Список интегралов от тригонометрических функций - List of integrals of trigonometric functions

Тригонометрия
Контур История использование Функции  (обратный ) Обобщенная тригонометрия
Ссылка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  (обратные функции ) Производные

Ниже приводится список интегралы (первообразный функции ) из тригонометрические функции. Для первообразных, включающих как экспоненциальные, так и тригонометрические функции, см. Список интегралов от экспоненциальных функций. Полный список первообразных функций см. Списки интегралов. О специальных первообразных, включающих тригонометрические функции, см. Тригонометрический интеграл.

Обычно, если функция ${ Displaystyle грех х}$ - любая тригонометрическая функция, и ${ Displaystyle соз х}$ его производная,

${ displaystyle int a cos nx , dx = { frac {a} {n}} sin nx + C}$

Во всех формулах постоянная а считается отличным от нуля, а C обозначает постоянная интеграции.

Интегрирует только синус

${ displaystyle int sin ax , dx = - { frac {1} {a}} cos ax + C}$

${ displaystyle int sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x} {2}} - { frac {1} {4a}} sin 2ax + C = { frac {x } {2}} - { frac {1} {2a}} sin ax cos ax + C}$

${ displaystyle int sin ^ {3} {ax} , dx = { frac { cos 3ax} {12a}} - { frac {3 cos ax} {4a}} + C}$

${ displaystyle int x sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {2}} {4}} - { frac {x} {4a}} sin 2ax - { гидроразрыв {1} {8a ^ {2}}} cos 2ax + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {3}} {6}} - left ({ frac {x ^ {2}) } {4a}} - { frac {1} {8a ^ {3}}} right) sin 2ax - { frac {x} {4a ^ {2}}} cos 2ax + C}$

${ displaystyle int x sin ax , dx = { frac { sin ax} {a ^ {2}}} - { frac {x cos ax} {a}} + C}$

${ displaystyle int ( sin b_ {1} x) ( sin b_ {2} x) , dx = { frac { sin ((b_ {2} -b_ {1}) x)} {2 (b_ {2} -b_ {1})}} - { frac { sin ((b_ {1} + b_ {2}) x)} {2 (b_ {1} + b_ {2})}} + C qquad { mbox {(для}} | b_ {1} | neq | b_ {2} | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int sin ^ {n} {ax} , dx = - { frac { sin ^ {n-1} ax cos ax} {na}} + { frac {n-1} { n}} int sin ^ {n-2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { sin ax}} = - { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} + cot {ax} right |} + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} { sin ^ {n} ax}} = { frac { cos ax} {a (1-n) sin ^ {n-1} ax}} + { frac {n-2} {n-1}} int { frac {dx} { sin ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} n> 1 { mbox { )}}}$

${ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} sin ax , dx & = - { frac {x ^ {n}} {a}} cos ax + { frac {n} {a} } int x ^ {n-1} cos ax , dx & = sum _ {k = 0} ^ {2k leq n} (- 1) ^ {k + 1} { frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k)!}} cos ax + sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-1-2k}} {a ^ {2 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k-1) !}} sin ax & = - sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} { frac {n!} {(nk)!}} cos left (ax + k { frac { pi} {2}} right) qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}} конец {выровнен}}}$

${ displaystyle int { frac { sin ax} {x}} , dx = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(ax) ^ {2n + 1}} {(2n + 1) cdot (2n + 1)!}} + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax} {x ^ {n}}} , dx = - { frac { sin ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} + { frac {a} {n-1}} int { frac { cos ax} {x ^ {n-1}}} , dx}$

${ displaystyle int { frac {dx} {1 pm sin ax}} = { frac {1} {a}} tan left ({ frac {ax} {2}} mp { frac { pi} {4}} right) + C}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {1+ sin ax}} = { frac {x} {a}} tan left ({ frac {ax} {2}} - { frac { pi} {4}} right) + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | cos left ({ frac {ax} {2}} - { frac { pi} {4}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {1- sin ax}} = { frac {x} {a}} cot left ({ frac { pi} {4}} - { frac {ax} {2}} right) + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | sin left ({ frac { pi} {4}} - { frac {ax} {2}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {1 pm sin ax}} = pm x + { frac {1} {a}} tan left ({ frac { pi } {4}} mp { frac {ax} {2}} right) + C}$

