и теорема о расходимости на MathPages
Теорема о расходимости (Гауссе) Ник Быков, Вольфрам Демонстрационный проект.
Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о расходимости». MathWorld. – Эта статья изначально была основана на GFDL статья из PlanetMath в https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html

[Katz-1] Кац, Виктор Дж. (1979). «История теоремы Стокса». Математический журнал. 52 (3): 146–156. Дои:10.2307/2690275. JSTOR 2690275. перепечатано в Андерсон, Марлоу (2009). Кто дал вам эпсилон ?: и другие истории математики. Математическая ассоциация Америки. С. 78–79. ISBN 978-0883855690.

[2] Р. Г. Лернер; Г. Л. Тригг (1994). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN 978-3-527-26954-9.

[3] Байрон, Фредерик; Фуллер, Роберт (1992), Математика классической и квантовой физики, Dover Publications, стр.22, ISBN 978-0-486-67164-2

[spiegel-4] а ^б М. Р. Шпигель; С. Липшуц; Д. Спеллман (2009). Векторный анализ. Очерки Шаума (2-е изд.). США: Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-161545-7.

[Purcell-5] а ^б ^c Перселл, Эдвард М .; Дэвид Дж. Морин (2013). Электричество и магнетизм. Cambridge Univ. Нажмите. С. 56–58. ISBN 978-1107014022.

[mathworld-6] а ^б MathWorld

[C.B._Parker_1994-7] а ^б К. Б. Паркер (1994). Энциклопедия физики Макгроу Хилла (2-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-051400-3.

[:0-8] а ^б Кац, Виктор (2009). «Глава 22: Векторный анализ». История математики: введение. Эддисон-Уэсли. С. 808–9. ISBN 978-0-321-38700-4.

[9] В своей статье о звуке 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы о расходимости: Лагранж (1762 г.) «Новые исследования природы и распространения звука» (Новые исследования природы и распространения звука), Разное Taurinensia (также известен как: Mélanges de Turin ), 2: 11 - 172. Эта статья перепечатывается как: "Новые исследования о природе и пропаганде сына" в: J.A. Серре, изд., Oeuvres de Lagrange(Париж, Франция: Готье-Виллар, 1867 г.), т. 1, страницы 151–316; на страницах 263–265, Лагранж преобразует тройные интегралы в двойные интегралы, используя интегрирование по частям.

[10] К. Ф. Гаусс (1813) "Theoria Attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methoddo nova tractata", Комментарии societatis regiae scientiarium Gottingensis Recentiores, 2: 355–378; Гаусс рассмотрел частный случай теоремы; см. 4-ю, 5-ю и 6-ю страницы его статьи.

[:32-11] а ^б ^c Кац, Виктор (май 1979). "История теоремы Стокса". Математический журнал. 52 (3): 146–156. Дои:10.1080 / 0025570X.1979.11976770. JSTOR 2690275.

[12] Михаил Остраградский представил свое доказательство теоремы о расходимости Парижской академии в 1826 году; однако его работа не была опубликована Академией. Он вернулся в Санкт-Петербург, Россия, где в 1828–1829 годах он прочитал работу, которую он сделал во Франции, в Санкт-Петербургскую академию, которая опубликовала его работу в сокращенной форме в 1831 году.
Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un théorème du Calcul intégral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе с другой его статьей. См .: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) «Неопубликованные работы М.В. Остроградского» (Неопубликованные произведения М.В. Остроградского), Историко-математические исследования (Историко-математические исследования / Историко-математические исследования), 16: 49–96; см. раздел «Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления» (Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления).
М. Остроградский (подарен 5 ноября 1828 г .; опубликован: 1831 г.) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Первое замечание по теории тепла) Mémoires de l'Académie imériale des Sciences de Saint Pétersbourg, серия 6, 1: 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на страницах 130–131.
Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса», В архиве 2 апреля 2015 г. Wayback Machine Математический журнал, 52(3): 146–156; доказательство теоремы о расходимости Остраградским см. на страницах 147–148.

[13] Его доказательство теоремы о расходимости - «Démonstration d'un théorème du Calcul intégral» (Доказательство теоремы в интегральном исчислении), которое он прочитал в Парижской академии 13 февраля 1826 года, было переведено в 1965 году на русский язык вместе с другой его статьей. См .: Юшкевич А.П. (Юшкевич А.П.) и Антропова В.И. (Антропов В.И.) (1965) «Неопубликованные работы М.В. Остроградского» (Неопубликованные произведения М.В. Остроградского), Историко-математические исследования (Историко-математические исследования / Историко-математические исследования), 16: 49–96; см. раздел «Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления» (Остроградский М.В. Доказательство одной теории интегрального исчисления / Остраградский М.В. Доказательство теоремы интегрального исчисления).

[14] М. Остроградский (подарен 5 ноября 1828 г .; опубликован: 1831 г.) "Première note sur la théorie de la chaleur" (Первое замечание по теории тепла) Mémoires de l'Académie imériale des Sciences de Saint Pétersbourg, серия 6, 1: 129–133; сокращенную версию его доказательства теоремы о расходимости см. на страницах 130–131.

[15] Виктор Дж. Кац (май 1979 г.) «История теоремы Стокса», В архиве 2 апреля 2015 г. Wayback Machine Математический журнал, 52(3): 146–156; доказательство теоремы о расходимости Остраградским см. на страницах 147–148.

[13] Джордж Грин, Очерк применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма (Ноттингем, Англия: T. Wheelhouse, 1838). Форма «теоремы о расходимости» появляется на страницы 10–12.

[14] Другие ранние исследователи, которые использовали ту или иную форму теоремы о расходимости, включают:
Пуассон (представлено: 2 февраля 1824 г .; опубликовано: 1826 г.) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Воспоминания по теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France, 5: 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует интеграл объема (который используется для вычисления величины Q) в интеграл поверхности. Чтобы сделать это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.
Фредерик Саррус (1828) «Mémoire sur les колебания des corps flottans» (Воспоминание о колебаниях плавающих тел), Анналы чистой математики и аппликации (Нисмес), 19: 185–211.

[18] Пуассон (представлено: 2 февраля 1824 г .; опубликовано: 1826 г.) "Mémoire sur la théorie du magnétisme" (Воспоминания по теории магнетизма), Mémoires de l'Académie des Sciences de l'Institut de France, 5: 247–338; на страницах 294–296 Пуассон преобразует интеграл объема (который используется для вычисления величины Q) в интеграл поверхности. Чтобы сделать это преобразование, Пуассон следует той же процедуре, которая используется для доказательства теоремы о расходимости.

[19] Фредерик Саррус (1828) «Mémoire sur les колебания des corps flottans» (Воспоминание о колебаниях плавающих тел), Анналы чистой математики и аппликации (Нисмес), 19: 185–211.

[15] К.Ф. Райли; М.П. Хобсон; С.Дж. Бенс (2010). Математические методы для физики и техники. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86153-3.

[16] см. например:
J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр. 85–86, §3.5. ISBN 978-0-7167-0344-0., и
Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN 978-0-679-77631-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]