Симметричная группа - Symmetric group

А Граф Кэли симметрической группы S₄

Стол Кэли симметрической группы S₃
(Таблица умножения из матрицы перестановок )

Это позиции шести матриц:

Некоторые матрицы не расположены симметрично относительно главной диагонали, поэтому симметричная группа не является абелевой.

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу-)прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа Sп Кляйн четыре группы V Группа диэдра Dп Группа Quaternion Q Дициклическая группа Dicп
Дискретные группы Решетки Целые числа (Z) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2,Z) SL (2,Z) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологический и Группы Ли Соленоид Круг Общие линейные GL (п) Специальная линейная SL (п) Ортогональный O (п) Евклидово E (п) Специальные ортогональные ТАК(п) Унитарный U (п) Специальный унитарный SU (п) Симплектический Sp (п) грамм2 F4 E6 E7 E8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая

В абстрактная алгебра, то симметричная группа определяется над любым набор это группа чей элементы все биекции от набора к себе, и чей групповая операция это состав функций. В частности, конечная симметрическая группа ${ displaystyle S_ {n}}$ определяется над конечный набор из ${ displaystyle n}$ символы состоит из перестановки что может быть выполнено на ${ displaystyle n}$ символы.^[1] Поскольку есть ${ displaystyle n!}$ (${ displaystyle n}$ факториал ) таких операций перестановки порядок (количество элементов) симметрической группы ${ displaystyle S_ {n}}$ является ${ displaystyle n!}$.

Хотя симметрические группы могут быть определены на бесконечные множества, в этой статье рассматриваются конечные симметрические группы: их приложения, их элементы, их классы сопряженности, а конечное представление, их подгруппы, их группы автоморфизмов, и их представление теория. В оставшейся части этой статьи «симметрическая группа» будет означать симметрическую группу на конечном множестве.

Симметричная группа важна для различных областей математики, таких как Теория Галуа, теория инвариантов, то теория представлений групп Ли, и комбинаторика. Теорема Кэли заявляет, что каждая группа ${ displaystyle G}$ является изоморфный к подгруппа симметрической группы на ( базовый набор из) ${ displaystyle G}$.

Определение и первые свойства

Симметрическая группа на конечном множестве ${ displaystyle X}$ группа, все элементы которой являются биективными функциями из ${ displaystyle X}$ к ${ displaystyle X}$ и чья групповая операция совпадает с функциональная композиция.^[1] Для конечных множеств «перестановки» и «биективные функции» относятся к одной и той же операции, а именно к перестановке. Симметричная группа степень ${ displaystyle n}$ симметрическая группа на множестве ${ Displaystyle Х = {1,2, ldots, п }}$.

Симметрическая группа на множестве ${ displaystyle X}$ обозначается по-разному, в том числе ${ displaystyle S_ {X}}$, ${ Displaystyle { mathfrak {S}} _ {X}}$, ${ displaystyle Sigma _ {X}}$, ${ displaystyle X!}$ и ${ displaystyle operatorname {Sym} (X)}$.^[1] Если ${ displaystyle X}$ это набор ${ Displaystyle {1,2, ldots, п }}$ тогда имя может быть сокращено до ${ displaystyle S_ {n}}$, ${ displaystyle { mathfrak {S}} _ {n}}$, ${ displaystyle Sigma _ {n}}$, или же ${ displaystyle operatorname {Sym} (n)}$.^[1]

Симметричные группы на бесконечных множествах ведут себя совершенно иначе, чем симметрические группы на конечных множествах, и обсуждаются в (Скотт 1987, Гл. 11), (Диксон и Мортимер 1996, Гл. 8) и (Кэмерон 1999 ).

Симметрическая группа на множестве ${ displaystyle n}$ элементы имеют порядок ${ displaystyle n!}$ (в факториал из ${ displaystyle n}$).^[2] это абелевский если и только если ${ displaystyle n}$ меньше или равно 2.^[3] За ${ displaystyle n = 0}$ и ${ Displaystyle п = 1}$ (в пустой набор и одноэлементный набор ) симметрические группы равны банальный (у них есть порядок ${ displaystyle 0! = 1! = 1}$). Группа S_п является разрешимый если и только если ${ Displaystyle п leq 4}$. Это важная часть доказательства Теорема Абеля – Руффини это показывает, что для каждого ${ displaystyle n> 4}$ Существуют многочлены степени ${ displaystyle n}$ которые не решаются радикалами, то есть решения не могут быть выражены путем выполнения конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня над коэффициентами полинома.

