Стабильное распространение - Stable distribution

Стабильный

Функция плотности вероятности Симметричный α-стабильные распределения с единичным масштабным коэффициентом Скошенные центрированные стабильные распределения с единичным масштабным фактором
Кумулятивная функция распределения CDF для симметричных α-стабильные дистрибутивы CDF для стабильных дистрибутивов с перекосом по центру
Параметры	α ∈ (0, 2] - параметр устойчивости β ∈ [−1, 1] - параметр асимметрии (заметим, что перекос не определено) c ∈ (0, ∞) — параметр масштаба μ ∈ (−∞, ∞) - параметр местоположения
Поддерживать	Икс ∈ [μ, + ∞), если α <1 и β = 1 Икс ∈ (-∞, μ], если α <1 и β = -1 Икс ∈ р иначе
PDF	не выражается аналитически, за исключением некоторых значений параметров
CDF	не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров
Иметь в виду	μ когда α> 1, иначе не определено
Медиана	μ когда β = 0, иначе не выразимо аналитически
Режим	μ когда β = 0, иначе не выразимо аналитически
Дисперсия	2c2 когда α = 2, иначе бесконечно
Асимметрия	0 когда α = 2, иначе не определено
Бывший. эксцесс	0 когда α = 2, иначе не определено
Энтропия	не выражается аналитически, за исключением определенных значений параметров
MGF	${ Displaystyle ехр ! влево (т му + с ^ {2} т ^ {2} вправо)}$ когда ${ Displaystyle альфа = 2}$, иначе не определено
CF	${ Displaystyle ехр ! { Большой [} ; он му - | с , т | ^ { альфа} , (1-я бета OperatorName {SGN} (т) Phi) ; {Большой ]},}$ куда ${ displaystyle Phi = { begin {case} tan { tfrac { pi alpha} {2}} & { text {if}} alpha neq 1 - { tfrac {2} { pi}} log | c , t | & { text {if}} alpha = 1 end {case}}}$

В теория вероятности, а распределение как говорят стабильный если линейная комбинация из двух независимый случайные переменные с этой раздачей имеет такую ​​же раздачу, вплоть до место расположения и шкала параметры. Случайная величина называется стабильный если его распространение стабильное. Семейство стабильных дистрибутивов также иногда называют Альфа-стабильное распределение Леви, после Поль Леви, первый математик, изучивший это.^[1][2]

Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было уделено параметру стабильности α (см. Панель). Стабильные распределения имеют 0 <α ≤ 2, причем верхняя граница соответствует нормальное распределение, а α = 1 к Распределение Коши. Распределения не определены отклонение для α <2 и неопределенного иметь в виду для α ≤ 1. Важность стабильных распределений вероятностей состоит в том, что они "аттракторы "для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных (iid ) случайные переменные. Нормальное распределение определяет семейство стабильных распределений. Классическим Центральная предельная теорема правильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии предел может быть стабильным распределением, которое не является нормальным. Мандельброт называют такие распределения "стабильными распределениями Парето",^[3][4][5] после Вильфредо Парето. В частности, он называл те, которые максимально смещены в положительном направлении с 1 <α <2, «распределениями Парето – Леви»,^[1] которые он считал лучшим описанием цен акций и товаров, чем нормальные распределения.^[6]

Определение

Не-вырожденное распределение является стабильным распределением, если оно удовлетворяет следующему свойству:

Позволять Икс₁ и Икс₂ быть независимыми копиями случайная переменная Икс. потом Икс как говорят стабильный если для любых констант а > 0 и б > 0 случайная величина aX₁ + bX₂ имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d. Распределение называется строго стабильный если это выполняется с d = 0.^[7]

Поскольку нормальное распределение, то Распределение Коши, а Распределение Леви все они обладают указанным выше свойством, следовательно, они являются частными случаями стабильных распределений.

Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных распределения вероятностей параметризованные параметрами положения и масштаба μ и cсоответственно, и два параметра формы β и α, примерно соответствующие измерениям асимметрии и концентрации соответственно (см. рисунки).

В характеристическая функция φ (т) любого распределения вероятностей - это просто преобразование Фурье функции плотности вероятности f (Икс). Таким образом, функция плотности является обратным преобразованием Фурье характеристической функции.^[8]

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} varphi (t) e ^ {- ixt} , dt}$

Хотя функция плотности вероятности для общего устойчивого распределения не может быть записана аналитически, общая характеристическая функция может быть выражена аналитически. Случайная величина Икс называется стабильной, если его характеристическая функция может быть записана как^[7][9]

${ displaystyle varphi (t; alpha, beta, c, mu) = exp left (it mu - | ct | ^ { alpha} left (1-i beta operatorname {sgn} (t) Phi right) right)}$

где sgn (т) это просто знак из т и

${ Displaystyle Phi = { begin {case} tan left ({ frac { pi alpha} {2}} right) & alpha neq 1 - { frac {2} { pi}} log | t | & alpha = 1 end {case}}}$

μ ∈ р - параметр сдвига, β ∈ [−1, 1], называемый параметр асимметрии, является мерой асимметрии. Обратите внимание, что в этом контексте обычный перекос не вполне определен, так как при α <2 распределение не допускает 2-го или более высокого моменты, а обычное определение асимметрии - третье центральный момент.

Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция для суммы двух случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Добавление двух случайных величин из устойчивого распределения дает что-то с одинаковыми значениями α и β, но, возможно, разными значениями μ и c.

Не каждая функция является характеристической функцией допустимого распределения вероятностей (т. Е. Того, чье кумулятивная функция распределения является действительным и изменяется от 0 до 1 без уменьшения), но характеристические функции, приведенные выше, будут допустимыми, пока параметры находятся в своих диапазонах. Значение характеристической функции при некотором значении т является комплексным сопряжением его значения в -т так и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.

В простейшем случае β = 0 характеристическая функция - это просто растянутая экспоненциальная функция; распределение симметрично относительно μ и называется a (Леви) симметричное альфа-стабильное распределение, часто сокращенно SαS.

Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞).

Параметр c > 0 - это масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, в то время как α является показателем или индексом распределения и задает асимптотическое поведение распределения.

Параметризации

Приведенное выше определение - только одна из параметризаций, используемых для стабильных распределений; это наиболее распространенный, но непостоянный по параметрам при α = 1.

Непрерывная параметризация есть^[7]

${ displaystyle varphi (t; альфа, бета, гамма, дельта) = exp left (it delta - | gamma t | ^ { alpha} left (1-я бета имя оператора {sgn} (t) Phi right) right)}$

куда:

${ Displaystyle Phi = { begin {case} left (| gamma t | ^ {1- alpha} -1 right) tan left ({ tfrac { pi alpha} {2}} right) & alpha neq 1 - { frac {2} { pi}} log | gamma t | & alpha = 1 end {cases}}}$

Диапазоны значений α и β такие же, как и раньше, γ (например, c) должно быть положительным, а δ (как и μ) должно быть вещественным.

При любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину, плотность которой равна ${ Displaystyle е (у; альфа, бета, 1,0)}$. В первой параметризации это делается путем определения новой переменной:

${ displaystyle y = { begin {case} { frac {x- mu} { gamma}} & alpha neq 1 { frac {x- mu} { gamma}} - beta { frac {2} { pi}} ln gamma & alpha = 1 end {case}}}$

Для второй параметризации мы просто используем

${ displaystyle y = { frac {x- delta} { gamma}}.}$

независимо от того, что такое α. В первой параметризации, если существует среднее (т. Е. α > 1), то оно равно μ, тогда как во второй параметризации, когда существует среднее значение, оно равно ${ displaystyle delta - beta gamma tan left ({ tfrac { pi alpha} {2}} right).}$

Распространение

Таким образом, стабильное распределение определяется четырьмя вышеуказанными параметрами. Можно показать, что любое невырожденное устойчивое распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности.^[7] Если ${ Displaystyle е (х; альфа, бета, с, му)}$ обозначает плотность Икс и Y это сумма независимых копий Икс:

${ displaystyle Y = sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i} (X_ {i} - mu) ,}$

тогда Y имеет плотность ${ displaystyle s ^ {- 1} f (y / s; alpha, beta, c, 0)}$ с

${ displaystyle s = left ( sum _ {i = 1} ^ {N} | k_ {i} | ^ { alpha} right) ^ { frac {1} { alpha}}.}$

Асимптотика описывается при α <2 следующим образом:^[7]

${ displaystyle f (x) sim { frac {1} {| x | ^ {1+ alpha}}} left (c ^ { alpha} (1+ operatorname {sgn} (x) beta ) sin left ({ frac { pi alpha} {2}} right) { frac { Gamma ( alpha +1)} { pi}} right)}$

где Γ - Гамма-функция (кроме того, когда α ≥ 1 и β = ± 1, хвост не обращается в нуль слева или справа соответственно от μ, хотя приведенное выше выражение равно 0). Этот "тяжелый хвост "поведение приводит к тому, что дисперсия стабильных распределений становится бесконечной для всех α <2. Это свойство проиллюстрировано на диаграммах логарифмической статистики ниже.

Когда α = 2, распределение гауссово (см. Ниже) с асимптотикой хвостов к exp (-Икс²/4c²) / (2c√π).

Одностороннее стабильное распределение и стабильное подсчетное распределение

Когда α <1 и β = 1, распределение поддерживается [μ, ∞). Эта семья называется одностороннее стабильное распределение.^[10] Его стандартное распределение (μ = 0) определяется как

${ Displaystyle L _ { альфа} (х) = е влево (х; альфа, 1, соз влево ({ гидроразрыва { альфа пи} {2}} вправо) ^ {1 / альфа }, 0 right)}$, куда ${ Displaystyle альфа <1}$.

