Режим (статистика) - Mode (statistics)

В Режим - это значение, которое чаще всего встречается в наборе значений данных.^[1] Если Икс дискретная случайная величина, режим - значение Икс (т.е. Икс = x), при котором функция массы вероятности принимает максимальное значение. Другими словами, это значение, которое, скорее всего, будет выбрано.

Как статистический иметь в виду и медиана, режим - это способ выражения (обычно) одним числом важной информации о случайная переменная или численность населения. Числовое значение моды такое же, как и среднее значение и медиана в нормальное распределение, и может сильно отличаться перекошенные распределения.

Режим не обязательно уникален для данного дискретное распределение, поскольку функция вероятностных масс может принимать одно и то же максимальное значение в нескольких точках Икс₁, Икс₂и т. д. Самый крайний случай встречается в равномерные распределения, где все значения встречаются одинаково часто.

Когда функция плотности вероятности непрерывное распространение имеет несколько локальные максимумы все локальные максимумы принято называть модами распределения. Такое непрерывное распределение называется мультимодальный (в отличие от одномодальный ). Режим непрерывное распределение вероятностей часто считается любой ценностью Икс на котором его функция плотности вероятности имеет локально максимальное значение, поэтому любой пик является модой.^[2]

В симметричный одномодальный дистрибутивы, такие как нормальное распределение, среднее (если определено), медиана и мода совпадают. Для выборок, если известно, что они взяты из симметричного одномодального распределения, среднее значение выборки может использоваться в качестве оценки режима генеральной совокупности.

Режим образца

Режим выборки - это элемент, который чаще всего встречается в коллекции. Например, режим выборки [1, 3, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 12, 12, 17] равен 6. Учитывая список данных [1, 1, 2, 4, 4] режим не уникален - можно сказать, что набор данных бимодальный, а набор с более чем двумя режимами можно описать как мультимодальный.

Для выборки из непрерывного распределения, например [0,935 ..., 1,211 ..., 2,430 ..., 3,668 ..., 3,874 ...], концепция непригодна для использования в исходной форме, поскольку нет двух значений будет точно таким же, поэтому каждое значение встречается ровно один раз. Чтобы оценить режим основного распределения, обычной практикой является дискретизация данных путем присвоения значений частоты для интервалы равного расстояния, как для гистограмма, эффективно заменяя значения серединами интервалов, которым они назначены. Таким образом, режим - это значение, при котором гистограмма достигает своего пика. Для образцов малого или среднего размера результат этой процедуры чувствителен к выбору ширины интервала, если он выбран слишком узким или слишком широким; как правило, значительная часть данных должна быть сосредоточена в относительно небольшом количестве интервалов (от 5 до 10), в то время как доля данных, выходящих за пределы этих интервалов, также значительна. Альтернативный подход: оценка плотности ядра, который по существу размывает точечные выборки для получения непрерывной оценки функции плотности вероятности, которая может обеспечить оценку режима.

Следующее MATLAB (или же Октава ) пример кода вычисляет режим образца:

Икс = Сортировать(Икс);индексы  = найти (diff ([X; Realmax]) > 0); % индексов, где меняются повторяющиеся значения[модель,я] =  Максимум (разница([0; индексы]));     % наибольшая продолжительность сохранения повторяющихся значенийРежим  = X (индексы (i));

Алгоритм требует в качестве первого шага отсортировать выборку в порядке возрастания. Затем он вычисляет дискретную производную отсортированного списка и находит индексы, в которых эта производная положительна. Затем он вычисляет дискретную производную этого набора индексов, определяя местонахождение максимума этой производной индексов, и, наконец, оценивает отсортированную выборку в точке, где происходит этот максимум, что соответствует последнему члену отрезка повторяющихся значений.

Сравнение среднего, медианы и моды

Геометрическая визуализация режима, медианы и среднего значения произвольной функции плотности вероятности.^[3]

Использовать

В отличие от среднего и медианного, концепция режима также имеет смысл для "номинальные данные "(т.е. не состоящий из числовой значения в случае среднего или даже упорядоченных значений в случае медианы). Например, взяв образец Корейские фамилии, можно было бы обнаружить, что "Ким "встречается чаще, чем любое другое имя. Тогда" Ким "будет режимом выборки. В любой системе голосования, где победа определяется множеством голосов, единственное модальное значение определяет победителя, в то время как мультимодальный результат требует некоторого равенства - процедура взлома должна иметь место.

В отличие от медианы, концепция режима имеет смысл для любой случайной величины, принимающей значения из векторное пространство, в том числе действительные числа (один-размерный векторное пространство) и целые числа (что можно считать вложенным в реалы). Например, распределение баллов в самолет обычно будет иметь среднее значение и режим, но понятие медианы не применяется. Медиана имеет смысл, когда есть линейный порядок о возможных значениях. Обобщения концепции медианы на многомерные пространства являются геометрическая медиана и Центральная точка.

Уникальность и определенность

Для некоторых распределений вероятностей ожидаемое значение может быть бесконечным или неопределенным, но если оно определено, оно уникально. Среднее значение (конечной) выборки всегда определяется. Медиана - это такое значение, что каждая дробь, не превышающая его и не падающая ниже, равна не менее 1/2. Он не обязательно уникален, но никогда не бывает бесконечным или полностью неопределенным. Для выборки данных это «половинное» значение, когда список значений упорядочен по возрастанию, где обычно для списка четной длины среднее численное значение берется из двух значений, наиболее близких к «полпути». Наконец, как было сказано ранее, режим не обязательно уникален. Определенный патологический дистрибутивы (например, Канторовское распределение ) вообще не имеют определенного режима.^{[нужна цитата ]} Для конечной выборки данных режимом является одно (или несколько) значений в выборке.

Характеристики

Предполагая определенность и для простоты уникальность, следующие некоторые из наиболее интересных свойств.

• Все три меры обладают следующим свойством: если случайная величина (или каждое значение из выборки) подвергается линейной или аффинное преобразование, который заменяет Икс к aX+б, а также среднее значение, медиана и мода.
• За исключением очень маленьких образцов, режим нечувствителен к "выбросы "(например, случайные, редкие, ложные экспериментальные показания). Медиана также очень надежна при наличии выбросов, в то время как среднее значение довольно чувствительно.
• В непрерывном унимодальные распределения медиана часто находится между средним значением и модой, примерно одна треть пути от среднего значения к моде. В формуле медиана ≈ (2 × среднее + мода) / 3. Это правило в силу Карл Пирсон, часто применяется к слегка несимметричным распределениям, которые напоминают нормальное распределение, но это не всегда верно, и, как правило, три статистики могут появляться в любом порядке.^[4][5]
• Для унимодальных распределений режим находится в пределах ${ displaystyle { sqrt {3}}}$ Стандартные отклонения среднего и среднеквадратическое отклонение по моде находятся между стандартным отклонением и удвоенным стандартным отклонением.^[6]

Пример асимметричного распределения

Пример перекошенный распространение личное богатство: Некоторые люди очень богаты, но некоторые из них очень богаты. Однако многие довольно бедны.

Сравнение иметь в виду, медиана и режим двух логнормальные распределения с разными перекос.

Хорошо известный класс распределений, которые можно произвольно искажать, дается логнормальное распределение. Получается преобразованием случайной величины Икс имеющий нормальное распределение в случайную величину Y = е^Икс. Тогда логарифм случайной величины Y нормально распространяется, отсюда и название.

Принимая среднее значение μ Икс быть 0, медиана Y будет 1, независимо от стандартное отклонение σ из Икс. Это потому что Икс имеет симметричное распределение, поэтому его медиана также равна 0. Преобразование из Икс к Y монотонно, поэтому мы находим медианное значение е⁰ = 1 для Y.

Когда Икс имеет стандартное отклонение σ = 0,25, распределение Y слабо перекошено. Используя формулы для логнормальное распределение, мы нашли:

${ displaystyle { begin {array} {rlll} { text {mean}} & = e ^ { mu + sigma ^ {2} / 2} & = e ^ {0 + 0,25 ^ {2} / 2 } & приблизительно 1.032 { text {mode}} & = e ^ { mu - sigma ^ {2}} & = e ^ {0-0.25 ^ {2}} & приблизительно 0.939 { текст {median}} & = e ^ { mu} & = e ^ {0} & = 1 end {array}}}$

Действительно, на пути от среднего значения к моде медиана составляет около одной трети.

Когда Икс имеет большее стандартное отклонение, σ = 1, распределение Y сильно перекошено. Сейчас же

${ displaystyle { begin {array} {rlll} { text {mean}} & = e ^ { mu + sigma ^ {2} / 2} & = e ^ {0 + 1 ^ {2} / 2 } & приблизительно 1,649 { text {mode}} & = e ^ { mu - sigma ^ {2}} & = e ^ {0-1 ^ {2}} & приблизительно 0,368 { текст {median}} & = e ^ { mu} & = e ^ {0} & = 1 end {array}}}$

Здесь, Эмпирическое правило Пирсона терпит неудачу.

Условие Ван Звета

Ван Цвет вывел неравенство, обеспечивающее достаточные условия для выполнения этого неравенства.^[7] Неравенство

Режим ≤ Медиана ≤ Среднее

имеет место, если

F (Медиана - Икс ) + F (Медиана + Икс ) ≥ 1

для всех Икс где F () - кумулятивная функция распределения распределения.

Унимодальные распределения

Для унимодального распределения можно показать, что медиана ${ displaystyle { tilde {X}}}$ и среднее ${ displaystyle { bar {X}}}$ лежать внутри (3/5)^1/2 ≈ 0,7746 стандартных отклонений друг от друга.^[8] В символах

${ displaystyle { frac { left | { tilde {X}} - { bar {X}} right |} { sigma}} leq (3/5) ^ {1/2}}$

куда ${ displaystyle | cdot |}$ - абсолютное значение.

Аналогичное соотношение имеет место между медианой и модой: они лежат в пределах 3^1/2 ≈ 1,732 стандартных отклонения друг от друга:

${ displaystyle { frac { left | { tilde {X}} - mathrm {mode} right |} { sigma}} leq 3 ^ {1/2}.}$

История

Термин «режим» происходит от Карл Пирсон в 1895 г.^[9]

Пирсон использует термин Режим взаимозаменяемо с максимальная ордината. В сноске он говорит: «Я счел удобным использовать термин Режим по оси абсцисс, соответствующей ординате максимальной частоты ».

Смотрите также

• Макс
• Бимодальное распределение
• Основная тенденция
  • Иметь в виду
  • Медиана
• Описательная статистика
• Момент (математика)
• Сводные статистические данные
• Унимодальная функция

Рекомендации

внешняя ссылка

• "Режим", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Руководство по пониманию и расчету режима
• Вайсштейн, Эрик В. "Режим". MathWorld.
• Среднее, медианное и модное короткое видео для начинающих от Ханская академия