Масштабный параметр - Scale parameter

В теория вероятности и статистика, а параметр масштаба особый вид числовой параметр из параметрическая семья из распределения вероятностей. Чем больше параметр масштаба, тем более разбросано распределение.

Определение

Если семья распределения вероятностей такова, что есть параметр s (и другие параметры θ), для которого кумулятивная функция распределения удовлетворяет

{ Displaystyle F (х; s, theta) = F (x / s; 1, theta), !}

тогда s называется параметр масштаба, поскольку его значение определяет "шкала " или же статистическая дисперсия распределения вероятностей. Если s велико, то распределение будет более растянутым; если s мала, тогда она будет более концентрированной.

Анимация, показывающая влияние параметра масштаба на распределение вероятностей, поддерживаемое положительной действительной линией.

Влияние масштабного параметра на смесь двух нормальных распределений вероятностей

Если плотность вероятности существует для всех значений полного набора параметров, то плотность (как функция только параметра масштаба) удовлетворяет

{ displaystyle f_ {s} (x) = f (x / s) / s, !}

куда ж - это плотность стандартной версии плотности, т. е. ${ Displaystyle е (х) эквив f_ {s = 1} (х)}$ .

An оценщик параметра масштаба называется оценщик масштаба.

Семьи с параметрами местоположения

В случае, когда параметризованное семейство имеет параметр местоположения, часто используется несколько иное определение. Если обозначить параметр местоположения как ${ displaystyle m}$ , а параметр масштаба - на ${ displaystyle s}$ , то потребуем, чтобы ${ Displaystyle F (х; s, м, theta) = F ((x-m) / s; 1,0, theta)}$ куда ${ Displaystyle F (х, s, м, theta)}$ это cmd для параметризованного семейства.^[1] Эта модификация необходима для того, чтобы стандартное отклонение нецентрального гауссиана было параметром масштаба, так как в противном случае среднее значение изменилось бы при изменении масштаба ${ displaystyle x}$ . Однако это альтернативное определение используется не всегда.^[2]

Простые манипуляции

Мы можем написать ${ displaystyle f_ {s}}$ с точки зрения ${ Displaystyle г (х) = х / с}$ , следующее:

{ displaystyle f_ {s} (x) = f left ({ frac {x} {s}} right) cdot { frac {1} {s}} = f (g (x)) g ' (Икс).}

Потому что ж - функция плотности вероятности, она интегрируется до единицы:

{ displaystyle 1 = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = int _ {g (- infty)} ^ {g ( infty)} f (x) , dx.}

Посредством правило замены интегрального исчисления, то имеем

{ Displaystyle 1 = int _ {- infty} ^ { infty} f (g (x)) g '(x) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} f_ {s } (x) , dx.}

Так ${ displaystyle f_ {s}}$ также правильно нормализован.

Параметр скорости

Некоторые семейства дистрибутивов используют параметр скорости (или же "параметр обратного масштаба"), который является просто обратной величиной параметр масштаба. Так, например, экспоненциальное распределение с масштабным параметром β и плотностью вероятности

{ displaystyle f (x; beta) = { frac {1} { beta}} e ^ {- x / beta}, ; x geq 0}

эквивалентно можно записать с параметром скорости λ как

{ Displaystyle е (х; лямбда) = лямбда е ^ {- лямбда х}, ; х geq 0.}

Примеры

В равномерное распределение можно параметризовать с помощью параметр местоположения из ${ Displaystyle (а + б) / 2}$ и масштабный параметр ${ Displaystyle | б-а |}$ .
В нормальное распределение имеет два параметра: a параметр местоположения ${ displaystyle mu}$ и масштабный параметр ${ displaystyle sigma}$ . На практике нормальное распределение часто параметризуется в терминах в квадрате шкала ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ , что соответствует отклонение распределения.
В гамма-распределение обычно параметризуется с помощью масштабного параметра ${ displaystyle theta}$ или его обратное.
Частные случаи распределений, в которых масштабный параметр равен единице, при определенных условиях можно назвать «стандартными». Например, если параметр местоположения равен нулю, а параметр масштаба равен единице, нормальное распределение известен как стандарт нормальное распределение, а Распределение Коши как стандарт Распределение Коши.

Оценка

Статистику можно использовать для оценки параметра масштаба, если он:

Не зависит от местоположения,
Масштабируется линейно с параметром масштаба, и
Сходится по мере увеличения размера выборки.

Разные меры статистической дисперсии удовлетворить их. Чтобы сделать статистику согласованная оценка для параметра масштаба, как правило, необходимо умножать статистику на константу масштаб. Этот масштабный коэффициент определяется как теоретическое значение значения, полученного путем деления требуемого масштабного параметра на асимптотическое значение статистики. Обратите внимание, что масштабный коэффициент зависит от рассматриваемого распределения.

Например, чтобы использовать среднее абсолютное отклонение (MAD) для оценки стандартное отклонение из нормальное распределение, надо умножить на множитель

{ displaystyle 1 / Phi ^ {- 1} (3/4) приблизительно 1.4826,}

где Φ⁻¹ это квантильная функция (инверсия кумулятивная функция распределения ) для стандартного нормального распределения. (Видеть СУМАСШЕДШИЙ для подробностей.) То есть MAD не является согласованной оценкой для стандартного отклонения нормального распределения, но 1.4826 ... MAD является согласованной оценкой. Точно так же среднее абсолютное отклонение необходимо умножить примерно на 1,2533, чтобы получить последовательную оценку стандартного отклонения. Для оценки стандартного отклонения потребуются различные факторы, если популяция не соответствует нормальному распределению.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Настроение, А. М .; Graybill, F.A .; Бос, Д. К. (1974). «VII.6.2 Масштабная инвариантность". Введение в теорию статистики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.

[1] Прохоров, А. (7 февраля 2011 г.). «Масштабный параметр». Энциклопедия математики. Springer. Получено 7 февраля 2019.

[2] Коски, Тимо. «Масштабный параметр». Королевский технологический институт KTH. Получено 7 февраля 2019.

[1]

[2]