Корреляция рангов - Rank correlation

В статистика, а ранговая корреляция любая из нескольких статистических данных, которые измеряют порядковая ассоциация-отношения между рейтинги разных порядковый переменные или разные рейтинги одной и той же переменной, где «ранжирование» - это присвоение порядковых меток «первый», «второй», «третий» и т. д. различным наблюдениям за конкретной переменной. А коэффициент ранговой корреляции измеряет степень сходства между двумя рейтингами и может использоваться для оценки значение отношения между ними. Например, два общих непараметрический методы значимости, использующие ранговую корреляцию, являются U-критерий Манна – Уитни и Знаковый ранговый тест Вилкоксона.

Контекст

Если, например, одна переменная является идентификатором программы студенческого баскетбола, а другая переменная - идентификатором программы студенческого футбола, можно проверить взаимосвязь между рейтингами в опросах двух типов программ: колледжи с более высоким рейтингом. рейтинговая баскетбольная программа имеет тенденцию иметь более высокий рейтинг футбольной программы? Коэффициент ранговой корреляции может измерить эту взаимосвязь, а мера значимости коэффициента ранговой корреляции может показать, является ли измеренная взаимосвязь достаточно малой, чтобы, вероятно, быть совпадением.

Если существует только одна переменная, идентичность футбольной программы колледжа, но она подлежит двум разным рейтингам в опросах (например, один тренерами и одним спортивными обозревателями), то сходство рейтингов двух разных опросов может быть измерено с помощью коэффициент ранговой корреляции.

Другой пример: в Таблица сопряженности с низкий уровень дохода, средний доход, и высокий доход в строке переменная и уровень образования -нет средней школы, Средняя школа, Университет- в переменной столбца),^[1] ранговая корреляция измеряет взаимосвязь между доходом и уровнем образования.

Коэффициенты корреляции

Некоторые из наиболее популярных рангов корреляция статистика включает

1. Спирмена ρ
2. Кендалла τ
3. Γ Гудмана и Краскала
4. Somers 'D

Возрастающая ранговая корреляция коэффициент подразумевает растущее согласие между рейтингами. Коэффициент находится внутри интервала [−1, 1] и принимает значение:

• 1, если соответствие между двумя рейтингами идеальное; два рейтинга совпадают.
• 0, если рейтинги полностью независимы.
• −1, если расхождение между двумя рейтингами полное; один рейтинг противоположен другому.

Следующий Диаконис (1988), рейтинг можно рассматривать как перестановка из набор объектов. Таким образом, мы можем рассматривать наблюдаемые рейтинги как данные, полученные, когда пространство выборки (идентифицировано) симметричная группа. Затем мы можем ввести метрика, превращая симметрическую группу в метрическое пространство. Разные метрики будут соответствовать разным ранговым корреляциям.

Общий коэффициент корреляции

Кендалл 1970^[2] показал, что его ${ Displaystyle тау}$ (тау) и Спирмена ${ displaystyle rho}$ (rho) - частные случаи общего коэффициента корреляции.

Предположим, у нас есть набор ${ displaystyle n}$ объекты, которые рассматриваются в отношении двух свойств, представленных ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$, формируя наборы ценностей ${ Displaystyle {х_ {я} } _ {я leq п}}$ и ${ Displaystyle {у_ {я} } _ {я leq п}}$. Любой паре людей скажите ${ displaystyle i}$-го и ${ displaystyle j}$-го мы назначаем ${ displaystyle x}$-счет, обозначаемый ${ displaystyle a_ {ij}}$, а ${ displaystyle y}$-счет, обозначаемый ${ displaystyle b_ {ij}}$. Единственное требование к этим функциям - они должны быть антисимметричными, поэтому ${ displaystyle a_ {ij} = - a_ {ji}}$ и ${ displaystyle b_ {ij} = - b_ {ji}}$. (Обратите внимание, что в частности ${ displaystyle a_ {ij} = b_ {ij} = 0}$ если ${ displaystyle i = j}$.) Тогда обобщенный коэффициент корреляции ${ displaystyle Gamma}$ определяется как

${ displaystyle Gamma = { frac { sum _ {i, j = 1} ^ {n} a_ {ij} b_ {ij}} { sqrt { sum _ {i, j = 1} ^ {n } a_ {ij} ^ {2} sum _ {i, j = 1} ^ {n} b_ {ij} ^ {2}}}}}$

Эквивалентно, если все коэффициенты собраны в матрицы ${ displaystyle A = (a_ {ij})}$ и ${ displaystyle B = (b_ {ij})}$, с участием ${ displaystyle A ^ { extf {T}} = - A}$ и ${ Displaystyle B ^ { extf {T}} = - B}$, тогда

${ displaystyle Gamma = { frac { langle A, B rangle _ { rm {F}}} { | A | _ { rm {F}} | B | _ { rm { F}}}}}$

где ${ displaystyle langle A, B rangle _ { rm {F}}}$ это Внутренний продукт Фробениуса и ${ displaystyle | A | _ { rm {F}} = { sqrt { langle A, A rangle _ { rm {F}}}}}$ то Норма Фробениуса. В частности, общий коэффициент корреляции - это косинус угла между матрицами ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$.