Приложения

Симметричная группа на множестве размеров п это Группа Галуа генерального многочлен степени п и играет важную роль в Теория Галуа. В теория инвариантов симметрическая группа действует на переменные многомерной функции, а левоинвариантными функциями являются так называемые симметричные функции. в теория представлений групп Ли, то теория представлений симметрической группы играет фундаментальную роль через идеи Функторы Шура. В теории Группы Кокстера симметрическая группа - это группа Кокстера типа A_п и происходит как Группа Вейля из общая линейная группа. В комбинаторика, симметрические группы, их элементы (перестановки ), и их представления предоставляют богатый источник проблем, связанных с Молодые картины, пластические моноиды, а Заказ Брюа. Подгруппы симметрических групп называются группы перестановок и широко изучаются из-за их важности для понимания групповые действия, однородные пространства, и группы автоморфизмов из графики, такой как Группа Хигмана – Симса и График Хигмана – Симса.

Элементы

Элементы симметрической группы на множестве Икс являются перестановки из Икс.

Умножение

Групповая операция в симметричной группе есть функциональная композиция, обозначается символом ∘ или просто сопоставлением перестановок. Сочинение ж ∘ грамм перестановок ж и грамм, произносится "ж из грамм", отображает любой элемент Икс из Икс к ж(грамм(Икс)). Конкретно пусть (см. перестановка для пояснения обозначений):

${ displaystyle f = (1 3) (4 5) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 3 & 2 & 1 & 5 & 4 end {pmatrix}}}$

${ displaystyle g = (1 2 5) (3 4) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 5 & 4 & 3 & 1 end {pmatrix}}.}$

Применение ж после грамм отображает 1 сначала в 2, а затем 2 в себя; От 2 до 5, а затем до 4; От 3 до 4, затем до 5 и так далее. Так сочиняя ж и грамм дает

${ displaystyle fg = f circ g = (1 2 4) (3 5) = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 2 & 4 & 5 & 1 & 3 end {pmatrix}}.}$

А цикл длины L = k · м, доставлен в k-я степень, разложится на k циклы длины м: Например, (k = 2, м = 3),

${ Displaystyle (1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 5 ~ 6) ^ {2} = (1 ~ 3 ~ 5) (2 ~ 4 ~ 6).}$

Проверка групповых аксиом

Чтобы проверить, что симметрическая группа на множестве Икс действительно группа, необходимо проверить групповые аксиомы замыкания, ассоциативности, тождества и обратного.^[4]

1. Работа функциональная композиция замкнуто в множестве перестановок данного множества Икс.
2. Состав функций всегда ассоциативен.
3. Тривиальная биекция, которая присваивает каждому элементу Икс сам по себе служит идентичностью для группы.
4. У каждой биекции есть обратная функция который отменяет его действие, и, таким образом, каждый элемент симметричной группы действительно имеет инверсию, которая также является перестановкой.

Транспозиции

А транспозиция это перестановка, которая меняет местами два элемента и сохраняет все остальные неизменными; например (1 3) - это транспозиция. Каждая перестановка может быть записана как произведение транспозиций; например, перестановка грамм сверху можно записать как грамм = (1 2) (2 5) (3 4). С грамм может быть записано как произведение нечетного числа транспозиций, тогда это называется нечетная перестановка, в то время как ж - четная перестановка.

Представление перестановки как продукта транспозиций не уникально; однако количество транспозиций, необходимых для представления данной перестановки, всегда либо четное, либо всегда нечетное. Есть несколько коротких доказательств инвариантности этой четности перестановки.

