Математические финансы - Mathematical finance

Математические финансы, также известный как количественное финансирование и финансовая математика, это поле Прикладная математика занимается математическим моделированием финансовые рынки. Как правило, математические финансы определяют и расширяют математический или же числовой модели без обязательной связи с финансовой теорией, принимая в качестве исходных данных наблюдаемые рыночные цены. Требуется математическая последовательность, а не совместимость с экономической теорией. Так, например, пока финансовый экономист может изучить структурные причины, по которым компания может иметь определенные цена акции, финансовый математик может принять цену акции как данность и попытаться использовать стохастическое исчисление для получения соответствующего значения производные из акции (видеть: Оценка опционов; Финансовое моделирование; Стоимость активов ). В фундаментальная теорема безарбитражного ценообразования является одной из ключевых теорем финансовой математики, в то время как Блэк – Скоулз уравнение и формула являются одними из ключевых результатов.[1]

Математические финансы также сильно пересекаются с областями вычислительные финансы и финансовое проектирование. Последний фокусируется на приложениях и моделировании, часто с помощью стохастические модели активов (видеть: Количественный аналитик ), в то время как первый фокусируется, помимо анализа, на создании инструментов реализации моделей. В целом, существуют две отдельные отрасли финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов, с одной стороны, и риск- и Управление портфелем с другой.[2]

Французский математик Луи Башелье считается автором первой научной работы по математическим финансам, опубликованной в 1900 году. Но математические финансы возникли как дисциплина в 1970-х годах после работ Фишер Блэк, Майрон Скоулз и Роберт Мертон по теории опционного ценообразования.

Сегодня многие университеты предлагают ученую степень и исследовательские программы в области математических финансов.

История: Q против P

Существуют две отдельные области финансов, которые требуют передовых количественных методов: ценообразование деривативов и управление рисками и портфелем. Одно из основных различий заключается в том, что они используют разные вероятности, такие как вероятность нейтрального риска (или вероятность арбитражного ценообразования), обозначенная «Q», и фактическая (или актуарная) вероятность, обозначенная «P».

Цены на деривативы: мир Q

Мир Q
Цель"экстраполировать настоящее"
Среданейтральная к риску вероятность
Процессымартингалы в непрерывном времени
Измерениенизкий
ИнструментыIt исчисление, PDE
Вызовыкалибровка
Бизнессторона продажи
Основная статья: Риск-нейтральная мера
Дальнейшая информация: Модель Блэка – Шоулза, Броуновская модель финансовых рынков, и Цены по мартингейлу

Целью ценообразования деривативов является определение справедливой цены данной ценной бумаги с точки зрения большего ликвидные ценные бумаги цена которого определяется законом спрос и предложение. Значение слова «справедливая», конечно, зависит от того, рассматривать ли вы покупку или продажу ценной бумаги. Примеры оцениваемых ценных бумаг: обычная ваниль и экзотические варианты, конвертируемые облигации, так далее.

Как только справедливая цена определена, продавец может торговать по ценной бумаге. Следовательно, ценообразование деривативов - это сложная процедура «экстраполяции» для определения текущей рыночной стоимости ценной бумаги, которая затем используется сообществом продавцов. Количественное ценообразование деривативов было инициировано Луи Башелье в Теория спекуляции ("Théorie de la spéculation", опубликовано в 1900 г.), с введением самых основных и наиболее влиятельных процессов, Броуновское движение, и его приложения к ценообразованию опционов.[3][4] Броуновское движение выводится с помощью Уравнение Ланжевена и дискретный случайная прогулка.[5] Башелье смоделировал Временные ряды изменений в логарифм цен акций как случайная прогулка в котором краткосрочные изменения имели конечный отклонение. Это заставляет долгосрочные изменения следовать Гауссово распределение.[6]

Теория оставалась бездействующей до тех пор, пока Фишер Блэк и Майрон Скоулз, наряду с фундаментальным вкладом Роберт С. Мертон, применил второй по значимости процесс, геометрическое броуновское движение, к опционная цена. За это М. Скоулз и Р. Мертон были награждены премией 1997 г. Нобелевская мемориальная премия по экономическим наукам. Блэк не имел права на приз из-за своей смерти в 1995 году.[7]