Кендалла ${ Displaystyle тау}$ как частный случай

Если ${ displaystyle r_ {i}}$, ${ displaystyle s_ {i}}$ это ряды ${ displaystyle i}$-член согласно ${ displaystyle x}$-качество и ${ displaystyle y}$-качество соответственно, то можно определить

${ displaystyle a_ {ij} = operatorname {sgn} (r_ {j} -r_ {i}), quad b_ {ij} = operatorname {sgn} (s_ {j} -s_ {i}).}$

Сумма ${ displaystyle sum a_ {ij} b_ {ij}}$ - количество согласованных пар минус количество дискордантных пар (см. Коэффициент ранговой корреляции Кендалла тау ). Сумма ${ displaystyle sum a_ {ij} ^ {2}}$ просто ${ Displaystyle п (п-1) / 2}$, количество терминов ${ displaystyle a_ {ij}}$, как есть ${ displaystyle sum b_ {ij} ^ {2}}$. Таким образом, в этом случае

${ displaystyle Gamma = { frac {2 , (({ text {количество совпадающих пар}}) - ({ text {количество несовместимых пар}}))} {n (n-1)}} = { text {Кендаллс}} тау}$

Спирмена ${ displaystyle rho}$ как частный случай

Если ${ displaystyle r_ {i}}$, ${ displaystyle s_ {i}}$ это ряды ${ displaystyle i}$-член согласно ${ displaystyle x}$ и ${ displaystyle y}$-качество соответственно, мы можем просто определить

${ displaystyle a_ {ij} = r_ {j} -r_ {i}}$

${ displaystyle b_ {ij} = s_ {j} -s_ {i}}$

Суммы ${ displaystyle sum a_ {ij} ^ {2}}$ и ${ displaystyle sum b_ {ij} ^ {2}}$ равны, поскольку оба ${ displaystyle r_ {i}}$ и ${ displaystyle s_ {i}}$ диапазон от ${ displaystyle 1}$ к ${ displaystyle n}$. Тогда у нас есть:

${ displaystyle Gamma = { frac { sum (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} -s_ {i})} { sum (r_ {j} -r_ {i}) ^ {2}}}}$

сейчас же

${ displaystyle { begin {align} sum _ {i, j = 1} ^ {n} (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} -s_ {i}) & = sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {i} s_ {i} + sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} s_ {j} & - sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {i} s_ {j} - sum _ {i = 1} ^ {n} sum _ {j = 1} ^ {n} r_ {j} s_ {i} & = 2n sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} s_ {i} & - 2 sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} sum _ {j = 1} ^ {n} s_ {j} & = 2n sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} s_ {i} & - 2 ({ frac {1} {2}} n (n + 1)) ^ {2} & = 2n sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} s_ {i} - { frac {1} {2}} n ^ {2} (n + 1) ^ {2} конец {выровнено}}}$

У нас также есть

${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {n} (r_ {i} -s_ {i}) ^ {2} = 2 sum r_ {i} ^ {2} -2 sum r_ { i} s_ {i}}$

и, следовательно

${ displaystyle sum (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} -s_ {i}) = 2n sum r_ {i} ^ {2} - { frac {1} {2}} п ^ {2} (п + 1) ^ {2} -nS}$

${ Displaystyle сумма г_ {я} ^ {2}}$ будучи суммой квадратов первых ${ displaystyle n}$ Naturals равно ${ Displaystyle { гидроразрыва {1} {6}} п (п + 1) (2n + 1)}$. Таким образом, последнее уравнение сводится к

${ displaystyle sum (r_ {j} -r_ {i}) (s_ {j} -s_ {i}) = { frac {1} {6}} n ^ {2} (n ^ {2} - 1) -nS}$

В дальнейшем

${ displaystyle sum (r_ {j} -r_ {i}) ^ {2} = 2n sum r_ {i} ^ {2} -2 sum r_ {i} r_ {j}}$

${ displaystyle = 2n sum r_ {i} ^ {2} -2 ( sum r_ {i}) ^ {2} = { frac {1} {6}} n ^ {2} (n ^ {2 } -1)}$

и таким образом, подставив в исходную формулу эти результаты, получим

${ displaystyle Gamma _ {R} = 1 - { frac {6 sum d_ {i} ^ {2}} {n ^ {3} -n}}}$

где ${ displaystyle d_ {i} = r_ {i} -s_ {i},}$ разница между рангами.