Произведение двух четных перестановок четное, произведение двух нечетных перестановок четное, а все остальные произведения нечетные. Таким образом, мы можем определить знак перестановки:

${ displaystyle operatorname {sgn} f = { begin {cases} +1, & { text {if}} f { mbox {четно}} - 1, & { text {if}} f { text {нечетное}}. end {case}}}$

С этим определением

${ displaystyle operatorname {sgn} двоеточие mathrm {S} _ {n} rightarrow {+ 1, -1 } }$

это групповой гомоморфизм ({+1, –1} - группа относительно умножения, где +1 - e, нейтральный элемент ). В ядро этого гомоморфизма, т. е. множество всех четных перестановок, называется переменная группа А_п. Это нормальная подгруппа из S_п, и для п ≥ 2 она имеет п!/2 элементы. Группа S_п это полупрямой продукт из А_п и любая подгруппа, порожденная одной транспозицией.

Кроме того, каждая перестановка может быть записана как произведение смежные транспозиции, то есть транспозиции вида (а а+1). Например, перестановка грамм сверху также можно записать как грамм = (4 5)(3 4)(4 5)(1 2)(2 3)(3 4)(4 5). Алгоритм сортировки пузырьковая сортировка является приложением этого факта. Представление перестановки как произведения смежных транспозиций также не уникально.

Циклы

А цикл из длина k это перестановка ж для которого существует элемент Икс в 1, ..., п} такой, что Икс, ж(Икс), ж²(Икс), ..., ж^k(Икс) = Икс единственные элементы, перемещаемые ж; требуется, чтобы k ≥ 2 так как с k = 1 элемент Икс сам тоже не сдвинулся бы. Перестановка час определяется

${ displaystyle h = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 4 & 2 & 1 & 3 & 5 end {pmatrix}}}$

- цикл длины три, так как час(1) = 4, час(4) = 3 и час(3) = 1, оставив 2 и 5 нетронутыми. Обозначим такой цикл через (1 4 3), но с равным успехом можно было бы написать (4 3 1) или же (3 1 4) начиная с другой точки. Порядок цикла равен его длине. Циклы длины два - это транспозиции. Два цикла непересекающийся если они перемещают непересекающиеся подмножества элементов. Непересекающиеся циклы ездить: например, в S₆ есть равенство (4 1 3)(2 5 6) = (2 5 6)(4 1 3). Каждый элемент S_п может быть записано как произведение непересекающихся циклов; это представление уникально вплоть до порядок факторов и свобода представления каждого отдельного цикла путем выбора его начальной точки.

Циклы допускают следующее свойство сопряжения с любой перестановкой ${ displaystyle sigma}$, это свойство часто используется для получения генераторы и отношения.

${ displaystyle sigma { begin {pmatrix} a & b & c & ldots end {pmatrix}} sigma ^ {- 1} = { begin {pmatrix} sigma (a) & sigma (b) & sigma (c ) & ldots end {pmatrix}}}$

Специальные элементы

Некоторые элементы симметрической группы {1, 2, ..., п} представляют особый интерес (их можно обобщить на симметрическую группу любого конечного полностью упорядоченного множества, но не на группу неупорядоченного множества).

В перестановка с изменением порядка это тот, который дается:

${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 2 & cdots & n n & n-1 & cdots & 1 end {pmatrix}}.}$

Это единственный максимальный элемент по отношению к Заказ Брюа исамый длинный элемент в симметричной группе относительно порождающего множества, состоящего из смежных транспозиций (я я+1), 1 ≤ я ≤ п − 1.

Это инволюция, состоящая из ${ Displaystyle lfloor п / 2 rfloor}$ (несмежные) транспозиции

${ displaystyle (1 , n) (2 , n-1) cdots, { text {или}} sum _ {k = 1} ^ {n-1} k = { frac {n (n -1)} {2}} { text {смежные транспозиции:}}}$

${ Displaystyle (п , п-1) (п-1 , п-2) компакт-дисков (2 , 1) (п-1 , п-2) (п-2 , п-3) cdots,}$

поэтому он имеет знак:

${ displaystyle mathrm {sgn} ( rho _ {n}) = (- 1) ^ { lfloor n / 2 rfloor} = (- 1) ^ {n (n-1) / 2} = { begin {case} + 1 & n Equiv 0,1 { pmod {4}} - 1 & n Equiv 2,3 { pmod {4}} end {cases}}}$

который является 4-периодическим по п.

