Логарифм - Logarithm

Графики функций логарифма с тремя обычно используемыми основаниями. Особые моменты бревно_б б = 1 обозначены пунктирными линиями, а все кривые пересекаются в бревно_б 1 = 0.

В график основания логарифма 2 пересекает Икс-ось в Икс = 1 и проходит через точки (2, 1), (4, 2), и (8, 3), изображая, например, бревно₂(8) = 3 и 2³ = 8. График сколь угодно близок к уось, но не соответствует этому.

Арифметические операции

Добавление (+) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {term}}, +, {ext {term}} scriptstyle {ext {summand}}, +, {ext {summand}} scriptstyle {ext {addend ( в широком смысле)}}, +, {ext {addend (в широком смысле)}} scriptstyle {ext {augend}}, +, {ext {addend (в строгом смысле)}} end {matrix}} ight}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {sum}}}$ Вычитание (−) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {term}}, -, {ext {term}} scriptstyle {ext {minuend}}, -, {ext {subtrahend}} end {matrix}} ight} знак равно$ ${displaystyle scriptstyle {ext {разница}}}$ Умножение (×) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {ext {factor}}, imes, {ext {factor}} scriptstyle {ext {multiplier}}, imes, {ext {multiplicand}} end {matrix}} ight} знак равно$ ${displaystyle scriptstyle {ext {product}}}$ Разделение (÷) ${displaystyle scriptstyle left. {egin {matrix} scriptstyle {frac {scriptstyle {ext {divisor}}} {scriptstyle {ext {divisor}}}}} scriptstyle {ext {}} scriptstyle {frac {scriptstyle {ext {numerator} }} {стиль сценария {ext {знаменатель}}}} конец {матрица}} ight}, =,}$ ${displaystyle {egin {matrix} стиль сценария {ext {фракция}} scriptstyle {ext {частное}} scriptstyle {ext {ratio}} конец {матрица}}}$ Возведение в степень ${displaystyle scriptstyle {ext {base}} ^ {ext {exponent}}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {power}}}$ пй корень (√) ${displaystyle scriptstyle {sqrt [{ext {deg}}] {scriptstyle {ext {radicand}}}}, =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {root}}}$ Логарифм (бревно) ${displaystyle scriptstyle log _ {ext {base}} ({ext {anti-logarithm}}), =,}$ ${displaystyle scriptstyle {ext {logarithm}}}$

В математика, то логарифм это обратная функция к возведение в степень. Это означает, что логарифм данного числаИкс это показатель степени к которому другой фиксированный номер, основание  б, необходимо поднять, чтобы получить это числоИкс. В простейшем случае логарифм подсчитывает количество повторений одного и того же множителя при повторном умножении; например, поскольку 1000 = 10 × 10 × 10 = 10³, основание логарифма 10" из 1000 является 3, или же бревно₁₀(1000) = 3. Логарифм Икс к основание б обозначается как бревно_б(Икс), или без скобок, бревно_б Иксили даже без явного основания, бревноИкс, когда невозможна путаница, или когда база не имеет значения, например, в нотация большой O.

В более общем плане возведение в степень допускает любые положительные настоящий номер как основу для возведения в любую реальную власть, всегда дающую положительный результат, поэтому бревно_б(Икс) для любых двух положительных действительных чиселб иИкс, кудаб не равно1, всегда уникальное действительное числоу. Более точно, определяющее соотношение между возведением в степень и логарифмом:

${displaystyle log _ {b} (x) = y}$ именно если ${displaystyle b ^ {y} = x}$ и ${displaystyle x> 0}$ и ${displaystyle b> 0}$ и ${displaystyle beq 1}$.

Например, бревно₂ 64 = 6, так как 2⁶ = 64.

Основание логарифма 10 (то есть б = 10) называется десятичный логарифм и обычно используется в науке и технике. В натуральный логарифм имеет номер е (то есть б ≈ 2.718) в качестве его основы; его использование широко распространено в математике и физика, из-за более простого интеграл и производная. В двоичный логарифм использует базу 2 (то есть б = 2) и обычно используется в Информатика. Логарифмы являются примерами вогнутые функции.^[1]

Логарифмы были введены Джон Напье в 1614 г. как средство упрощения расчетов.^[2] Они были быстро приняты навигаторами, учеными, инженерами, геодезистами и другими, чтобы упростить выполнение высокоточных вычислений. С помощью таблицы логарифмов, утомительные шаги многозначного умножения можно заменить поиском в таблице и более простым сложением. Это возможно благодаря тому факту, который важен сам по себе, что логарифм товар это сумма логарифмов факторов:

${displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} x + log _ {b} y ,,}$

при условии, что б, Икс и у все положительные и б ≠ 1. В логарифмическая линейка, также основанный на логарифмах, позволяет проводить быстрые вычисления без таблиц, но с меньшей точностью. Современное понятие логарифмов происходит от Леонард Эйлер, который подключил их к экспоненциальная функция в 18 веке, и который также ввел букву е как основание натуральных логарифмов.^[3]

Логарифмические весы уменьшите масштабные объемы до крошечных объемов. Например, децибел (дБ) - это единица измерения используется для выражения соотношение в виде логарифмов, в основном для мощности и амплитуды сигнала (из которых звуковое давление это типичный пример). В химии, pH является логарифмической мерой для кислотность из водный раствор. Логарифмы - обычное дело в научных кругах. формулы, а в измерениях сложность алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталы. Они помогают описать частота соотношение музыкальные интервалы, появляются в формулах подсчета простые числа или же приблизительный факториалы, сообщите некоторым моделям в психофизика, и может помочь в судебно-медицинский учет.

Точно так же, как логарифм переворачивает возведение в степень, то комплексный логарифм это обратная функция экспоненциальной функции, независимо от того, применяется ли действительные числа или же сложные числа. Модульный дискретный логарифм другой вариант; он используется в криптография с открытым ключом.

Мотивация и определение

Добавление, умножение, и возведение в степень это три самых фундаментальных арифметических действия. Сложение, простейшее из них, отменяется вычитанием: когда вы добавляете 5 к Икс получить Икс + 5, чтобы отменить эту операцию, вам необходимо вычесть 5 из Икс + 5. Умножение, следующая простейшая операция, отменяется разделение: если умножить Икс к 5 получить 5Икс, тогда вы можете разделить 5Икс к 5 вернуться к исходному выражению Икс. Логарифмы также отменяют основную арифметическую операцию возведения в степень. Возведение в степень - это когда вы увеличиваете число до определенной степени. Например, повышение 2 к власти 3 равно 8:

${displaystyle 2 ^ {3} = 2 imes 2 imes 2 = 8}$

Общий случай - когда вы увеличиваете число б к власти у получить Икс:

${displaystyle b ^ {y} = x}$

Номер б называется основой этого выражения. Основание - это число, возведенное в определенную степень. В приведенном выше примере основание выражения ${displaystyle 2 ^ {3} = 8}$ является 2. Сделать основу предметом выражения легко: все, что вам нужно сделать, это взять у-го корень с обеих сторон. Это дает:

${displaystyle b = {sqrt [{y}] {x}}}$

Сделать труднее у предмет выражения. Логарифмы позволяют нам это делать:

${displaystyle y =}$бревно_б Икс

Это выражение означает, что у равна силе, которую вы бы подняли б чтобы получить Икс. Эта операция отменяет возведение в степень, поскольку логарифм Икс говорит вам показатель степени что база была поднята до.

