Список интегралов логарифмических функций - List of integrals of logarithmic functions

Ниже приводится список интегралы (первообразный функции) логарифмические функции. Полный список интегральных функций см. список интегралов.

Примечание: Икс > 0 предполагается в этой статье, а постоянная интеграции опущено для простоты.

Интегралы, содержащие только логарифмические функции

${ displaystyle int log _ {a} x , dx = x log _ {a} x - { frac {x} { ln a}} = { frac {x ln xx} { ln а}}}$

${ displaystyle int ln (ax) , dx = x ln (ax) -x}$

${ displaystyle int ln (ax + b) , dx = { frac {(ax + b) ln (ax + b) - (ax + b)} {a}}}$

${ displaystyle int ( ln x) ^ {2} , dx = x ( ln x) ^ {2} -2x ln x + 2x}$

${ displaystyle int ( ln x) ^ {n} , dx = x sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {nk} { frac {n!} {k!} } ( ln x) ^ {k}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { ln x}} = ln | ln x | + ln x + sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac {( ln x ) ^ {k}} {k cdot k!}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { ln x}} = operatorname {li} (x)}$, то логарифмический интеграл.

${ displaystyle int { frac {dx} {( ln x) ^ {n}}} = - { frac {x} {(n-1) ( ln x) ^ {n-1}}} + { frac {1} {n-1}} int { frac {dx} {( ln x) ^ {n-1}}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

Интегралы, включающие логарифмические и степенные функции

${ displaystyle int x ^ {m} ln x , dx = x ^ {m + 1} left ({ frac { ln x} {m + 1}} - { frac {1} {( m + 1) ^ {2}}} right) qquad { mbox {(для}} m neq -1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int x ^ {m} ( ln x) ^ {n} , dx = { frac {x ^ {m + 1} ( ln x) ^ {n}} {m + 1}} - { frac {n} {m + 1}} int x ^ {m} ( ln x) ^ {n-1} dx qquad { mbox {(для}} m neq -1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {( ln x) ^ {n} , dx} {x}} = { frac {( ln x) ^ {n + 1}} {n + 1}} qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac { ln x , dx} {x ^ {m}}} = - { frac { ln x} {(m-1) x ^ {m-1}}} - { frac {1} {(m-1) ^ {2} x ^ {m-1}}} qquad { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {( ln x) ^ {n} , dx} {x ^ {m}}} = - { frac {( ln x) ^ {n}} {(m- 1) x ^ {m-1}}} + { frac {n} {m-1}} int { frac {( ln x) ^ {n-1} dx} {x ^ {m}} } qquad { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {m} , dx} {( ln x) ^ {n}}} = - { frac {x ^ {m + 1}} {(n-1) ( ln x) ^ {n-1}}} + { frac {m + 1} {n-1}} int { frac {x ^ {m} dx} {( ln x) ^ {n -1}}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ln x}} = ln left | ln x right |}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ln x ln ln x}} = ln left | ln left | ln x right | right |}$, так далее.

${ displaystyle int { frac {dx} {x ln ln x}} = operatorname {li} ( ln x)}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {n} ln x}} = ln left | ln x right | + sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(n-1) ^ {k} ( ln x) ^ {k}} {k cdot k!}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ( ln x) ^ {n}}} = - { frac {1} {(n-1) ( ln x) ^ {n-1}} } qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int ln (x ^ {2} + a ^ {2}) , dx = x ln (x ^ {2} + a ^ {2}) - 2x + 2a tan ^ {- 1 } { frac {x} {a}}}$

${ displaystyle int { frac {x} {x ^ {2} + a ^ {2}}} ln (x ^ {2} + a ^ {2}) , dx = { frac {1} {4}} ln ^ {2} (x ^ {2} + a ^ {2})}$

Интегралы, включающие логарифмические и тригонометрические функции

${ displaystyle int sin ( ln x) , dx = { frac {x} {2}} ( sin ( ln x) - cos ( ln x))}$

${ displaystyle int cos ( ln x) , dx = { frac {x} {2}} ( sin ( ln x) + cos ( ln x))}$

Интегралы, включающие логарифмические и экспоненциальные функции

${ displaystyle int e ^ {x} left (x ln xx - { frac {1} {x}} right) , dx = e ^ {x} (x ln xx- ln x) }$

${ displaystyle int { frac {1} {e ^ {x}}} left ({ frac {1} {x}} - ln x right) , dx = { frac { ln x } {е ^ {x}}}}$

${ displaystyle int e ^ {x} left ({ frac {1} { ln x}} - { frac {1} {x ( ln x) ^ {2}}} right) , dx = { frac {e ^ {x}} { ln x}}}$

п последовательные интеграции

За ${ displaystyle n}$ последовательные интегрирования, формула

${ displaystyle int ln x , dx = x ( ln x-1) + C_ {0}}$

обобщает на

${ displaystyle int dotsi int ln x , dx dotsm dx = { frac {x ^ {n}} {n!}} left ( ln , x- sum _ {k = 1 } ^ {n} { frac {1} {k}} right) + sum _ {k = 0} ^ {n-1} C_ {k} { frac {x ^ {k}} {k! }}}$

Рекомендации

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, 1964. Несколько интегралов перечислены на стр.69.