Позволять ${ Displaystyle д = ехр (-i альфа пи / 2)}$, его характеристическая функция ${ Displaystyle varphi (т; альфа) = ехр влево (-q | т | ^ { альфа} вправо)}$. Таким образом, интегральная форма его PDF (примечание: ${ displaystyle { text {Im}} (q) <0}$)

${ displaystyle { begin {align} L _ { alpha} (x) & = { frac {1} { pi}} Re left [ int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {itx} e ^ {- q | t | ^ { alpha}} , dt right] & = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q) , t ^ { alpha}} sin (tx) sin (- { text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt, { text {или}} & = { frac {2} { pi}} int _ {0} ^ { infty} e ^ {- { text {Re}} (q ) , t ^ { alpha}} cos (tx) cos ({ text {Im}} (q) , t ^ { alpha}) , dt. конец {выровнено}}}$

Двойной синусоидальный интеграл более эффективен для очень малых ${ displaystyle x}$.

Рассмотрим сумму Леви ${ Displaystyle Y = сумма _ {я = 1} ^ {N} X_ {я}}$ куда ${ Displaystyle X_ {я} sim L _ { alpha} (х)}$, тогда Y имеет плотность ${ displaystyle { frac {1} { nu}} L _ { alpha} left ({ frac {x} { nu}} right)}$ куда ${ displaystyle nu = N ^ {1 / alpha}}$. Набор ${ displaystyle x = 1}$, мы приходим к стабильное распределение количества.^[11] Его стандартное распределение определяется как

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu) = { frac { alpha} { Gamma left ({ frac {1} { alpha}} right)}} { frac {1} { nu}} L _ { alpha} left ({ frac {1} { nu}} right)}$, куда ${ displaystyle nu> 0}$ и ${ Displaystyle альфа <1}$.

Стабильное распределение количества - это сопряженный предшествующий одностороннего стабильного распределения. Его семейство в масштабе местоположения определяется как

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha }})}} { frac {1} { nu - nu _ {0}}} L _ { alpha} left ({ frac { theta} { nu - nu _ {0}}} верно)}$, куда ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$, и ${ Displaystyle альфа <1}$.

Это также односторонний дистрибутив, поддерживаемый ${ displaystyle [ nu _ {0}, infty)}$. Параметр местоположения ${ displaystyle nu _ {0}}$ точка отсечки, а ${ displaystyle theta}$ определяет его масштаб.

Когда ${ displaystyle alpha = { frac {1} {2}}}$, ${ Displaystyle L _ { гидроразрыва {1} {2}} (х)}$ это Распределение Леви что является обратным гамма-распределением. Таким образом ${ Displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ сдвинутый гамма-распределение формы 3/2 и масштаба ${ displaystyle 4 theta}$,

${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta) = { frac {1} {4 { sqrt { pi }} theta ^ {3/2}}} ( nu - nu _ {0}) ^ {1/2} e ^ {- { frac { nu - nu _ {0}} {4 тета}}}}$, куда ${ displaystyle nu> nu _ {0}}$, ${ displaystyle theta> 0}$.

Его среднее значение ${ displaystyle nu _ {0} +6 theta}$ и его стандартное отклонение ${ displaystyle { sqrt {24}} theta}$. Предполагается, что VIX распространяется как ${ Displaystyle { mathfrak {N}} _ { frac {1} {2}} ( nu; nu _ {0}, theta)}$ с ${ displaystyle nu _ {0} = 10,4}$ и ${ displaystyle theta = 1,6}$ (См. Раздел 7 ^[11]). Таким образом стабильное распределение количества является предельным распределением первого порядка волатильности. В контексте, ${ displaystyle nu _ {0}}$ называется «волатильность пола».

Другой подход к получению стабильного распределения подсчетов - использование преобразования Лапласа одностороннего устойчивого распределения (раздел 2.4 ^[11])

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- zx} L _ { alpha} (x) dx = e ^ {- z ^ { alpha}}}$, куда ${ Displaystyle альфа <1}$.

Позволять ${ Displaystyle х = 1 / ню}$, и можно разложить интеграл в левой части как распространение продукции стандарта Распределение Лапласа и стандартное стабильное распределение количества,

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {1} { nu}} left ({ frac {1} {2}} e ^ {- { frac {| z |}) { nu}}} right) left ({ frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} { frac {1} { nu}} L_ { alpha} ({ frac {1} { nu}}) right) d nu = { frac {1} {2}} { frac { alpha} { Gamma ({ frac {1} { alpha}})}} e ^ {- | z | ^ { alpha}}}$, куда ${ Displaystyle альфа <1}$.

Это называется «лямбда-разложение» (см. Раздел 4 ^[11]), поскольку правая часть была названа «симметричным лямбда-распределением» в прежних работах Лина. Однако у него есть еще несколько популярных названий, таких как "экспоненциальное распределение мощности ", или" обобщенная ошибка / нормальное распределение ", часто упоминаемое, когда α> 1.

N-й момент ${ displaystyle { mathfrak {N}} _ { alpha} ( nu)}$ это ${ Displaystyle - (п + 1)}$-й момент ${ displaystyle L _ { alpha} (х)}$, Все положительные моменты конечны. Это в некотором смысле решает острую проблему расхождения моментов в устойчивом распределении.

