Коэффициент вариации - Coefficient of variation
В теория вероятности и статистика, то коэффициент вариации (резюме), также известен как Относительное стандартное отклонение (RSD), это стандартизированный Мера разброс из распределение вероятностей или Распределение частоты. Часто выражается в процентах и определяется как отношение среднеквадратичное отклонение к значить (или его абсолютная величина, ). CV или RSD широко используются в аналитическая химия чтобы выразить точность и повторяемость проба. Он также часто используется в таких областях, как инженерное дело или физика при проведении исследований по обеспечению качества и Анализатор ANOVA R&R.[нужна цитата ] Кроме того, резюме используется экономистами и инвесторами в экономические модели.
Определение
Коэффициент вариации (CV) определяется как отношение стандартного отклонения в среднем , [1]Он показывает степень изменчивости по отношению к среднему значению для генеральной совокупности. Коэффициент вариации следует рассчитывать только для данных, измеренных на шкала отношений, то есть шкалы, которые имеют значащий ноль и, следовательно, позволяют относительное сравнение двух измерений (то есть деление одного измерения на другое). Коэффициент вариации может не иметь никакого значения для данных о шкала интервалов.[2] Например, большинство температурных шкал (например, Цельсия, Фаренгейта и т. Д.) Представляют собой интервальные шкалы с произвольными нулями, поэтому вычисленный коэффициент вариации будет различным в зависимости от того, какую шкалу вы использовали. С другой стороны, Кельвин Температура имеет значащий ноль, полное отсутствие тепловой энергии и, таким образом, является шкалой отношений. Проще говоря, имеет смысл сказать, что 20 Кельвинов вдвое горячее, чем 10 Кельвинов, но только в этой шкале с истинным абсолютным нулем. Хотя стандартное отклонение (SD) может быть измерено в Кельвинах, Цельсиях или Фаренгейтах, вычисленное значение применимо только к этой шкале. Только шкала Кельвина может использоваться для вычисления действительного коэффициента изменчивости.
Измерения, которые журнал обычно распределенный экспонат стационарный CV; напротив, SD варьируется в зависимости от ожидаемого значения измерений.
Более надежная возможность - это квартильный коэффициент дисперсии, половина межквартильный размах деленное на среднее значение квартилей ( середина ), .
В большинстве случаев CV вычисляется для одной независимой переменной (например, для одного производственного продукта) с многочисленными повторяющимися измерениями зависимой переменной (например, ошибка в производственном процессе). Однако данные, которые являются линейными или даже логарифмически нелинейными и включают непрерывный диапазон для независимой переменной с разреженными измерениями по каждому значению (например, диаграмма разброса), могут быть подвергнуты расчету одиночного CV с использованием оценка максимального правдоподобия подход.[3]
Примеры
Набор данных [100, 100, 100] имеет постоянные значения. это среднеквадратичное отклонение равно 0, а среднее значение равно 100, что дает коэффициент вариации как
- 0 / 100 = 0
Набор данных [90, 100, 110] более изменчив. это стандартное отклонение выборки равно 10, а его среднее значение равно 100, что дает коэффициент вариации как
- 10 / 100 = 0.1
Набор данных [1, 5, 6, 8, 10, 40, 65, 88] еще более изменчив. Его стандартное отклонение составляет 30,78, а среднее значение - 27,9, что дает коэффициент вариации
- 30.78 / 27.9 = 1.10
Примеры неправильного использования
Сравнение коэффициентов вариации между параметрами с использованием относительных единиц может привести к различиям, которые могут быть нереальными. Если сравнить тот же набор температур в Цельсия и Фаренгейт (обе относительные единицы, где кельвин и Шкала Ренкина являются их соответствующими абсолютными значениями):
Цельсия: [0, 10, 20, 30, 40]
Фаренгейт: [32, 50, 68, 86, 104]
В стандартные отклонения выборки равны 15,81 и 28,46 соответственно. CV первого набора составляет 15,81 / 20 = 79%. Для второго набора (те же температуры) это 28,46 / 68 = 42%.
Если, например, наборы данных представляют собой показания температуры от двух разных датчиков (датчик Цельсия и датчик Фаренгейта), и вы хотите узнать, какой датчик лучше, выбрав тот, который имеет наименьшее отклонение, то вы будете введены в заблуждение, если будете использовать РЕЗЮМЕ. Проблема здесь в том, что вы разделили на относительное значение, а не на абсолютное.
