Умножение - Multiplication

Добавление (+)
Вычитание (−)
Умножение (×)
Разделение (÷)
Возведение в степень
пй корень (√)
Логарифм (бревно)

Четыре мешочка с тремя шариками в каждом дают двенадцать шариков (4 × 3 = 12).

Умножение также можно рассматривать как масштабирование. Здесь мы видим, как 2 умножается на 3 с использованием масштабирования, что дает в результате 6.

Анимация на умножение 2 × 3 = 6.

4 × 5 = 20. Большой прямоугольник состоит из 20 квадратов, каждый из которых имеет размер 1 на 1.

Площадь полотна 4,5 м × 2,5 м = 11,25 м²; 4½ × 2½ = 11¼

Умножение (часто обозначается крест символ ×, по средней линии оператор точки ⋅, к сопоставление, или на компьютеры, по звездочка *) является одним из четырех элементарный математические операции из арифметика, а остальные добавление, вычитание и разделение. Результат операции умножения называется товар.

Умножение целые числа можно рассматривать как повторное добавление; то есть умножение двух чисел эквивалентно сложению такого количества копий одного из них, умножаемое, как и количество другого, множитель. Оба числа можно обозначить как факторы.

{displaystyle a imes b = underbrace {b + cdots + b} _ {a {ext {times}}}}

Например, 4, умноженное на 3, часто записывается как ${displaystyle 3 imes 4}$ и произносится как "3 раза по 4", можно рассчитать, сложив 3 копии из 4 вместе:

{displaystyle 3 imes 4 = 4 + 4 + 4 = 12}

Здесь 3 и 4 - факторы, а 12 - это товар.

Один из основных характеристики умножения коммутативная собственность, который в данном случае утверждает, что добавление 3 копий 4 дает тот же результат, что и добавление 4 копий 3:

{displaystyle 4 imes 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12}

Таким образом, обозначение множителя и множимого не влияет на результат умножения.^[1]

Умножение целые числа (включая отрицательные числа), рациональное число (дроби) и действительные числа определяется систематическим обобщение этого основного определения.

Умножение можно также визуализировать как подсчет объектов, расположенных в прямоугольник (для целых чисел) или как нахождение площадь прямоугольника, стороны которого имеют некоторые заданные длина. Площадь прямоугольника не зависит от того, какая сторона измеряется первой - это следствие коммутативности.

Произведение двух измерений - это новый тип измерения. Например, умножение длин двух сторон прямоугольника дает его площадь. Такие продукты являются предметом размерный анализ.

Обратная операция умножения есть разделение. Например, поскольку 4, умноженное на 3, равняется 12, 12, разделенное на 3, равняется 4. Действительно, умножение на 3 с последующим делением на 3 дает исходное число. Деление числа, отличного от 0, само по себе равно 1.

Умножение также определено для других типов чисел, таких как сложные числа и более абстрактные конструкции, такие как матрицы. Для некоторых из этих более абстрактных конструкций имеет значение порядок, в котором операнды перемножаются. Список множества различных продуктов, используемых в математике, приведен в Продукт (математика).

Обозначения и терминология

Знак умножения ×

В арифметика, умножение часто пишется знаком " ${displaystyle imes}$ "между терминами (т. е. в инфиксная запись ).^[2] Например,

{displaystyle 2 imes 3 = 6}

("два раза по три равно шесть")

{displaystyle 3 imes 4 = 12}

{displaystyle 2 imes 3 imes 5 = 6 imes 5 = 30}

{displaystyle 2 imes 2 imes 2 imes 2 imes 2 = 32}

Знак закодирован в Unicode по адресу U + 00D7 × ЗНАК УМНОЖЕНИЯ (HTML× · & раз;).

Есть другие математические обозначения для умножения:

Умножение также обозначается точками,^[3] обычно точка среднего положения (редко период ):

5 \cdot 2

или же

5 . 3

Обозначение средней точки, закодированное в Юникоде как U + 22C5 ⋅ ТОЧЕЧНЫЙ ОПЕРАТОР, является стандартным в США и других странах, где период используется как десятичная точка. Когда символ оператора точки недоступен, вставлять (·) используется. В Соединенном Королевстве и Ирландии точка / точка используется для умножения, а средняя точка используется для десятичной точки, хотя использование точки / точки для десятичной точки является обычным явлением. В других странах, где используется запятая в качестве десятичной отметки для умножения используется точка или средняя точка.^{[нужна цитата ]}

В алгебра, умножение с участием переменные часто пишется как сопоставление (например., ху за Икс раз у или 5Икс в пять раз Икс), также называемый подразумеваемое умножение.^[4] Обозначение также может использоваться для величин, окруженных скобки (например, 5 (2) или (5) (2) пять раз по два). Это неявное использование умножения может вызвать двусмысленность, когда конкатенированные переменные совпадают с именем другой переменной, когда имя переменной перед круглой скобкой может быть перепутано с именем функции или при правильном определении порядок действий.
В векторное умножение, существует различие между символами крестика и точки. Крестик обычно обозначает взятие перекрестное произведение из двух векторов, что дает вектор в качестве результата, а точка обозначает взятие скалярное произведение двух векторов, в результате чего скаляр.

В компьютерное программирование, то звездочка (как в 5*2) по-прежнему является наиболее распространенным обозначением. Это связано с тем, что большинство компьютеров исторически ограничивались небольшими наборы символов (Такие как ASCII и EBCDIC ) без знака умножения (например, ⋅ или же ×), а звездочка появилась на каждой клавиатуре. Это использование возникло в FORTRAN язык программирования.

Умножаемые числа обычно называют "факторы ". Число, которое нужно умножить, - это" множимое ", а число, на которое оно умножается, -" множитель ". Обычно множитель ставится первым, а множимое - вторым;^[1] однако иногда первый фактор - это множимое, а второй - множитель.^[5] Кроме того, поскольку результат умножения не зависит от порядка факторов, различие между «множимое» и «множитель» полезно только на очень элементарном уровне и в некоторых случаях. алгоритмы умножения, такой как длинное умножение. Поэтому в некоторых источниках термин «множимое» рассматривается как синоним слова «множитель».^[6] В алгебре число, являющееся множителем переменной или выражения (например, 3 в 3ху²) называется коэффициент.

Результат умножения называется товар. Произведение целых чисел - это несколько каждого фактора. Например, 15 - это произведение 3 и 5, кратное 3 и 5.

Вычисление

Образованная обезьяна - оловянная игрушка 1918 года, использовавшаяся как «калькулятор» умножения. Например: установите лапы обезьяны на 4 и 9 и возьмите изделие - 36 - в руки.

Обычные методы умножения чисел с помощью карандаша и бумаги требуют Таблица умножения запомненных или изученных произведений малых чисел (обычно любых двух чисел от 0 до 9), однако один метод, крестьянское размножение алгоритм, нет.

Умножение чисел более чем на пару десятичных знаков вручную утомительно и чревато ошибками. Десятичный логарифм были изобретены для упрощения таких вычислений, поскольку сложение логарифмов эквивалентно умножению. В логарифмическая линейка позволял быстро умножать числа примерно с тремя точками точности. С начала 20 века механический калькуляторы, такой как Маршан, автоматическое умножение до 10-значных чисел. Современная электроника компьютеры а калькуляторы значительно сократили необходимость умножения вручную.

Исторические алгоритмы

Методы умножения были описаны в трудах древнеегипетский, Греческий, Индийский и Китайский цивилизации.

В Кость Ишанго, датируемые примерно 18-20 тысячами лет до нашей эры, может указывать на знание умножения в Верхний палеолит эпоха в Центральная Африка, но это умозрительно.

Египтяне

Египетский метод умножения целых чисел и дробей, описанный в Ахмес Папирус, было путем последовательного добавления и удвоения. Например, чтобы найти произведение 13 и 21, нужно было трижды удвоить 21, получив 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168. Затем можно было найти полный продукт, добавив соответствующие термины из последовательности удвоения:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Вавилоняне

В Вавилоняне использовал шестидесятеричный позиционная система счисления, аналогично современности десятичная система. Таким образом, вавилонское умножение было очень похоже на современное десятичное умножение. Из-за относительной трудности запоминания 60 × 60 различные продукты, вавилонские математики использовали таблицы умножения. Эти таблицы состояли из списка первых двадцати кратных определенных основной номер п: п, 2п, ..., 20п; за которым следует число, кратное 10п: 30п 40п, и 50п. Затем, чтобы вычислить любое шестидесятеричное произведение, скажем, 53п, нужно только добавить 50п и 3п вычисляется из таблицы.

Китайский

38 × 76 = 2888

В математическом тексте Чжуби Суаньцзин, датируемые до 300 г. до н.э., а Девять глав по математическому искусству, вычисления умножения были записаны словами, хотя ранние китайские математики использовали Стержневой расчет включая добавление значений, вычитание, умножение и деление. Китайцы уже использовали десятичная таблица умножения к концу Воюющие государства период.^[7]

Современные методы

Произведение 45 и 256. Обратите внимание, что порядок цифр в 45 в левом столбце перевернут. Шаг переноса умножения можно выполнить на заключительном этапе вычисления (выделено жирным шрифтом), возвращая конечный результат 45 × 256 = 11520. Это вариант Решетчатое умножение.

Современный метод умножения на основе Индусско-арабская система счисления был впервые описан Брахмагупта. Брахмагупта дал правила сложения, вычитания, умножения и деления. Генри Берчард Файн, затем профессор математики в Университет Принстона, написал следующее:

Индийцы являются изобретателями не только самой позиционной десятичной системы, но и большинства процессов, участвующих в элементарных расчетах с этой системой. Сложение и вычитание они выполняли так же, как и сейчас; умножение они осуществили разными способами, в том числе и наше, но деление они сделали громоздко.^[8]

Эти десятичные арифметические алгоритмы с числовыми значениями были введены в арабские страны Аль-Хорезми в начале 9-го века и популяризован в западном мире благодаря Фибоначчи в 13 веке.

Сеточный метод

Умножение сеточного метода или метод ячеек, используется в начальных школах Англии и Уэльса и в некоторых районах США, чтобы помочь научить понимать, как работает многозначное умножение. Примером умножения 34 на 13 может быть расположение чисел в виде сетки:

	30	4
10	300	40
3	90	12

а затем добавьте записи.

Компьютерные алгоритмы

Классический метод умножения двух $п$ -цифровые номера требуют $п 2$ умножение цифр. Алгоритмы умножения были разработаны, чтобы значительно сократить время вычислений при умножении больших чисел. Методы, основанные на дискретное преобразование Фурье Уменьшить вычислительная сложность к $О (п бревно п журнал журнал п)$ . В последнее время фактор $журнал журнал п$ была заменена функцией, которая увеличивается намного медленнее, хотя все еще не является постоянной (как можно надеяться).^[9]

В марте 2019 года Дэвид Харви и Йорис ван дер Хувен представили статью, в которой был представлен алгоритм целочисленного умножения с заявленной сложностью ${displaystyle O (nlog n).}$ ^[10] Предполагается, что алгоритм, также основанный на быстром преобразовании Фурье, является асимптотически оптимальным.^[11] Этот алгоритм не считается практически полезным, поскольку его преимущества проявляются только при умножении очень больших чисел (имеющих более $2172912$ биты).^[12]

Продукция измерений

Можно только осмысленно сложить или вычесть количества одного типа, но количества разных типов можно без проблем умножить или разделить. Например, четыре пакета с тремя шариками в каждом можно представить как:^[1]

[4 пакета] × [3 шарика в пакете] = 12 шариков.

Когда два измерения умножаются вместе, произведение имеет тип, зависящий от типов измерений. Общая теория дается размерный анализ. Этот анализ обычно применяется в физике, но также находит применение в финансах и других прикладных областях.

Типичным примером в физике является тот факт, что умножение скорость к время дает расстояние. Например:

50 километров в час × 3 часа = 150 километров.

В этом случае единицы часов аннулируются, оставляя для продукта только единицы километра.

