Таблица умножения - Multiplication table

Таблица умножения от 1 до 10 в масштабе с верхней правой половиной, помеченной множителями на простые множители

В математика, а Таблица умножения (иногда менее формально таблица умножения) это математическая таблица используется для определения умножение операция для алгебраической системы.

В десятичная дробь Таблица умножения традиционно преподавалась как неотъемлемая часть элементарной арифметики во всем мире, поскольку она закладывает основу для арифметических операций с числами с основанием десять. Многие педагоги считают, что таблицу нужно запоминать до 9х9.^[1]

История

В Бамбуковые шлепанцы Tsinghua, Китайский Воюющие государства эпоха десятичная таблица умножения 305 г. до н.э.

Самые старые известные таблицы умножения использовались Вавилоняне около 4000 лет назад.^[2] Однако они использовали базу 60.^[2] Самые старые известные таблицы с основанием 10 - это Китайский десятичная таблица умножения на бамбуковых полосках датируется 305 г. до н.э., во времена Воюющие государства период.^[2]

«Таблица Пифагора» на Кости Напьера^[3]

Таблицу умножения иногда приписывают древнегреческому математику. Пифагор (570–495 гг. До н.э.). Ее также называют Таблицей Пифагора на многих языках (например, французском, итальянском и русском), иногда на английском.^[4] В Греко-римский математик Нихомах (60–120 гг. Н.э.), последователь Неопифагореизм, включил таблицу умножения в свой Введение в арифметику, тогда как самые старые из сохранившихся Греческий Таблица умножения находится на восковой табличке, датируемой I веком нашей эры и в настоящее время хранящейся в британский музей.^[5]

В 493 году нашей эры Викториус Аквитанский написал таблицу умножения из 98 столбцов, которая дала (в римские цифры ) произведение каждого числа от 2 до 50 раз и строки представляли собой "список чисел, начиная с тысячи, убывая от сотен до ста, затем убывая от десятков до десяти, затем от единиц к одному, а затем дроби вниз. до 1/144 ".^[6]

В своей книге 1820 года Философия арифметики,^[7] математик Джон Лесли опубликовала таблицу умножения до 99 × 99, которая позволяет умножать числа попарно за один раз. Лесли также рекомендовала маленьким ученикам запоминать таблицу умножения до 50 × 50. На рисунке ниже показана таблица до 12 × 12, который обычно используется в школах.

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

Традиционный зубрежки умножения основывалось на запоминании столбцов в таблице в виде

   1 × 10 = 10
   2 × 10 = 20
   3 × 10 = 30
   4 × 10 = 40
   5 × 10 = 50
   6 × 10 = 60
   7 × 10 = 70
   8 × 10 = 80
   9 × 10 = 90

Эта форма записи таблицы умножения в столбцы с полными числовыми предложениями все еще используется в некоторых странах, таких как Босния и Герцеговина,^{[нужна цитата ]} вместо современной сетки выше.

Узоры в таблицах

В таблице умножения есть образец, который может помочь людям легче запоминать таблицу. Он использует цифры ниже:

	4	5	6
→					→
↑	1	2	3	↓	↑	2		4	↓
	7	8	9			6		8
←					←
	0		5				0
Рисунок 1: Нечетный					Рисунок 2: Даже

Циклы единичной цифры кратных целых чисел, оканчивающихся на 1, 3, 5 и 7 (верхняя строка) и 2, 4, 6 и 8 (нижняя строка) на клавиатура телефона

Рисунок 1 используется для кратных 1, 3, 7 и 9. Рисунок 2 используется для кратных 2, 4, 6 и 8. Эти шаблоны можно использовать для запоминания кратных любых чисел от 0 до 10, кроме 5. Так же, как вы начинаете с числа, которое вы умножаете, при умножении на 0 вы остаетесь на 0 (0 является внешним, поэтому стрелки не влияют на 0, в противном случае 0 используется как ссылка для создания вечного цикла ). Шаблон также работает с числами, кратными 10, начиная с 1 и просто прибавляя 0, получая 10, а затем просто применяйте каждое число в шаблоне к единице «десятки», как обычно, как обычно, к единице «единицы».

Например, чтобы вспомнить все числа, кратные 7:

Посмотрите на цифру 7 на первой картинке и следуйте по стрелке.
Следующее число в направлении стрелки - 4. Так что подумайте о следующем числе после 7, которое заканчивается на 4, то есть 14.
Следующее число в направлении стрелки - 1. Подумайте о следующем числе после 14, которое заканчивается на 1, то есть 21.
Добравшись до вершины этого столбца, начните с нижней части следующего столбца и двигайтесь в том же направлении. Число 8. Итак, подумайте о следующем числе после 21, которое заканчивается на 8, то есть 28.
Действуйте таким же образом до последнего числа 3, соответствующего 63.
Затем используйте 0 внизу. Это соответствует 70.
Затем начните снова с 7. На этот раз он будет соответствовать 77.
Продолжайте так.

Умножение на 6 до 10

Вычисление 9 × 8 и 7 × 6

Умножая два целых числа, каждое от 6 до 10, можно получить с помощью пальцев следующим образом:

Пронумеруйте пальцы рук от 10 до 6, затем от 6 до 10 слева направо, как на рисунке.
Согните палец или большой палец на каждой руке, соответствующий каждому числу, и все пальцы между ними.
Количество согнутых пальцев дает цифру десятков.
К вышесказанному добавлен продукт разогнутых пальцев с левой и правой стороны.

Умножение на 9

Расчет 9 × 8

Умножение 9 на целое число от 1 до 10 также может быть достигнуто следующим образом:

Пронумеруйте пальцы от 1 до 10 слева направо.
Согните палец, соответствующий номеру.
Количество пальцев слева от изгиба дает цифру десятков. (если нет, цифра равна нулю).
Количество пальцев справа от изгиба дает цифру единиц измерения (если нет, цифра равна нулю).

В абстрактной алгебре

Таблицы также могут определять бинарные операции над группы, поля, кольца, и другие алгебраические системы. В таком контексте их можно назвать Столы Кэли. Вот таблицы сложения и умножения для конечное поле Z₅.

Для каждого натурального числа п, существуют также таблицы сложения и умножения для кольца Z_п.

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

Для других примеров см. группа, и октонион.

Китайская таблица умножения

Китайская таблица умножения состоит из восьмидесяти одного предложения с четырьмя или пятью китайскими иероглифами в каждом предложении, что позволяет детям легко заучивать наизусть. Более короткая версия таблицы состоит всего из сорока пяти предложений, поскольку такие термины, как «девять восьмерок порождают семьдесят два», идентичны «восемь девяток порождают семьдесят два», поэтому нет необходимости заучивать их дважды. Минимальная версия, удаляющая все предложения типа «один», состоит всего из тридцати шести предложений, что чаще всего используется в школах Китая. Часто это в таком порядке: 2x2 = 4, 2x3 = 6, ..., 2x8 = 16, 2x9 = 18, 3x3, 3x4, ..., 3x9, 4x4, ..., 4x9, 5x5, ..., 9x9

Бамбуковые палочки для умножения десятичных чисел воюющих государств

Связка из 21 бамбуковой палочки, датированная 305 г. до н.э. в Воюющие государства период в Бамбуковые шлепанцы Tsinghua (清华简) Коллекция - это самый ранний известный в мире пример десятичной таблицы умножения.^[8]

Современное представление десятичной таблицы умножения воюющих государств, используемой для вычисления 12 × 34,5.

Реформа математики на основе стандартов в США

В 1989 г. Национальный совет учителей математики (NCTM) разработали новые стандарты, основанные на убеждении, что все учащиеся должны овладевать навыками мышления более высокого порядка, и рекомендовали уменьшить акцент на преподавании традиционных методов, основанных на механическом запоминании, таких как таблицы умножения. Широко распространенные тексты, такие как Исследования в числах, данных и пространстве (широко известный как TERC после его производителя, Исследовательские центры технического образования) не включили такие вспомогательные средства, как таблицы умножения в ранних изданиях. NCTM четко заявили об этом в 2006 году. Точки фокуса что основные математические факты необходимо усвоить, хотя нет единого мнения о том, является ли механическое запоминание лучшим методом.

Смотрите также

Таблица деления
Китайская таблица умножения
Ведический квадрат
IBM 1620, ранний компьютер, который использовал таблицы, хранящиеся в памяти, для выполнения сложения и умножения

использованная литература

^ Триветт, Джон (1980), «Таблица умножения: запомнить или усвоить!», Для изучения математики, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.
^ ^а ^б ^c Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука». Новости природы. Дои:10.1038 / природа.2014.14482.
^ Wikisource: Страница: Popular Science Monthly Volume 26.djvu / 467
^ например в Элементарный трактат по арифметике от Джон Фаррар
^ Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики. Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 г.), ISBN 0-486-20429-4С. 58, 129.
^ Дэвид В. Махер и Джон Ф. Маковски. «Литературное свидетельство римской арифметики с дробями». Классическая филология, 96/4 (октябрь 2001 г.), стр. 383.
^ Лесли, Джон (1820). Философия арифметики; Демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику вычислений с таблицами для умножения чисел до одной тысячи. Эдинбург: Абернети и Уокер.
^ Природа статья Матрица, которой 2300 лет, является старейшей в мире таблицей умножения после запятой.

[1] Триветт, Джон (1980), «Таблица умножения: запомнить или усвоить!», Для изучения математики, 1 (1): 21–25, JSTOR 40247697.

[Qiu-2] а ^б ^c Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука». Новости природы. Дои:10.1038 / природа.2014.14482.

[3] Wikisource: Страница: Popular Science Monthly Volume 26.djvu / 467

[4] например в Элементарный трактат по арифметике от Джон Фаррар

[5] Дэвид Э. Смит (1958), История математики, Том I: Общий обзор истории элементарной математики. Нью-Йорк: Dover Publications (перепечатка публикации 1951 г.), ISBN 0-486-20429-4С. 58, 129.

[6] Дэвид В. Махер и Джон Ф. Маковски. «Литературное свидетельство римской арифметики с дробями». Классическая филология, 96/4 (октябрь 2001 г.), стр. 383.

[7] Лесли, Джон (1820). Философия арифметики; Демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику вычислений с таблицами для умножения чисел до одной тысячи. Эдинбург: Абернети и Уокер.

[8] Природа статья Матрица, которой 2300 лет, является старейшей в мире таблицей умножения после запятой.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144