Следующим важным шагом стал фундаментальная теорема ценообразования активов Харрисона и Плиски (1981), согласно которым подходящая нормализованная текущая цена п0 ценной бумаги не имеет арбитража и, следовательно, действительно справедливо только в том случае, если существует случайный процесс пт с постоянным ожидаемое значение который описывает его дальнейшую эволюцию:[8]

 

 

 

 

(1)

Процесс, удовлетворяющий (1) называется "мартингейл ". Мартингейл не вознаграждает за риск. Таким образом, вероятность процесса нормализованной цены ценной бумаги называется" нейтральной к риску "и обычно обозначается доска шрифт письмо "".

Отношения (1) должно выполняться все время t: поэтому процессы, используемые для ценообразования деривативов, естественным образом устанавливаются в непрерывное время.

В кванты Специалисты, работающие в сфере ценообразования деривативов Q, обладают глубокими знаниями о конкретных продуктах, которые они моделируют.

Ценные бумаги оцениваются индивидуально, и, таким образом, проблемы в мире Q имеют низкую размерность. Калибровка является одной из основных задач мира Q: после того, как параметрический процесс в непрерывном времени был откалиброван для набора торгуемых ценных бумаг с помощью такого отношения, как (1), аналогичное соотношение используется для определения цены новых производных финансовых инструментов.

Основные количественные инструменты, необходимые для обработки непрерывных Q-процессов: Стохастическое исчисление Ито, симуляция и уравнения в частных производных (PDE's).

Управление рисками и портфелем: мир P

Мир P
Цель«моделировать будущее»
Средареальная вероятность
Процессыдискретный временной ряд
Измерениебольшой
Инструментымногомерная статистика
Вызовыоценка
Бизнессторона покупателя

Управление рисками и портфелем направлено на моделирование статистически полученного распределения вероятностей рыночных цен всех ценных бумаг на данном горизонте будущих инвестиций.
Это «реальное» вероятностное распределение рыночных цен обычно обозначается буквой шрифта на доске "", в отличие от" нейтральной с точки зрения риска "вероятности""используется в ценообразовании деривативов. На основе распределения P сообщество покупателя принимает решения о том, какие ценные бумаги приобретать, чтобы улучшить предполагаемый профиль прибылей и убытков своих позиций, рассматриваемых как портфель. Все чаще элементы этого процесса автоматизированы; см. Схема финансирования § Количественное инвестирование для списка соответствующих статей.

За свою новаторскую работу Марковиц и Шарп вместе с Мертоном Миллером разделили 1990-е годы. Нобелевская мемориальная премия по экономическим наукам, впервые награжден за работу в области финансов.

Работа Марковица и Шарпа по отбору портфолио познакомила с математикой управление инвестициями. Со временем математика стала более сложной. Благодаря Роберту Мертону и Полу Самуэльсону однопериодные модели были заменены непрерывным временем, Модели броуновского движения, а квадратичная функция полезности, неявная при оптимизации среднего отклонения, была заменена более общими возрастающими вогнутыми функциями полезности.[9] Более того, в последние годы акцент сместился на оценку риска, то есть опасность ошибочного предположения, что только расширенный анализ временных рядов может обеспечить полностью точные оценки параметров рынка.[10]

Много усилий было потрачено на изучение финансовых рынков и того, как цены меняются со временем. Чарльз Доу, один из основателей Доу Джонс и компания и Журнал "Уолл Стрит, сформулировал ряд идей по этому вопросу, которые теперь называются Теория Доу. Это основа так называемого технический анализ метод попытки предсказать будущие изменения. Один из принципов «технического анализа» заключается в том, что тенденции рынка дать представление о будущем, по крайней мере, в краткосрочной перспективе. Утверждения технических аналитиков оспариваются многими учеными.