Сравнивая тот же набор данных, теперь в абсолютных единицах:
Кельвин: [273,15, 283,15, 293,15, 303,15, 313,15]
Ренкин: [491,67, 509,67, 527,67, 545,67, 563,67]
В стандартные отклонения выборки равны 15,81 и 28,46 соответственно, поскольку постоянное смещение не влияет на стандартное отклонение. Однако теперь оба коэффициента вариации равны 5,39%.
С математической точки зрения коэффициент вариации не является полностью линейным. То есть для случайной величины , коэффициент вариации равен коэффициенту вариации только когда . В приведенном выше примере градусы Цельсия можно преобразовать в градусы Фаренгейта только с помощью линейного преобразования формы с участием , тогда как Кельвины могут быть преобразованы в Ренкина с помощью преобразования формы .
Предварительный расчет
Когда доступна только выборка данных по совокупности, CV совокупности можно оценить с помощью отношения стандартное отклонение выборки к среднему значению выборки :
Но эта оценка, применяемая к выборке небольшого или среднего размера, имеет тенденцию быть слишком низкой: это предвзятый оценщик. Для нормально распределенный данные, объективная оценка[4] для выборки размера n составляет:
Нормальные данные журнала
Во многих приложениях можно предположить, что данные распределены нормально логарифмически (о чем свидетельствует наличие перекос в выборочных данных).[5] В таких случаях более точная оценка, основанная на свойствах логнормальное распределение,[6][7][8] определяется как:
где стандартное отклонение выборки данных после натуральный журнал трансформация. (В случае, если измерения записаны с использованием любого другого логарифмического основания, b, их стандартное отклонение преобразуется в базу e с помощью , а формула для остается такой же.[9]) Эту оценку иногда называют "геометрической CV" (GCV).[10][11] чтобы отличить его от простой оценки выше. Однако «геометрический коэффициент вариации» также был определен Кирквудом.[12] так как:
Этот термин предназначался для аналогичный к коэффициенту вариации для описания мультипликативной вариации в логнормальных данных, но это определение GCV не имеет теоретической основы для оценки сам.
Для многих практических целей (например, определение размера выборки и расчет доверительные интервалы ) это что наиболее полезно в контексте нормально распределенных данных. При необходимости это можно вывести из оценки или GCV путем обращения соответствующей формулы.
Сравнение со стандартным отклонением
Преимущества
Коэффициент вариации полезен, поскольку стандартное отклонение данных всегда следует понимать в контексте среднего значения данных. Напротив, фактическое значение CV не зависит от единицы измерения, поэтому это безразмерное число. Для сравнения наборов данных с разными единицами измерения или сильно различающимися средними значениями следует использовать коэффициент вариации вместо стандартного отклонения.
Недостатки
- Когда среднее значение близко к нулю, коэффициент вариации приближается к бесконечности и, следовательно, чувствителен к небольшим изменениям среднего. Это часто бывает, если значения не основаны на шкале соотношений.
- В отличие от стандартного отклонения, его нельзя использовать напрямую для построения доверительные интервалы для среднего.
- CV не являются идеальным показателем достоверности измерения, когда количество повторов варьируется в разных выборках, потому что CV инвариантно к количеству повторов, в то время как достоверность среднего увеличивается с увеличением количества повторов. В этом случае рекомендуется использовать стандартную ошибку в процентах.[13]
Приложения
Коэффициент вариации также обычен в прикладных областях вероятности, таких как теория обновления, теория массового обслуживания, и теория надежности. В этих областях экспоненциальное распределение часто важнее, чем нормальное распределение.Стандартное отклонение экспоненциальное распределение равно своему среднему значению, поэтому его коэффициент вариации равен 1. Распределения с CV <1 (например, Распределение Erlang ) считаются малодисперсными, тогда как CV> 1 (например, гиперэкспоненциальное распределение ) считаются высокодисперсными[нужна цитата ]. Некоторые формулы в этих полях выражаются с помощью квадрат коэффициента вариации, часто сокращенно SCV. При моделировании вариацией CV является CV (RMSD). По сути, CV (RMSD) заменяет термин стандартного отклонения на Среднеквадратичное отклонение (RMSD). Хотя многие естественные процессы действительно показывают корреляцию между средним значением и величиной вариации вокруг него, точные сенсорные устройства должны быть спроектированы таким образом, чтобы коэффициент вариации был близок к нулю, то есть давал постоянный абсолютная ошибка в их рабочем диапазоне.