Характеристики

• Все стабильные дистрибутивы бесконечно делимый.
• За исключением нормальное распределение (α = 2) устойчивые распределения имеют вид лептокуртотический и распределения с тяжелыми хвостами.
• Закрытие под свертку

Устойчивые распределения замыкаются сверткой при фиксированном значении α. Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, из этого следует, что произведение двух стабильных характеристических функций с одинаковым α даст другую такую ​​характеристическую функцию. Произведение двух стабильных характеристических функций определяется выражением:

${ displaystyle exp left (it mu _ {1} + it mu _ {2} - | c_ {1} t | ^ { alpha} - | c_ {2} t | ^ { alpha} + i beta _ {1} | c_ {1} t | ^ { alpha} operatorname {sgn} (t) Phi + i beta _ {2} | c_ {2} t | ^ { alpha} имя оператора {sgn} (t) Phi right)}$

Поскольку Φ не является функцией μ, c или β переменных, следует, что эти параметры для свернутой функции имеют вид:

${ displaystyle { begin {align} mu & = mu _ {1} + mu _ {2} | c | & = left (| c_ {1} | ^ { alpha} + | c_ {2} | ^ { alpha} right) ^ { frac {1} { alpha}} [6pt] beta & = { frac { beta _ {1} | c_ {1} | ^ { alpha} + beta _ {2} | c_ {2} | ^ { alpha}} {| c_ {1} | ^ { alpha} + | c_ {2} | ^ { alpha}}} конец {выровнен}}}$

В каждом случае можно показать, что результирующие параметры лежат в требуемых интервалах для устойчивого распределения.

Обобщенная центральная предельная теорема

Эта секция нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. (Май 2020 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Еще одно важное свойство стабильных распределений - это роль, которую они играют в обобщенном Центральная предельная теорема. Центральная предельная теорема утверждает, что сумма ряда независимых и одинаково распределенных (i.i.d.) случайных величин с конечными ненулевыми дисперсиями будет стремиться к нормальное распределение по мере роста числа переменных.

Обобщение из-за Гнеденко и Колмогоров утверждает, что сумма ряда случайных величин с симметричными распределениями, имеющими степенные хвосты (Паретианские хвосты ), убывающая как ${ Displaystyle | х | ^ {- альфа -1}}$ куда ${ Displaystyle 0 < альфа leqslant 2}$ (и, следовательно, имеющий бесконечную дисперсию), будет стремиться к стабильному распределению ${ Displaystyle е (х; альфа, 0, с, 0)}$ по мере роста числа слагаемых.^[12] Если ${ displaystyle alpha> 2}$ тогда сумма сходится к устойчивому распределению с параметром устойчивости, равному 2, то есть к распределению Гаусса.^[13]

Есть и другие возможности. Например, если характеристическая функция случайной величины асимптотична ${ Displaystyle 1 + а | т | ^ { альфа} ln | т |}$ для маленьких т (положительный или отрицательный), тогда мы можем спросить, как т варьируется в зависимости от п когда значение характеристической функции для суммы п такие случайные величины равны заданному значению ты:

${ displaystyle varphi _ { text {sum}} = varphi ^ {n} = u}$

Если предположить, что т → 0, мы берем предел сказанного выше как п → ∞:

${ displaystyle ln u = lim _ {n to infty} n ln varphi = lim _ {n to infty} na | t | ^ { alpha} ln | t |.}$

Следовательно:

${ Displaystyle { begin {align} ln ( ln u) & = ln left ( lim _ {n to infty} na | t | ^ { alpha} ln | t | right) [5pt] & = lim _ {n to infty} ln left (na | t | ^ { alpha} ln | t | right) = lim _ {n to infty} left { ln (na) + alpha ln | t | + ln ( ln | t |) right } end {align}}}$

Это показывает, что ${ Displaystyle ln | т |}$ асимптотичен ${ displaystyle { tfrac {-1} { alpha}} ln n,}$ поэтому, используя предыдущее уравнение, мы имеем

${ displaystyle | t | sim left ({ frac {- alpha ln u} {na ln n}} right) ^ {1 / alpha}.}$

Это означает, что сумма, деленная на

${ displaystyle left ({ frac {na ln n} { alpha}} right) ^ { frac {1} { alpha}}}$

имеет характеристическую функцию, значение которой на некотором t ′ идет в ты (в качестве п увеличивается) когда ${ displaystyle t '= (- ln u) ^ { frac {1} { alpha}}.}$ Другими словами, характеристическая функция поточечно сходится к ${ Displaystyle ехр (- (т ') ^ { альфа})}$ и поэтому Теорема Леви о непрерывности сумма деленная на

${ displaystyle left ({ frac {na ln n} { alpha}} right) ^ { frac {1} { alpha}}}$

сходится в распределении к симметричному альфа-устойчивому распределению с параметром устойчивости ${ displaystyle alpha}$ и масштабный параметр 1.