Возведение в степень

В этом подразделе содержится краткий обзор операции возведения в степень, которая имеет фундаментальное значение для понимания логарифмов. б к п-го мощность, где п это натуральное число, осуществляется умножением п факторы равные б. В п-го сила б написано б^п, так что

${displaystyle b ^ {n} = underbrace {b imes b imes cdots imes b} _ {n {ext {факторы}}}}$

Возведение в степень может быть расширено до б^у, куда б положительное число и показатель степени у есть ли настоящий номер.^[4] Например, б⁻¹ это взаимный из б, то есть, 1/б. Повышение б в степени 1/2 - это квадратный корень из б.

В более общем плане повышение б к рациональный мощность п/q, куда п и q целые числа, определяется как

${displaystyle b ^ {p / q} = {sqrt [{q}] {b ^ {p}}},}$

то q-й корень из ${displaystyle b ^ {p} !!}$.

Наконец, любой иррациональный номер (действительное число, которое не является рациональным) у могут быть аппроксимированы с произвольной точностью рациональными числами. Это можно использовать для вычисления у-я степень б: Например ${displaystyle {sqrt {2}} примерно 1,414 ...}$ и ${displaystyle b ^ {sqrt {2}}}$ все больше приближается к ${displaystyle b ^ {1}, b ^ {1.4}, b ^ {1.41}, b ^ {1.414}, ...}$. Более подробное объяснение, а также формула б^{м + п} = б^м · б^п содержится в статье о возведение в степень.

Определение

В логарифм положительного действительного числа Икс относительно базы б^{[nb 1]} - показатель, на который б должен быть поднят, чтобы уступить Икс. Другими словами, логарифм Икс основать б это решение у к уравнению^[5]

${displaystyle b ^ {y} = x.}$

Логарифм обозначается "бревно_б Икс"(произносится как" логарифм Икс основать б" или основание-б логарифм Икс"или (чаще всего)" журнал, основание б, из Икс").

В уравнении у = журнал_б Икс, Значение у это ответ на вопрос «К какой власти должны б быть поднятым, чтобы уступить Икс?".

Примеры

• бревно₂ 16 = 4 , поскольку 2⁴ = 2 ×2 × 2 × 2 = 16.
• Логарифмы также могут быть отрицательными: ${displaystyle quad log _ {2}! {frac {1} {2}} = - 1quad}$ поскольку ${displaystyle quad 2 ^ {- 1} = {frac {1} {2 ^ {1}}} = {frac {1} {2}}.}$
• бревно₁₀ 150 составляет приблизительно 2,176, что находится между 2 и 3, а 150 - между 10² = 100 и 10³ = 1000.
• Для любой базы б, бревно_б б = 1 и бревно_б 1 = 0, поскольку б¹ = б и б⁰ = 1, соответственно.

Логарифмические тождества

Несколько важных формул, иногда называемых логарифмические тождества или же логарифмические законы, соотнесите логарифмы друг с другом.^[6]

Произведение, частное, степень и корень

Логарифм произведения - это сумма логарифмов умножаемых чисел; логарифм отношения двух чисел - это разность логарифмов. Логарифм п-я степень числа п умножить на логарифм самого числа; логарифм п-й корень - это логарифм числа, деленного на п. В следующей таблице перечислены эти удостоверения с примерами. Каждое из тождеств может быть получено после подстановки определений логарифма ${displaystyle x = b ^ {log _ {b} x}}$ или же ${displaystyle y = b ^ {log _ {b} y}}$ в левой части.^[1]

	Формула	Пример
Товар	${displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} x + log _ {b} y}$	${displaystyle log _ {3} 243 = log _ {3} (9cdot 27) = log _ {3} 9 + log _ {3} 27 = 2 + 3 = 5}$
Частное	${displaystyle log _ {b}! {frac {x} {y}} = log _ {b} x-log _ {b} y}$	${displaystyle log _ {2} 16 = log _ {2}! {frac {64} {4}} = log _ {2} 64-log _ {2} 4 = 6-2 = 4}$
Мощность	${displaystyle log _ {b} left (x ^ {p} ight) = plog _ {b} x}$	${displaystyle log _ {2} 64 = log _ {2} left (2 ^ {6} ight) = 6log _ {2} 2 = 6}$
Корень	${displaystyle log _ {b} {sqrt [{p}] {x}} = {frac {log _ {b} x} {p}}}$	${displaystyle log _ {10} {sqrt {1000}} = {frac {1} {2}} log _ {10} 1000 = {frac {3} {2}} = 1,5}$

Смена базы

Логарифм бревно_бИкс можно вычислить из логарифмов Икс и б относительно произвольной базы k по следующей формуле:

${displaystyle log _ {b} x = {frac {log _ {k} x} {log _ {k} b}}.,}$

Типичный научные калькуляторы вычислить логарифмы с основанием 10 и е.^[7] Логарифмы по любому основанию б можно определить, используя любой из этих двух логарифмов по предыдущей формуле:

${displaystyle log _ {b} x = {frac {log _ {10} x} {log _ {10} b}} = {frac {log _ {e} x} {log _ {e} b}}., }$

Учитывая число Икс и его логарифм у = журнал_б Икс на неизвестную базу б, база определяется по формуле:

${displaystyle b = x ^ {frac {1} {y}},}$

что видно из определяющего уравнения ${displaystyle x = b ^ {log _ {b} x} = b ^ {y}}$ к власти ${displaystyle; {frac {1} {y}}.}$

Особые базы

Графики логарифма для оснований 0,5, 2 и е

Среди всех вариантов основания три особенно распространены. Это б = 10, б = е (в иррациональный математическая константа ≈ 2,71828), и б = 2 (в двоичный логарифм ). В математический анализ, основание логарифма е широко распространен из-за аналитических свойств, описанных ниже. С другой стороны, база-10 логарифмы легко использовать для ручных вычислений в десятичный система счисления:^[8]

${displaystyle log _ {10} (10x) = log _ {10} 10 + log _ {10} x = 1 + log _ {10} x. }$

Таким образом, бревно₁₀ Икс связано с количеством десятичные цифры положительного целого числа Икс: количество цифр наименьшее целое число строго больше бревна₁₀ Икс.^[9] Например, бревно₁₀1430 составляет приблизительно 3,15. Следующее целое число - 4, то есть 1430 цифр. В формуле используются как натуральный логарифм, так и логарифм с основанием два. теория информации, что соответствует использованию нац или же биты в качестве основных единиц информации соответственно.^[10] Двоичные логарифмы также используются в Информатика, где бинарная система повсеместно; в теория музыки, где коэффициент шага равен двум ( октава ) повсеместно, а цент это двоичный логарифм (в масштабе 1200) отношения между двумя соседними одинаковыми темпами в европейской классическая музыка; И в фотография измерять значения экспозиции.^[11]

В следующей таблице перечислены общие обозначения логарифмов для этих оснований и полей, в которых они используются. Многие дисциплины пишут бревноИкс вместо бревно_б Икс, когда предполагаемая база может быть определена из контекста. Обозначение ^ббревноИкс тоже происходит.^[12] В столбце «Обозначение ISO» перечислены обозначения, предложенные Международная организация по стандартизации (ISO 80000-2 ).^[13] Поскольку обозначение бревно Икс использовалась для всех трех баз (или когда база неопределенная или несущественная), предполагаемая база часто должна выводиться на основе контекста или дисциплины. В информатике бревно обычно относится к бревно₂, а в математике бревно обычно относится к бревно_е.^[14][1] В других контекстах бревно часто означает бревно₁₀.^[15]

История

В история логарифмов в Европе семнадцатого века - открытие нового функция это расширило сферу анализа за рамки алгебраических методов. Метод логарифмов был публично предложен Джон Напье в 1614 г. в книге под названием Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Описание чудесного правила логарифмов).^[22][23] До изобретения Нэпьера существовали и другие методы аналогичного объема, такие как протокаферез или использование таблиц прогрессий, широко разработанных Йост Бюрги около 1600 г.^[24][25] Напье ввел термин «логарифм» в среднелатинском языке, «logarithmorum», производный от греческого, буквально означающий «отношение-число» от логотипы "пропорция, соотношение, слово" + арифмос "номер".

В десятичный логарифм числа - это индекс той степени десяти, которая равна числу.^[26] Говоря о числе, требующем такого количества цифр, является грубым намеком на десятичный логарифм, и на него ссылался Архимед как "порядковый номер".^[27] Первые реальные логарифмы были эвристическими методами, превращавшими умножение в сложение, что облегчало быстрые вычисления. Некоторые из этих методов использовали таблицы, полученные из тригонометрических тождеств.^[28]Такие методы называются протокаферез.

Изобретение функция теперь известный как натуральный логарифм началось как попытка выполнить квадратура прямоугольного гипербола к Грегуар де Сент-Винсент, бельгийский иезуит, проживающий в Праге. Архимед написал Квадратура параболы в третьем веке до нашей эры, но квадратура для гиперболы ускользнула от всех усилий, пока Сент-Винсент не опубликовал свои результаты в 1647 году. Связь, которую логарифм обеспечивает между геометрическая прогрессия в его аргумент и арифметическая прогрессия ценностей, подсказанных А. А. де Сараса связать квадратурную схему Сент-Винсента и традицию логарифмов в протокаферез, что привело к термину «гиперболический логарифм», синониму натурального логарифма. Вскоре новую функцию оценили Кристиан Гюйгенс, и Джеймс Грегори. Обозначение Log y было принято Лейбниц в 1675 г.,^[29] а в следующем году он подключил его к интеграл${displaystyle int {frac {dy} {y}}.}$

Прежде чем Эйлер разработал свою современную концепцию сложных натуральных логарифмов, Роджер Котс имел почти такой же результат, когда в 1714 г. показал, что^[30]

${displaystyle log (cos heta + isin heta) = i heta}$

Таблицы логарифмов, правила слайдов и исторические приложения

1797 г. Британская энциклопедия объяснение логарифмов

Упрощая сложные вычисления до того, как стали доступны калькуляторы и компьютеры, логарифмы способствовали развитию науки, особенно астрономия. Они имели решающее значение для достижений в геодезия, небесная навигация, и другие домены. Пьер-Симон Лаплас называется логарифмами

«... [] замечательная уловка, которая, сокращая до нескольких дней труд многих месяцев, удваивает жизнь астронома и избавляет его от ошибок и отвращения, неотделимых от долгих вычислений».^[31]

Поскольку функция ж(Икс) = б^Икс является обратной функцией журнала_б Икс, его назвали антилогарифм.^[32]

Журнальные таблицы

Ключевым инструментом, сделавшим возможным практическое использование логарифмов, был таблица логарифмов.^[33] Первая такая таблица была составлена Генри Бриггс в 1617 году, сразу после изобретения Нэпьера, но с нововведением использования 10 в качестве основы. Первая таблица Бриггса содержала десятичный логарифм всех целых чисел в диапазоне 1–1000 с точностью до 14 цифр. Впоследствии были написаны таблицы с увеличивающимся объемом. В этих таблицах перечислены значения бревно₁₀ Икс на любой номер Икс в определенном диапазоне, с определенной точностью. Для вычислений повсеместно использовались логарифмы с основанием 10, отсюда и название «десятичный логарифм», поскольку числа, различающиеся в 10 раз, имеют логарифмы, различающиеся целыми числами. Десятичный логарифм Икс можно разделить на целая часть и дробная часть, известный как характеристика и мантисса. Таблицы логарифмов должны включать только мантиссу, поскольку характеристика может быть легко определена путем подсчета цифр от десятичной точки.^[34] Характеристика 10 · Икс это один плюс характеристика Икс, и их мантиссы такие же. Таким образом, используя трехзначную таблицу журнала, логарифм 3542 аппроксимируется следующим образом:

${displaystyle log _ {10} 3542 = log _ {10} (1000cdot 3.542) = 3 + log _ {10} 3.542approx 3 + log _ {10} 3.54,}$

Большую точность можно получить, если интерполяция:

${displaystyle log _ {10} 3542approx 3 + log _ {10} 3,54 + 0,2 (log _ {10} 3,55-log _ {10} 3,54),}$

Значение 10^Икс можно определить обратным поиском в той же таблице, поскольку логарифм монотонная функция.

Расчеты

Произведение и частное двух положительных чисел c и d обычно рассчитывались как сумма и разность их логарифмов. Продукт CD или частное CD получено в результате поиска антилогарифма суммы или разницы по той же таблице:

${displaystyle cd = 10 ^ {log _ {10} c}, 10 ^ {log _ {10} d} = 10 ^ {log _ {10} c + log _ {10} d},}$

и

${displaystyle {frac {c} {d}} = cd ^ {- 1} = 10 ^ {log _ {10} c- log _ {10} d}.,}$

Для ручных вычислений, требующих какой-либо заметной точности, поиск двух логарифмов, вычисление их суммы или разницы и поиск антилогарифма намного быстрее, чем выполнение умножения более ранними методами, такими как протокаферез, который опирается на тригонометрические тождества.

Расчеты мощностей и корни сводятся к умножению или делению и поиску

${displaystyle c ^ {d} = left (10 ^ {log _ {10} c} ight) ^ {d} = 10 ^ {d log _ {10} c},}$

и

${displaystyle {sqrt [{d}] {c}} = c ^ {frac {1} {d}} = 10 ^ {{frac {1} {d}} log _ {10} c}.,}$

Тригонометрические вычисления облегчили таблицы, содержащие десятичные логарифмы тригонометрические функции.

Правила слайдов

Еще одним важным приложением было логарифмическая линейка, пара логарифмически разделенных шкал, используемых для расчета. Нескользящая логарифмическая шкала, Правило Гюнтера, был изобретен вскоре после изобретения Напьера. Уильям Отред усовершенствовал его, чтобы создать логарифмическую линейку - пару логарифмических шкал, подвижных относительно друг друга. Числа расположены на скользящих шкалах на расстояниях, пропорциональных разнице между их логарифмами. Правильное перемещение верхней шкалы означает механическое сложение логарифмов, как показано здесь:

Схематическое изображение логарифмической линейки. Начиная с 2 на нижней шкале, прибавьте расстояние к 3 на верхней шкале, чтобы добраться до продукта 6. Логическая линейка работает, потому что она отмечена так, что расстояние от 1 до Икс пропорциональна логарифму Икс.

Например, добавление расстояния от 1 до 2 на нижней шкале к расстоянию от 1 до 3 на верхней шкале дает произведение 6, которое считывается в нижней части. Логарифмическая линейка была важным инструментом вычислений для инженеров и ученых до 1970-х годов, поскольку она позволяла, за счет точности, выполнять вычисления гораздо быстрее, чем методы, основанные на таблицах.^[35]

Аналитические свойства

Более глубокое изучение логарифмов требует концепции функция. Функция - это правило, которое по одному числу дает другое число.^[36] Примером является функция, производящая Икс-я степень б с любого реального номера Икс, где база б фиксированное число. Эта функция написана: ${displaystyle f (x) = b ^ {x}.,}$

Логарифмическая функция

Чтобы обосновать определение логарифмов, необходимо показать, что уравнение

${displaystyle b ^ {x} = y,}$

есть решение Икс и что это решение уникально при условии, что у положительно и что б положительно и не равно 1. Для доказательства этого факта требуется теорема о промежуточном значении от элементарного исчисление.^[37] Эта теорема утверждает, что непрерывная функция который производит два значения м и п также производит любое значение, которое находится между м и п. Функция непрерывный если он не "прыгает", то есть если его график можно нарисовать, не отрывая ручки.

