Статья со списком Википедии
Ниже приводится список интегралы (первообразный функции ) из тригонометрические функции. Для первообразных, включающих как экспоненциальные, так и тригонометрические функции, см. Список интегралов от экспоненциальных функций. Полный список первообразных функций см. Списки интегралов. О специальных первообразных, включающих тригонометрические функции, см. Тригонометрический интеграл.
Обычно, если функция
- любая тригонометрическая функция, и
его производная,
![{ displaystyle int a cos nx , dx = { frac {a} {n}} sin nx + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b235833736ee6579828397cf22e6a166efb867be)
Во всех формулах постоянная а считается отличным от нуля, а C обозначает постоянная интеграции.
Интегрирует только синус
![{ displaystyle int sin ax , dx = - { frac {1} {a}} cos ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17155f417f1407848abf8090096e58430a91d17a)
![{ displaystyle int sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x} {2}} - { frac {1} {4a}} sin 2ax + C = { frac {x } {2}} - { frac {1} {2a}} sin ax cos ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94366ec919d67a0f06bb6431029d29b096de77bb)
![{ displaystyle int sin ^ {3} {ax} , dx = { frac { cos 3ax} {12a}} - { frac {3 cos ax} {4a}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da591fb70e83503367cffa5f8df86754f0181d86)
![{ displaystyle int x sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {2}} {4}} - { frac {x} {4a}} sin 2ax - { гидроразрыв {1} {8a ^ {2}}} cos 2ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5aedf47e3b2a17b7f494177d2af59abf5546799)
![{ displaystyle int x ^ {2} sin ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {3}} {6}} - left ({ frac {x ^ {2}) } {4a}} - { frac {1} {8a ^ {3}}} right) sin 2ax - { frac {x} {4a ^ {2}}} cos 2ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3902717b8ce182f19cd31aba15f8d9a1cfb72f04)
![{ displaystyle int x sin ax , dx = { frac { sin ax} {a ^ {2}}} - { frac {x cos ax} {a}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a98562978db18283202b5ee81589cf1c2dc28d4)
![{ displaystyle int ( sin b_ {1} x) ( sin b_ {2} x) , dx = { frac { sin ((b_ {2} -b_ {1}) x)} {2 (b_ {2} -b_ {1})}} - { frac { sin ((b_ {1} + b_ {2}) x)} {2 (b_ {1} + b_ {2})}} + C qquad { mbox {(для}} | b_ {1} | neq | b_ {2} | { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30af1446096168913a18a6ee6730651dbe1171b0)
![{ displaystyle int sin ^ {n} {ax} , dx = - { frac { sin ^ {n-1} ax cos ax} {na}} + { frac {n-1} { n}} int sin ^ {n-2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0deecb19cfb405b9e63035571068c18e9a6439e4)
![{ displaystyle int { frac {dx} { sin ax}} = - { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} + cot {ax} right |} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a4cc7433bffdc5cb3e9a1e92fb0990988bce7d)
![{ displaystyle int { frac {dx} { sin ^ {n} ax}} = { frac { cos ax} {a (1-n) sin ^ {n-1} ax}} + { frac {n-2} {n-1}} int { frac {dx} { sin ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} n> 1 { mbox { )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41545887c45e5c335c5654fd728b68e2b570bdd3)
![{ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} sin ax , dx & = - { frac {x ^ {n}} {a}} cos ax + { frac {n} {a} } int x ^ {n-1} cos ax , dx & = sum _ {k = 0} ^ {2k leq n} (- 1) ^ {k + 1} { frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k)!}} cos ax + sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-1-2k}} {a ^ {2 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k-1) !}} sin ax & = - sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} { frac {n!} {(nk)!}} cos left (ax + k { frac { pi} {2}} right) qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}} конец {выровнен}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ccfd65881e83676b003b2d02c50af8e82045282)