Это можно применить к случайной величине, хвосты которой уменьшаются как ${ Displaystyle | х | ^ {- 3}}$. Эта случайная величина имеет среднее значение, но вариация бесконечна. Возьмем следующее распределение:

${ displaystyle f (x) = { begin {cases} { frac {1} {3}} & | x | leqslant 1 { frac {1} {3}} x ^ {- 3} & | x |> 1 end {case}}}$

Мы можем записать это как

${ displaystyle f (x) = int _ {1} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {4}}} h left ({ frac {x} {w}} right) dw}$

куда

${ displaystyle h left ({ frac {x} {w}} right) = { begin {cases} { frac {1} {2}} & left | { frac {x} {w} } right | <1, 0 & left | { frac {x} {w}} right |> 1. end {cases}}}$

Мы хотим найти главные члены асимптотического разложения характеристической функции. Характеристическая функция распределения вероятностей ${ displaystyle { tfrac {1} {w}} h left ({ tfrac {x} {w}} right)}$ является ${ displaystyle { tfrac { sin (tw)} {tw}},}$ так что характеристическая функция для ж(Икс) является

${ displaystyle varphi (t) = int _ {1} ^ { infty} { frac {2 sin (tw)} {tw ^ {4}}} dw}$

и мы можем рассчитать:

${ displaystyle { begin {align} varphi (t) -1 & = int _ {1} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ { 3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] , dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1+ left {- { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} right } right] , dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw }} - 1 right] , dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} -1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} Right] dw + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 right] dw & = int _ {1} ^ { frac {1 } {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + left { int _ {0} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!} } right] dw- int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3 }}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {3!}} right] dw right } + int _ { frac {1} {| t |}} ^ { infty} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} { tw}} - 1 right] dw & = int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} - { frac {t ^ {2} dw} {3w}} + t ^ {2} int _ {0} ^ {1} { frac {2} {y ^ {3}}} left [{ frac { sin (y)} {y}} - 1 + { frac {y ^ {2}} {6}} right] dy- int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw + t ^ {2} int _ {1} ^ { infty } { frac {2} {y ^ {3}}} left [{ frac { sin (y)} {y}} - 1 right] dy & = - { frac {t ^ { 2}} {3}} int _ {1} ^ { frac {1} {| t |}} { frac {dw} {w}} + t ^ {2} C_ {1} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw + t ^ {2} C_ {2} & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac { sin (tw)} {tw}} - 1 + { frac {t ^ {2} w ^ {2}} {6}} right] dw & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - int _ {0} ^ {1} { frac {2} {w ^ {3}}} left [{ frac {t ^ {4} w ^ {4} } {5!}} + Cdots right] dw & = { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t | + t ^ {2} C_ {3} - { mathcal {O}} left (t ^ {4} right) end {al igned}}}$

куда ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}}$ и ${ displaystyle C_ {3}}$ являются константами. Следовательно,

${ displaystyle varphi (t) sim 1 + { frac {t ^ {2}} {3}} ln | t |}$

и согласно тому, что было сказано выше (и тот факт, что дисперсия ж(Икс; 2,0,1,0) равно 2), сумма п экземпляры этой случайной величины, разделенные на ${ Displaystyle { sqrt {п ( ln п) / 12}},}$ будет сходиться по распределению к распределению Гаусса с дисперсией 1. Но дисперсия в любом конкретном п по-прежнему будет бесконечно. Обратите внимание, что ширина предельного распределения растет быстрее, чем в случае, когда случайная величина имеет конечную дисперсию (в этом случае ширина растет как квадратный корень из п). В средний, полученная делением суммы на п, стремится к гауссиану, ширина которого стремится к нулю при п увеличивается в соответствии с Закон больших чисел.

Особые случаи

Логарифмический график плотностей симметричного центрированного стабильного распределения, показывающий поведение степенного закона для больших Икс. О степенном поведении свидетельствует прямолинейный вид PDF для больших Икс, с наклоном, равным - (α + 1). (Единственное исключение - для α = 2, выделенного черным цветом, что является нормальным распределением.)

Лог-логарифмический график PDF с перекосом центрированного стабильного распределения, показывающий поведение степенного закона для больших Икс. Снова наклон линейных участков равен - (α + 1)

Общего аналитического решения для вида п(Икс). Однако есть три особых случая, которые можно выразить в терминах элементарные функции как видно при осмотре характеристическая функция:^[7][9][14]

• При α = 2 распределение сводится к Гауссово распределение с дисперсией σ² = 2c² и среднее μ; параметр асимметрии β не влияет.
• При α = 1 и β = 0 распределение сводится к Распределение Коши с параметром масштаба c и параметр сдвига μ.
• При α = 1/2 и β = 1 распределение сводится к Распределение Леви с параметром масштаба c и параметр сдвига μ.