Другие примеры умножения с участием единиц включают:

2,5 метра × 4,5 метра = 11,25 квадратных метров

11 метров / секунд × 9 секунд = 99 метров

4,5 жителя в доме × 20 домов = 90 жителей

Продукты последовательностей

Обозначение прописных пи

Произведение последовательности факторов может быть записано с помощью символа продукта, который происходит от заглавной буквы. ${displaystyle extstyle prod}$ (пи) в Греческий алфавит (как и заглавная буква ${displaystyle extstyle sum}$ (сигма) используется в контексте суммирование ).^[13]^[14]^[15] Позиция Юникода U + 220F (∏) содержит глиф для обозначения такого продукта, в отличие от буквы U + 03A0 (Π). Значение этого обозначения определяется следующим образом:

{displaystyle prod _ {i = 1} ^ {4} i = 1cdot 2cdot 3cdot 4,}

то есть

{displaystyle prod _ {i = 1} ^ {4} i = 24.}

Нижний индекс обозначает символ связанная переменная (я в данном случае), называемый «индексом умножения», вместе с его нижней границей (1), а верхний индекс (здесь 4) дает свою оценку сверху. Нижняя и верхняя границы - это выражения, обозначающие целые числа. Коэффициенты произведения получаются путем взятия выражения, следующего за оператором произведения, с последовательными целочисленными значениями, заменяющими индекс умножения, начиная с нижней границы и увеличиваясь на 1 до (включительно) верхней границы. Например:

{displaystyle prod _ {i = 1} ^ {6} i = 1cdot 2cdot 3cdot 4cdot 5cdot 6 = 720}

В более общем смысле обозначение определяется как

{displaystyle prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i} = x_ {m} cdot x_ {m + 1} cdot x_ {m + 2} cdot ,, cdots ,, cdot x_ {n-1} cdot x_ {n},}

куда м и п целые числа или выражения, которые оцениваются как целые числа. В случае, если м = п, стоимость продукта такая же, как у единственного фактора Икс_м; если м > п, продукт пустой продукт значение которого равно 1 - независимо от выражения для факторов.

Характеристики

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = x_ {1} cdot x_ {2} cdot ldots cdot x_ {n}}$

Если все термины идентичны, последовательность продуктов эквивалентна возведению в степень.

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} x = xcdot xcdot ldots cdot x = x ^ {n}}$

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} e = ecdot ecdot ldots cdot e = e ^ {n}}$

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} y_ {i}} = left (prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ight) left (prod _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} ight) = x_ {1} y_ {1} cdot x_ {2} y_ {2} cdot ldots cdot x_ {n} y_ {n}}$

${displaystyle left (prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ight) ^ {a} = prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {a} = x_ {1} ^ {a} cdot x_ {2} ^ {a} cdot ldots cdot x_ {n} ^ {a}}$

${displaystyle prod _ {i = 1} ^ {n} e ^ {x_ {i}} = e ^ {sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i}}}$

Бесконечные продукты

Можно также рассматривать произведения из бесконечно большого числа членов; они называются бесконечные продукты. Условно это заключается в замене п выше Символ бесконечности ∞. Произведение такой бесконечной последовательности определяется как предел продукта первого п сроки, как п растет неограниченно. То есть,

{displaystyle prod _ {i = m} ^ {infty} x_ {i} = lim _ {n o infty} prod _ {i = m} ^ {n} x_ {i}.}

Аналогичным образом можно заменить м с отрицательной бесконечностью и определим:

{displaystyle prod _ {i = -infty} ^ {infty} x_ {i} = left (lim _ {m o -infty} prod _ {i = m} ^ {0} x_ {i} ight) cdot left (lim _ {n o infty} prod _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ight),}

при условии, что существуют оба предела.

Характеристики

Умножение чисел 0–10. Метки линий = множимое. Ось X = множитель. Ось Y = продукт.
Распространение этого шаблона на другие квадранты объясняет, почему отрицательное число, умноженное на отрицательное, дает положительное число.
Также обратите внимание на то, как умножение на ноль вызывает уменьшение размерности, как и умножение на сингулярная матрица где детерминант равно 0. В этом процессе информация теряется и не может быть восстановлена.