В актуарная наука, резюме известно как единый риск.[14]
В промышленной переработке твердых веществ CV особенно важен для измерения степени однородности порошковой смеси. Сравнение рассчитанного CV со спецификацией позволит определить, была ли достигнута достаточная степень перемешивания.[15]
Лабораторные измерения CV внутри анализов и между анализами
Показатели CV часто используются в качестве контроля качества для количественной лаборатории. анализы. Хотя можно предположить, что CV внутри анализов и между анализами можно рассчитать путем простого усреднения значений CV по значениям CV для нескольких образцов в рамках одного анализа или путем усреднения нескольких оценок CV между анализами, было высказано предположение, что эти методы неверны и что требуется более сложный вычислительный процесс.[16] Также было отмечено, что значения CV не являются идеальным показателем достоверности измерения, когда количество повторов варьируется между образцами - в этом случае стандартная ошибка в процентах считается более высокой.[13] Если измерения не имеют естественной нулевой точки, тогда CV не является действительным измерением, и альтернативные меры, такие как внутриклассовая корреляция коэффициенты рекомендуются.[17]
Как показатель экономического неравенства
Коэффициент вариации соответствует требования для измерения экономического неравенства.[18][19][20] Если Икс (с записями xя) представляет собой список значений экономического показателя (например, богатства), где xя быть богатством агента я, то выполняются следующие требования:
- Анонимность - cv не зависит от порядка в списке Икс. Это следует из того факта, что дисперсия и среднее значение не зависят от порядка Икс.
- Масштабная инвариантность: cv(Икс) = cv(αИкс) где α это действительное число.[20]
- Независимость населения - If {Икс,Икс} - это список Икс добавлено к себе, затем cv({Икс,Икс}) = cv(Икс). Это следует из того факта, что и дисперсия, и среднее подчиняются этому принципу.
- Принцип передачи Пигу-Далтона: когда состояние передается от более богатого агента я более бедному агенту j (т.е. Икся > Иксj) без изменения своего ранга, то cv уменьшается и наоборот.[20]
cv принимает минимальное значение нуля для полного равенства (все Икся равны).[20] Его наиболее заметным недостатком является то, что он не ограничен сверху, поэтому его нельзя нормализовать, чтобы он находился в фиксированном диапазоне (например, как Коэффициент Джини который должен быть от 0 до 1).[20] Однако он более податлив математически, чем коэффициент Джини.
Как мера стандартизации археологических артефактов
Археологи часто используют значения CV для сравнения степени стандартизации древних артефактов.[21][22] Вариация резюме была интерпретирована как указание на различные культурные контексты передачи для принятия новых технологий.[23] Коэффициенты вариации также использовались для исследования стандартизации керамики, связанной с изменениями в социальной организации.[24] Археологи также используют несколько методов для сравнения значений CV, например тест модифицированного отношения правдоподобия со знаком (MSLR) на равенство CV.[25][26]
Распределение
При условии, что отрицательные и небольшие положительные значения выборочного среднего возникают с незначительной частотой, распределение вероятностей коэффициента вариации для выборки размером Хендрикс и Роби показали[27]
где символ указывает на то, что суммирование закончилось только четные значения , т.е. если нечетное, сумма по четным значениям и если четно, суммируется только по нечетным значениям .
Это полезно, например, при построении проверка гипотез или доверительные интервалы. Статистический вывод для коэффициента вариации нормально распределенных данных часто основан на Приближение хи-квадрат Маккея для коэффициента вариации [28][29][30][31][32][33]
Альтернатива
По словам Лю (2012),[34] Леманн (1986).[35] «также получил выборочное распределение CV, чтобы дать точный метод построения доверительного интервала для CV»; он основан на нецентральное t-распределение.
Подобные соотношения
Стандартизированные моменты аналогичные отношения, где это kth момент о среднем, которые также безразмерны и масштабно инвариантны. В отношение дисперсии к среднему, , является еще одним аналогичным соотношением, но не безразмерным и, следовательно, не масштабно инвариантным. Увидеть Нормализация (статистика) для дальнейших соотношений.
В обработка сигнала особенно обработка изображений, то взаимный соотношение (или его квадрат) называется сигнал-шум в целом и отношение сигнал / шум (изображение) особенно.
Другие связанные соотношения включают:
- Эффективность,
- Стандартизированный момент,
- Отношение дисперсии к среднему (или относительная дисперсия),
- Фактор Фано, (оконный VMR)
- Относительная стандартная ошибка
Смотрите также
использованная литература
- ^ Эверит, Брайан (1998). Кембриджский статистический словарь. Кембридж, Великобритания Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521593465.
- ^ «В чем разница между порядковыми, интервальными и относительными переменными? Почему меня это должно волновать?». GraphPad Software Inc. В архиве из оригинала 15 декабря 2008 г.. Получено 22 февраля 2008.