В S_2п, то идеальное перемешивание - это перестановка, которая разбивает набор на 2 стопки и чередует их. Его знак также ${ displaystyle (-1) ^ { lfloor n / 2 rfloor}.}$

Обратите внимание, что обратное на п элементы и идеальное перемешивание на 2п элементы имеют одинаковый знак; они важны для классификации Алгебры Клиффорда, которые 8-периодичны.

Классы сопряженности

В классы сопряженности из S_п соответствуют циклическим структурам перестановок; то есть два элемента S_п сопряжены в S_п тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа непересекающихся циклов одинаковой длины. Например, в S₅, (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) сопряжены; (1 2 3) (4 5) и (1 2) (4 5) не являются. Сопрягающий элемент S_п могут быть построены в «двухстрочной записи», помещая «обозначения цикла» двух сопряженных перестановок друг на друга. Продолжая предыдущий пример:

${ displaystyle k = { begin {pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 1 & 4 & 3 & 2 & 5 end {pmatrix}}}$

которое можно записать как произведение циклов, а именно: (2 4).

Эта перестановка затем связывает (1 2 3) (4 5) и (1 4 3) (2 5) через сопряжение, то есть

${ Displaystyle (2 ~ 4) circ (1 ~ 2 ~ 3) (4 ~ 5) circ (2 ~ 4) = (1 ~ 4 ~ 3) (2 ~ 5).}$

Понятно, что такая перестановка не уникальна.

Группы низкой степени

Симметрические группы низкой степени имеют более простую и исключительную структуру, и их часто приходится рассматривать отдельно.

S₀ и S₁

Симметрические группы на пустой набор и одноэлементный набор тривиальны, что соответствует 0! = 1! = 1. В этом случае альтернирующая группа согласуется с симметричной группой, а не является подгруппой индекса 2, и отображение знаков тривиально. В случае S₀, его единственным членом является пустая функция.

S₂

Эта группа состоит ровно из двух элементов: тождества и перестановки двух точек. Это циклическая группа и таким образом абелевский. В Теория Галуа, это соответствует тому, что квадратичная формула дает прямое решение общей квадратичный многочлен после извлечения только одного корня. В теория инвариантов, теория представления симметрической группы в двух точках довольно проста и рассматривается как запись функции двух переменных в виде суммы ее симметричной и антисимметричной частей: ж_s(Икс, у) = f (Икс, у) + f (у, Икс), и ж_а(Икс, у) = ж(Икс, у) − ж(у, Икс), получается, что 2⋅ж = ж_s + ж_а. Этот процесс известен как симметризация.

S₃

S₃ - первая неабелева симметрическая группа. Эта группа изоморфна группе диэдральная группа порядка 6, группа симметрий отражения и вращения равносторонний треугольник, поскольку эти симметрии переставляют три вершины треугольника. Циклы длины два соответствуют отражениям, а циклы длины три - вращениям. В теории Галуа отображение знаков из S₃ к S₂ соответствует разрешающей квадратичной для a кубический многочлен, как обнаружено Джероламо Кардано, а A₃ ядро соответствует использованию дискретное преобразование Фурье порядка 3 в решении в виде Резольвенты Лагранжа.^{[нужна цитата ]}

S₄

Группа S₄ изоморфна группе собственных поворотов вокруг противоположных граней, противоположных диагоналей и противоположных краев, 9, 8 и 6 перестановки куб.^[5] За пределами группы А₄, S₄ имеет Кляйн четыре группы V как собственно нормальная подгруппа, а именно четные транспозиции {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, с фактором S₃. В Теория Галуа, это отображение соответствует разрешающей кубике полином четвертой степени, что позволяет решить квартику радикалами, как установлено Лодовико Феррари. Группу Клейна можно понять с точки зрения Резольвенты Лагранжа квартик. Карта из S₄ к S₃ также дает 2-мерное неприводимое представление, которое является неприводимым представлением симметрической группы степени п размера ниже п − 1, что происходит только для п = 4.

S₅

S₅ первая неразрешимая симметрическая группа. Вместе с специальная линейная группа SL (2, 5) и группа икосаэдров А₅ × S₂, S₅ является одной из трех неразрешимых групп порядка 120 с точностью до изоморфизма. S₅ это Группа Галуа генерального уравнение пятой степени, и тот факт, что S₅ это не разрешимая группа означает отсутствие общей формулы для решения пятые полиномы радикалами. Есть экзотическая карта включения S₅ → S₆ как транзитивная подгруппа; очевидная карта включения S_п → S_п+1 фиксирует точку и, следовательно, не является переходным. Это дает внешний автоморфизм S₆, обсуждаемая ниже, и соответствует резольвентной секстике квинтики.

S₆

В отличие от всех других симметрических групп, S₆, имеет внешний автоморфизм. Используя язык Теория Галуа, это также можно понять с точки зрения Резольвенты Лагранжа. Резольвента квинтики имеет степень 6 - это соответствует экзотическому отображению включения S₅ → S₆ как транзитивная подгруппа (очевидное отображение включения S_п → S_п+1 фиксирует точку и, следовательно, не является транзитивным), и, хотя это отображение не делает общую квинтику разрешимой, оно дает экзотический внешний автоморфизм S₆-видеть автоморфизмы симметрической и знакопеременной групп для подробностей.

Обратите внимание, что пока A₆ и А₇ иметь исключительный Множитель Шура (а тройное покрытие ) и что они распространяются на тройные накрытия S₆ и S₇, они не соответствуют исключительным мультипликаторам Шура симметрической группы.

Карты между симметричными группами

Помимо тривиальной карты S_п → С₁ ≅ S₀ ≅ S₁ и карта знаков S_п → S₂, наиболее заметные гомоморфизмы между симметрическими группами, в порядке относительный размер, находятся:

• S₄ → S₃ соответствующая исключительной нормальной подгруппе V 4 4;
• S₆ → S₆ (точнее, класс таких отображений с точностью до внутреннего автоморфизма), соответствующий внешнему автоморфизму S₆.
• S₅ → S₆ как транзитивная подгруппа, что дает внешний автоморфизм группы S₆ как обсуждалось выше.

Есть также множество других гомоморфизмов S_м → S_п куда п > м.

Отношения с переменной группой

За п ≥ 5, то переменная группа А_п является просто, а индуцированный фактор - это отображение знаков: А_п → S_п → S₂ который разбивается путем перестановки двух элементов. Таким образом, S_п является полупрямым продуктом А_п ⋊ S₂, и не имеет других собственных нормальных подгрупп, поскольку они пересекали бы A_п либо в тождестве (и, таким образом, сами являются тождеством или двухэлементной группой, что не нормально), либо в A_п (и, таким образом, сами являются A_п или S_п).

S_п действует на своей подгруппе A_п по спряжению, а для п ≠ 6, S_п - полная группа автоморфизмов A_п: Aut (A_п) ≅ S_п. Спряжение четными элементами внутренние автоморфизмы из А_п в то время как внешний автоморфизм из А_п порядка 2 соответствует сопряжению нечетным элементом. За п = 6, существует исключительный внешний автоморфизм из А_п так что S_п не является полной группой автоморфизмов A_п.

Наоборот, для п ≠ 6, S_п не имеет внешних автоморфизмов, а для п ≠ 2 у него нет центра, поэтому для п ≠ 2, 6 это полная группа, как обсуждалось в группа автоморфизмов, ниже.

За п ≥ 5, S_п является почти простая группа, поскольку он лежит между простой группой A_п и его группа автоморфизмов.

S_п можно вложить в A_п+2 добавив транспонирование (п + 1, п + 2) ко всем нечетным перестановкам, а вложение в A_п+1 невозможно для п > 1.