Для настоящий и сложный числа, которые включают, например, натуральные числа, целые числа, и фракции, умножение имеет определенные свойства:

Коммутативная собственность

Порядок, в котором умножаются два числа, не имеет значения:

{displaystyle xcdot y = ycdot x.}

Ассоциативное свойство

Выражения, включающие только умножение или сложение, инвариантны относительно порядок действий:

{displaystyle (xcdot y) cdot z = xcdot (ycdot z)}

Распределительное свойство

Верно по отношению к умножению над сложением. Это тождество имеет первостепенное значение для упрощения алгебраических выражений:

{displaystyle xcdot (y + z) = xcdot y + xcdot z}

Элемент идентичности

Мультипликативная идентичность - 1; все, что умножено на 1, есть само. Эта особенность 1 известна как свойство идентичности:

{displaystyle xcdot 1 = x}

Собственность 0

Любое число, умноженное на 0, равно 0. Это число известно как нулевое свойство умножения:

{displaystyle xcdot 0 = 0}

Отрицание

−1 умноженное на любое число, равно Противоположное число из этого числа.

{displaystyle (-1) cdot x = (- x)}

куда

{displaystyle (-x) + x = 0}

–1 умножить на –1 равно 1.

{displaystyle (-1) cdot (-1) = 1}

Обратный элемент: Каждый номер Икс, кроме 0, имеет мультипликативный обратный, ${displaystyle {frac {1} {x}}}$ , так что ${displaystyle xcdot left ({frac {1} {x}} ight) = 1}$ .

Заказ сохранение

Умножение на положительное число сохраняет порядок:

За а > 0, если б > c тогда ab > ac.

Умножение на отрицательное число меняет порядок:

За а < 0, если б > c тогда ab < ac.

В сложные числа нет заказа.

Другие математические системы, которые включают операцию умножения, могут не обладать всеми этими свойствами. Например, умножение, как правило, не коммутативно для матрицы и кватернионы.

Аксиомы

В книге Принципы арифметики, новая методика экспозиции, Джузеппе Пеано предложил аксиомы для арифметики, основанные на его аксиомах для натуральных чисел.^[16] В арифметике Пеано есть две аксиомы умножения:

{displaystyle x imes 0 = 0}

{displaystyle x imes S (y) = (x imes y) + x}

Здесь S(у) представляет собой преемник из у, или натуральное число, которое следует у. Различные свойства, такие как ассоциативность, могут быть доказаны с помощью этих и других аксиом арифметики Пеано, включая индукция. Например S(0), обозначаемое 1, является мультипликативным тождеством, поскольку

{displaystyle x imes 1 = x imes S (0) = (x imes 0) + x = 0 + x = x}

Аксиомы для целые числа обычно определяют их как классы эквивалентности упорядоченных пар натуральных чисел. Модель основана на лечении (Икс,у) как эквивалент Икс − у когда Икс и у рассматриваются как целые числа. Таким образом, и (0,1), и (1,2) эквивалентны −1. Аксиома умножения для целых чисел, определенная таким образом:

{displaystyle (x_ {p} ,, x_ {m}) imes (y_ {p} ,, y_ {m}) = (x_ {p} imes y_ {p} + x_ {m} imes y_ {m} ,; x_ {p} время y_ {m} + x_ {m} время y_ {p})}

Правило, согласно которому −1 × −1 = 1, может быть получено из

{displaystyle (0,1) imes (0,1) = (0 imes 0 + 1 imes 1,, 0 imes 1 + 1 imes 0) = (1,0)}

Умножение расширяется аналогично рациональное число а затем в действительные числа.

Умножение с теорией множеств

Произведение неотрицательных целых чисел может быть определено с помощью теории множеств, используя Количественные числительные или Аксиомы Пеано. Видеть ниже как распространить это на умножение произвольных целых чисел, а затем произвольных рациональных чисел. Произведение действительных чисел определяется в терминах произведений рациональных чисел, см. построение действительных чисел.

Умножение в теории групп

Существует множество множеств, которые при операции умножения удовлетворяют аксиомам, определяющим группа структура. Эти аксиомы - замкнутость, ассоциативность, включение тождественного элемента и обратное.

Простым примером является набор ненулевых рациональное число. Здесь у нас есть тождество 1, в отличие от групп при сложении, где тождество обычно равно 0. Обратите внимание, что с рациональными числами мы должны исключить ноль, потому что при умножении он не имеет обратного: нет рационального числа, которое можно умножить на 0, чтобы получить 1. В этом примере у нас есть абелева группа, но это не всегда так.