что точно Коэффициент ранговой корреляции Спирмена ${ displaystyle rho}$.

Рангово-бисериальная корреляция

Джин Гласс (1965) отметил, что бисериал ранга может быть получен из формулы Спирмена. ${ displaystyle rho}$. «Можно вывести коэффициент, определенный на X, дихотомической переменной, и Y, ранжирующей переменной, которая оценивает ро Спирмена между X и Y так же, как бисериал r оценивает r Пирсона между двумя нормальными переменными» (стр. 91). Ранговая бисериальная корреляция была введена девятью годами ранее Эдвардом Кюртоном (1956) как мера ранговой корреляции, когда ранги делятся на две группы.

Формула простой разности Керби

Дэйв Керби (2014) рекомендовал бисериал рангов в качестве меры для ознакомления студентов с ранговой корреляцией, поскольку общую логику можно объяснить на вводном уровне. Бисериал ранга - это корреляция, используемая с U-критерий Манна – Уитни, метод, обычно описываемый на вводных курсах по статистике в колледжах. Данные для этого теста состоят из двух групп; и для каждого члена группы результат оценивается для исследования в целом.

Керби показал, что эту ранговую корреляцию можно выразить двумя понятиями: процент данных, подтверждающих высказанную гипотезу, и процент данных, не подтверждающих ее. Формула простой разности Керби утверждает, что ранговая корреляция может быть выражена как разница между долей благоприятных свидетельств (ж) за вычетом доли неблагоприятных доказательств (ты).

${ Displaystyle г = ф-у}$

Пример и интерпретация

Чтобы проиллюстрировать вычисления, предположим, что тренер тренирует бегунов на длинные дистанции в течение одного месяца, используя два метода. В группе A 5 бегунов, а в группе B 4 бегуна. Заявленная гипотеза заключается в том, что метод А дает более быстрых бегунов. Гонка для оценки результатов показывает, что бегуны из группы A действительно бегают быстрее, имея следующие ранги: 1, 2, 3, 4 и 6. Таким образом, более медленные бегуны из группы B имеют ранги 5, 7, 8, и 9.

Анализ проводится по парам, определяемым как член одной группы по сравнению с членом другой группы. Например, самый быстрый бегун в исследовании входит в четыре пары: (1,5), (1,7), (1,8) и (1,9). Все четыре пары поддерживают гипотезу, потому что в каждой паре бегун из группы A быстрее бегуна из группы B. Всего насчитывается 20 пар, и 19 пар подтверждают гипотезу. Единственная пара, которая не поддерживает гипотезу, - это двое бегунов с 5-м и 6-м рангами, потому что в этой паре бегун из группы B показал лучшее время. По формуле простой разности Керби 95% данных подтверждают гипотезу (19 из 20 пар), а 5% не поддерживают (1 из 20 пар), поэтому ранговая корреляция составляет r = 0,95 - 0,05 = 0,90 .

Максимальное значение корреляции r = 1, что означает, что 100% пар поддерживают гипотезу. Корреляция r = 0 показывает, что половина пар поддерживает гипотезу, а половина - нет; Другими словами, группы выборки не различаются по рангам, поэтому нет никаких доказательств того, что они происходят из двух разных популяций. Можно сказать, что величина эффекта r = 0 не описывает никакой связи между членством в группе и рангами членов.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кюретон, Эдвард Э. (1956). «Рангово-бисериальная корреляция». Психометрика. 21 (3): 287–290. Дои:10.1007 / BF02289138.
• Эверит, Б. С. (2002), Кембриджский статистический словарь, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-81099-X
• Диаконис, П. (1988), Групповые представления в вероятности и статистике, Конспект лекций - серия монографий, Хейворд, Калифорния: Институт математической статистики, ISBN  0-940600-14-5
• Гласс, Джин В. (1965). «Аналог ранжирующей переменной бисериальной корреляции: значение для краткого анализа элементов». Журнал образовательных измерений. 2 (1): 91–95. Дои:10.1111 / j.1745-3984.1965.tb00396.x.
• Кендалл, М. Г. (1970), Методы ранговой корреляции, Лондон: Гриффин, ISBN  0-85264-199-0
• Керби, Дэйв С. (2014). "Формула простой разности: подход к обучению непараметрической корреляции". Комплексная психология. 3 (1). Дои:10.2466 / 11.IT.3.1.

внешняя ссылка

• Краткое руководство экспериментального психолога Карла Л. Вюнша - Непараметрические размеры эффекта (Copyright 2015 by Karl L. Weunsch)