Генераторы и отношения

Симметрическая группа на п буквы генерируются смежные транспозиции ${ Displaystyle sigma _ {я} = (я, я + 1)}$ этот обмен я и я + 1.^[6] Коллекция ${ displaystyle sigma _ {1}, ldots, sigma _ {n-1}}$ генерирует S_п при соблюдении следующих отношений:^[7]

• ${ Displaystyle sigma _ {я} ^ {2} = 1,}$
• ${ Displaystyle sigma _ {я} sigma _ {j} = sigma _ {j} sigma _ {я}}$ за ${ displaystyle | i-j |> 1}$, и
• ${ Displaystyle ( sigma _ {я} sigma _ {я + 1}) ^ {3} = 1,}$

где 1 представляет собой тождественную перестановку. Это представление наделяет симметрическую группу структурой Группа Коксетера (а также группа отражения ).

Другие возможные генераторные установки включают набор транспозиций, которые меняют местами 1 и я за 2 ≤ я ≤ п,^{[нужна цитата ]} и набор, содержащий любые п-цикл и 2-цикл смежных элементов в п-цикл.^[8]

Структура подгруппы

А подгруппа симметрической группы называется группа перестановок.

Нормальные подгруппы

В нормальные подгруппы конечных симметрических групп хорошо изучены. Если п ≤ 2, S_п имеет не более 2 элементов и поэтому не имеет нетривиальных собственных подгрупп. В переменная группа степени п всегда нормальная подгруппа, подходящая для п ≥ 2 и нетривиально для п ≥ 3; за п ≥ 3 это фактически единственная неединичная собственная нормальная подгруппа в S_п, кроме случаев, когда п = 4 где есть еще одна такая нормальная подгруппа, которая изоморфна Кляйн четыре группы.

Симметрическая группа на бесконечном множестве не имеет подгруппы индекса 2, так как Виталий (1915^[9]) доказал, что каждую перестановку можно записать как произведение трех квадратов. Однако он содержит нормальную подгруппу S перестановок, которые фиксируют все элементы, кроме конечного числа, порождаемые транспозициями. Эти элементы S которые являются продуктами четного числа транспозиций, образуют подгруппу индекса 2 в S, называемая знакопеременной подгруппой А. С А это даже характеристическая подгруппа из S, это также нормальная подгруппа полной симметрической группы бесконечного множества. Группы А и S являются единственными неединичными собственными нормальными подгруппами симметрической группы на счетно бесконечном множестве. Впервые это было доказано Онофри (1929^[10]) и независимо Шрайер -Улам (1934^[11]). Подробнее см. (Скотт 1987, Гл. 11.3) или (Диксон и Мортимер 1996, Гл. 8.1).

Максимальные подгруппы

Эта секция нуждается в расширении. Вы можете помочь добавляя к этому. (Сентябрь 2009 г.)

В максимальные подгруппы конечных симметрических групп делятся на три класса: непереходные, импримитивные и примитивные. Непереходные максимальные подгруппы - это в точности подгруппы вида Сим (k) × Sym (п − k) за 1 ≤ k < п/2. Импримитивные максимальные подгруппы - это в точности подгруппы вида Sym (k) wr Sym (п/k) куда 2 ≤ k ≤ п/2 является собственным делителем п а "wr" обозначает венок действует импринитивно. Примитивные максимальные подгруппы выделить труднее, но с помощью Теорема О'Нана – Скотта и классификация конечных простых групп, (Liebeck, Praeger & Saxl 1988 г. ) дали достаточно удовлетворительное описание максимальных подгрупп этого типа согласно (Диксон и Мортимер 1996, п. 268).

Силовские подгруппы

В Силовские подгруппы симметрических групп являются важными примерами п-группы. Их легче сначала описать в особых случаях:

Силовский п-подгруппы симметрической группы степени п - это просто циклические подгруппы, порожденные п-циклы. Есть (п − 1)!/(п − 1) = (п − 2)! такие подгруппы просто путем подсчета генераторов. В нормализатор поэтому имеет порядок п·(п − 1) и известен как Группа Фробениуса F_п(п−1) (особенно для п = 5), и является аффинная общая линейная группа, AGL (1, п).

Силовский п-подгруппы симметрической группы степени п² являются венок двух циклических групп порядка п. Например, когда п = 3, силовская 3-подгруппа в Sym (9) порождается а = (1 4 7)(2 5 8)(3 6 9) и элементы Икс = (1 2 3), у = (4 5 6), z = (7 8 9), и каждый элемент силовской 3-подгруппы имеет вид а^яИкс^jу^kz^л для 0 ≤ я,j,k,л ≤ 2.