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим набор обратимых квадратных матриц заданной размерности над заданной поле. Здесь легко проверить замыкание, ассоциативность и включение тождества ( единичная матрица ) и обратное. Однако умножение матриц не коммутативно, что показывает, что эта группа неабелева.

Еще один факт, на который стоит обратить внимание, заключается в том, что целые числа при умножении не являются группой, даже если мы исключим ноль. В этом легко убедиться по отсутствию инверсии для всех элементов, кроме 1 и −1.

Умножение в теории групп обычно обозначается точкой или сопоставлением (пропуск символа операции между элементами). Так умножающий элемент а по элементу б можно обозначить как а ${displaystyle cdot}$ б или же ab. При обращении к группе через указание набора и работы используется точка. Например, наш первый пример может быть обозначен ${displaystyle left (mathbb {Q} / {0} ,, cdot ight)}$ .

Умножение разных видов чисел

Числа могут считать (3 яблока), порядок (третье яблоко), или мера (3,5 фута высотой); По мере того, как история математики продвигалась от счета на пальцах к моделированию квантовой механики, умножение было обобщено на более сложные и абстрактные типы чисел, а также на вещи, которые не являются числами (например, матрицы ) или не очень похожи на числа (например, кватернионы ).

Целые числа: ${displaystyle N imes M}$ это сумма N копии M когда N и M положительные целые числа. Это дает количество вещей в массиве N широкий и M высоко. Обобщение на отрицательные числа может быть выполнено с помощью; ${displaystyle N imes (-M) = (- N) imes M = - (N imes M)}$ и; ${displaystyle (-N) imes (-M) = N imes M}$; Те же правила знаков применяются к рациональным и действительным числам.

Рациональное число: Обобщение на дроби ${displaystyle {frac {A} {B}} imes {frac {C} {D}}}$ получается путем умножения числителей и знаменателей соответственно: ${displaystyle {frac {A} {B}} imes {frac {C} {D}} = {frac {(A imes C)} {(B imes D)}}}$ . Это дает площадь прямоугольника ${displaystyle {frac {A} {B}}}$ высокий и ${displaystyle {frac {C} {D}}}$ широкий, и совпадает с количеством вещей в массиве, когда рациональные числа оказываются целыми числами.

Действительные числа: Реальные числа и их произведения можно определить в терминах последовательностей рациональных чисел.

Сложные числа: Учитывая комплексные числа ${displaystyle z_ {1}}$ и ${displaystyle z_ {2}}$ как упорядоченные пары действительных чисел ${displaystyle (a_ {1}, b_ {1})}$ и ${displaystyle (a_ {2}, b_ {2})}$ , продукт ${displaystyle z_ {1} imes z_ {2}}$ является ${displaystyle (a_ {1} imes a_ {2} -b_ {1} imes b_ {2}, a_ {1} imes b_ {2} + a_ {2} imes b_ {1})}$ . Это то же самое, что и реалы, ${displaystyle a_ {1} imes a_ {2}}$ , когда мнимые части ${displaystyle b_ {1}}$ и ${displaystyle b_ {2}}$ равны нулю.

Эквивалентно, обозначая

{displaystyle {sqrt {-1}}}

в качестве

{displaystyle i}

, у нас есть

{displaystyle z_ {1} imes z_ {2} = (a_ {1} + b_ {1} i) (a_ {2} + b_ {2} i) = (a_ {1} imes a_ {2}) + ( a_ {1} время b_ {2} i) + (b_ {1} время a_ {2} i) + (b_ {1} время b_ {2} i ^ {2}) = (a_ {1} a_ {2 } -b_ {1} b_ {2}) + (a_ {1} b_ {2} + b_ {1} a_ {2}) i.}

Дальнейшие обобщения: Видеть Умножение в теории групп, выше и Мультипликативная группа, который, например, включает матричное умножение. Очень общая и абстрактная концепция умножения - это «мультипликативно обозначаемая» (вторая) двоичная операция в звенеть. Примером кольца, не принадлежащего ни одной из вышеперечисленных систем счисления, является кольцо многочленов (вы можете складывать и умножать многочлены, но многочлены не являются числами в обычном смысле.)