Интегрирует только косинус

${ displaystyle int cos ax , dx = { frac {1} {a}} sin ax + C}$

${ displaystyle int cos ^ {2} {ax} , dx = { frac {x} {2}} + { frac {1} {4a}} sin 2ax + C = { frac {x } {2}} + { frac {1} {2a}} sin ax cos ax + C}$

${ displaystyle int cos ^ {n} ax , dx = { frac { cos ^ {n-1} ax sin ax} {na}} + { frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int x cos ax , dx = { frac { cos ax} {a ^ {2}}} + { frac {x sin ax} {a}} + C}$

${ displaystyle int x ^ {2} cos ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {3}} {6}} + left ({ frac {x ^ {2}) } {4a}} - { frac {1} {8a ^ {3}}} right) sin 2ax + { frac {x} {4a ^ {2}}} cos 2ax + C}$

${ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} cos ax , dx & = { frac {x ^ {n} sin ax} {a}} - { frac {n} {a} } int x ^ {n-1} sin ax , dx & = sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-2k-1}} {a ^ {2 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k-1)!}} cos ax + sum _ {k = 0} ^ { 2k leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} { frac {n!} {(N-2k)!} } sin ax & = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1+ k}}} { frac {n!} {(nk)!}} cos left (ax - { frac {(-1) ^ {k} +1} {2}} { frac { pi } {2}} right) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} { frac {n! } {(nk)!}} sin left (ax + k { frac { pi} {2}} right) qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}} конец {выровнено}}}$

${ displaystyle int { frac { cos ax} {x}} , dx = ln | ax | + sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(ax) ^ {2k}} {2k cdot (2k)!}} + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax} {x ^ {n}}} , dx = - { frac { cos ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} - { frac {a} {n-1}} int { frac { sin ax} {x ^ {n-1}}} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { cos ax}} = { frac {1} {a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac { sin ax} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax}} + { frac {n-2} {n-1}} int { frac {dx} { cos ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} n> 1 { mbox { )}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {1+ cos ax}} = { frac {1} {a}} tan { frac {ax} {2}} + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} {1- cos ax}} = - { frac {1} {a}} cot { frac {ax} {2}} + C}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {1+ cos ax}} = { frac {x} {a}} tan { frac {ax} {2}} + { frac { 2} {a ^ {2}}} ln left | cos { frac {ax} {2}} right | + C}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {1- cos ax}} = - { frac {x} {a}} cot { frac {ax} {2}} + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | sin { frac {ax} {2}} right | + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {1+ cos ax}} = x - { frac {1} {a}} tan { frac {ax} {2}} + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {1- cos ax}} = - x - { frac {1} {a}} cot { frac {ax} {2}} + C}$

${ displaystyle int ( соз a_ {1} x) ( cos a_ {2} x) , dx = { frac { sin ((a_ {2} -a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} -a_ {1})}} + { frac { sin ((a_ {2} + a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} + a_ {1})}} + C qquad { mbox {(для}} | a_ {1} | neq | a_ {2} | { mbox {)}}}$

Интегрирует только касательная

${ displaystyle int tan ax , dx = - { frac {1} {a}} ln | cos ax | + C = { frac {1} {a}} ln | sec ax | + C}$

${ displaystyle int tan ^ {2} {x} , dx = tan {x} -x + C}$

${ displaystyle int tan ^ {n} ax , dx = { frac {1} {a (n-1)}} tan ^ {n-1} ax- int tan ^ {n-2 } ax , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {q tan ax + p}} = { frac {1} {p ^ {2} + q ^ {2}}} (px + { frac {q} { a}} ln | q sin ax + p cos ax |) + C qquad { mbox {(для}} p ^ {2} + q ^ {2} neq 0 { mbox {)}} }$

${ displaystyle int { frac {dx} { tan ax pm 1}} = pm { frac {x} {2}} + { frac {1} {2a}} ln | sin ax pm cos ax | + C}$

${ displaystyle int { frac { tan ax , dx} { tan ax pm 1}} = { frac {x} {2}} mp { frac {1} {2a}} ln | sin ax pm cos ax | + C}$

Интегрирует только секущий

Видеть Интеграл секущей функции.

${ displaystyle int sec {ax} , dx = { frac {1} {a}} ln { left | sec {ax} + tan {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | tan { left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} right |} + C}$

${ displaystyle int sec ^ {2} {x} , dx = tan {x} + C}$

${ displaystyle int sec ^ {3} {x} , dx = { frac {1} {2}} sec x tan x + { frac {1} {2}} ln | sec x + tan x | + C.}$

${ displaystyle int sec ^ {n} {ax} , dx = { frac { sec ^ {n-2} {ax} tan {ax}} {a (n-1)}} , + , { frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {n-2} {ax} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { sec {x} +1}} = x- tan { frac {x} {2}} + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} { sec {x} -1}} = - x- cot { frac {x} {2}} + C}$

Интегрирует только косеканс

${ displaystyle int csc {ax} , dx = - { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} + cot {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} - cot {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | загар { left ({ frac {ax} {2}} right)} right |} + C}$

${ displaystyle int csc ^ {2} {x} , dx = - cot {x} + C}$

${ displaystyle int csc ^ {3} {x} , dx = - { frac {1} {2}} csc x cot x - { frac {1} {2}} ln | csc x + cot x | + C = - { frac {1} {2}} csc x cot x + { frac {1} {2}} ln | csc x- cot x | + C}$

${ displaystyle int csc ^ {n} {ax} , dx = - { frac { csc ^ {n-2} {ax} cot {ax}} {a (n-1)}} , + , { frac {n-2} {n-1}} int csc ^ {n-2} {ax} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} { csc {x} +1}} = x - { frac {2} { cot { frac {x} {2}} + 1}} + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} { csc {x} -1}} = - x + { frac {2} { cot { frac {x} {2}} - 1}} + C}$

Интегрирует только котангенс

${ Displaystyle int cot ax , dx = { frac {1} {a}} ln | sin ax | + C}$

${ displaystyle int cot ^ {2} {x} , dx = - cot {x} -x + C}$

${ Displaystyle int cot ^ {n} ax , dx = - { frac {1} {a (n-1)}} cot ^ {n-1} ax- int cot ^ {n- 2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {1+ cot ax}} = int { frac { tan ax , dx} { tan ax + 1}} = { frac {x} {2 }} - { frac {1} {2a}} ln | sin ax + cos ax | + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} {1- cot ax}} = int { frac { tan ax , dx} { tan ax-1}} = { frac {x} {2 }} + { frac {1} {2a}} ln | sin ax- cos ax | + C}$

Интегранты с участием обоих синус и косинус

Интеграл, который является рациональной функцией синуса и косинуса, можно вычислить с помощью Правила Bioche.

${ displaystyle int { frac {dx} { cos ax pm sin ax}} = { frac {1} {a { sqrt {2}}}} ln left | tan left ( { frac {ax} {2}} pm { frac { pi} {8}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} {( cos ax pm sin ax) ^ {2}}} = { frac {1} {2a}} tan left (ax mp { frac { pi} {4}} right) + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} {( cos x + sin x) ^ {n}}} = { frac {1} {n-1}} left ({ frac { sin x- cos x} {( cos x + sin x) ^ {n-1}}} - 2 (n-2) int { frac {dx} {( cos x + sin x) ^ {n-2 }}}верно)}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { cos ax + sin ax}} = { frac {x} {2}} + { frac {1} {2a}} ln left | sin ax + cos ax right | + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { cos ax- sin ax}} = { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax- cos ax right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ax + sin ax}} = { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax + cos ax right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ax- sin ax}} = - { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax- cos ax right | + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {( sin ax) (1+ cos ax)}} = - { frac {1} {4a}} tan ^ {2} { frac {ax} {2}} + { frac {1} {2a}} ln left | tan { frac {ax} {2}} right | + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {( sin ax) (1- cos ax)}} = - { frac {1} {4a}} cot ^ {2} { frac {ax} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | tan { frac {ax} {2}} right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {( cos ax) (1+ sin ax)}} = { frac {1} {4a}} cot ^ {2} left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) + { frac {1} {2a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {( cos ax) (1- sin ax)}} = { frac {1} {4a}} tan ^ {2} left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) - { frac {1} {2a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}$