- ^ Одич, Дарко; Им, Хи Ён; Эйзингер, Роберт; Ли, Райан; Халберда, Джастин (июнь 2016 г.). «PsiMLE: подход к оценке максимального правдоподобия для более надежной, эффективной и гибкой оценки психофизического масштабирования и изменчивости». Методы исследования поведения. 48 (2): 445–462. Дои:10.3758 / s13428-015-0600-5. ISSN 1554-3528. PMID 25987306.
- ^ Sokal RR и Rohlf FJ. Биометрия (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман, 1995. стр. 58. ISBN 0-7167-2411-1
- ^ Лимперт, Экхард; Stahel, Werner A .; Эббт, Маркус (2001). «Логнормальные распределения в науках: ключи и подсказки». Бионаука. 51 (5): 341–352. Дои:10.1641 / 0006-3568 (2001) 051 [0341: LNDATS] 2.0.CO; 2.
- ^ Koopmans, L.H .; Оуэн, Д. Б.; Розенблатт, Дж. И. (1964). «Доверительные интервалы для коэффициента вариации для нормального и логнормального распределений». Биометрика. 51 (1–2): 25–32. Дои:10.1093 / biomet / 51.1-2.25.
- ^ Дилетти, Э; Hauschke, D; Стейнийанс, VW (1992). «Определение объема выборки для оценки биоэквивалентности с помощью доверительных интервалов». Международный журнал клинической фармакологии, терапии и токсикологии. 30 Дополнение 1: S51–8. PMID 1601532.
- ^ Джулиус, Стивен А .; Дебарно, Камилла А. М. (2000). «Почему фармакокинетические данные суммируются с помощью арифметических средств?». Журнал биофармацевтической статистики. 10 (1): 55–71. Дои:10.1081 / BIP-100101013. PMID 10709801.
- ^ Рид, Дж. Ф.; Линн, Ф; Мид, Б.Д. (2002). «Использование коэффициента вариации при оценке вариабельности количественных анализов». Клин Диаг Лаб Иммунол. 9 (6): 1235–1239. Дои:10.1128 / CDLI.9.6.1235-1239.2002. ЧВК 130103. PMID 12414755.
- ^ Sawant, S .; Мохан, Н. (2011) «Часто задаваемые вопросы: вопросы, связанные с анализом эффективности данных клинических испытаний с использованием SAS» В архиве 24 августа 2011 г. Wayback Machine, PharmaSUG2011, Бумага PO08
- ^ Schiff, MH; и другие. (2014). «Прямое рандомизированное перекрестное исследование перорального и подкожного метотрексата у пациентов с ревматоидным артритом: ограничения воздействия перорального метотрексата в дозах> = 15 мг могут быть преодолены с помощью подкожного введения». Энн Рум Дис. 73 (8): 1–3. Дои:10.1136 / annrheumdis-2014-205228. ЧВК 4112421. PMID 24728329.
- ^ Кирквуд, TBL (1979). «Геометрические средства и меры рассеяния». Биометрия. 35 (4): 908–9. JSTOR 2530139.
- ^ а б Айзенберг, Дэн (2015). «Улучшение методов количественной ПЦР длины теломер: контроль эффектов положения лунки увеличивает статистическую мощность». Американский журнал биологии человека. 27 (4): 570–5. Дои:10.1002 / ajhb.22690. ЧВК 4478151. PMID 25757675.
- ^ Броверман, Сэмюэл А. (2001). Учебное пособие Actex, Курс 1, Экспертиза Общества актуариев, Экзамен 1 Общества актуариев по несчастным случаям (Изд. 2001 г.). Винстед, Коннектикут: публикации Actex. п. 104. ISBN 9781566983969. Получено 7 июн 2014.
- ^ «Измерение степени перемешивания - Однородность порошковой смеси - Качество смеси - PowderProcess.net». www.powderprocess.net. В архиве из оригинала 14 ноября 2017 г.. Получено 2 мая 2018.
- ^ Родбард, Д. (октябрь 1974 г.). «Статистический контроль качества и рутинная обработка данных для радиоиммуноанализов и иммунорадиометрических анализов». Клиническая химия. 20 (10): 1255–70. PMID 4370388.
- ^ Айзенберг, Дэн Т.А. (30 августа 2016 г.). «Достоверность измерения длины теломер: коэффициент вариации недействителен и не может использоваться для сравнения количественной полимеразной цепной реакции и метода измерения длины теломер по Саузерн-блоттингу». Международный журнал эпидемиологии. 45 (4): 1295–1298. Дои:10.1093 / ije / dyw191. ISSN 0300-5771. PMID 27581804.
