Полнота (статистика) - Completeness (statistics)

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью к добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: Статистика «полноты»  – Новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR (Август 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В статистика, полнота является собственностью статистика по отношению к модели для набора наблюдаемых данных. По сути, это гарантирует, что распределения, соответствующие разным значениям параметров, различны.

Это тесно связано с идеей идентифицируемость, но в статистическая теория это часто встречается как условие, наложенное на достаточная статистика из которых выводятся определенные результаты оптимальности.

Определение

Рассмотрим случайная переменная Икс распределение вероятностей которого принадлежит параметрическая модель п_θ параметризованныйθ.

Сказать Т является статистика; то есть состав измеримая функция со случайной выборкой Икс₁,...,Икс_п.

Статистика Т как говорят полный для распределения Икс если для каждой измеримой функции г,:^[1]

${ displaystyle { text {if}} operatorname {E} _ { theta} (g (T)) = 0 { text {для всех}} theta { text {then}} mathbf {P} _ { theta} (g (T) = 0) = 1 { text {для всех}} theta.}$

Статистика Т как говорят ограниченно полный для распределения Икс если эта импликация верна для любой измеримой функции грамм это тоже ограничено.

Пример 1: модель Бернулли

Модель Бернулли допускает полную статистику.^[2] Позволять Икс быть случайный пример размера п так что каждый Икс_я имеет то же самое Распределение Бернулли с параметром п. Позволять Т быть количеством единиц, наблюдаемых в образце. Т это статистика Икс который имеет биномиальное распределение с параметрами (п,п). Если пространство параметров для п равно (0,1), то Т это полная статистика. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что

${ displaystyle operatorname {E} _ {p} (g (T)) = sum _ {t = 0} ^ {n} {g (t) {n choose t} p ^ {t} (1- p) ^ {nt}} = (1-p) ^ {n} sum _ {t = 0} ^ {n} {g (t) {n choose t} left ({ frac {p} { 1-p}} right) ^ {t}}.}$

Отметим также, что ни п ни 1 -п может быть 0. Следовательно ${ displaystyle E_ {p} (g (T)) = 0}$ если и только если:

${ displaystyle sum _ {t = 0} ^ {n} g (t) {n choose t} left ({ frac {p} {1-p}} right) ^ {t} = 0. }$

Об обозначении п/(1 − п) к р, получается:

${ displaystyle sum _ {t = 0} ^ {n} g (t) {n choose t} r ^ {t} = 0.}$

Во-первых, обратите внимание, что диапазон р это положительные реалы. Также E (грамм(Т)) это многочлен в р и, следовательно, может быть идентичным 0, только если все коэффициенты равны 0, то есть грамм(т) = 0 для всехт.

Важно отметить, что результат, что все коэффициенты должны быть равны 0, был получен из-за диапазона значений р. Если бы пространство параметров было конечным и с числом элементов меньше или равным п, можно было бы решить линейные уравнения в грамм(т), полученные подстановкой значений р и получите решения отличные от 0. Например, если п = 1, а пространство параметров - {0,5}, одно наблюдение и одно значение параметра, Т не полный. Обратите внимание на это с определением:

${ Displaystyle г (т) = 2 (т-0,5), ,}$

тогда E (грамм(Т)) = 0 хотя грамм(т) не 0 для т = 0 ни для т = 1.

Отношение к достаточной статистике

Для некоторых параметрических семейств полный достаточная статистика не существует (например, см. Galili and Meilijson 2016 ^[3]). Также минимально достаточный статистика не обязательна. (Случай, когда нет минимально достаточной статистики, был показан Бахадур в 1957 г.^{[нужна цитата ]}) При мягких условиях всегда существует минимальная достаточная статистика. В частности, эти условия всегда выполняются, если случайные величины (связанные с п_θ ) все дискретны или все непрерывны.^{[нужна цитата ]}

Важность полноты

Понятие полноты имеет множество приложений в статистике, особенно в следующих двух теоремах математической статистики.

Теорема Лемана – Шеффе

Полнота происходит в Теорема Лемана – Шеффе,^[4]в котором говорится, что если статистика несмещена, полный и достаточно для какого-то параметра θ, то это лучшая несмещенная оценка среднегоθ. Другими словами, эта статистика имеет меньший ожидаемый убыток для любого выпуклый функция потерь; во многих практических приложениях с квадратичной функцией потерь она имеет меньшую среднеквадратичную ошибку среди любых оценок с тем же ожидаемое значение.

Существуют примеры, когда минимальная достаточная статистика не завершено то существует несколько альтернативных статистических данных для объективной оценки θ, в то время как у некоторых из них дисперсия ниже, чем у других.^[5]

Смотрите также несмещенная оценка с минимальной дисперсией.

Теорема Басу

Ограниченная полнота происходит в Теорема Басу,^[6] который утверждает, что статистика, которая является как ограниченно полный и достаточно является независимый любой вспомогательная статистика.

Теорема Бахадура

Ограниченная полнота также встречается в Теорема Бахадура. В случае, если существует хотя бы один минимально достаточный статистика, статистика, которая достаточно и ограниченно полная, обязательно минимально достаточная.

Примечания

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• Басу, Д. (1988). Дж. К. Гош (ред.). Статистическая информация и правдоподобие: сборник критических статей доктора Д. Басу.. Конспект лекций по статистике. 45. Springer. ISBN  978-0-387-96751-6. Г-Н  0953081.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Бикель, Питер Дж.; Доксум, Челл А. (2001). Математическая статистика, Том 1: Основные и избранные темы (Вторая (обновленная печать 2007 г.) издания Holden-Day 1976 г.). Пирсон Прентис – Холл. ISBN  978-0-13-850363-5. Г-Н  0443141.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Э. Л., Леманн; Романо, Джозеф П. (2005). Проверка статистических гипотез. Тексты Springer в статистике (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. xiv + 784. ISBN  978-0-387-98864-1. Г-Н  2135927. Архивировано из оригинал на 02.02.2013.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
• Lehmann, E.L .; Шеффе, Х. (1950). «Полнота, близость регионов и объективная оценка. I.» Санкхья: Индийский статистический журнал. 10 (4): 305–340. Дои:10.1007/978-1-4614-1412-4_23. JSTOR  25048038. Г-Н  0039201.
• Lehmann, E.L .; Шеффе, Х. (1955). «Полнота, близость регионов и объективная оценка. II». Санкхья: Индийский статистический журнал. 15 (3): 219–236. Дои:10.1007/978-1-4614-1412-4_24. JSTOR  25048243. Г-Н  0072410.