${ displaystyle int ( sin ax) ( cos ax) , dx = { frac {1} {2a}} sin ^ {2} ax + C}$

${ displaystyle int ( sin a_ {1} x) ( cos a_ {2} x) , dx = - { frac { cos ((a_ {1} -a_ {2}) x)} { 2 (a_ {1} -a_ {2})}} - { frac { cos ((a_ {1} + a_ {2}) x)} {2 (a_ {1} + a_ {2})} } + C qquad { mbox {(для}} | a_ {1} | neq | a_ {2} | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int ( sin ^ {n} ax) ( cos ax) , dx = { frac {1} {a (n + 1)}} sin ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int ( sin ax) ( cos ^ {n} ax) , dx = - { frac {1} {a (n + 1)}} cos ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle { begin {align} int ( sin ^ {n} ax) ( cos ^ {m} ax) , dx & = - { frac {( sin ^ {n-1} ax) ( cos ^ {m + 1} ax)} {a (n + m)}} + { frac {n-1} {n + m}} int ( sin ^ {n-2} ax) ( cos ^ {m} ax) , dx qquad { mbox {(for}} m, n> 0 { mbox {)}} & = { frac {( sin ^ {n + 1} ax ) ( cos ^ {m-1} ax)} {a (n + m)}} + { frac {m-1} {n + m}} int ( sin ^ {n} ax) ( cos ^ {m-2} ax) , dx qquad { mbox {(для}} m, n> 0 { mbox {)}} end {выровнено}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ax)}} = { frac {1} {a}} ln left | tan ax right | + C}$

${ displaystyle int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ^ {n} ax)}} = { frac {1} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax}} + int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ^ {n-2} ax)}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {) }}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {( sin ^ {n} ax) ( cos ax)}} = - { frac {1} {a (n-1) sin ^ {n-1 } ax}} + int { frac {dx} {( sin ^ {n-2} ax) ( cos ax)}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox { )}}}$

${ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac {1} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax} } + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac { sin ^ {2} ax , dx} { cos ax}} = - { frac {1} {a}} sin ax + { frac {1} {a} } ln left | tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac {ax} {2}} right) right | + C}$

${ displaystyle int { frac { sin ^ {2} ax , dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac { sin ax} {a (n-1) cos ^ { n-1} ax}} - { frac {1} {n-1}} int { frac {dx} { cos ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} п neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle { begin {align} int { frac { sin ^ {2} x} {1+ cos ^ {2} x}} , dx & = { sqrt {2}} operatorname {арктангант } left ({ frac { tan x} { sqrt {2}}} right) -x qquad { mbox {(для x in}}] - { frac { pi} {2}} ; + { frac { pi} {2}} [{ mbox {)}} & = { sqrt {2}} operatorname {arctangant} left ({ frac { tan x} { sqrt {2}}} right) - operatorname {arctangant} left ( tan x right) qquad { mbox {(на этот раз x - любое действительное число}} { mbox {)}} end { выровнено}}}$

${ displaystyle int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ax}} = - { frac { sin ^ {n-1} ax} {a (n-1)} } + int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ax}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ^ {m} ax}} = { begin {cases} { frac { sin ^ {n + 1} ax } {a (m-1) cos ^ {m-1} ax}} - { frac {n-m + 2} {m-1}} int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} { frac { sin ^ {n-1} ax } {a (m-1) cos ^ {m-1} ax}} - { frac {n-1} {m-1}} int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} - { frac { sin ^ {n-1} ax} {a (нм) cos ^ {m-1} ax}} + { frac {n-1} {nm}} int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ^ {m} ax}} & { mbox {(для}} m neq n { mbox {)}} end {case}}}$

${ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { sin ^ {n} ax}} = - { frac {1} {a (n-1) sin ^ {n-1} ax }} + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac { cos ^ {2} ax , dx} { sin ax}} = { frac {1} {a}} left ( cos ax + ln left | tan { frac {ax} {2}} right | right) + C}$

${ displaystyle int { frac { cos ^ {2} ax , dx} { sin ^ {n} ax}} = - { frac {1} {n-1}} left ({ frac { cos ax} {a sin ^ {n-1} ax}} + int { frac {dx} { sin ^ {n-2} ax}} right) qquad { mbox {(для }} n neq 1 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac { cos ^ {n} ax , dx} { sin ^ {m} ax}} = { begin {cases} - { frac { cos ^ {n + 1} ax} {a (m-1) sin ^ {m-1} ax}} - { frac {n-m + 2} {m-1}} int { frac { cos ^ {n} ax , dx} { sin ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} - { frac { cos ^ {n-1 } ax} {a (m-1) sin ^ {m-1} ax}} - { frac {n-1} {m-1}} int { frac { cos ^ {n-2} ax , dx} { sin ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} { frac { cos ^ {n-1 } ax} {a (нм) sin ^ {m-1} ax}} + { frac {n-1} {nm}} int { frac { cos ^ {n-2} ax , dx } { sin ^ {m} ax}} & { mbox {(для}} m neq n { mbox {)}} end {case}}}$

Интегранты с участием обоих синус и касательная

${ displaystyle int ( sin ax) ( tan ax) , dx = { frac {1} {a}} ( ln | sec ax + tan ax | - sin ax) + C}$

${ displaystyle int { frac { tan ^ {n} ax , dx} { sin ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (n-1)}} tan ^ { n-1} (ax) + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

Integrand с участием обоих косинус и касательная

${ displaystyle int { frac { tan ^ {n} ax , dx} { cos ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (n + 1)}} tan ^ { n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}$

Integrand с участием обоих синус и котангенс

${ displaystyle int { frac { cot ^ {n} ax , dx} { sin ^ {2} ax}} = - { frac {1} {a (n + 1)}} cot ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}$

Integrand с участием обоих косинус и котангенс

${ displaystyle int { frac { cot ^ {n} ax , dx} { cos ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (1-n)}} tan ^ { 1-n} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}$

Integrand с участием обоих секущий и касательная

${ Displaystyle Int ( сек х) ( загар х) , dx = сек х + С}$

Integrand с участием обоих косеканс и котангенс

${ displaystyle int ( csc x) ( cot x) , dx = - csc x + C}$

Интегралы за четверть периода

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx = { begin {cases} { frac {n-1} {n}} cdot { frac {n-3} {n-2}} cdots { frac {3} {4}} cdot { frac {1} {2}} cdot { frac { pi} {2}}, & { text {if}} n { text {четное}} { frac {n-1} {n}} cdot { frac {n-3} {n-2}} cdots { frac {4} {5}} cdot { frac {2} {3}}, & { text {if}} n { text {нечетное и больше 1}} 1, & { text {if}} n = 1 end {case}}}$

Интегралы с симметричными пределами

${ displaystyle int _ {- c} ^ {c} sin {x} , dx = 0}$

${ displaystyle int _ {- c} ^ {c} cos {x} , dx = 2 int _ {0} ^ {c} cos {x} , dx = 2 int _ {- c } ^ {0} cos {x} , dx = 2 sin {c}}$

${ displaystyle int _ {- c} ^ {c} tan {x} , dx = 0}$

${ displaystyle int _ {- { frac {a} {2}}} ^ { frac {a} {2}} x ^ {2} cos ^ {2} { frac {n pi x} {a}} , dx = { frac {a ^ {3} (n ^ {2} pi ^ {2} -6)} {24n ^ {2} pi ^ {2}}} qquad { mbox {(для}} n = 1,3,5 ... { mbox {)}}}$

${ displaystyle int _ { frac {-a} {2}} ^ { frac {a} {2}} x ^ {2} sin ^ {2} { frac {n pi x} {a }} , dx = { frac {a ^ {3} (n ^ {2} pi ^ {2} -6 (-1) ^ {n})} {24n ^ {2} pi ^ {2 }}} = { frac {a ^ {3}} {24}} (1-6 { frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2} pi ^ {2}}}) qquad { mbox {(для}} n = 1,2,3, ... { mbox {)}}}$

Интеграл по полному кругу

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin ^ {2m + 1} {x} cos ^ {n} {x} , dx = 0 ! qquad n, m in mathbb {Z}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin ^ {m} {x} cos ^ {2n + 1} {x} , dx = 0 ! qquad n, m in mathbb {Z}}$

Смотрите также

• Тригонометрический интеграл

Рекомендации