Интервал допуска - Tolerance interval

А интервал допуска это статистический интервал в пределах которого с некоторой степенью достоверности попадает указанная доля отобранной совокупности. «Более конкретно, интервал допуска 100 × p% / 100 × (1-α) обеспечивает пределы, в которые попадает, по крайней мере, определенная часть (p) популяции с заданным уровнем достоверности (1-α)».^[1] «(P, 1-α) интервал допуска (TI), основанный на выборке, построен так, чтобы он включал по крайней мере долю p выборочной совокупности с достоверностью 1-α; такой TI обычно упоминается как p- содержание - (1 − α) покрытие TI. "^[2] "A (p, 1 − α) верхний предел допуска (TL) - это просто 1 − α верхний предел уверенности за 100 р. процентиль населения ".^[2]

Интервал допуска можно рассматривать как статистическую версию интервал вероятности. "В случае, когда параметры известны, интервал допуска 95% и 95% интервал прогноза одинаковые."^[3] Если бы мы знали точные параметры популяции, мы могли бы вычислить диапазон, в который попадает определенная часть популяции. Например, если мы знаем, что популяция нормально распределенный с иметь в виду ${ displaystyle mu}$ и стандартное отклонение ${ displaystyle sigma}$, то интервал ${ Displaystyle mu pm 1.96 sigma}$ включает 95% населения (1,96 - z-оценка для 95% охвата нормально распределенного населения).

Однако, если у нас есть только выборка из совокупности, мы знаем только выборочное среднее ${ displaystyle { hat { mu}}}$ и стандартное отклонение выборки ${ displaystyle { hat { sigma}}}$, которые являются лишь оценками истинных параметров. В таком случае, ${ displaystyle { hat { mu}} pm 1.96 { hat { sigma}}}$ не обязательно будет включать 95% населения из-за разницы в этих оценках. Интервал допуска ограничивает эту дисперсию, вводя уровень достоверности ${ displaystyle gamma}$, что представляет собой уверенность, с которой этот интервал фактически включает указанную долю населения. Для нормально распределенной совокупности z-оценку можно преобразовать в "k фактор "или коэффициент допуска^[4] для данного ${ displaystyle gamma}$ через справочные таблицы или несколько формул аппроксимации.^[5] «По мере приближения степеней свободы к бесконечности интервалы прогнозирования и допуска становятся равными».^[6]

Формулы

Эта секция нуждается в расширении с: математические уравнения. Вы можете помочь добавляя к этому. (разговаривать) (Июль 2014 г.)

Нормальный случай

Отношение к другим интервалам

Интервал допуска менее известен, чем доверительный интервал и интервал прогноза, на ситуацию, на которую сетуют некоторые преподаватели, так как это может привести к неправильному использованию других интервалов, для которых более уместен интервал допуска.^[7][8]

Интервал допуска отличается от доверительный интервал в том, что доверительный интервал ограничивает однозначный параметр совокупности ( иметь в виду или отклонение, например) с некоторой уверенностью, в то время как интервал допуска ограничивает диапазон значений данных, который включает определенную долю генеральной совокупности. В то время как размер доверительного интервала полностью зависит от ошибка выборки, и будет приближаться к интервалу нулевой ширины при истинном параметре совокупности по мере увеличения размера выборки, размер интервала допуска частично обусловлен ошибкой выборки, а частично - фактической дисперсией в генеральной совокупности, и будет приближаться к интервалу вероятности генеральной совокупности по мере увеличения размера выборки.^[7][8]

Интервал допуска связан с интервал прогноза в том, что оба устанавливают границы вариации в будущих образцах. Однако интервал прогнозирования ограничивает только одну будущую выборку, тогда как интервал допуска ограничивает всю совокупность (эквивалентно произвольную последовательность будущих выборок). Другими словами, интервал прогнозирования покрывает указанную часть населения. в среднем, тогда как интервал допуска покрывает его с определенным уровнем уверенности, делая интервал допуска более подходящим, если один интервал предназначен для привязки нескольких будущих выборок.^[8][9]

Примеры

^[7] дает следующий пример:

Итак, рассмотрим еще раз пресловутую EPA пробег сценарий тестирования, в котором проверяется несколько номинально идентичных автомобилей определенной модели для получения данных о пробеге ${ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, ..., y_ {n}}$. Если такие данные обрабатываются для получения 95% доверительного интервала для среднего пробега модели, можно, например, использовать его для прогнозирования среднего или общего расхода бензина для произведенного парка таких автомобилей на первые 5000 миль. использования. Такой интервал, однако, не принесет большой пользы человеку, арендующему одну из этих машин и задающемуся вопросом, хватит ли (полного) 10-галлонного бака бензина, чтобы довести его до места назначения 350 миль. Для этой работы гораздо более полезен интервал прогнозирования. (Подумайте о различных последствиях "уверенности на 95%", что ${ displaystyle mu geq 35}$ вместо того, чтобы быть "уверенным на 95%", что ${ Displaystyle у_ {п + 1} geq 35}$.) Но ни доверительный интервал для ${ displaystyle mu}$ ни интервал прогноза для одного дополнительного пробега - это не то, что требуется инженеру-конструктору, которому поручено определить, какой размер бензобака действительно необходим модели, чтобы гарантировать, что 99% произведенных автомобилей будут иметь запас хода в 400 миль. Что действительно нужно инженеру, так это интервал допуска для дроби ${ displaystyle p = 0,99}$ пробегов таких авто.