- ^ Champernowne, D.G .; Коуэлл, Ф.А. (1999). Экономическое неравенство и распределение доходов. Издательство Кембриджского университета.
- ^ Кампано, Ф .; Сальваторе, Д. (2006). Распределение доходов. Издательство Оксфордского университета.
- ^ а б c d е Беллу, Лоренцо Джованни; Либерати, Паоло (2006). «Влияние политики на неравенство - простые меры неравенства» (PDF). EASYPol, Аналитические инструменты. Служба поддержки политики, Отдел поддержки политики, ФАО. В архиве (PDF) из оригинала 5 августа 2016 г.. Получено 13 июн 2016.
- ^ Eerkens, Jelmer W .; Беттингер, Роберт Л. (июль 2001 г.). "Методы оценки стандартизации сборок артефактов: можем ли мы масштабировать изменчивость материалов?". Американская древность. 66 (3): 493–504. Дои:10.2307/2694247.
- ^ Ру, Валентин (2003). «Стандартизация керамики и интенсивность производства: количественная оценка степени специализации». Американская древность. 68 (4): 768–782. Дои:10.2307/3557072. ISSN 0002-7316.
- ^ Беттингер, Роберт Л .; Eerkens, Jelmer (апрель 1999 г.). «Точечные типологии, культурная передача и распространение технологий лука и стрел в доисторическом Большом бассейне». Американская древность. 64 (2): 231–242. Дои:10.2307/2694276.
- ^ Ван, Ли-Инь; Марвик, Бен (октябрь 2020 г.). «Стандартизация керамической формы: тематическое исследование керамики железного века из северо-восточного Тайваня». Журнал археологической науки: отчеты. 33: 102554. Дои:10.1016 / j.jasrep.2020.102554.
- ^ Кришнамурти, К .; Ли, Мисук (февраль 2014 г.). «Улучшенные тесты на равенство нормальных коэффициентов вариации». Вычислительная статистика. 29 (1–2): 215–232. Дои:10.1007 / s00180-013-0445-2.
- ^ Марвик, Бен; Кришнамурти, К. (2019). cvequality: тесты на равенство коэффициентов вариации из нескольких групп. Пакет R версии 0.2.0.
- ^ Хендрикс, Уолтер А .; Роби, Кейт В. (1936). «Выборочное распределение коэффициента вариации». Анналы математической статистики. 7 (3): 129–32. Дои:10.1214 / aoms / 1177732503. JSTOR 2957564.
- ^ Иглевич, Борис; Майерс, Раймонд (1970). «Сравнение приближений к процентным пунктам выборочного коэффициента вариации». Технометрика. 12 (1): 166–169. Дои:10.2307/1267363. JSTOR 1267363.
- ^ Беннетт, Б. М. (1976). «О приблизительном тесте на однородность коэффициентов вариации». Вклады в прикладную статистику, посвященные А. Линдеру. Experientia Supplementum. 22: 169–171. Дои:10.1007/978-3-0348-5513-6_16. ISBN 978-3-0348-5515-0.
- ^ Вангель, Марк Г. (1996). «Доверительные интервалы для нормального коэффициента вариации». Американский статистик. 50 (1): 21–26. Дои:10.1080/00031305.1996.10473537. JSTOR 2685039..
- ^ Feltz, Кэрол Дж; Миллер, Дж. Эдвард (1996). «Асимптотический тест на равенство коэффициентов вариации от k популяций». Статистика в медицине. 15 (6): 647. Дои:10.1002 / (SICI) 1097-0258 (19960330) 15: 6 <647 :: AID-SIM184> 3.0.CO; 2-P.
- ^ Форкман, Йоханнес (2009). «Оценщик и тесты для общих коэффициентов вариации нормальных распределений» (PDF). Коммуникации в статистике - теория и методы. 38 (2): 21–26. Дои:10.1080/03610920802187448. В архиве (PDF) из оригинала от 6 декабря 2013 г.. Получено 23 сентября 2013.
- ^ Кришнамурти, К; Ли, Мисук (2013). «Улучшенные тесты на равенство нормальных коэффициентов вариации». Вычислительная статистика. 29 (1–2): 215–232. Дои:10.1007 / s00180-013-0445-2.
- ^ Лю, Шуанг (2012). Оценка доверительного интервала для коэффициента вариации (Тезис). Государственный университет Джорджии. стр.3. В архиве из оригинала 1 марта 2014 г.. Получено 25 февраля 2014.
- ^ Леманн, Э. Л. (1986). Проверка статистической гипотезы. 2-е изд. Нью-Йорк: Вили.
внешние ссылки
- cvequality: р пакет для проверки значительных различий между несколькими коэффициентами вариации