Исчисление Маллявэна - Malliavin calculus

В теории вероятностей и смежных областях Исчисление Маллявэна представляет собой набор математических методов и идей, расширяющих математическое поле вариационное исчисление от детерминированных функций к случайные процессы. В частности, он позволяет вычислить производные из случайные переменные. Исчисление Маллявэна также называют стохастическое исчисление вариаций. П. Маллявин первым инициировал исчисление в бесконечномерном пространстве. Затем такие важные участники, как С. Кусуока, Д. Строок, Бисмут, С. Ватанабэ, И. Сигекава и др., Наконец, завершили фундамент.

Исчисление Маллявэна названо в честь Пол Маллявин чьи идеи привели к доказательству того, что Состояние Хёрмандера следует существование и гладкость плотность для решения стохастическое дифференциальное уравнение; Хёрмандер исходное доказательство основывалось на теории уравнения в частных производных. Расчет был применен к стохастические уравнения в частных производных также.

Расчет позволяет интеграция по частям с случайные переменные; эта операция используется в математические финансы вычислить чувствительность финансовые производные. У исчисления есть приложения, например, в стохастическая фильтрация.

Обзор и история

Маллявэн ввел исчисление Маллявэна для стохастического доказательства того, что Состояние Хёрмандера подразумевает наличие плотность для решения стохастическое дифференциальное уравнение; Хёрмандер исходное доказательство основывалось на теории уравнения в частных производных. Его исчисления позволили Маллявэну доказать оценки регулярности плотности решения. Расчет был применен к стохастические уравнения в частных производных.

Принцип инвариантности

Обычный принцип инвариантности для Интеграция Лебега по всей действительной прямой состоит в том, что для любого действительного числа ε и интегрируемой функции ж, следующее имеет место

{ Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} е (х) , d лямбда (х) = int _ {- infty} ^ { infty} е (х + varepsilon) , d lambda (x)}

и поэтому

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f '(x) , d lambda (x) = 0.}

Это можно использовать для получения интеграция по частям формула, поскольку, установка ж = gh, это подразумевает

{ displaystyle 0 = int _ {- infty} ^ { infty} f ', d lambda = int _ {- infty} ^ { infty} (gh)' , d lambda = int _ {- infty} ^ { infty} gh ', d lambda + int _ {- infty} ^ { infty} g'h , d lambda.}

Похожая идея может быть применена в стохастическом анализе для дифференцирования по направлению Камерона-Мартина-Гирсанова. Действительно, пусть ${ displaystyle h_ {s}}$ быть квадратично интегрируемым предсказуемый процесс и установить

{ displaystyle varphi (t) = int _ {0} ^ {t} h_ {s} , ds.}

Если ${ displaystyle X}$ это Винеровский процесс, то Теорема Гирсанова то дает следующий аналог принципа инвариантности:

{ Displaystyle E (F (X + varepsilon varphi)) = E left [F (X) exp left ( varepsilon int _ {0} ^ {1} h_ {s} , dX_ {s}) - { frac {1} {2}} varepsilon ^ {2} int _ {0} ^ {1} h_ {s} ^ {2} , ds right) right].}

Дифференцируя по ε с обеих сторон и оценивая при ε = 0, получаем следующую формулу интегрирования по частям:

{ Displaystyle E ( langle DF (X), varphi rangle) = E { Bigl [} F (X) int _ {0} ^ {1} h_ {s} , dX_ {s} { Бигр]}.}

Здесь левая часть - это Производная Маллявэна случайной величины ${ displaystyle F}$ в направлении ${ displaystyle varphi}$ а интеграл, появляющийся в правой части, следует интерпретировать как Ито интегральный. Это выражение также остается верным (по определению), если ${ displaystyle h}$ не адаптирован, при условии, что правая часть интерпретируется как Скороход интеграл.^{[нужна цитата ]}

Формула Кларка-Окона

Одним из наиболее полезных результатов исчисления Маллявэна является Теорема Кларка-Окона, что позволяет процессу в теорема мартингального представления быть идентифицированным явно. Упрощенная версия этой теоремы выглядит следующим образом:

За ${ Displaystyle F: С [0,1] к mathbb {R}}$ удовлетворение ${ Displaystyle E (F (X) ^ {2}) < infty}$ который является липшицевым и таким, что F имеет сильное производное ядро в том смысле, что для ${ displaystyle varphi}$ в C[0,1]

{ displaystyle lim _ { varepsilon to 0} (1 / varepsilon) (F (X + varepsilon varphi) -F (X)) = int _ {0} ^ {1} F '(X, dt) varphi (t) mathrm {ae} X}

тогда

{ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + int _ {0} ^ {1} H_ {t} , dX_ {t},}

куда ЧАС это предвидимая проекция F'(Икс, (т, 1]), которую можно рассматривать как производную от функции F относительно подходящего параллельного сдвига процесса Икс над порцией (т, 1] своего домена.

Более кратко это можно выразить следующим образом:

{ Displaystyle F (X) = E (F (X)) + int _ {0} ^ {1} E (D_ {t} F | { mathcal {F}} _ {t}) , dX_ { t}.}

Большая часть работы по формальному развитию исчисления Маллявэна связана с распространением этого результата на максимально возможный класс функционалов. F путем замены производного ядра, использованного выше, на "Производная Маллявэна "обозначенный ${ displaystyle D_ {t}}$ в приведенном выше утверждении результата.^{[нужна цитата ]}

Скороход интеграл

В Скороход интеграл Оператор, который условно обозначается δ, определяется как сопряженный к производной Маллявэна, таким образом, для u в области определения оператора, который является подмножеством ${ Displaystyle L ^ {2} ([0, infty) раз Omega)}$ ,за F в области производной Маллявэна потребуем

{ Displaystyle Е ( langle DF, и rangle) = Е (F дельта (и)),}

где внутренний продукт - это то, что на ${ Displaystyle L ^ {2} [0, infty)}$ а именно

{ displaystyle langle f, g rangle = int _ {0} ^ { infty} f (s) g (s) , ds.}

Существование этого сопряженного следует из Теорема Рисса о представлении для линейных операторов на Гильбертовы пространства.

Можно показать, что если ты адаптирован тогда

{ displaystyle delta (u) = int _ {0} ^ { infty} u_ {t} , dW_ {t},}

где интеграл следует понимать в смысле Ито. Таким образом, это обеспечивает метод расширения интеграла Ито на неадаптированные подынтегральные выражения.

Приложения