![{ displaystyle int { frac { sin ax} {x}} , dx = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {(ax) ^ {2n + 1}} {(2n + 1) cdot (2n + 1)!}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dba87ad697f99f043327f310fe9b7b966fd7943)
![{ displaystyle int { frac { sin ax} {x ^ {n}}} , dx = - { frac { sin ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} + { frac {a} {n-1}} int { frac { cos ax} {x ^ {n-1}}} , dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1dcfdaf90a90cb3d3e38a3865f92682ab04da8e)
![{ displaystyle int { frac {dx} {1 pm sin ax}} = { frac {1} {a}} tan left ({ frac {ax} {2}} mp { frac { pi} {4}} right) + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8439ef42a168ed7e05a7efea83b205790ceb59)
![{ displaystyle int { frac {x , dx} {1+ sin ax}} = { frac {x} {a}} tan left ({ frac {ax} {2}} - { frac { pi} {4}} right) + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | cos left ({ frac {ax} {2}} - { frac { pi} {4}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d08dadaff5165e64f02d1efcc3a48ab10c8c8f9e)
![{ displaystyle int { frac {x , dx} {1- sin ax}} = { frac {x} {a}} cot left ({ frac { pi} {4}} - { frac {ax} {2}} right) + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | sin left ({ frac { pi} {4}} - { frac {ax} {2}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2037a630f830c597c4126f076edd449c8967fbea)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {1 pm sin ax}} = pm x + { frac {1} {a}} tan left ({ frac { pi } {4}} mp { frac {ax} {2}} right) + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1baffb49b75cb47bcc18564e62c50ad40cc37c11)
Интегрирует только косинус
![{ displaystyle int cos ax , dx = { frac {1} {a}} sin ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76fe3b3af800a174faece0db14fcdded789dc979)
![{ displaystyle int cos ^ {2} {ax} , dx = { frac {x} {2}} + { frac {1} {4a}} sin 2ax + C = { frac {x } {2}} + { frac {1} {2a}} sin ax cos ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5a154836333fe3188bc000c0cfe80b86fc8915)
![{ displaystyle int cos ^ {n} ax , dx = { frac { cos ^ {n-1} ax sin ax} {na}} + { frac {n-1} {n}} int cos ^ {n-2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639c6c30dfaf86cd9b2909bb68fc90bf408e1f8d)
![{ displaystyle int x cos ax , dx = { frac { cos ax} {a ^ {2}}} + { frac {x sin ax} {a}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d58daa2d9b221f46b811e2a25309b0fcb64c678)
![{ displaystyle int x ^ {2} cos ^ {2} {ax} , dx = { frac {x ^ {3}} {6}} + left ({ frac {x ^ {2}) } {4a}} - { frac {1} {8a ^ {3}}} right) sin 2ax + { frac {x} {4a ^ {2}}} cos 2ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a82a134604ff47f5aecb2a44a092592d160dfc)
![{ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} cos ax , dx & = { frac {x ^ {n} sin ax} {a}} - { frac {n} {a} } int x ^ {n-1} sin ax , dx & = sum _ {k = 0} ^ {2k + 1 leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-2k-1}} {a ^ {2 + 2k}}} { frac {n!} {(n-2k-1)!}} cos ax + sum _ {k = 0} ^ { 2k leq n} (- 1) ^ {k} { frac {x ^ {n-2k}} {a ^ {1 + 2k}}} { frac {n!} {(N-2k)!} } sin ax & = sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1+ k}}} { frac {n!} {(nk)!}} cos left (ax - { frac {(-1) ^ {k} +1} {2}} { frac { pi } {2}} right) & = sum _ {k = 0} ^ {n} { frac {x ^ {nk}} {a ^ {1 + k}}} { frac {n! } {(nk)!}} sin left (ax + k { frac { pi} {2}} right) qquad { mbox {(для}} n> 0 { mbox {)}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2952871c166663dab259233754344b795ba1e9b3)
![{ displaystyle int { frac { cos ax} {x}} , dx = ln | ax | + sum _ {k = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {k} { frac {(ax) ^ {2k}} {2k cdot (2k)!}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d82b8c7f2081edd47994c4c5600916e3800fb48)
![{ displaystyle int { frac { cos ax} {x ^ {n}}} , dx = - { frac { cos ax} {(n-1) x ^ {n-1}}} - { frac {a} {n-1}} int { frac { sin ax} {x ^ {n-1}}} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746c4c93320501bdbf8fe4c10f4ecf86830fd1af)
![{ displaystyle int { frac {dx} { cos ax}} = { frac {1} {a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5013bc2428b1006b40c999d6b427a36f5cf0620)
![{ displaystyle int { frac {dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac { sin ax} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax}} + { frac {n-2} {n-1}} int { frac {dx} { cos ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} n> 1 { mbox { )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d30472f0c6af81bbfb58ba6fe4370a9f7f3c8f)
![{ displaystyle int { frac {dx} {1+ cos ax}} = { frac {1} {a}} tan { frac {ax} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a971cb7f555d9f48a9f2b820bcc7fe53f2436c)
![{ displaystyle int { frac {dx} {1- cos ax}} = - { frac {1} {a}} cot { frac {ax} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a8d0cb833e9a78d8ea6ff57d1ce08c44aaa09c7)
![{ displaystyle int { frac {x , dx} {1+ cos ax}} = { frac {x} {a}} tan { frac {ax} {2}} + { frac { 2} {a ^ {2}}} ln left | cos { frac {ax} {2}} right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d39822052ca12c117f7121ef13f59d7fadd8ace)
![{ displaystyle int { frac {x , dx} {1- cos ax}} = - { frac {x} {a}} cot { frac {ax} {2}} + { frac {2} {a ^ {2}}} ln left | sin { frac {ax} {2}} right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c71e740a637ad718742a884ab0284c19dcf861)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {1+ cos ax}} = x - { frac {1} {a}} tan { frac {ax} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868e1340952b82a678a6ca4c964455ffdb51ec09)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {1- cos ax}} = - x - { frac {1} {a}} cot { frac {ax} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/376acd5ba6dda72e5511ca987900ff39f82c3462)
![{ displaystyle int ( соз a_ {1} x) ( cos a_ {2} x) , dx = { frac { sin ((a_ {2} -a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} -a_ {1})}} + { frac { sin ((a_ {2} + a_ {1}) x)} {2 (a_ {2} + a_ {1})}} + C qquad { mbox {(для}} | a_ {1} | neq | a_ {2} | { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/813b2d66a6b5cbd286ad30d71d441aa57081c0e8)
![{ displaystyle int tan ax , dx = - { frac {1} {a}} ln | cos ax | + C = { frac {1} {a}} ln | sec ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34ce80d93081408154a153d81d896074b17aae3)
![{ displaystyle int tan ^ {2} {x} , dx = tan {x} -x + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b8d69c24a94eed938f2e751572e874aff74f7f)
![{ displaystyle int tan ^ {n} ax , dx = { frac {1} {a (n-1)}} tan ^ {n-1} ax- int tan ^ {n-2 } ax , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/925e1c6fdb836817a46dedd56d9ad1ba3dfbd3aa)
![{ displaystyle int { frac {dx} {q tan ax + p}} = { frac {1} {p ^ {2} + q ^ {2}}} (px + { frac {q} { a}} ln | q sin ax + p cos ax |) + C qquad { mbox {(для}} p ^ {2} + q ^ {2} neq 0 { mbox {)}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c8618438a2fdaff26687b201395b05458f808c0)
![{ displaystyle int { frac {dx} { tan ax pm 1}} = pm { frac {x} {2}} + { frac {1} {2a}} ln | sin ax pm cos ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9a9103841527de43578c2e7776aeb81f0fb114a)
![{ displaystyle int { frac { tan ax , dx} { tan ax pm 1}} = { frac {x} {2}} mp { frac {1} {2a}} ln | sin ax pm cos ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65135188c69d920b9f24937a482993fed82a9)
Интегрирует только секущий
- Видеть Интеграл секущей функции.
![{ displaystyle int sec {ax} , dx = { frac {1} {a}} ln { left | sec {ax} + tan {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | tan { left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right)} right |} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40902f4555203d4dc0ac78055f82f2fafaba0e18)
![{ displaystyle int sec ^ {2} {x} , dx = tan {x} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62448efb9e0512c1014643b2efa34928c397f1b0)
![int sec ^ 3 {x} , dx = frac {1} {2} sec x tan x + frac {1} {2} ln | sec x + tan x | + С.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5caad7043f7aa20013456e428c64b7fba0df359f)
![{ displaystyle int sec ^ {n} {ax} , dx = { frac { sec ^ {n-2} {ax} tan {ax}} {a (n-1)}} , + , { frac {n-2} {n-1}} int sec ^ {n-2} {ax} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb83a90e69050a71b631b159f1b641738f85054)
![{ displaystyle int { frac {dx} { sec {x} +1}} = x- tan { frac {x} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9acabbd90de19b0d361d572dce3398a57c9d653f)
![{ displaystyle int { frac {dx} { sec {x} -1}} = - x- cot { frac {x} {2}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2845a0bb3c940ca6f9d98303dd5944618ad6a93c)
Интегрирует только косеканс
![{ displaystyle int csc {ax} , dx = - { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} + cot {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | csc {ax} - cot {ax} right |} + C = { frac {1} {a}} ln { left | загар { left ({ frac {ax} {2}} right)} right |} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc95cac097eea7e31fbb0a49f428dd903d68a25e)
![{ displaystyle int csc ^ {2} {x} , dx = - cot {x} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417803af6cef8535c9b9ee74f75a20ab4180fac0)
![{ displaystyle int csc ^ {3} {x} , dx = - { frac {1} {2}} csc x cot x - { frac {1} {2}} ln | csc x + cot x | + C = - { frac {1} {2}} csc x cot x + { frac {1} {2}} ln | csc x- cot x | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c793315af1ab2724bbd7277cf24812703d8023a9)
![{ displaystyle int csc ^ {n} {ax} , dx = - { frac { csc ^ {n-2} {ax} cot {ax}} {a (n-1)}} , + , { frac {n-2} {n-1}} int csc ^ {n-2} {ax} , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9e86eda7e5b586050afa0bb690b5e1794af6d7)
![{ displaystyle int { frac {dx} { csc {x} +1}} = x - { frac {2} { cot { frac {x} {2}} + 1}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3116bd8d583f72077e90f06cf8e867997fdd14)
![{ displaystyle int { frac {dx} { csc {x} -1}} = - x + { frac {2} { cot { frac {x} {2}} - 1}} + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f12f1dc04dd4f01c7df46f36cba6653112da4418)
Интегрирует только котангенс
![{ Displaystyle int cot ax , dx = { frac {1} {a}} ln | sin ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd8d33638f05fb0f16334bb90a8aa016dc05bca)
![{ displaystyle int cot ^ {2} {x} , dx = - cot {x} -x + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36979324717e61101b7119e6b3e995d5ec509d69)
![{ Displaystyle int cot ^ {n} ax , dx = - { frac {1} {a (n-1)}} cot ^ {n-1} ax- int cot ^ {n- 2} ax , dx qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0aef6b771a3ad83d5d62e6df67887774d6de8ed)
![{ displaystyle int { frac {dx} {1+ cot ax}} = int { frac { tan ax , dx} { tan ax + 1}} = { frac {x} {2 }} - { frac {1} {2a}} ln | sin ax + cos ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f957b8e698c1a8b55ba500a962f1b183b557889e)
![{ displaystyle int { frac {dx} {1- cot ax}} = int { frac { tan ax , dx} { tan ax-1}} = { frac {x} {2 }} + { frac {1} {2a}} ln | sin ax- cos ax | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e697e83f4089e2905dd245cb432fd219dcc493d)
Интегранты с участием обоих синус и косинус
Интеграл, который является рациональной функцией синуса и косинуса, можно вычислить с помощью Правила Bioche.
![{ displaystyle int { frac {dx} { cos ax pm sin ax}} = { frac {1} {a { sqrt {2}}}} ln left | tan left ( { frac {ax} {2}} pm { frac { pi} {8}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99f9f4158d86f68a6f22ac0b494b8df2a009d24)
![{ displaystyle int { frac {dx} {( cos ax pm sin ax) ^ {2}}} = { frac {1} {2a}} tan left (ax mp { frac { pi} {4}} right) + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25e0e3cebd7eac046797eefb5e8be824a6ec6008)
![{ displaystyle int { frac {dx} {( cos x + sin x) ^ {n}}} = { frac {1} {n-1}} left ({ frac { sin x- cos x} {( cos x + sin x) ^ {n-1}}} - 2 (n-2) int { frac {dx} {( cos x + sin x) ^ {n-2 }}}верно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae4a31631ace2155c341f3a42e944454f4d2525b)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { cos ax + sin ax}} = { frac {x} {2}} + { frac {1} {2a}} ln left | sin ax + cos ax right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/064e4fca8dab302c4a14d713ffec2d193c49e5aa)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { cos ax- sin ax}} = { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax- cos ax right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31c1c965e0a049e416b48908b9083d822fcd820d)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ax + sin ax}} = { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax + cos ax right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7081fc3083a1df9044e044c70fb6749e39772f)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ax- sin ax}} = - { frac {x} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | sin ax- cos ax right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885121414a63e1158cce975732a0140443059683)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {( sin ax) (1+ cos ax)}} = - { frac {1} {4a}} tan ^ {2} { frac {ax} {2}} + { frac {1} {2a}} ln left | tan { frac {ax} {2}} right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4be1a480baee112532376953a0e514953aac55e5)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} {( sin ax) (1- cos ax)}} = - { frac {1} {4a}} cot ^ {2} { frac {ax} {2}} - { frac {1} {2a}} ln left | tan { frac {ax} {2}} right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5551ba6b1a17809cd93bad200f96d7bd77c41add)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {( cos ax) (1+ sin ax)}} = { frac {1} {4a}} cot ^ {2} left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) + { frac {1} {2a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba9a5f34c6745abfcdfea7906197167c4bf7fc4)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} {( cos ax) (1- sin ax)}} = { frac {1} {4a}} tan ^ {2} left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) - { frac {1} {2a}} ln left | tan left ({ frac {ax} {2}} + { frac { pi} {4}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89bd9ffed0a439702f128c452dd2e9d363175ef4)
![{ displaystyle int ( sin ax) ( cos ax) , dx = { frac {1} {2a}} sin ^ {2} ax + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd704958c5a62ac35486a94c701c4d4d4d89ae1)
![{ displaystyle int ( sin a_ {1} x) ( cos a_ {2} x) , dx = - { frac { cos ((a_ {1} -a_ {2}) x)} { 2 (a_ {1} -a_ {2})}} - { frac { cos ((a_ {1} + a_ {2}) x)} {2 (a_ {1} + a_ {2})} } + C qquad { mbox {(для}} | a_ {1} | neq | a_ {2} | { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f3a79d9fc7cc05ff77c79d0f9dc0a0c3506c91)
![{ displaystyle int ( sin ^ {n} ax) ( cos ax) , dx = { frac {1} {a (n + 1)}} sin ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d738258cd0ad64e8916b1afcdd40bca57eb6a86)
![{ displaystyle int ( sin ax) ( cos ^ {n} ax) , dx = - { frac {1} {a (n + 1)}} cos ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95a29ec1949b61595a138149da7af1fe9b056c1e)
![{ displaystyle { begin {align} int ( sin ^ {n} ax) ( cos ^ {m} ax) , dx & = - { frac {( sin ^ {n-1} ax) ( cos ^ {m + 1} ax)} {a (n + m)}} + { frac {n-1} {n + m}} int ( sin ^ {n-2} ax) ( cos ^ {m} ax) , dx qquad { mbox {(for}} m, n> 0 { mbox {)}} & = { frac {( sin ^ {n + 1} ax ) ( cos ^ {m-1} ax)} {a (n + m)}} + { frac {m-1} {n + m}} int ( sin ^ {n} ax) ( cos ^ {m-2} ax) , dx qquad { mbox {(для}} m, n> 0 { mbox {)}} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc587066f531ba750784dbd9f5b03aeccc67d7f)
![{ displaystyle int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ax)}} = { frac {1} {a}} ln left | tan ax right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03f904edd8835bf1f3b47bce34e30cf3e2fbf32)
![{ displaystyle int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ^ {n} ax)}} = { frac {1} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax}} + int { frac {dx} {( sin ax) ( cos ^ {n-2} ax)}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {) }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6519ac56d6d1811592f964786eb42751d19b6f8f)
![{ displaystyle int { frac {dx} {( sin ^ {n} ax) ( cos ax)}} = - { frac {1} {a (n-1) sin ^ {n-1 } ax}} + int { frac {dx} {( sin ^ {n-2} ax) ( cos ax)}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox { )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de84da3e83860aa7dd53d3af5679289da711a241)
![{ displaystyle int { frac { sin ax , dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac {1} {a (n-1) cos ^ {n-1} ax} } + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8dded2ee242701ff20afdc86d891f9070f90fd)
![{ displaystyle int { frac { sin ^ {2} ax , dx} { cos ax}} = - { frac {1} {a}} sin ax + { frac {1} {a} } ln left | tan left ({ frac { pi} {4}} + { frac {ax} {2}} right) right | + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0901ab7048597a2d942a8d9ec9251ab116891ac8)
![{ displaystyle int { frac { sin ^ {2} ax , dx} { cos ^ {n} ax}} = { frac { sin ax} {a (n-1) cos ^ { n-1} ax}} - { frac {1} {n-1}} int { frac {dx} { cos ^ {n-2} ax}} qquad { mbox {(для}} п neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a181636833d2d500b4be5c97a0fc58ab37f96fa)
![{ displaystyle { begin {align} int { frac { sin ^ {2} x} {1+ cos ^ {2} x}} , dx & = { sqrt {2}} operatorname {арктангант } left ({ frac { tan x} { sqrt {2}}} right) -x qquad { mbox {(для x in}}] - { frac { pi} {2}} ; + { frac { pi} {2}} [{ mbox {)}} & = { sqrt {2}} operatorname {arctangant} left ({ frac { tan x} { sqrt {2}}} right) - operatorname {arctangant} left ( tan x right) qquad { mbox {(на этот раз x - любое действительное число}} { mbox {)}} end { выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99bc35b310db277a8b20f736913c8178097758b6)
![{ displaystyle int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ax}} = - { frac { sin ^ {n-1} ax} {a (n-1)} } + int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ax}} qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/872384bfd083802c7e5f81edcc55460dde40addf)
![{ displaystyle int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ^ {m} ax}} = { begin {cases} { frac { sin ^ {n + 1} ax } {a (m-1) cos ^ {m-1} ax}} - { frac {n-m + 2} {m-1}} int { frac { sin ^ {n} ax , dx} { cos ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} { frac { sin ^ {n-1} ax } {a (m-1) cos ^ {m-1} ax}} - { frac {n-1} {m-1}} int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} - { frac { sin ^ {n-1} ax} {a (нм) cos ^ {m-1} ax}} + { frac {n-1} {nm}} int { frac { sin ^ {n-2} ax , dx} { cos ^ {m} ax}} & { mbox {(для}} m neq n { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bdd410008a1b627ede0f2b7104ea01b90192f8)
![{ displaystyle int { frac { cos ax , dx} { sin ^ {n} ax}} = - { frac {1} {a (n-1) sin ^ {n-1} ax }} + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32b3ed71c00b7fc752cab0ee21b6b106ccaeed96)
![{ displaystyle int { frac { cos ^ {2} ax , dx} { sin ax}} = { frac {1} {a}} left ( cos ax + ln left | tan { frac {ax} {2}} right | right) + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af8d5900b25ed3cda6de1b98479c1fc0d1c30cd9)
![{ displaystyle int { frac { cos ^ {2} ax , dx} { sin ^ {n} ax}} = - { frac {1} {n-1}} left ({ frac { cos ax} {a sin ^ {n-1} ax}} + int { frac {dx} { sin ^ {n-2} ax}} right) qquad { mbox {(для }} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45036dea1d3b23c1be01e446c207f8a2ecfa1bbb)
![{ displaystyle int { frac { cos ^ {n} ax , dx} { sin ^ {m} ax}} = { begin {cases} - { frac { cos ^ {n + 1} ax} {a (m-1) sin ^ {m-1} ax}} - { frac {n-m + 2} {m-1}} int { frac { cos ^ {n} ax , dx} { sin ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} - { frac { cos ^ {n-1 } ax} {a (m-1) sin ^ {m-1} ax}} - { frac {n-1} {m-1}} int { frac { cos ^ {n-2} ax , dx} { sin ^ {m-2} ax}} & { mbox {(для}} m neq 1 { mbox {)}} { frac { cos ^ {n-1 } ax} {a (нм) sin ^ {m-1} ax}} + { frac {n-1} {nm}} int { frac { cos ^ {n-2} ax , dx } { sin ^ {m} ax}} & { mbox {(для}} m neq n { mbox {)}} end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0694fea5e79a616d54653426defa8628b7cbabc)
![{ displaystyle int ( sin ax) ( tan ax) , dx = { frac {1} {a}} ( ln | sec ax + tan ax | - sin ax) + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d503c75c8dcbb712f88809162a2e3e20f1ff7b88)
![{ displaystyle int { frac { tan ^ {n} ax , dx} { sin ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (n-1)}} tan ^ { n-1} (ax) + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/152292322de9851a1100065e0efe54701f01578b)
![{ displaystyle int { frac { tan ^ {n} ax , dx} { cos ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (n + 1)}} tan ^ { n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e73c5092aac709c9971bb933c438ebc917344a22)
Integrand с участием обоих синус и котангенс
![{ displaystyle int { frac { cot ^ {n} ax , dx} { sin ^ {2} ax}} = - { frac {1} {a (n + 1)}} cot ^ {n + 1} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq -1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/309b37abeb46abc52b16f4643f6f367beaba5cae)
![{ displaystyle int { frac { cot ^ {n} ax , dx} { cos ^ {2} ax}} = { frac {1} {a (1-n)}} tan ^ { 1-n} ax + C qquad { mbox {(для}} n neq 1 { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8addfded4cf47e0543b3217b3415e08576a74e2d)
![{ Displaystyle Int ( сек х) ( загар х) , dx = сек х + С}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3426300c895f6ff40c28455d36d29417d683dee)
![{ displaystyle int ( csc x) ( cot x) , dx = - csc x + C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd49ac7e4242cab5000f8180c53adcd584240f4)
Интегралы за четверть периода
![{ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx = { begin {cases} { frac {n-1} {n}} cdot { frac {n-3} {n-2}} cdots { frac {3} {4}} cdot { frac {1} {2}} cdot { frac { pi} {2}}, & { text {if}} n { text {четное}} { frac {n-1} {n}} cdot { frac {n-3} {n-2}} cdots { frac {4} {5}} cdot { frac {2} {3}}, & { text {if}} n { text {нечетное и больше 1}} 1, & { text {if}} n = 1 end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7519d845806dad4e3f137922bd4ec89caf8ee9d6)
Интегралы с симметричными пределами
![{ displaystyle int _ {- c} ^ {c} sin {x} , dx = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6976aecf1b8b7d692492e777f59de99b7b9b8ac1)
![{ displaystyle int _ {- c} ^ {c} cos {x} , dx = 2 int _ {0} ^ {c} cos {x} , dx = 2 int _ {- c } ^ {0} cos {x} , dx = 2 sin {c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d17e7b3ec2a19c12316f01d5b4f639bdaee1cce7)
![{ displaystyle int _ {- c} ^ {c} tan {x} , dx = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e0a8bab0e106ca691271ae26382c544c64c073)
![{ displaystyle int _ {- { frac {a} {2}}} ^ { frac {a} {2}} x ^ {2} cos ^ {2} { frac {n pi x} {a}} , dx = { frac {a ^ {3} (n ^ {2} pi ^ {2} -6)} {24n ^ {2} pi ^ {2}}} qquad { mbox {(для}} n = 1,3,5 ... { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ee4414783a0d33f9ae707bbfdccd206e6ec935)
![{ displaystyle int _ { frac {-a} {2}} ^ { frac {a} {2}} x ^ {2} sin ^ {2} { frac {n pi x} {a }} , dx = { frac {a ^ {3} (n ^ {2} pi ^ {2} -6 (-1) ^ {n})} {24n ^ {2} pi ^ {2 }}} = { frac {a ^ {3}} {24}} (1-6 { frac {(-1) ^ {n}} {n ^ {2} pi ^ {2}}}) qquad { mbox {(для}} n = 1,2,3, ... { mbox {)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3306ec56ff1a4ef7ab31b0626adefba80fcdc83e)
Интеграл по полному кругу
![{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin ^ {2m + 1} {x} cos ^ {n} {x} , dx = 0 ! qquad n, m in mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1448bcac538b7d3f79cd35ba7a9d4dd4e209f281)
![{ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} sin ^ {m} {x} cos ^ {2n + 1} {x} , dx = 0 ! qquad n, m in mathbb {Z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fd076477398fbae83558bce65d5a78edef13200)
Смотрите также
Рекомендации