Можно показать, что это свойство сохраняется для функции ж(Икс) = б^Икс. Потому что ж принимает сколь угодно большие и сколь угодно малые положительные значения, любое число у > 0 лежит между ж(Икс₀) и ж(Икс₁) для подходящего Икс₀ и Икс₁. Следовательно, теорема о промежуточном значении гарантирует, что уравнение ж(Икс) = у есть решение. Более того, есть только одно решение этого уравнения, потому что функция ж является строго возрастающий (за б > 1) или строго убывающая (для 0 < б < 1).^[38]

Уникальное решение Икс это логарифм у основать б, бревно_б у. Функция, которая присваивает у его логарифм называется функция логарифма или же логарифмическая функция (или просто логарифм).

Функция бревно_б Икс в основном характеризуется формулой продукта

${displaystyle log _ {b} (xy) = log _ {b} x + log _ {b} y.}$

Точнее логарифм по любому основанию б > 1 единственный возрастающая функция ж от положительных реалов к реальным удовлетворяющим ж(б) = 1 и ^[39]

${displaystyle f (xy) = f (x) + f (y).}$

Обратная функция

График функции логарифма бревно_б(Икс) (синий) получается отражающий график функции б^Икс (красный) на диагональной линии (Икс = у).

Формула логарифма степени говорит, в частности, что для любого числа Икс,

${displaystyle log _ {b} left (b ^ {x} ight) = xlog _ {b} b = x.}$

В прозе, взяв Икс-го сила б а затем основание-б логарифм возвращает Икс. И наоборот, при положительном числе у, формула

${displaystyle b ^ {log _ {b} y} = y}$

говорит, что сначала логарифм, а затем возведение в степень возвращает у. Таким образом, два возможных способа совмещения (или составление ) логарифмы и возведение в степень возвращают исходное число. Следовательно, логарифм по основанию б это обратная функция из ж(Икс) = б^Икс.^[40]

Обратные функции тесно связаны с исходными функциями. Их графики соответствуют друг другу при обмене Икс- и у-координаты (или при отражении от диагональной линии Икс = у), как показано справа: точка (т, ты = б^т) на графике ж дает точку (ты, т = журнал_б ты) на графике логарифма и наоборот. Как следствие, бревно_б(Икс) расходится до бесконечности (становится больше любого заданного числа), если Икс растет до бесконечности при условии, что б больше единицы. В таком случае, бревно_б(Икс) является возрастающая функция. За б < 1, бревно_б(Икс) вместо этого стремится к минус бесконечности. Когда Икс приближается к нулю, бревно_бИкс уходит в минус бесконечность для б > 1 (плюс бесконечность для б < 1, соответственно).

Производные и первообразные

График натуральный логарифм (зеленый) и его касательная в Икс = 1.5 (чернить)

Аналитические свойства функций переходят к обратным им.^[37] Таким образом, как ж(Икс) = б^Икс является непрерывным и дифференцируемая функция, так это бревно_б у. Грубо говоря, непрерывная функция дифференцируема, если на ее графике нет острых «углов». Более того, поскольку производная из ж(Икс) оценивает ln (б)б^Икс по свойствам экспоненциальная функция, то Правило цепи означает, что производная от бревно_б Икс дан кем-то^[38][41]

${displaystyle {frac {d} {dx}} log _ {b} x = {frac {1} {xln b}}.}$

Это склон из касательная касаясь графика основание-б логарифм в точке (Икс, бревно_б(Икс)) равно 1/(Икс ln (б)).

Производная от ln Икс равно 1 /Икс; это означает, что ln Икс уникальный первообразный из 1/Икс который имеет значение 0 для Икс =1. Именно эта очень простая формула побудила квалифицировать натуральный логарифм как «естественный»; это также одна из основных причин важности постоянного е.

Производная с обобщенным функциональным аргументом ж(Икс) является

${displaystyle {frac {d} {dx}} ln f (x) = {frac {f '(x)} {f (x)}}.}.$

Частное в правой части называется логарифмическая производная из ж. Вычисление f '(Икс) с помощью производной от ln (ж(Икс)) известен как логарифмическое дифференцирование.^[42] Первообразная натуральный логарифм ln (Икс) является:^[43]

${displaystyle int ln (x), dx = xln (x) -x + C.}$

Связанные формулы, такие как первообразные логарифмов с другими основаниями, могут быть получены из этого уравнения, используя замену оснований.^[44]

Интегральное представление натурального логарифма

В натуральный логарифм из т - заштрихованная область под графиком функции ж(Икс) = 1/Икс (взаимно Икс).

В натуральный логарифм из т равно определенный интеграл:

${displaystyle ln (t) = int _ {1} ^ {t} {frac {1} {x}}, dx.}$

Другими словами, ln (т) равна площади между Иксось и график функции 1/Икс, начиная с Икс = 1 к Икс = т. Это следствие основная теорема исчисления и тот факт, что производная от ln (Икс) является 1/Икс. Правая часть этого уравнения может служить определением натуральный логарифм. Формулы логарифма произведения и мощности могут быть выведены из этого определения.^[45] Например, формула продукта ln (ту) = ln (т) + ln (ты) выводится как:

${displaystyle ln (tu) = int _ {1} ^ {tu} {frac {1} {x}}, dx {stackrel {(1)} {=}} int _ {1} ^ {t} {frac { 1} {x}}, dx + int _ {t} ^ {tu} {frac {1} {x}}, dx {stackrel {(2)} {=}} ln (t) + int _ {1} ^ {u} {frac {1} {w}}, dw = ln (t) + ln (u).}$

Равенство (1) разбивает интеграл на две части, а равенство (2) представляет собой замену переменной (ш = Икс/т). На рисунке ниже разделение соответствует разделению области на желтую и синюю части. Масштабирование левой синей области по вертикали на коэффициент т и уменьшение его с тем же коэффициентом по горизонтали не меняет его размера. При правильном перемещении область соответствует графику функции ж(Икс) = 1/Икс опять таки. Следовательно, левая синяя область, которая является интегралом от ж(Икс) из т к ту совпадает с интегралом от 1 до ты. Тем самым равенство (2) подтверждается более геометрическим доказательством.

Наглядное доказательство формулы произведения натурального логарифма

Формула мощности ln (т^р) = р ln (т) можно получить аналогичным образом:

${displaystyle ln (t ^ {r}) = int _ {1} ^ {t ^ {r}} {frac {1} {x}} dx = int _ {1} ^ {t} {frac {1} { w ^ {r}}} left (rw ^ {r-1}, dwight) = rint _ {1} ^ {t} {frac {1} {w}}, dw = rln (t).}$

Во втором равенстве используется замена переменных (интеграция путем замены ), ш = Икс^1/р.

Сумма по обратным натуральным числам,

${displaystyle 1+ {frac {1} {2}} + {frac {1} {3}} + cdots + {frac {1} {n}} = sum _ {k = 1} ^ {n} {frac { 1} {k}},}$

называется гармонический ряд. Это тесно связано с натуральный логарифм: в качестве п как правило бесконечность, разница,

${displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} {frac {1} {k}} - ln (n),}$

сходится (т.е. становится произвольно близким) к числу, известному как Константа Эйлера – Маскерони γ = 0.5772.... Это соотношение помогает анализировать производительность таких алгоритмов, как быстрая сортировка.^[46]

Превосходство логарифма

Действительные числа это не алгебраический называются трансцендентный;^[47] Например, π и е такие числа, но ${displaystyle {sqrt {2- {sqrt {3}}}}}$ не является. Почти все реальные числа трансцендентны. Логарифм является примером трансцендентная функция. В Теорема Гельфонда – Шнайдера утверждает, что логарифмы обычно принимают трансцендентные, т. е. «сложные» значения.^[48]

Расчет

Ключи логарифма (LOG для базы-10 и LN для базы-е) на графическом калькуляторе TI-83 Plus

В некоторых случаях логарифмы легко вычислить, например бревно₁₀(1000) = 3. Как правило, логарифмы можно вычислить с помощью степенной ряд или среднее арифметико-геометрическое, или извлекаться из предварительно рассчитанного таблица логарифмов что обеспечивает фиксированную точность.^[49][50]Метод Ньютона, итерационный метод для приближенного решения уравнений, также можно использовать для вычисления логарифма, поскольку его обратная функция, экспоненциальная функция, может быть вычислена эффективно.^[51] Используя справочные таблицы, КОРДИК -подобные методы могут использоваться для вычисления логарифмов, используя только операции сложения и битовые сдвиги.^[52][53] Более того, алгоритм двоичного логарифмирования вычисляет фунт(Икс) рекурсивно, на основе многократных квадратов Икс, пользуясь соотношением

${displaystyle log _ {2} left (x ^ {2} ight) = 2log _ {2} | x |.}$

Силовая серия

Серия Тейлор

Серия Тейлораln (z) сосредоточен наz = 1. На анимации показаны первые 10 приближений, а также 99-е и 100-е. Приближения не сходятся за пределами расстояния 1 от центра.

Для любого реального числа z это удовлетворяет 0 < z < 2, имеет место следующая формула:^{[№ 4][54]}

${displaystyle {egin {align} ln (z) & = {frac {(z-1) ^ {1}} {1}} - {frac {(z-1) ^ {2}} {2}} + { frac {(z-1) ^ {3}} {3}} - {frac {(z-1) ^ {4}} {4}} + cdots & = sum _ {k = 1} ^ {infty} (-1) ^ {k + 1} {frac {(z-1) ^ {k}} {k}} конец {выровнено}}}$

Это сокращение от того, что ln (z) может быть приближено к более точному значению следующими выражениями:

${displaystyle {egin {array} {lllll} (z-1) && (z-1) & - & {frac {(z-1) ^ {2}} {2}} & (z-1) & - & {frac {(z-1) ^ {2}} {2}} & + & {frac {(z-1) ^ {3}} {3}} vdots & end {array}}}$

Например, с z = 1.5 третье приближение дает 0,4167, что примерно на 0,011 больше, чем ln (1,5) = 0,405465. Этот серии приблизительно ln (z) с произвольной точностью при достаточно большом количестве слагаемых. В элементарном исчислении ln (z) поэтому предел из этой серии. Это Серия Тейлор из натуральный логарифм в z = 1. Серия Тейлора ln (z) обеспечивает особенно полезное приближение к ln (1+z) когда z маленький, |z| < 1, с того времени

${displaystyle ln (1 + z) = z- {frac {z ^ {2}} {2}} + {frac {z ^ {3}} {3}} cdots приблизительно z.}$

Например, с z = 0.1 приближение первого порядка дает ln (1,1) ≈ 0,1, что меньше 5% от правильного значения 0,0953.

Более эффективная серия

Другая серия основана на гиперболический тангенс площади функция:

${displaystyle ln (z) = 2cdot operatorname {artanh}, {frac {z-1} {z + 1}} = 2left ({frac {z-1} {z + 1}} + {frac {1} {3 }} {left ({frac {z-1} {z + 1}} ight)} ^ {3} + {frac {1} {5}} {left ({frac {z-1} {z + 1}) } ight)} ^ {5} + cdots ight),}$

для любого реального числа z > 0.^{[№ 5][54]} С помощью сигма-обозначение, это также записывается как

${displaystyle ln (z) = 2sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {2k + 1}} left ({frac {z-1} {z + 1}} ight) ^ {2k + 1}.}$

Этот ряд может быть получен из приведенного выше ряда Тейлора. Он сходится быстрее, чем ряд Тейлора, особенно если z близко к 1. Например, для z = 1.5, первые три члена второй серии приближают ln (1,5) с ошибкой около 3×10⁻⁶. Быстрая сходимость для z близкое к 1 может быть использовано следующим образом: с учетом приближения с низкой точностью у ≈ ln (z) и положив

${displaystyle A = {frac {z} {exp (y)}} ,,}$

логарифм z является:

${displaystyle ln (z) = y + ln (A).,}$

Чем лучше начальное приближение у есть, тем ближе А равно 1, поэтому его логарифм можно эффективно вычислить. А можно рассчитать с помощью экспоненциальный ряд, который быстро сходится при условии у не слишком большой. Вычисление логарифма большего z можно уменьшить до меньших значений z написав z = а · 10^б, так что ln (z) = ln (а) + б · Ln (10).

Близкий метод можно использовать для вычисления логарифма целых чисел. Положив ${displaystyle extstyle z = {гидроразрыв {n + 1} {n}}}$ в приведенной выше серии следует, что:

${displaystyle ln (n + 1) = ln (n) + 2sum _ {k = 0} ^ {infty} {frac {1} {2k + 1}} left ({frac {1} {2n + 1}} ight ) ^ {2k + 1}.}$

Если логарифм большого целого числа п известно, то этот ряд дает быстро сходящийся ряд для бревно(п+1), с скорость сходимости из ${displaystyle {frac {1} {2n + 1}}}$.

Приближение среднего арифметического и геометрического

В среднее арифметико-геометрическое дает высокоточные аппроксимации натуральный логарифм. Сасаки и Канада показали в 1982 году, что он был особенно быстрым для точности от 400 до 1000 десятичных знаков, в то время как методы серии Тейлора обычно были быстрее, когда требовалась меньшая точность. В своей работе ln (Икс) приближается к точности 2^−п (или же п точные биты) по следующей формуле (из-за Карл Фридрих Гаусс ):^[55][56]

${displaystyle ln (x) приблизительно {frac {pi} {2M (1,2 ^ {2-m} / x)}} - млн (2).}$

Здесь М (Икс,у) обозначает среднее арифметико-геометрическое из Икс и у. Получается путем многократного расчета среднего ${displaystyle (x + y) / 2}$ (среднее арифметическое ) и ${displaystyle {sqrt {xy}}}$ (среднее геометрическое ) из Икс и у тогда пусть эти два числа станут следующими Икс и у. Два числа быстро сходятся к общему пределу, который является значением М (Икс,у). м выбирается так, что

${displaystyle x, 2 ^ {m}> 2 ^ {p / 2}.,}$

для обеспечения необходимой точности. Более крупный м делает М (Икс,у) вычисление требует большего количества шагов (начальные x и y находятся дальше друг от друга, поэтому требуется больше шагов для схождения), но дает большую точность. Константы число Пи и пер (2) можно вычислить с помощью быстро сходящихся рядов.

Алгоритм Фейнмана

В то время как в Лос-Аламосская национальная лаборатория работает над Манхэттенский проект, Ричард Фейнман разработал алгоритм битовой обработки, который похож на длинное деление и позже использовался в Соединительная машина. Алгоритм использует тот факт, что каждое действительное число ${displaystyle 1$ может быть представлен как продукт различных факторов вида ${displaystyle 1 + 2 ^ {- k}}$. Алгоритм последовательно строит этот продукт. ${displaystyle P}$: если ${displaystyle Pcdot (1 + 2 ^ {- k})$, то он меняется ${displaystyle P}$ к ${displaystyle Pcdot (1 + 2 ^ {- k})}$. Затем он увеличивается ${displaystyle k}$ на один независимо. Алгоритм останавливается, когда ${displaystyle k}$ достаточно большой, чтобы обеспечить желаемую точность. Потому что ${журнал displaystyle (x)}$ это сумма слагаемых формы ${журнал displaystyle (1 + 2 ^ {- k})}$ соответствующие тем ${displaystyle k}$ для которого фактор ${displaystyle 1 + 2 ^ {- k}}$ был включен в продукт ${displaystyle P}$, ${журнал displaystyle (x)}$ может быть вычислено простым сложением, используя таблицу ${журнал displaystyle (1 + 2 ^ {- k})}$ для всех ${displaystyle k}$. Для таблицы логарифмов можно использовать любое основание.^[57]

Приложения

А наутилус отображение логарифмической спирали

Логарифмы имеют множество применений в математике и за ее пределами. Некоторые из этих случаев связаны с понятием масштабная инвариантность. Например, каждая камера оболочки наутилус это приблизительная копия следующего, увеличенная с постоянным коэффициентом. Это порождает логарифмическая спираль.^[58] Закон Бенфорда о распределении ведущих цифр также можно объяснить масштабной инвариантностью.^[59] Логарифмы также связаны с самоподобие. Например, логарифмы появляются при анализе алгоритмов, которые решают проблему, разделяя ее на две похожие меньшие проблемы и исправляя их решения.^[60] Размеры самоподобных геометрических фигур, то есть фигур, части которых напоминают общую картину, также основываются на логарифмах.Логарифмические весы полезны для количественной оценки относительного изменения значения, а не его абсолютной разницы. Более того, поскольку логарифмическая функция бревно(Икс) растет очень медленно для больших Икс, логарифмические шкалы используются для сжатия крупномасштабных научных данных. Логарифмы также встречаются во многих научных формулах, таких как Уравнение ракеты Циолковского, то Уравнение Фенске, или Уравнение Нернста.

Логарифмическая шкала

Логарифмическая диаграмма, показывающая значение единицы Goldmark в Папирмарки вовремя Гиперинфляция в Германии в 1920-е годы

Научные величины часто выражаются в виде логарифмов других величин с использованием логарифмическая шкала. Например, децибел это единица измерения связана с логарифмическая шкала количество. Он основан на десятичном логарифме соотношения —10-кратный десятичный логарифм числа мощность отношение или 20-кратный десятичный логарифм Напряжение соотношение. Он используется для количественной оценки потери уровней напряжения при передаче электрических сигналов,^[61] для описания уровней мощности звуков в акустика,^[62] и поглощение света в полях спектрометрия и оптика. В соотношение сигнал шум описывая количество нежелательных шум по отношению к (значимому) сигнал также измеряется в децибелах.^[63] Аналогичным образом пиковое отношение сигнал / шум обычно используется для оценки качества звука и сжатие изображений методы, использующие логарифм.^[64]

Сила землетрясения измеряется десятичным логарифмом энергии, излучаемой при землетрясении. Это используется в шкала моментной магнитуды или Шкала звездных величин Рихтера. Например, землетрясение силой 5.0 баллов происходит 32 раза. (10^1.5) и 6.0 выпускает 1000 раз (10³) энергия 4.0.^[65] Другая логарифмическая шкала кажущаяся величина. Он измеряет яркость звезд логарифмически.^[66] Еще один пример pH в химия; pH - это отрицательное значение десятичного логарифма Мероприятия из гидроксоний ионы (форма водород ионы ЧАС⁺
взять в воду).^[67] Активность ионов гидроксония в нейтральной воде 10⁻⁷ Молл⁻¹, следовательно, pH равен 7. У уксуса обычно pH около 3. Разница в 4 соответствует соотношению 10⁴ активности, то есть активность иона гидроксония уксуса составляет около 10⁻³ Молл⁻¹.

Полулог (логарифмические) графики используют концепцию логарифмического масштаба для визуализации: одна ось, обычно вертикальная, масштабируется логарифмически. Например, диаграмма справа сжимает резкое увеличение с 1 миллиона до 1 триллиона до того же места (на вертикальной оси), что и увеличение с 1 до 1 миллиона. В таких графиках экспоненциальные функции формы ж(Икс) = а · б^Икс выглядят как прямые линии с склон равен логарифму б.Журнал-журнал графики масштабируют обе оси логарифмически, что вызывает функции вида ж(Икс) = а · Икс^k изображаться в виде прямых линий с наклоном, равным показателю степени k. Это применяется при визуализации и анализе законы власти.^[68]

Психология

Логарифмы встречаются в нескольких законах, описывающих человеческое восприятие:^[69][70]Закон Хика предлагает логарифмическую связь между временем, которое люди тратят на выбор альтернативы, и количеством вариантов, которые у них есть.^[71] Закон Фиттса предсказывает, что время, необходимое для быстрого перемещения к целевой области, является логарифмической функцией расстояния до цели и ее размера.^[72] В психофизика, то Закон Вебера – Фехнера предлагает логарифмическую связь между стимул и ощущение например, фактический и воспринимаемый вес предмета, который несет человек.^[73] (Этот «закон», однако, менее реалистичен, чем более поздние модели, такие как Степенной закон Стивенса.^[74])

Психологические исследования показали, что люди с небольшим математическим образованием склонны оценивать величины логарифмически, то есть они помещают число на неотмеченной линии в соответствии с его логарифмом, так что 10 находится так близко к 100, как 100 к 1000. Повышение уровня образования меняет это положение. к линейной оценке (позиционирование 1000 в 10 раз дальше) в некоторых случаях, в то время как логарифмы используются, когда числа, которые нужно построить, трудно построить линейно.^[75][76]

Теория вероятностей и статистика

Три функции плотности вероятности (PDF) случайных величин с логнормальным распределением. Параметр местоположения μ, который равен нулю для всех трех показанных PDF, является средним значением логарифма случайной величины, а не средним значением самой переменной.

Распределение первых цифр (в%, красные полосы) в население 237 стран мира. Черные точки указывают распределение, предсказываемое законом Бенфорда.

Логарифмы возникают в теория вероятности: the закон больших чисел диктует, что для честная монета, по мере того как количество подбрасываний монеты увеличивается до бесконечности, наблюдаемая доля орлов приближается к половине. Колебания этой доли примерно наполовину описываются закон повторного логарифма.^[77]

Логарифмы также встречаются в логнормальные распределения. Когда логарифм случайная переменная имеет нормальное распределение, переменная имеет логнормальное распределение.^[78] Логнормальные распределения встречаются во многих областях, где переменная формируется как произведение многих независимых положительных случайных величин, например, при изучении турбулентности.^[79]

Логарифмы используются для оценка максимального правдоподобия параметрических статистические модели. Для такой модели функция правдоподобия зависит как минимум от одного параметр это необходимо оценить. Максимум функции правдоподобия происходит при том же значении параметра, что и максимум логарифма правдоподобия ("логарифмическая вероятность"), потому что логарифм является возрастающей функцией. Логарифм правдоподобия легче максимизировать, особенно для умноженных правдоподобий для независимый случайные переменные.^[80]

Закон Бенфорда описывает появление цифр во многих наборы данных, например, высоты зданий. В соответствии с законом Бенфорда вероятность того, что первая десятичная цифра элемента в выборке данных равна d (от 1 до 9) равно бревно₁₀(d + 1) - журнал₁₀(d), несмотря на единицы измерения.^[81] Таким образом, можно ожидать, что около 30% данных будут иметь 1 в качестве первой цифры, 18% - с 2 и т. Д. Аудиторы изучают отклонения от закона Бенфорда для выявления мошенничества в бухгалтерском учете.^[82]

Вычислительная сложность

Анализ алгоритмов это филиал Информатика который изучает спектакль из алгоритмы (компьютерные программы, решающие определенную задачу).^[83] Логарифмы полезны для описания алгоритмов, которые разделить проблему на более мелкие и объединить решения подзадач.^[84]

Например, чтобы найти номер в отсортированном списке, алгоритм двоичного поиска проверяет среднюю запись и переходит к половине до или после средней записи, если число все еще не найдено. Этот алгоритм требует, в среднем, бревно₂(N) сравнения, где N длина списка.^[85] Точно так же Сортировка слиянием Алгоритм сортирует несортированный список, разделяя его пополам и сначала сортируя их перед объединением результатов. Алгоритмы сортировки слиянием обычно требуют времени приблизительно пропорционально N · бревно(N).^[86] Основание логарифма здесь не указывается, потому что результат изменяется на постоянный коэффициент только при использовании другого основания. Постоянный коэффициент обычно не учитывается при анализе алгоритмов по стандарту модель единой стоимости.^[87]

Функция ж(Икс) говорят логарифмически расти если ж(Икс) (точно или приблизительно) пропорционально логарифму Икс. (Однако в биологических описаниях роста организма этот термин используется для обозначения экспоненциальной функции.^[88]) Например, любой натуральное число N может быть представлен в двоичная форма не более чем бревно₂(N) + 1 биты. Другими словами, количество объем памяти необходимо хранить N логарифмически растет с N.

Энтропия и хаос

Бильярд на овале бильярдный стол. Две частицы, начиная с центра под углом, отличающимся на один градус, выбирают пути, хаотически расходящиеся из-за размышления на границе.

Энтропия в широком смысле является мерой беспорядка некоторой системы. В статистическая термодинамика, энтропия S некоторой физической системы определяется как

${displaystyle S = -ksum _ {i} p_ {i} ln (p_ {i}).,}$

Сумма по всем возможным состояниям я рассматриваемой системы, например положения частиц газа в контейнере. Более того, п_я вероятность того, что состояние я достигается и k это Постоянная Больцмана. По аналогии, энтропия в теории информации измеряет количество информации. Если получатель сообщения может ожидать любой из N возможных сообщений с равной вероятностью, то количество информации, передаваемой любым таким сообщением, количественно определяется как бревно₂(N) биты.^[89]

Показатели Ляпунова использовать логарифмы, чтобы измерить степень хаотичности динамическая система. Например, для частицы, движущейся по овальному бильярдному столу, даже небольшие изменения начальных условий приводят к очень разным траекториям частицы. Такие системы хаотичный в детерминированный Таким образом, небольшие ошибки измерения начального состояния предсказуемо приводят к существенно разным конечным состояниям.^[90] По крайней мере, один показатель Ляпунова детерминированно хаотической системы положителен.

Фракталы

Треугольник Серпинского (справа) построен путем многократной замены равносторонние треугольники на три меньших.

Логарифмы встречаются в определениях измерение из фракталы.^[91] Фракталы - это геометрические объекты, которые самоподобный: мелкие части воспроизводят, по крайней мере, примерно, всю глобальную структуру. В Треугольник Серпинского (на фото) можно покрыть тремя собственными копиями, каждая из которых имеет стороны, равные половине исходной длины. Это делает Хаусдорфово измерение этой структуры ln (3) / ln (2) ≈ 1,58. Еще одно логарифмическое понятие размерности получается следующим образом: подсчет количества коробок необходимо, чтобы покрыть рассматриваемый фрактал.

Музыка

Четыре разных октавы показаны в линейной шкале, а затем показаны в логарифмической шкале (когда их слышит ухо).

Логарифмы связаны с музыкальными тонами и интервалы. В равный темперамент, соотношение частот зависит только от интервала между двумя тонами, а не от конкретной частоты, или подача, отдельных тонов. Например, Примечание А имеет частоту 440 Гц и B-квартира имеет частоту 466 Гц. Интервал между А и B-квартира это полутон, как и между B-квартира и B (частота 493 Гц). Соответственно, соотношения частот согласуются:

${displaystyle {frac {466} {440}} примерно {frac {493} {466}} примерно 1.059approx {sqrt [{12}] {2}}.}$

Следовательно, для описания интервалов можно использовать логарифмы: интервал измеряется в полутонах, беря база-2^1/12 логарифм частота соотношение, а база-2^1/1200 логарифм отношения частот выражает интервал в центы, сотые доли полутона. Последний используется для более тонкого кодирования, так как он нужен для неравных темпераментов.^[92]

Интервал (два тона воспроизводятся одновременно)	1/12 тона играть в (помощь ·Информация )	Полутон играть в	Просто большая треть играть в	Мажорная треть играть в	Тритон играть в	Октава играть в
Соотношение частот р	${displaystyle 2 ^ {frac {1} {72}} примерно 1,0097}$	${displaystyle 2 ^ {frac {1} {12}} примерно 1,0595}$	${displaystyle {frac {5} {4}} = 1,25}$	${displaystyle {egin {выравнивается} 2 ^ {frac {4} {12}} & = {sqrt [{3}] {2}} & приблизительно 1,2599end {выравнивается}}}$	${displaystyle {egin {выравнивается} 2 ^ {frac {6} {12}} & = {sqrt {2}} & приблизительно 1.4142end {выравнивается}}}$	${displaystyle 2 ^ {frac {12} {12}} = 2}$
Соответствующее количество полутонов ${displaystyle log _ {sqrt [{12}] {2}} (r) = 12log _ {2} (r)}$	${displaystyle {frac {1} {6}},}$	${displaystyle 1,}$	${displaystyle приблизительно 3,8631,}$	${displaystyle 4,}$	${displaystyle 6,}$	${displaystyle 12,}$
Соответствующее количество центов ${displaystyle log _ {sqrt [{1200}] {2}} (r) = 1200log _ {2} (r)}$	${displaystyle 16 {frac {2} {3}},}$	${displaystyle 100,}$	${displaystyle приблизительно 386,31,}$	${displaystyle 400,}$	${displaystyle 600,}$	${displaystyle 1200,}$

Теория чисел

Натуральные логарифмы тесно связаны с подсчет простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, ...), важная тема в теория чисел. Для любого целое число Икс, количество простые числа меньше или равно Икс обозначается π(Икс). В теорема о простых числах утверждает, что π(Икс) приблизительно дается

${displaystyle {frac {x} {ln (x)}},}$

в том смысле, что соотношение π(Икс) и эта доля приближается к 1, когда Икс стремится к бесконечности.^[93] Как следствие, вероятность того, что случайно выбранное число от 1 до Икс просто обратно пропорциональный к количеству десятичных цифр Икс. Гораздо лучшая оценка π(Икс) даетсялогарифмический интеграл смещения функция Ли (Икс), определяется

${displaystyle mathrm {Li} (x) = int _ {2} ^ {x} {frac {1} {ln (t)}}, dt.}$

В Гипотеза Римана, один из старейших открытых математических догадки, можно сформулировать в терминах сравнения π(Икс) и Ли (Икс).^[94] В Теорема Эрдеша – Каца описывая количество различных главные факторы также включает натуральный логарифм.

Логарифм п факториал, п! = 1 · 2 · ... · п, дан кем-то

${displaystyle ln (n!) = ln (1) + ln (2) + cdots + ln (n).,}$

Это можно использовать для получения Формула Стирлинга, приближение п! для больших п.^[95]

Обобщения

Комплексный логарифм

Полярная форма г = х + гу. Обе φ и φ ' аргументы z.

Все сложные числа а которые решают уравнение

${displaystyle e ^ {a} = z}$

называются комплексные логарифмы из z, когда z является (считается) комплексным числом. Комплексное число обычно представляется как г = х + гу, куда Икс и у настоящие числа и я является мнимая единица, квадрат которого равен −1. Такое число можно обозначить точкой на комплексная плоскость, как показано справа. В полярная форма кодирует ненулевое комплексное число z своим абсолютная величина, то есть (положительное, реальное) расстояние р к источник, и угол между действительными (Икс) ось Re и линия, проходящая через начало координат и z. Этот угол называется аргумент из z.

Абсолютное значение р из z дан кем-то

${displaystyle extstyle r = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}$

Используя геометрическую интерпретацию ${displaystyle sin}$ и ${displaystyle cos}$ и их периодичность в ${displaystyle 2pi,}$ любое комплексное число z можно обозначить как

${displaystyle z = x + iy = r (cos varphi + isin varphi) = r (cos (varphi + 2kpi) + isin (varphi + 2kpi)),}$

для любого целого числа k. Очевидно, аргумент z не указано однозначно: оба φ и φ' = φ + 2kπ веские аргументы z для всех целых чисел k, потому что добавление 2kπ радиан или же k⋅360°^{[№ 6]} к φ соответствует "намотке" вокруг начала координат против часовой стрелки на k повороты. Получающееся комплексное число всегда z, как показано справа для k = 1. Можно выбрать ровно один из возможных аргументов z как так называемый главный аргумент, обозначенный Арг (z), с большой буквы А, требуя φ принадлежать к одному, удобно выбранному ходу, например, ${displaystyle -pi$^[96] или же ${displaystyle 0leq varphi <2pi.}$^[97] Эти регионы, где аргумент z однозначно определены, называются ветви функции аргумента.

Основная ветвь (-π, π] комплексного логарифма, Бревно(z). Черная точка на z = 1 соответствует нулевому абсолютному значению и ярче, более насыщенный цвета относятся к большим абсолютным значениям. В оттенок цвета кодирует аргумент Бревно(z).

Формула Эйлера соединяет тригонометрические функции синус и косинус к комплексная экспонента:

${displaystyle e ^ {ivarphi} = cos varphi + isin varphi.}$

Используя эту формулу и снова периодичность, справедливы следующие тождества:^[98]

${displaystyle {egin {array} {lll} z & = & rleft (cos varphi + isin varphi ight) & = & rleft (cos (varphi + 2kpi) + isin (varphi + 2kpi) ight) & = & re ^ {i (varphi + 2kpi)} & = & e ^ {ln (r)} e ^ {i (varphi + 2kpi)} & = & e ^ {ln (r) + i (varphi + 2kpi)} = e ^ {a_ {k }}, конец {массив}}}$

куда ln (р) - единственный действительный натуральный логарифм, а_k обозначают комплексные логарифмы z, и k - произвольное целое число. Следовательно, комплексные логарифмы z, которые представляют собой все эти сложные значения а_k для чего а_k-го сила е равно z, бесконечно много значений

${displaystyle a_ {k} = ln (r) + i (varphi + 2kpi), quad}$ для произвольных целых чисел k.

Принимая k такой, что ${displaystyle varphi + 2kpi}$ находится в пределах определенного интервала для основных аргументов, тогда а_k называется основная стоимость логарифма, обозначенного Бревно(z), снова с большой буквы L. Главный аргумент любого положительного действительного числа Икс равно 0; следовательно Бревно(Икс) является действительным числом и равняется действительному (натуральному) логарифму. Однако приведенные выше формулы для логарифмов произведений и степеней делать нет обобщать к главному значению комплексного логарифма.^[99]

На иллюстрации справа изображено Бревно(z), ограничивая аргументы z к интервалу (-π, π]. Таким образом, соответствующая ветвь комплексного логарифма имеет разрывы на всем протяжении отрицательного действительного числа. Икс оси, что видно по скачку там оттенка. Этот разрыв возникает из-за перехода на другую границу в той же ветви при пересечении границы, т. Е. Не перехода к соответствующему k-значение непрерывно соседней ветви. Такой локус называется срезанная ветка. Снятие ограничений диапазона для аргумента делает отношения "аргументом z", и, следовательно," логарифм z", многозначные функции.

Обратные другие экспоненциальные функции

Возведение в степень происходит во многих областях математики, и его обратная функция часто называется логарифмом. Например, логарифм матрицы является (многозначной) обратной функцией матричная экспонента.^[100] Другой пример - п-адический логарифм, обратная функция п-адическая экспонента. Оба определены через ряд Тейлора, аналогично реальному случаю.^[101] В контексте дифференциальная геометрия, то экспоненциальная карта отображает касательное пространство в точке многообразие к район этой точки. Его обратное также называется логарифмической (или логарифмической) картой.^[102]

В контексте конечные группы возведение в степень дается многократным умножением одного элемента группы б с собой. В дискретный логарифм это целое число п решение уравнения

${displaystyle b ^ {n} = x ,,}$

куда Икс является элементом группы. Возведение в степень может быть эффективным, но считается, что дискретный логарифм очень трудно вычислить в некоторых группах. Эта асимметрия имеет важные приложения в криптография с открытым ключом, например, в Обмен ключами Диффи – Хеллмана, процедура, которая позволяет безопасно обмениваться криптографический ключи по незащищенным информационным каналам.^[103] Логарифм Зеха связана с дискретным логарифмом в мультипликативной группе ненулевых элементов конечное поле.^[104]

Дополнительные логарифмоподобные обратные функции включают двойной логарифм ln (ln (Икс)), супер- или гипер-4-логарифм (небольшая вариация которого называется повторный логарифм в информатике), W функция Ламберта, а логит. Они являются обратными функциями двойная экспоненциальная функция, тетрация, из ж(ш) = мы^ш,^[105] и из логистическая функция, соответственно.^[106]

Связанные понятия

С точки зрения теория групп, личность бревно(CD) = журнал (c) + журнал (d) выражает групповой изоморфизм между положительным реалы при умножении и действительные числа при сложении. Логарифмические функции - единственные непрерывные изоморфизмы между этими группами.^[107] Посредством этого изоморфизма Мера Хаара (Мера Лебега ) dx на вещественных числах соответствует мере Хаара dx/Икс на положительных реалах.^[108] Неотрицательные числа имеют не только умножение, но и сложение, и образуют полукольцо, называется полукольцо вероятностей; это на самом деле полуполе. Затем логарифм принимает умножение к сложению (логарифмическое умножение) и прибавляет к логарифмическому сложению (LogSumExp ), давая изоморфизм полуколец между вероятностным полукольцом и бревенчатое полукольцо.

Логарифмические одноформы df/ж появляться в комплексный анализ и алгебраическая геометрия в качестве дифференциальные формы с логарифмическим полюса.^[109]

В полилогарифм функция, определяемая

${displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z) = sum _ {k = 1} ^ {infty} {z ^ {k} over k ^ {s}}.}$

Это связано с натуральный логарифм к Ли₁(z) = −ln (1 - z). Более того, Ли_s(1) равно Дзета-функция Римана ζ (s).^[110]

Смотрите также

• Кологарифм
• Десятичная экспонента (dex)
• Экспоненциальная функция
• Указатель логарифмических статей
• Логарифмическая запись

Примечания

Рекомендации

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Логарифм в Wikimedia Commons
• Словарное определение логарифм в Викисловарь
• Логарифм (математика) на Британская энциклопедия
• Вайсштейн, Эрик В., "Логарифм", MathWorld
• Khan Academy: Logarithms, бесплатные микролекции онлайн
• «Логарифмическая функция», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Колин Байфлит, Обучающее видео по логарифмам, получено 12 октября 2010
• Эдвард Райт, Перевод работы Напьера о логарифмах, архивировано 3 декабря 2002 г., получено 12 октября 2010CS1 maint: неподходящий URL (связь)
• Глейшер, Джеймс Уитбред Ли (1911), "Логарифм", в Chisholm, Хью (ред.), Британская энциклопедия, 16 (11-е изд.), Cambridge University Press, стр. 868–77