Критика

Смотрите также: Финансовая экономика § Проблемы и критика, Финансовые модели с длиннохвостым распределением и кластеризацией волатильности, и Финансовый инжиниринг § Критика

С годами были разработаны все более сложные математические модели и стратегии ценообразования производных финансовых инструментов, но их доверие было подорвано финансовый кризис 2007–2010 гг..Современная практика математических финансов подвергалась критике со стороны деятелей в этой области, особенно со стороны Пол Уилмотт, и по Нассим Николас Талеб, в его книге Черный лебедь.[11] Талеб утверждает, что цены на финансовые активы не могут быть охарактеризованы с помощью простых моделей, используемых в настоящее время, что делает большую часть текущей практики в лучшем случае неактуальной, а в худшем - опасно вводящей в заблуждение. Уилмотт и Эмануэль Дерман опубликовал Манифест разработчиков финансовых моделей в январе 2009 г.[12] который решает некоторые из наиболее серьезных проблем. Институт нового экономического мышления сейчас пытаются разработать новые теории и методы.[13]

В общем, моделирование изменений распределениями с конечной дисперсией все чаще считается неуместным.[14] В 1960-х годах его открыл Бенуа Мандельброт что изменения цен не следуют Гауссово распределение, но лучше смоделированы альфа-стабильные дистрибутивы.[15] Масштаб изменения или волатильности зависит от продолжительности временного интервала до мощность чуть больше 1/2. Значительные изменения вверх или вниз более вероятны, чем то, что можно было бы рассчитать с использованием распределения Гаусса с оценкой стандартное отклонение. Но проблема в том, что это не решает проблему, поскольку значительно усложняет параметризацию и снижает надежность управления рисками.[11] Смотрите также Вариант гамма-процесса # Цена опциона.

Статьи по математическим финансам

Смотрите также: Краткое описание финансов § Финансовая математика, План финансов § Математические инструменты, и План финансирования § Ценообразование производных финансовых инструментов

Математические инструменты

Цены на производные финансовые инструменты

Моделирование портфолио

Смотрите также: Краткое описание финансов § Теория портфеля

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Джонсон, Тим (сентябрь 2009 г.). «Что такое финансовая математика?». + Журнал Plus. Получено 28 марта 2014.
  2. ^ «Количественные финансы». About.com. Получено 28 марта 2014.
  3. ^ Э., Шрив, Стивен (2004). Стохастическое исчисление для финансов. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  9780387401003. OCLC  53289874.
  4. ^ Стивен, Блит (2013). Введение в количественные финансы. Oxford University Press, США. п. 157. ISBN  9780199666591. OCLC  868286679.
  5. ^ Б., Шмидт, Анатолий (2005). Количественные финансы для физиков: введение. Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. ISBN  9780080492209. OCLC  57743436.
  6. ^ Бачелир, Луи. «Теория спекуляции». Получено 28 марта 2014.
  7. ^ Линдбек, Ассар. "Премия Sveriges Riksbank в области экономических наук памяти Альфреда Нобеля 1969-2007 гг.". Нобелевская премия. Получено 28 марта 2014.
  8. ^ Браун, Ангус (1 декабря 2008 г.). «Рискованный бизнес: как оценивать производные финансовые инструменты». Цена + Журнал. Получено 28 марта 2014.
  9. ^ Каратзас, Иоаннис; Шрив, Стив (1998). Методы математических финансов. Секакус, штат Нью-Джерси, США: Springer-Verlag New York, Incorporated. ISBN  9780387948393.
  10. ^ Меуччи, Аттилио (2005). Распределение рисков и активов. Springer. ISBN  9783642009648.
  11. ^ а б Талеб, Нассим Николай (2007). Черный лебедь: влияние невероятного. Случайная торговля домом. ISBN  978-1-4000-6351-2.
  12. ^ «Манифест разработчиков финансовых моделей». Блог Пола Уилмотта. 8 января 2009 г. Архивировано с оригинал 8 сентября 2014 г.. Получено 1 июня, 2012.
  13. ^ Джиллиан Тетт (15 апреля 2010 г.). «Математики должны выбраться из своих башен из слоновой кости». Financial Times.
  14. ^ Светлозар Т. Рачев; Фрэнк Дж. Фабоцци; Кристиан Менн (2005). Неуклонное и искаженное распределение доходности активов: последствия для управления рисками, выбора портфеля и ценообразования опционов. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0471718864.
  15. ^ Б. Мандельброт, «Вариация некоторых спекулятивных цен», Журнал бизнеса 1963

Рекомендации