Обратите внимание, что указанные выше три распределения также связаны следующим образом: стандартная случайная величина Коши может рассматриваться как смесь гауссовских случайных величин (все со средним нулевым), причем дисперсия берется из стандартного распределения Леви. На самом деле это частный случай более общей теоремы (см. Стр. 59 ^[15]), который позволяет рассматривать любое симметричное альфа-стабильное распределение таким образом (с параметром альфа распределения смеси, равным удвоенному параметру альфа распределения смешения, а параметр бета распределения смешения всегда равен единице).

Общее выражение в замкнутой форме для стабильных PDF с рациональными значениями α доступно в терминах G-функции Мейера.^[16] H-функции Фокса также можно использовать для выражения стабильных функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в закрытой форме часто выражается в терминах менее сложных специальные функции. Доступно несколько выражений в закрытой форме, имеющих довольно простые выражения в терминах специальных функций. В приведенной ниже таблице PDF-файлы, выражаемые элементарными функциями, обозначены значком E а те, которые выражаются специальными функциями, обозначены s.^[15]

Некоторые особые случаи известны под определенными именами:

• При α = 1 и β = 1 распределение имеет вид Распределение Ландау который имеет конкретное применение в физике под этим именем.
• При α = 3/2 и β = 0 распределение сводится к Распределение Holtsmark с параметром масштаба c и параметр сдвига μ.

Также в пределе как c приближается к нулю или, когда α приближается к нулю, распределение будет приближаться к Дельта-функция Дирака δ(Икс − μ).

Представление серии

Стабильное распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла:^[17]

${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu) = { frac {1} { pi}} Re left [ int _ {0} ^ { infty} e ^ {it (x- mu)} e ^ {- (ct) ^ { alpha} (1-i beta Phi)} , dt right].}$

Выражая вторую экспоненту как Серия Тейлор, у нас есть:

${ displaystyle f (x; alpha, beta, c, mu) = { frac {1} { pi}} Re left [ int _ {0} ^ { infty} e ^ {it (x- mu)} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-qt ^ { alpha}) ^ {n}} {n!}} , dt right]}$

куда ${ Displaystyle д = с ^ { альфа} (1-я бета фи)}$. Изменение порядка интегрирования и суммирования на противоположное и выполнение интегрирования дает:

${ Displaystyle е (х; альфа, бета, с, му) = { гидроразрыва {1} { пи}} Re left [ сумма _ {п = 1} ^ { infty} { frac {(-q) ^ {n}} {n!}} left ({ frac {i} {x- mu}} right) ^ { alpha n + 1} Gamma ( alpha n + 1) right]}$

который будет действителен для Икс ≠ μ и будут сходиться при соответствующих значениях параметров. (Обратите внимание, что п = 0, что дает дельта-функция в Икс−μ был опущен.) Выражение первой экспоненты в виде ряда даст другой ряд в положительных степенях Икс−μ, что обычно менее полезно.

Для одностороннего стабильного распределения необходимо изменить указанное выше расширение ряда, поскольку ${ Displaystyle д = ехр (-i альфа пи / 2)}$ и ${ displaystyle qi ^ { alpha} = 1}$. Нет никакой реальной части для суммирования. Вместо этого интеграл характеристической функции должен быть проведен по отрицательной оси, что дает:^[18][10]

${ displaystyle { begin {align} L _ { alpha} (x) & = { frac {1} { pi}} Re left [ sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-q) ^ {n}} {n!}} left ({ frac {-i} {x}} right) ^ { alpha n + 1} Gamma ( alpha n + 1) right] & = { frac {1} { pi}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {- sin (n ( alpha +1) pi)} {n!}} left ({ frac {1} {x}} right) ^ { alpha n + 1} Gamma ( alpha n + 1) конец {выровнено}}}$

Моделирование стабильных переменных

Моделирование последовательностей стабильных случайных величин непросто, поскольку нет аналитических выражений для обратной ${ Displaystyle F ^ {- 1} (х)}$ ни CDF ${ Displaystyle F (х)}$ сам.^[19][11] Все стандартные подходы, такие как методы отклонения или инверсии, потребуют утомительных вычислений. Намного более элегантное и эффективное решение было предложено Chambers, Mallows and Stuck (CMS),^[20] кто заметил, что некоторая интегральная формула^[21] дал следующий алгоритм:^[22]

• генерировать случайную величину ${ displaystyle U}$ равномерно распределены по ${ displaystyle left (- { tfrac { pi} {2}}, { tfrac { pi} {2}} right)}$ и независимая экспоненциальная случайная величина ${ displaystyle W}$ со средним значением 1;
• за ${ displaystyle alpha neq 1}$ вычислить:

${ displaystyle X = left (1+ zeta ^ {2} right) ^ { frac {1} {2 alpha}} { frac { sin ( alpha (U + xi))} {( cos (U)) ^ { frac {1} { alpha}}}} left ({ frac { cos (U- alpha (U + xi))} {W}} right) ^ { frac {1- alpha} { alpha}},}$

• за ${ Displaystyle альфа = 1}$ вычислить:

${ displaystyle X = { frac {1} { xi}} left { left ({ frac { pi} {2}} + beta U right) tan U- beta log left ({ frac {{ frac { pi} {2}} W cos U} {{ frac { pi} {2}} + beta U}} right) right },}$

куда

${ displaystyle zeta = - beta tan { frac { pi alpha} {2}}, qquad xi = { begin {cases} { frac {1} { alpha}} arctan ( - zeta) & alpha neq 1 { frac { pi} {2}} & alpha = 1 end {cases}}}$

Этот алгоритм дает случайную величину ${ displaystyle X sim S _ { alpha} ( beta, 1,0)}$. Подробное доказательство см.^[23]

Имея формулы для моделирования стандартной стабильной случайной величины, мы можем легко смоделировать стабильную случайную величину для всех допустимых значений параметров ${ displaystyle alpha}$, ${ displaystyle c}$, ${ displaystyle beta}$ и ${ displaystyle mu}$ используя следующее свойство. Если ${ displaystyle X sim S _ { alpha} ( beta, 1,0)}$ тогда

${ Displaystyle Y = { begin {case} cX + mu & alpha neq 1 cX + { frac {2} { pi}} beta c log c + mu & alpha = 1 end { случаи}}}$

является ${ Displaystyle S _ { альфа} ( бета, с, му)}$. За ${ Displaystyle альфа = 2}$ (и ${ displaystyle beta = 0}$) метод CMS сводится к хорошо известному Преобразование Бокса-Мюллера для создания Гауссовский случайные переменные.^[24] В литературе было предложено множество других подходов, в том числе применение разложений в ряды Бергстрема и Лепажа, см. ^[25] и,^[26] соответственно. Однако метод CMS считается самым быстрым и точным.

Приложения

Стабильные распределения обязаны своим значением как в теории, так и на практике обобщению Центральная предельная теорема к случайным величинам без второго (и, возможно, первого) порядка моменты и сопутствующие самоподобие стабильной семьи. Это было кажущееся отклонение от нормальности вместе со спросом на самоподобную модель для финансовых данных (т.е. форма распределения ежегодных изменений цен на активы должна напоминать составные дневные или ежемесячные изменения цен), которые привели к Бенуа Мандельброт предположить, что цены на хлопок следует альфа-стабильному распределению с α равным 1,7.^[6] Распределения Леви часто встречаются при анализе критическое поведение и финансовые данные.^[9][27]

Они также встречаются в спектроскопия как общее выражение для квазистатического спектральная линия, уширенная давлением.^[17]

Распределение Леви событий времени ожидания солнечной вспышки (время между вспышками) было продемонстрировано для CGRO Жесткие рентгеновские солнечные вспышки BATSE в декабре 2001 г. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две разные сигнатуры памяти; один связан с солнечным циклом, а второй, происхождение которого, по-видимому, связано с локализованными или сочетанием локализованных эффектов солнечной активной области.^[28]

Другие аналитические случаи

Известен ряд случаев аналитически выражаемых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение выражается как ${ Displaystyle е (х; альфа, бета, с, му)}$ тогда мы знаем:

• В Распределение Коши дан кем-то ${ displaystyle f (x; 1,0,1,0).}$
• В Распределение Леви дан кем-то ${ displaystyle f (x; { tfrac {1} {2}}, 1,1,0).}$
• В Нормальное распределение дан кем-то ${ displaystyle f (x; 2,0,1,0).}$
• Позволять ${ Displaystyle S _ { му, Nu} (г)}$ быть Функция Ломмеля, тогда:^[29]

${ displaystyle f left (x; { tfrac {1} {3}}, 0,1,0 right) = Re left ({ frac {2e ^ {- { frac {i pi}) {4}}}} {3 { sqrt {3}} pi}} { frac {1} { sqrt {x ^ {3}}}} S_ {0, { frac {1} {3} }} left ({ frac {2e ^ { frac {i pi} {4}}} {3 { sqrt {3}}}} { frac {1} { sqrt {x}}} верно-верно)}$

• Позволять ${ Displaystyle S (х)}$ и ${ Displaystyle C (х)}$ обозначить Интегралы Френеля тогда:^[30]

${ displaystyle f left (x; { tfrac {1} {2}}, 0,1,0 right) = { frac {1} { sqrt {2 pi | x | ^ {3}} }} left ( sin left ({ tfrac {1} {4 | x |}} right) left [{ frac {1} {2}} - S left ({ tfrac {1} { sqrt {2 pi | x |}}} right) right] + cos left ({ tfrac {1} {4 | x |}} right) left [{ frac {1} {2}} - C left ({ tfrac {1} { sqrt {2 pi | x |}}} right) right] right)}$

• Позволять ${ displaystyle K_ {v} (x)}$ быть модифицированная функция Бесселя второго рода то:^[30]

${ displaystyle f left (x; { tfrac {1} {3}}, 1,1,0 right) = { frac {1} { pi}} { frac {2 { sqrt {2) }}} {3 ^ { frac {7} {4}}}} { frac {1} { sqrt {x ^ {3}}}} K _ { frac {1} {3}} left ( { frac {4 { sqrt {2}}} {3 ^ { frac {9} {4}}}} { frac {1} { sqrt {x}}} right)}$

