Бинарная операция - Binary operation
В математика, а бинарная операция или же диадическая операция вычисление, объединяющее два элемента (называемых операнды ) для создания другого элемента. Более формально бинарная операция - это операция из арность два.
В частности, двоичная операция на набор это операция, два домены и codomain тот же набор. Примеры включают знакомые арифметические операции из добавление, вычитание, умножение. Другие примеры легко найти в различных областях математики, например векторное сложение, матричное умножение и спряжение в группах.
Операция арности два, которая включает несколько множеств, иногда также называется бинарная операция. Например, скалярное умножение из векторные пространства принимает скаляр и вектор для создания вектора, и скалярное произведение требуется два вектора для создания скаляра. Такие бинарные операции можно назвать просто бинарные функции.
Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства алгебраические структуры, которые изучаются в алгебра, в частности в полугруппы, моноиды, группы, кольца, поля, и векторные пространства.
Терминология
Точнее, бинарная операция над набор S это отображение элементов Декартово произведение S × S к S:[1][2][3]
Поскольку результат выполнения операции над парой элементов S снова является элементом S, операция называется закрыто (или же внутренний) бинарная операция на S (или иногда выражается как наличие собственности закрытие ).[4] Если ж это не функция, но вместо этого частичная функция, это называется частичная бинарная операция. Например, разделение действительные числа это частичная бинарная операция, потому что нельзя делить на ноль: а/ 0 не определено ни для каких реальных а. Однако как в универсальная алгебра и теория моделей рассматриваемые бинарные операции определены на всех S × S.
Иногда, особенно в Информатика, термин используется для любых двоичная функция.
Свойства и примеры
Типичными примерами бинарных операций являются добавление (+) и умножение (×) из числа и матрицы а также состав функций на одном комплекте. Например,
- О множестве действительных чисел р, ж(а, б) = а + б является бинарной операцией, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом.
- О множестве натуральных чисел N, ж(а, б) = а + б является бинарной операцией, поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
- На множестве M (2,р) из 2 × 2 матрицы с действительными записями, ж(А, B) = А + B является бинарной операцией, так как сумма двух таких матриц равна 2 × 2 матрица.
- На множестве M (2,р) из 2 × 2 матрицы с действительными записями, ж(А, B) = AB является бинарной операцией, так как произведение двух таких матриц есть 2 × 2 матрица.
- Для данного набора C, позволять S быть набором всех функций час : C → C. Определять ж : S × S → S к ж(час1, час2)(c) = (час1 ∘ час2) (c) = час1(час2(c)) для всех c ∈ C, композиция двух функций час1 и час2 в S. потом ж является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве C (то есть член S).
Многие бинарные операции, представляющие интерес как для алгебры, так и для формальной логики, являются коммутативный, удовлетворяющий ж(а, б) = ж(б, а) для всех элементов а и б в S, или же ассоциативный, удовлетворяющий ж(ж(а, б), c) = ж(а, ж(б, c)) для всех а, б и c в S. Многие также имеют элементы идентичности и обратные элементы.
Первые три приведенных выше примера коммутативны, а все приведенные выше примеры ассоциативны.
О множестве действительных чисел р, вычитание, то есть, ж(а, б) = а − б, является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, как правило, а − б ≠ б − а. Он также не ассоциативен, так как, в общем, а − (б − c) ≠ (а − б) − c; например, 1 − (2 − 3) = 2 но (1 − 2) − 3 = −4.
О множестве натуральных чисел N, бинарная операция возведение в степень, ж(а,б) = аб, не коммутативна, поскольку, аб ≠ ба (ср. Уравнение xʸ = yˣ ), а также не ассоциативен, поскольку ж(ж(а, б), c) ≠ ж(а, ж(б, c)). Например, с а = 2, б = 3 и c = 2, ж(23,2) = ж(8,2) = 82 = 64, но ж(2,32) = ж(2,9) = 29 = 512. Изменяя набор N к набору целых чисел Z, эта двоичная операция становится частичной двоичной операцией, поскольку теперь она не определена, когда а = 0 и б - любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильная личность (что равно 1), поскольку ж(а, 1) = а для всех а в наборе, который не является личность (двусторонняя идентичность), поскольку ж(1, б) ≠ б в целом.
Разделение (/), частичная бинарная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация (↑↑), как бинарная операция над натуральными числами, не коммутативна, не ассоциативна и не имеет элемента идентичности.
Обозначение
Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксная запись Такие как а ∗ б, а + б, а · б или (по сопоставление без символа) ab а не функциональной записью вида ж(а, б). Полномочия обычно также записываются без оператора, но со вторым аргументом как надстрочный индекс.
Бинарные операции иногда используют префиксную или (вероятно, чаще) постфиксную нотацию, причем в обоих случаях не используются круглые скобки. Их еще называют, соответственно, Польская нотация и обратная польская запись.
Пара и кортеж
Бинарная операция, ab, зависит от упорядоченная пара (а, б) и так (ab)c (где круглые скобки здесь означают сначала действие с упорядоченной парой (а, б), а затем обработайте результат, используя упорядоченную пару ((ab), c)) в общем случае зависит от упорядоченной пары ((а, б), c). Таким образом, для общего неассоциативного случая бинарные операции могут быть представлены с помощью бинарные деревья.
Тем не мение:
- Если операция ассоциативная, (ab)c = а(до н.э), то значение (ab)c зависит только от кортеж (а, б, c).
- Если операция коммутативная, ab = ба, то значение (ab)c зависит только от {{а, б}, c}, где фигурные скобки указывают мультимножества.
- Если операция одновременно ассоциативна и коммутативна, то значение (ab)c зависит только от мультимножества {а, б, c}.
- Если операция ассоциативная, коммутативная и идемпотент, аа = а, то значение (ab)c зависит только от набор {а, б, c}.
Бинарные операции как тернарные отношения
Бинарная операция ж на съемочной площадке S можно рассматривать как тернарное отношение на S, то есть множество троек (а, б, ж(а, б)) в S × S × S для всех а и б в S.
Внешние бинарные операции
An внешний бинарная операция двоичная функция из K × S к S. Это отличается от бинарная операция над множеством в том смысле, что K не должно быть S; его элементы происходят из за пределами.
Пример внешний бинарная операция скалярное умножение в линейная алгебра. Здесь K это поле и S это векторное пространство над этим полем.
An внешний бинарная операция может также рассматриваться как действие; K действует на S.
В скалярное произведение двух векторных карт из S × S к K, куда K это поле и S это векторное пространство над K. От авторов зависит, считается ли это бинарной операцией.
Смотрите также
- Таблица истинности # Бинарные операции
- Итерированная двоичная операция
- Оператор (программирование)
- Тернарная операция
- Унарная операция
Примечания
- ^ Ротман 1973, стр. 1
- ^ Харди и Уокер 2002, стр. 176, Определение 67
- ^ Фрали 1976, стр. 10
- ^ Холл младший 1959, стр. 1
Рекомендации
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
- Холл-младший, Маршалл (1959), Теория групп, Нью-Йорк: Macmillan
- Харди, Дарел У .; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы, Верхняя Седл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-067464-8
- Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон