Тест Жарка – Бера - Jarque–Bera test

В статистика, то Тест Жарка – Бера это добродетель проверка того, имеют ли данные выборки перекос и эксцесс соответствие нормальное распределение. Тест назван в честь Карлос Ярке и Анил К. Бера.Статистика теста всегда неотрицательна. Если он далек от нуля, это означает, что данные не имеют нормального распределения.

В статистика теста JB определяется как

${ displaystyle { mathit {JB}} = { frac {n} {6}} left (S ^ {2} + { frac {1} {4}} (K-3) ^ {2} верно)}$

куда п - количество наблюдений (или степеней свободы в целом); S это образец перекос, K - образец эксцесс  :

${ displaystyle S = { frac {{ hat { mu}} _ {3}} {{ hat { sigma}} ^ {3}}} = { frac {{ frac {1} {n }} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {3}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} right) ^ {3/2}}},}$

${ displaystyle K = { frac {{ hat { mu}} _ {4}} {{ hat { sigma}} ^ {4}}} = { frac {{ frac {1} {n }} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {4}} { left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - { bar {x}}) ^ {2} right) ^ {2}}},}$

куда ${ displaystyle { hat { mu}} _ {3}}$ и ${ displaystyle { hat { mu}} _ {4}}$ оценки третьего и четвертого центральные моменты, соответственно, ${ displaystyle { bar {x}}}$ это образец иметь в виду, и${ Displaystyle { шляпа { sigma}} ^ {2}}$ оценка второго центрального момента, отклонение.

Если данные поступают из нормального распределения, JB статистика асимптотически имеет распределение хи-квадрат с двумя степени свободы, поэтому статистику можно использовать для тест гипотеза о том, что данные взяты из нормальное распределение. В нулевая гипотеза является совместной гипотезой о нулевой асимметрии и избыточный эксцесс быть нулевым. Образцы из нормального распределения имеют ожидаемую асимметрию 0 и ожидаемый избыточный эксцесс 0 (который совпадает с эксцессом 3). Как определение JB показывает, что любое отклонение от этого увеличивает статистику JB.

Для небольших выборок приближение хи-квадрат чрезмерно чувствительно, часто отвергая нулевую гипотезу, когда она верна. Кроме того, распределение п-значения отходит от равномерное распределение и становится наклоненный вправо одномодальное распределение, особенно для малых п-значения. Это приводит к большому Ошибка типа I ставка. В таблице ниже показаны некоторые п-значения, аппроксимированные распределением хи-квадрат, которые отличаются от их истинных альфа-уровней для небольших выборок.

Рассчитано п-значения, эквивалентные истинным альфа-уровням при заданном размере выборки

Истинный уровень α	20	30	50	70	100
0.1	0.307	0.252	0.201	0.183	0.1560
0.05	0.1461	0.109	0.079	0.067	0.062
0.025	0.051	0.0303	0.020	0.016	0.0168
0.01	0.0064	0.0033	0.0015	0.0012	0.002

(Эти значения были приблизительно рассчитаны с использованием Моделирование Монте-Карло в Matlab )

В MATLAB В реализации, приближение хи-квадрат для распределения статистики JB используется только для больших размеров выборки (> 2000). Для образцов меньшего размера используется таблица, полученная из Моделирование Монте-Карло чтобы интерполировать п-значения.^[1]

История

Статистические данные были получены Карлосом М. Ярке и Анил К. Бера во время работы над их докторской степенью. Диссертация в Австралийском национальном университете.

Тест Жарка – Бера в регрессионном анализе

По словам Роберта Холла, Дэвида Лилиена и др. (1995) при использовании этого теста вместе с множественным регрессионным анализом правильная оценка:

${ displaystyle { mathit {JB}} = { frac {nk} {6}} left (S ^ {2} + { frac {1} {4}} (K-3) ^ {2} верно)}$

куда п это количество наблюдений и k - количество регрессоров при изучении остатков уравнения.

Реализации

• АЛГЛИБ включает реализацию теста Жарка – Бера на C ++, C #, Delphi, Visual Basic и т. д.
• гретл включает реализацию теста Жарка-Бера
• Юля включает реализацию теста Жарка-Бера JarqueBeraTest в Гипотезы упаковка.^[2]
• MATLAB включает реализацию теста Жарка – Бера, функцию «jbtest».
• Python statsmodels включает реализацию теста Жарка – Бера, "statsmodels.stats.stattools.py".
• р включает реализации теста Жарка – Бера: jarque.bera.test в пакете серия,^[3] например, и jarque.test в пакете моменты.^[4]
• Вольфрам включает встроенную функцию JarqueBeraALMTest^[5] и не ограничивается тестированием на соответствие гауссовскому распределению.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Ярке, Карлос М.; Бера, Анил К. (1980). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии». Письма по экономике. 6 (3): 255–259. Дои:10.1016/0165-1765(80)90024-5.
• Ярке, Карлос М.; Бера, Анил К. (1981). «Эффективные тесты на нормальность, гомоскедастичность и серийную независимость остатков регрессии: доказательства Монте-Карло». Письма по экономике. 7 (4): 313–318. Дои:10.1016/0165-1765(81)90035-5.
• Ярке, Карлос М.; Бера, Анил К. (1987). «Тест на нормальность наблюдений и остатков регрессии». Международный статистический обзор. 55 (2): 163–172. JSTOR  1403192.
• Судить; и другие. (1988). Введение и теория и практика эконометрики (3-е изд.). С. 890–892.
• Холл, Роберт Э .; Лилиен, Дэвид М .; и другие. (1995). Руководство пользователя EViews. п. 141.