• Если ${ displaystyle {} _ {m} F_ {n}}$ обозначить гипергеометрические функции тогда:^[29]

${ displaystyle { begin {align} f left (x; { tfrac {4} {3}}, 0,1,0 right) & = { frac {3 ^ { frac {5} {4 }}} {4 { sqrt {2 pi}}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {7} {12}} right) Gamma left ({ tfrac {11} { 12}} right)} { Gamma left ({ tfrac {6} {12}} right) Gamma left ({ tfrac {8} {12}} right)}} {} _ { 2} F_ {2} left ({ tfrac {7} {12}}, { tfrac {11} {12}}; { tfrac {6} {12}}, { tfrac {8} {12 }}; { tfrac {3 ^ {3} x ^ {4}} {4 ^ {4}}} right) - { frac {3 ^ { frac {11} {4}} x ^ {3 }} {4 ^ {3} { sqrt {2 pi}}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {13} {12}} right) Gamma left ({ tfrac { 17} {12}} right)} { Gamma left ({ tfrac {18} {12}} right) Gamma left ({ tfrac {15} {12}} right)}} { } _ {2} F_ {2} left ({ tfrac {13} {12}}, { tfrac {17} {12}}; { tfrac {18} {12}}, { tfrac {15 } {12}}; { tfrac {3 ^ {3} x ^ {4}} {4 ^ {4}}} right) [6pt] f left (x; { tfrac {3} { 2}}, 0,1,0 right) & = { frac { Gamma left ({ tfrac {5} {3}} right)} { pi}} {} _ {2} F_ { 3} left ({ tfrac {5} {12}}, { tfrac {11} {12}}; { tfrac {1} {3}}, { tfrac {1} {2}}, { tfrac {5} {6}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} right) - { frac {x ^ {2}} {3 pi}} {} _ {3} F_ {4} l eft ({ tfrac {3} {4}}, 1, { tfrac {5} {4}}; { tfrac {2} {3}}, { tfrac {5} {6}}, { tfrac {7} {6}}, { tfrac {4} {3}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} right) + { frac {7x ^ {4} Gamma left ({ tfrac {4} {3}} right)} {3 ^ {4} pi ^ {2}}} {} _ {2} F_ {3} left ({ tfrac {13} {12}}, { tfrac {19} {12}}; { tfrac {7} {6}}, { tfrac {3} {2}}, { tfrac {5} {3}}; - { tfrac {2 ^ {2} x ^ {6}} {3 ^ {6}}} right) end {align}}}$

причем последний является Распределение Holtsmark.

• Позволять ${ Displaystyle W_ {к, mu} (г)}$ быть Функция Уиттекера, тогда:^[31][32][33]

${ displaystyle { begin {align} f left (x; { tfrac {2} {3}}, 0,1,0 right) & = { frac { sqrt {3}} {6 { sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ tfrac {2} {27}} x ^ {- 2} right) W _ {- { frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ tfrac {4} {27}} x ^ {- 2} right) [8pt] f left (x; { tfrac {2} { 3}}, 1,1,0 right) & = { frac { sqrt {3}} {{ sqrt { pi}} | x |}} exp left (- { tfrac {16} {27}} x ^ {- 2} right) W _ {{ frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ tfrac {32} {27}} x ^ {- 2} right) [8pt] f left (x; { tfrac {3} {2}}, 1,1,0 right) & = { begin {cases} { frac { sqrt {3}} {{ sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ frac {1} {27}} x ^ {3} right) W _ {{ frac { 1} {2}}, { frac {1} {6}}} left (- { frac {2} {27}} x ^ {3} right) & x <0 {} { frac { sqrt {3}} {6 { sqrt { pi}} | x |}} exp left ({ frac {1} {27}} x ^ {3} right) W _ {- { frac {1} {2}}, { frac {1} {6}}} left ({ frac {2} {27}} x ^ {3} right) & x geq 0 end { случаи}} end {выровнены}}}$

Смотрите также

• Леви рейс
• Леви процесс
• Дробная квантовая механика
• Другие распределения "степенного закона"
  • Распределение Парето
  • Дзета-распределение
  • Распространение Zipf
  • Распределение Ципфа – Мандельброта
• Стабильные и умеренные стабильные распределения с кластеризацией волатильности - финансовые приложения
• Многомерное стабильное распределение
• Дискретно-стабильное распределение

Примечания

• Программа STABLE для Windows доступна на стабильной веб-странице Джона Нолана: http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/stable.html. Он вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы исследовательского анализа данных для оценки соответствия набора данных.
• libstable это C реализация стабильного распределения pdf, cdf, случайных чисел, квантилей и функций подгонки (вместе с пакетом репликации тестов и пакетом R).
• р Упаковка 'стабильный' Дитхельм Вюрц, Мартин Махлер и члены основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа. Обновлено 12 сентября 2016 г.

Рекомендации