Тест Шапиро-Уилка - Shapiro–Wilk test

В Тест Шапиро-Уилка это проверка нормальности в частотном статистика. Он был опубликован в 1965 г. Сэмюэл Сэнфорд Шапиро и Мартин Вилк.^[1]

Теория

Тест Шапиро-Уилка проверяет нулевая гипотеза который образец Икс₁, ..., Икс_п пришел из нормально распределенный численность населения. В статистика теста является

{ displaystyle W = { left ( sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} x _ {(i)} right) ^ {2} over sum _ {i = 1} ^ { n} (x_ {i} - { overline {x}}) ^ {2}},}

куда

${ Displaystyle х _ {(я)}}$ (в скобках заключен нижний индекс я; не путать с ${ displaystyle x_ {i}}$ ) это яth статистика заказов, т.е. яth-наименьшее число в выборке;
${ displaystyle { overline {x}} = left (x_ {1} + cdots + x_ {n} right) / n}$ - выборочное среднее.

Коэффициенты ${ displaystyle a_ {i}}$ даны:^[1]

{ displaystyle (a_ {1}, dots, a_ {n}) = {m ^ { mathsf {T}} V ^ {- 1} over C},}

куда C это векторная норма:^[2]

{ Displaystyle С = | V ^ {- 1} м | = (м ^ { mathsf {T}} V ^ {- 1} V ^ {- 1} м) ^ {1/2}}

и вектор м,

{ displaystyle m = (m_ {1}, dots, m_ {n}) ^ { mathsf {T}} ,}

сделан из ожидаемые значения из статистика заказов из независимые и одинаково распределенные случайные величины взяты из стандартного нормального распределения; наконец-то, ${ displaystyle V}$ это ковариационная матрица статистики нормального порядка.^[3]

Нет названия для распространения ${ displaystyle W}$ . Значения отсечки для статистики вычисляются с помощью моделирования Монте-Карло.^[2]

Интерпретация

В нулевая гипотеза этого теста состоит в том, что популяция распределена нормально. Таким образом, если п ценить меньше, чем выбранный альфа-уровень, то нулевая гипотеза отклоняется, и есть свидетельства того, что проверенные данные не имеют нормального распределения. С другой стороны, если п значение больше, чем выбранный альфа-уровень, то нулевая гипотеза (что данные получены из нормально распределенной совокупности) не может быть отклонена (например, для альфа-уровня 0,05, набор данных с п значение меньше 0,05 отвергает нулевую гипотезу о том, что данные получены из нормально распределенной совокупности).^[4]

Как большинство тесты статистической значимости, если размер выборки достаточно велик, этот тест может обнаружить даже тривиальные отклонения от нулевой гипотезы (т. е. хотя могут быть некоторые статистически значимый эффект, он может быть слишком маленьким, чтобы иметь какое-либо практическое значение); таким образом, дополнительное исследование размер эффекта обычно рекомендуется, например, Q – Q график в этом случае.^[5]

Анализ мощности

Моделирование Монте-Карло обнаружил, что у Шапиро-Вилка лучшие мощность для данного значимость, за которым следует Андерсон-Дарлинг при сравнении Шапиро – Уилка, Колмогоров – Смирнов, Lilliefors и тесты Андерсона – Дарлинга.^[6]

Приближение

Ройстон предложил альтернативный метод вычисления вектора коэффициентов, предоставив алгоритм вычисления значений, который увеличил размер выборки до 2000.^[7] Этот метод используется в нескольких программных пакетах, включая Stata,^[8]^[9] SPSS и SAS.^[10] Рахман и Говидараджулу увеличили размер выборки до 5 000 человек.^[11]

Смотрите также

внешняя ссылка

[Shapiro–Wilk-1] а ^б Шапиро, С. С .; Вилк, М.Б. (1965). «Тест дисперсионного анализа на нормальность (полные выборки)». Биометрика. 52 (3–4): 591–611. Дои:10.1093 / biomet / 52.3-4.591. JSTOR 2333709. МИСТЕР 0205384. п. 593

[mit-2] а ^б [1]

[3] [2]

[4] «Как мне интерпретировать тест Шапиро-Уилка на нормальность?». JMP. 2004. Получено 24 марта, 2012.

[5] Поле, Энди (2009). Обнаружение статистики с помощью SPSS (3-е изд.). Лос-Анджелес [т.е. Таузенд-Оукс, Калифорния]: SAGE Publications. п. 143. ISBN 978-1-84787-906-6.

[6] Разали, Норнадия; Вау, Яп Би (2011). «Силовые сравнения тестов Шапиро – Уилка, Колмогорова – Смирнова, Лиллиэфорса и Андерсона – Дарлинга». Журнал статистического моделирования и аналитики. 2 (1): 21–33. Получено 30 марта 2017.

[7] Ройстон, Патрик (сентябрь 1992 г.). "Аппроксимация Шапиро-Уилка W-тест на ненормальность ». Статистика и вычисления. 2 (3): 117–119. Дои:10.1007 / BF01891203.

[8] Ройстон, Патрик. «Тесты Шапиро – Вилка и Шапиро – Франсиа». Технический бюллетень Stata, StataCorp LP. 1 (3).

[9] Тесты Шапиро-Уилка и Шапиро-Франсиа на нормальность

[10] Пак, Хун Мён (2002–2008). «Одномерный анализ и проверка нормальности с использованием SAS, Stata и SPSS» (PDF). [рабочий документ]. Получено 26 февраля 2014.

[11] Рахман и Говидараджулу (1997). «Модификация теста Шапиро и Уилка на нормальность». Журнал прикладной статистики. 24 (2): 219–236. Дои:10.1080/02664769723828.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]