Другой пример приводится:^[9]

Уровни свинца в воздухе были собраны из ${ displaystyle n = 15}$ различные области внутри объекта. Было отмечено, что логарифмически преобразованные уровни свинца хорошо соответствуют нормальному распределению (т. Е. Данные взяты из логнормальное распределение. Позволять ${ displaystyle mu}$ и ${ displaystyle sigma ^ {2}}$, соответственно, обозначают среднее значение генеральной совокупности и дисперсию данных, преобразованных в журнал. Если ${ displaystyle X}$ обозначает соответствующую случайную величину, поэтому ${ Displaystyle X sim { mathcal {N}} ( mu, sigma ^ {2})}$. Отметим, что ${ Displaystyle ехр ( му)}$ - средний уровень свинца в воздухе. Доверительный интервал для ${ displaystyle mu}$ могут быть построены обычным образом, на основе т-распределение; это, в свою очередь, обеспечит доверительный интервал для среднего уровня свинца в воздухе. Если ${ displaystyle { bar {X}}}$ и ${ displaystyle S}$ обозначают выборочное среднее и стандартное отклонение логарифмически преобразованных данных для выборки размера n, 95% доверительный интервал для ${ displaystyle mu}$ дан кем-то ${ displaystyle { bar {X}} pm t_ {n-1,0.975} S / { sqrt {(}} n)}$, куда ${ displaystyle t_ {m, 1- alpha}}$ обозначает ${ displaystyle 1- alpha}$ квантиль т-распределение с ${ displaystyle m}$ степени свободы. Также может быть интересным получение 95% верхней доверительной границы для среднего уровня свинца в воздухе. Такая граница для ${ displaystyle mu}$ дан кем-то ${ displaystyle { bar {X}} + t_ {n-1,0.95} S / { sqrt {n}}}$. Следовательно, верхний доверительный интервал 95% для медианного упреждения по воздуху определяется выражением ${ displaystyle exp { left ({ bar {X}} + t_ {n-1,0.95} S / { sqrt {n}} right)}}$. Теперь предположим, что мы хотим спрогнозировать уровень содержания свинца в воздухе в определенной области лаборатории. Верхний предел прогноза 95% для логарифмически преобразованного уровня опережения определяется выражением ${ displaystyle { bar {X}} + t_ {n-1,0.95} S { sqrt { left (1 + 1 / n right)}}}$. Аналогичным образом может быть вычислен интервал двустороннего прогнозирования. Значение и интерпретация этих интервалов хорошо известны. Например, если доверительный интервал ${ displaystyle { bar {X}} pm t_ {n-1,0.975} S / { sqrt {n}}}$ вычисляется повторно из независимых выборок, 95% вычисляемых интервалов будут включать истинное значение ${ displaystyle mu}$, в долгосрочной перспективе. Другими словами, интервал предназначен для предоставления информации о параметре. ${ displaystyle mu}$ Только. Интервал прогнозирования имеет аналогичную интерпретацию и предназначен для предоставления информации только об одном уровне интереса. Теперь предположим, что мы хотим использовать выборку, чтобы сделать вывод, действительно ли по крайней мере 95% уровней опережения населения ниже порогового значения. Доверительный интервал и интервал прогнозирования не могут ответить на этот вопрос, поскольку доверительный интервал предназначен только для среднего уровня опережения, а интервал прогнозирования - только для одного уровня опережения. Требуется интервал допуска; более конкретно, верхний предел допуска. Верхний предел допуска должен вычисляться при условии, что по крайней мере 95% уровней опережения популяции ниже предела с определенным уровнем достоверности, скажем, 99%.

Расчет

Односторонние интервалы нормального допуска имеют точное решение с точки зрения выборочного среднего и выборочной дисперсии на основе нецентральный т-распределение.^[10] Двусторонние интервалы нормальных допусков могут быть получены на основе нецентральное распределение хи-квадрат.^[10]

Смотрите также

• Инженерная терпимость
• Фактор безопасности

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Хан, Джеральд Дж .; Микер, Уильям Q .; Эскобар, Луис А. (2017). Статистические интервалы: руководство для практиков и исследователей (2-е изд.). John Wiley & Sons, Incorporated. ISBN  978-0-471-68717-7.

• К. Кришнамурти (2009). Статистические области допуска: теория, приложения и вычисления. Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-470-38026-0.; Глава. 1, «Предварительные сведения», можно найти на http://media.wiley.com/product_data/excerpt/68/04703802/0470380268.pdf
• Дерек С. Янг (август 2010 г.). "Допуск: пакет R для оценки интервалов допуска". Журнал статистического программного обеспечения. 36 (5): 1–39. ISSN  1548-7660. Получено 19 февраля 2013.
• ISO 16269-6, Статистическая интерпретация данных, Часть 6: Определение интервалов статистических допусков, Технический комитет ISO / TC 69, Применение статистических методов. Доступны на http://standardsproposals.bsigroup.com/home/getpdf/458