Разделение: Часто деление, ${displaystyle {frac {x} {y}}}$ , то же самое, что умножение на обратное, ${displaystyle xleft ({frac {1} {y}} ight)}$ . Умножение для некоторых типов «чисел» может иметь соответствующее деление, без обратных; в область целостности Икс может не иметь обратного " ${displaystyle {frac {1} {x}}}$ " но ${displaystyle {frac {x} {y}}}$ можно определить. В делительное кольцо есть обратные, но ${displaystyle {frac {x} {y}}}$ может быть неоднозначным в некоммутативных кольцах, поскольку ${displaystyle xleft ({frac {1} {y}} ight)}$ не обязательно быть таким же, как ${displaystyle left ({frac {1} {y}} ight) x}$ .

Возведение в степень

Когда умножение повторяется, результирующая операция называется возведение в степень. Например, произведение трех делителей на два (2 × 2 × 2) равно «два в третьей степени» и обозначается как 2.³, двое с надстрочный индекс три. В этом примере цифра два - это основание, а три - это показатель степени. Обычно показатель степени (или надстрочный индекс) указывает, сколько раз в выражении появляется основание, так что выражение

{displaystyle a ^ {n} = underbrace {a imes a imes cdots imes a} _ {n}}

указывает, что п копии базы а должны быть умножены вместе. Это обозначение можно использовать, когда известно, что умножение ассоциативный.

Смотрите также

Размерный анализ
Алгоритм умножения
- Алгоритм Карацубы, для больших чисел
- Умножение Тоома – Кука, для очень больших чисел
- Алгоритм Шёнхаге – Штрассена, для огромных чисел

Таблица умножения
Двоичный множитель, как размножаются компьютеры

Примечания

^ ^а ^б ^c Девлин, Кит (Январь 2011 г.). "Что такое умножение?". Математическая ассоциация Америки. В архиве из оригинала 27 мая 2017 г.. Получено 14 мая, 2017. При умножении у вас есть множимое (записанное вторым), умноженное на множитель (записанное первым)
^ Хан Академия (2015-08-14), Введение в умножение | Умножение и деление | Арифметика | Ханская академия, в архиве из оригинала от 24.03.2017, получено 2017-03-07
^ Хан Академия (2012-09-06), Почему мы не используем знак умножения? | Введение в алгебру | Алгебра I | Ханская академия, в архиве из оригинала от 27.03.2017, получено 2017-03-07
^ Представляем TI Programmable 88! (PDF). Инструменты Техаса. 1982. В архиве (PDF) из оригинала от 03.08.2017. Получено 2017-08-03.
^ Крутон Рамон. «Множимое и множитель». Дом математики Крутона Рамона. В архиве из оригинала 26 октября 2015 г.. Получено 10 ноября 2015..
^ Честер Литвин (2012). Продвинутая стимуляция мозга с помощью психопроводимости. С. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0 - через Поиск книг Google.
^ Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука». Природа. Дои:10.1038 / природа.2014.14482. S2CID 130132289. В архиве из оригинала 22 января 2014 г.. Получено 22 января 2014.
^ Хорошо, Генри Б. (1907). Система счисления алгебры - теоретически и исторически (PDF) (2-е изд.). п. 90.
^ Харви, Дэвид; ван дер Хувен, Йорис; Лесерф, Грегуар (2016). «Еще более быстрое целочисленное умножение». Журнал сложности. 36: 1–30. arXiv:1407.3360. Дои:10.1016 / j.jco.2016.03.001. ISSN 0885-064X. S2CID 205861906.
^ Дэвид Харви, Джорис Ван Дер Хувен (2019). Целочисленное умножение за время O (n log n) В архиве 2019-04-08 в Wayback Machine
^ Хартнетт, Кевин. «Математики открывают идеальный способ умножения». Журнал Quanta. Получено 2020-01-25.
^ Кларрайх, Эрика. «Умножение достигает предела скорости». cacm.acm.org. В архиве из оригинала 31 октября 2020 г.. Получено 2020-01-25.
^ «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-16.
^ Вайсштейн, Эрик В. "Товар". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-16.
^ «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu. Получено 2020-08-16.
^ «Арифметика Пеано». PlanetMath. В архиве из оригинала от 19.08.2007. Получено 2007-06-03.