Силовский п-подгруппы симметрической группы степени п^п иногда обозначают W_п(п), и в этих обозначениях имеем W_п(п + 1) - сплетение W_п(п) и W_п(1).

В целом силовский п-подгруппы симметрической группы степени п являются прямым продуктом а_я копии W_п(я), где 0 ≤ а_я ≤ п - 1 и п = а₀ + п·а₁ + ... + п^k·а_k (база п расширение п).

Например, W₂(1) = С₂ и W₂(2) = D₈, то диэдральная группа порядка 8, поэтому силовская 2-подгруппа симметрической группы степени 7 порождается { (1,3)(2,4), (1,2), (3,4), (5,6) } и изоморфен D₈ × С₂.

Эти расчеты относятся к (Калужнин 1948 ) и более подробно описано в (Ротман 1995, п. 176) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFRotman1995 (помощь). Однако обратите внимание, что (Кербер 1971, п. 26) приписывает результат работе 1844 г. Коши, и упоминает, что это даже описано в форме учебника в (Нетто 1882, §39–40).

Транзитивные подгруппы

А транзитивная подгруппа из S_п - подгруппа, действие которой на {1, 2`` ...,п} является переходный. Например, группа Галуа группы (конечный ) Расширение Галуа является транзитивной подгруппой в S_п, для некоторых п.

Теорема Кэли

Теорема Кэли заявляет, что каждая группа грамм изоморфна подгруппе некоторой симметрической группы. В частности, можно взять подгруппу симметрической группы на элементах грамм, поскольку каждая группа действует точно на себя умножением (левым или правым).

Группа автоморфизмов

За п ≠ 2, 6, S_п это полная группа: это центр и группа внешних автоморфизмов оба тривиальны.

За п = 2, группа автоморфизмов тривиальна, но S₂ нетривиален: он изоморфен C₂, которая является абелевой, а значит, центром является вся группа.

За п = 6, он имеет внешний автоморфизм порядка 2: Выход (S₆) = C₂, а группа автоморфизмов является полупрямым произведением Aut (S₆) = S₆ ⋊ C₂.

Фактически для любого набора Икс мощности, отличной от 6, каждый автоморфизм симметрической группы на Икс является внутренним, результат первым из-за (Шрайер и Улам, 1937 г. ) Ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFSchreierUlam1937 (помощь) в соответствии с (Диксон и Мортимер 1996, п. 259).

Гомология

В групповая гомология из S_п достаточно регулярна и стабилизируется: первые гомологии (конкретно, абелианизация ) является:

${ displaystyle H_ {1} ( mathrm {S} _ {n}, mathbf {Z}) = { begin {cases} 0 & n <2 mathbf {Z} / 2 & n geq 2. end { случаи}}}$

Первая группа гомологий является абелианизацией и соответствует знаковому отображению S_п → S₂ что является абелианизацией для п ≥ 2; за п <2 симметрическая группа тривиальна. Эти гомологии легко вычисляются следующим образом: S_п порождается инволюциями (2-циклами, имеющими порядок 2), поэтому единственные нетривиальные отображения S_п → С_п к S₂ и все инволюции сопряжены, следовательно, отображаются в один и тот же элемент в абелианизации (поскольку сопряжение тривиально в абелевых группах). Таким образом, единственно возможные карты S_п → S₂ ≅ {±1} отправить инволюцию в 1 (тривиальное отображение) или в -1 (знаковое отображение). Также необходимо показать, что знаковое отображение хорошо определено, но, предполагая, что это дает первые гомологии S_п.

Вторая гомология (конкретно, Множитель Шура ) является:

${ displaystyle H_ {2} ( mathrm {S} _ {n}, mathbf {Z}) = { begin {cases} 0 & n <4 mathbf {Z} / 2 & n geq 4. end { случаи}}}$

Это было вычислено в (Щур 1911 ) и соответствует двойное покрытие симметричной группы, 2 · S_п.

Обратите внимание, что исключительный низкоразмерные гомологии знакопеременной группы (${ Displaystyle H_ {1} ( mathrm {A} _ {3}) cong H_ {1} ( mathrm {A} _ {4}) cong mathrm {C} _ {3},}$ соответствующая нетривиальной абелианизации, и ${ Displaystyle H_ {2} ( mathrm {A} _ {6}) cong H_ {2} ( mathrm {A} _ {7}) cong mathrm {C} _ {6},}$ из-за исключительного 3-кратного покрытия) не меняет гомологии симметрической группы; чередующиеся групповые явления действительно приводят к симметричным групповым явлениям - карта ${ displaystyle mathrm {A} _ {4} twoheadrightarrow mathrm {C} _ {3}}$ распространяется на ${ displaystyle mathrm {S} _ {4} twoheadrightarrow mathrm {S} _ {3},}$ и тройные накрытия A₆ и А₇ распространяются на тройные накрытия S₆ и S₇ - но это не гомологический - карта ${ displaystyle mathrm {S} _ {4} twoheadrightarrow mathrm {S} _ {3}}$ не меняет абелианизацию S₄, и тройные накрытия тоже не соответствуют гомологиям.

Гомология «стабилизируется» в смысле стабильная гомотопия теория: есть карта включения S_п → S_п+1, а для фиксированных k, индуцированное отображение на гомологиях ЧАС_k(S_п) → ЧАС_k(S_п+1) является изоморфизмом при достаточно высоких п. Это аналогично гомологии семейств Группы Ли стабилизирующий.

Гомологии бесконечной симметрической группы вычисляются в (Накаока 1961 ), с алгеброй когомологий, образующей Алгебра Хопфа.

Теория представлений

В теория представлений симметрической группы частный случай теория представлений конечных групп, для которого может быть получена конкретная и подробная теория. Это имеет большую область потенциальных приложений, начиная с симметричная функция теории к проблемам квантовая механика для ряда идентичные частицы.

Симметрическая группа S_п есть заказ п!. Его классы сопряженности помечены перегородки изп. Следовательно, согласно теории представлений конечной группы, число неэквивалентных неприводимые представления, над сложные числа, равно количеству разбиенийп. В отличие от общей ситуации для конечных групп, на самом деле существует естественный способ параметризации неприводимого представления тем же множеством, которое параметризует классы сопряженности, а именно разбиением п или эквивалентно Диаграммы Юнга размерап.

Каждое такое неприводимое представление может быть реализовано над целыми числами (каждая перестановка действует матрицей с целыми коэффициентами); его можно явно построить, вычислив Юные симметризаторы действуя в пространстве, порожденном Молодые картины формы, заданной диаграммой Юнга.

По сравнению с другими поля ситуация может значительно усложниться. Если поле K имеет характеристика равно нулю или больше п затем по Теорема Машке в групповая алгебра KS_п полупростой. В этих случаях неприводимые представления, определенные над целыми числами, дают полный набор неприводимых представлений (после редукции по модулю характеристики, если это необходимо).

Однако неприводимые представления симметрической группы в произвольной характеристике неизвестны. В этом контексте более обычным является использование языка модули а не представления. Представление, полученное из неприводимого представления, определенного над целыми числами путем сведения по модулю характеристики, в общем случае не будет неприводимым. Построенные таким образом модули называются Модули Specht, и всякое неприводимое возникает внутри некоторого такого модуля. Сейчас меньше неприводимых, и хотя их можно классифицировать, они очень плохо изучены. Например, даже их размеры не известны вообще.

Определение неприводимых модулей для симметрической группы над произвольным полем широко считается одной из важнейших открытых проблем теории представлений.

Смотрите также

• Группа кос
• История теории групп
• Знаковая симметричная группа и Обобщенная симметрическая группа
• Симметрия в квантовой механике § Симметрия обмена или перестановочная симметрия
• Симметричная обратная полугруппа
• Симметричная мощность

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Симметричная группа», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Симметричная группа». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Симметричный групповой граф». MathWorld.
• Маркус дю Сотуа: симметрия, загадка реальности (видео беседы)
• OEIS Записи, относящиеся к симметричной группе