внешняя ссылка

[Devlin-1] а ^б ^c Девлин, Кит (Январь 2011 г.). "Что такое умножение?". Математическая ассоциация Америки. В архиве из оригинала 27 мая 2017 г.. Получено 14 мая, 2017. При умножении у вас есть множимое (записанное вторым), умноженное на множитель (записанное первым)

[2] Хан Академия (2015-08-14), Введение в умножение | Умножение и деление | Арифметика | Ханская академия, в архиве из оригинала от 24.03.2017, получено 2017-03-07

[3] Хан Академия (2012-09-06), Почему мы не используем знак умножения? | Введение в алгебру | Алгебра I | Ханская академия, в архиве из оригинала от 27.03.2017, получено 2017-03-07

[4] Представляем TI Programmable 88! (PDF). Инструменты Техаса. 1982. В архиве (PDF) из оригинала от 03.08.2017. Получено 2017-08-03.

[5] Крутон Рамон. «Множимое и множитель». Дом математики Крутона Рамона. В архиве из оригинала 26 октября 2015 г.. Получено 10 ноября 2015..

[6] Честер Литвин (2012). Продвинутая стимуляция мозга с помощью психопроводимости. С. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0 - через Поиск книг Google.

[Nature-7] Джейн Цю (7 января 2014 г.). «Древняя таблица времен, спрятанная в полосах китайского бамбука». Природа. Дои:10.1038 / природа.2014.14482. S2CID 130132289. В архиве из оригинала 22 января 2014 г.. Получено 22 января 2014.

[8] Хорошо, Генри Б. (1907). Система счисления алгебры - теоретически и исторически (PDF) (2-е изд.). п. 90.

[9] Харви, Дэвид; ван дер Хувен, Йорис; Лесерф, Грегуар (2016). «Еще более быстрое целочисленное умножение». Журнал сложности. 36: 1–30. arXiv:1407.3360. Дои:10.1016 / j.jco.2016.03.001. ISSN 0885-064X. S2CID 205861906.

[10] Дэвид Харви, Джорис Ван Дер Хувен (2019). Целочисленное умножение за время O (n log n) В архиве 2019-04-08 в Wayback Machine

[11] Хартнетт, Кевин. «Математики открывают идеальный способ умножения». Журнал Quanta. Получено 2020-01-25.

[12] Кларрайх, Эрика. «Умножение достигает предела скорости». cacm.acm.org. В архиве из оригинала 31 октября 2020 г.. Получено 2020-01-25.

[13] «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-08-16.

[14] Вайсштейн, Эрик В. "Товар". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-16.

[15] «Суммирование и обозначение произведения». math.illinoisstate.edu. Получено 2020-08-16.

[16] «Арифметика Пеано». PlanetMath. В архиве из оригинала от 19.08.2007. Получено 2007-06-03.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

Гипероперации
Начальный	Преемник (0) Дополнение (1) Умножение (2) Возведение в степень (3) Тетрация (4) Пентация (5)
Обратный для левого аргумента	Вычитание (1) Дивизия (2) пкорень th (3) Супер-корень (4)
Обратный для правильного аргумента	Вычитание (1) Дивизия (2) Логарифм (3) Суперлогарифм (4)
Статьи по Теме	Функция Аккермана Обозначение стрелок Конвея Иерархия Гжегорчика Обозначение Кнута со стрелкой вверх Обозначения Штейнгауза – Мозера

Умножение - Multiplication

Содержание

Обозначения и терминология

Вычисление

Исторические алгоритмы

Египтяне

Вавилоняне

Китайский

Современные методы

Сеточный метод

Компьютерные алгоритмы

Продукция измерений

Продукты последовательностей

Обозначение прописных пи

Характеристики

Бесконечные продукты

Характеристики

Аксиомы

Умножение с теорией множеств

Умножение в теории групп

Умножение разных видов чисел

Возведение в степень

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка