Список интегралов от иррациональных функций - List of integrals of irrational functions

Ниже приводится список интегралы (первообразный функции) иррациональные функции. Полный список интегральных функций см. списки интегралов. В этой статье постоянная интеграции опущено для краткости.

Интегралы с участием р = √а² + Икс²

${ displaystyle int r , dx = { frac {1} {2}} left (xr + a ^ {2} , ln left (x + r right) right)}$

${ displaystyle int r ^ {3} , dx = { frac {1} {4}} xr ^ {3} + { frac {3} {8}} a ^ {2} xr + { frac { 3} {8}} a ^ {4} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int r ^ {5} , dx = { frac {1} {6}} xr ^ {5} + { frac {5} {24}} a ^ {2} xr ^ {3} + { frac {5} {16}} a ^ {4} xr + { frac {5} {16}} a ^ {6} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int xr , dx = { frac {r ^ {3}} {3}}}$

${ displaystyle int xr ^ {3} , dx = { frac {r ^ {5}} {5}}}$

${ displaystyle int xr ^ {2n + 1} , dx = { frac {r ^ {2n + 3}} {2n + 3}}}$

${ displaystyle int x ^ {2} r , dx = { frac {x ^ {3} r} {4}} + { frac {a ^ {2} xr} {8}} - { frac {a ^ {4}} {8}} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int x ^ {2} r ^ {3} , dx = { frac {xr ^ {5}} {6}} - { frac {a ^ {2} xr ^ {3}} { 24}} - { frac {a ^ {4} xr} {16}} - { frac {a ^ {6}} {16}} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int x ^ {3} r , dx = { frac {r ^ {5}} {5}} - { frac {a ^ {2} r ^ {3}} {3}}}$

${ displaystyle int x ^ {3} r ^ {3} , dx = { frac {r ^ {7}} {7}} - { frac {a ^ {2} r ^ {5}} { 5}}}$

${ displaystyle int x ^ {3} r ^ {2n + 1} , dx = { frac {r ^ {2n + 5}} {2n + 5}} - { frac {a ^ {2} r ^ {2n + 3}} {2n + 3}}}$

${ displaystyle int x ^ {4} r , dx = { frac {x ^ {3} r ^ {3}} {6}} - { frac {a ^ {2} xr ^ {3}} {8}} + { frac {a ^ {4} xr} {16}} + { frac {a ^ {6}} {16}} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int x ^ {4} r ^ {3} , dx = { frac {x ^ {3} r ^ {5}} {8}} - { frac {a ^ {2} xr ^ {5}} {16}} + { frac {a ^ {4} xr ^ {3}} {64}} + { frac {3a ^ {6} xr} {128}} + { frac {3a ^ {8}} {128}} ln left (x + r right)}$

${ displaystyle int x ^ {5} r , dx = { frac {r ^ {7}} {7}} - { frac {2a ^ {2} r ^ {5}} {5}} + { гидроразрыва {а ^ {4} г ^ {3}} {3}}}$

${ displaystyle int x ^ {5} r ^ {3} , dx = { frac {r ^ {9}} {9}} - { frac {2a ^ {2} r ^ {7}} { 7}} + { frac {a ^ {4} r ^ {5}} {5}}}$

${ displaystyle int x ^ {5} r ^ {2n + 1} , dx = { frac {r ^ {2n + 7}} {2n + 7}} - { frac {2a ^ {2} r ^ {2n + 5}} {2n + 5}} + { frac {a ^ {4} r ^ {2n + 3}} {2n + 3}}}$

${ displaystyle int { frac {r , dx} {x}} = ra ln left | { frac {a + r} {x}} right | = ra , operatorname {arsinh} { frac {a} {x}}}$

${ displaystyle int { frac {r ^ {3} , dx} {x}} = { frac {r ^ {3}} {3}} + a ^ {2} ra ^ {3} ln left | { frac {a + r} {x}} right |}$

${ displaystyle int { frac {r ^ {5} , dx} {x}} = { frac {r ^ {5}} {5}} + { frac {a ^ {2} r ^ { 3}} {3}} + a ^ {4} ra ^ {5} ln left | { frac {a + r} {x}} right |}$

${ displaystyle int { frac {r ^ {7} , dx} {x}} = { frac {r ^ {7}} {7}} + { frac {a ^ {2} r ^ { 5}} {5}} + { frac {a ^ {4} r ^ {3}} {3}} + a ^ {6} ra ^ {7} ln left | { frac {a + r } {x}} right |}$

${ displaystyle int { frac {dx} {r}} = operatorname {arsinh} { frac {x} {a}} = ln left ({ frac {x + r} {a}} верно)}$

${ displaystyle int { frac {dx} {r ^ {3}}} = { frac {x} {a ^ {2} r}}}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {r}} = r}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {r ^ {3}}} = - { frac {1} {r}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {r}} = { frac {x} {2}} r - { frac {a ^ {2}} {2}} , operatorname {arsinh} { frac {x} {a}} = { frac {x} {2}} r - { frac {a ^ {2}} {2}} ln left ({ гидроразрыв {x + r} {a}} right)}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xr}} = - { frac {1} {a}} , operatorname {arsinh} { frac {a} {x}} = - { frac { 1} {a}} ln left | { frac {a + r} {x}} right |}$

Интегралы с участием s = √Икс² − а²

Предполагать Икс² > а² (за Икс² < а², см. следующий раздел):

${ displaystyle int s , dx = { frac {1} {2}} left (xs-a ^ {2} ln left | x + s right | right)}$

${ displaystyle int xs , dx = { frac {1} {3}} s ^ {3}}$

${ displaystyle int { frac {s , dx} {x}} = s- | a | arccos left | { frac {a} {x}} right |}$

${ displaystyle int { frac {dx} {s}} = ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

Здесь ${ displaystyle ln left | { frac {x + s} {a}} right | = operatorname {sgn} (x) , operatorname {arcosh} left | { frac {x} {a }} right | = { frac {1} {2}} ln left ({ frac {x + s} {xs}} right)}$, где положительное значение ${ displaystyle operatorname {arcosh} left | { frac {x} {a}} right |}$ должен быть взят.

${ displaystyle int { frac {x , dx} {s}} = s}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {s ^ {3}}} = - { frac {1} {s}}}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {s ^ {5}}} = - { frac {1} {3s ^ {3}}}}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {s ^ {7}}} = - { frac {1} {5s ^ {5}}}}$

${ displaystyle int { frac {x , dx} {s ^ {2n + 1}}} = - { frac {1} {(2n-1) s ^ {2n-1}}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2m} , dx} {s ^ {2n + 1}}} = - { frac {1} {2n-1}} { frac {x ^ {2m -1}} {s ^ {2n-1}}} + { frac {2m-1} {2n-1}} int { frac {x ^ {2m-2} , dx} {s ^ { 2н-1}}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {s}} = { frac {xs} {2}} + { frac {a ^ {2}} {2}} ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {s ^ {3}}} = - { frac {x} {s}} + ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {4} , dx} {s}} = { frac {x ^ {3} s} {4}} + { frac {3} {8}} а ^ {2} xs + { frac {3} {8}} a ^ {4} ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {4} , dx} {s ^ {3}}} = { frac {xs} {2}} - { frac {a ^ {2} x} { s}} + { frac {3} {2}} a ^ {2} ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {4} , dx} {s ^ {5}}} = - { frac {x} {s}} - { frac {1} {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} + ln left | { frac {x + s} {a}} right |}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2m} , dx} {s ^ {2n + 1}}} = (- 1) ^ {nm} { frac {1} {a ^ {2 (нм )}}} sum _ {i = 0} ^ {nm-1} { frac {1} {2 (m + i) +1}} {nm-1 choose i} { frac {x ^ { 2 (m + i) +1}} {s ^ {2 (m + i) +1}}} qquad { mbox {(}} n> m geq 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {s ^ {3}}} = - { frac {1} {a ^ {2}}} { frac {x} {s}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {s ^ {5}}} = { frac {1} {a ^ {4}}} left [{ frac {x} {s}} - { гидроразрыв {1} {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} right]}$

${ displaystyle int { frac {dx} {s ^ {7}}} = - { frac {1} {a ^ {6}}} left [{ frac {x} {s}} - { frac {2} {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} + { frac {1} {5}} { frac {x ^ {5}} {s ^ {5}}} right]}$

${ displaystyle int { frac {dx} {s ^ {9}}} = { frac {1} {a ^ {8}}} left [{ frac {x} {s}} - { frac {3} {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} + { frac {3} {5}} { frac {x ^ {5}} {s ^ {5}}} - { frac {1} {7}} { frac {x ^ {7}} {s ^ {7}}} right]}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {s ^ {5}}} = - { frac {1} {a ^ {2}}} { frac {x ^ {3 }} {3s ^ {3}}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {s ^ {7}}} = { frac {1} {a ^ {4}}} left [{ frac {1} {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} - { frac {1} {5}} { frac {x ^ {5}} {s ^ {5}} }верно]}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {s ^ {9}}} = - { frac {1} {a ^ {6}}} left [{ frac {1 } {3}} { frac {x ^ {3}} {s ^ {3}}} - { frac {2} {5}} { frac {x ^ {5}} {s ^ {5} }} + { frac {1} {7}} { frac {x ^ {7}} {s ^ {7}}} right]}$

Интегралы с участием ты = √а² − Икс²

${ displaystyle int u , dx = { frac {1} {2}} left (xu + a ^ {2} arcsin { frac {x} {a}} right) qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int xu , dx = - { frac {1} {3}} u ^ {3} qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {)}} }$

${ displaystyle int x ^ {2} u , dx = - { frac {x} {4}} u ^ {3} + { frac {a ^ {2}} {8}} (xu + a ^ {2} arcsin { frac {x} {a}}) qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {u , dx} {x}} = ua ln left | { frac {a + u} {x}} right | qquad { mbox {(}} | х | leq | а | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {u}} = arcsin { frac {x} {a}} qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {) }}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {u}} = { frac {1} {2}} left (-xu + a ^ {2} arcsin { frac { x} {a}} right) qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int u , dx = { frac {1} {2}} left (xu- operatorname {sgn} x , operatorname {arcosh} left | { frac {x} {a} } right | right) qquad { mbox {(для}} | x | geq | a | { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {x} {u}} , dx = -u qquad { mbox {(}} | x | leq | a | { mbox {)}}}$

Интегралы с участием р = √топор² + bx + c

Предполагать (топор² + bx + c) не сводится к следующему выражению (px + q)² для некоторых п и q.

${ displaystyle int { frac {dx} {R}} = { frac {1} { sqrt {a}}} ln left | 2 { sqrt {a}} R + 2ax + b right | qquad { mbox {(для}} a> 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R}} = { frac {1} { sqrt {a}}} , operatorname {arsinh} { frac {2ax + b} { sqrt {4ac -b ^ {2}}}} qquad { mbox {(для}} a> 0 { mbox {,}} 4ac-b ^ {2}> 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R}} = { frac {1} { sqrt {a}}} ln | 2ax + b | quad { mbox {(для}} a> 0 { mbox {,}} 4ac-b ^ {2} = 0 { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R}} = - { frac {1} { sqrt {-a}}} arcsin { frac {2ax + b} { sqrt {b ^ {2 } -4ac}}} qquad { mbox {(для}} a <0 { mbox {,}} 4ac-b ^ {2} <0 { mbox {,}} left | 2ax + b right | <{ sqrt {b ^ {2} -4ac}} { mbox {)}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R ^ {3}}} = { frac {4ax + 2b} {(4ac-b ^ {2}) R}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R ^ {5}}} = { frac {4ax + 2b} {3 (4ac-b ^ {2}) R}} left ({ frac {1 } {R ^ {2}}} + { frac {8a} {4ac-b ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle int { frac {dx} {R ^ {2n + 1}}} = { frac {2} {(2n-1) (4ac-b ^ {2})}} left ({ гидроразрыв {2ax + b} {R ^ {2n-1}}} + 4a (n-1) int { frac {dx} {R ^ {2n-1}}} right)}$

${ displaystyle int { frac {x} {R}} , dx = { frac {R} {a}} - { frac {b} {2a}} int { frac {dx} {R }}}$

${ displaystyle int { frac {x} {R ^ {3}}} , dx = - { frac {2bx + 4c} {(4ac-b ^ {2}) R}}}$

${ displaystyle int { frac {x} {R ^ {2n + 1}}} , dx = - { frac {1} {(2n-1) aR ^ {2n-1}}} - { гидроразрыв {b} {2a}} int { frac {dx} {R ^ {2n + 1}}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xR}} = - { frac {1} { sqrt {c}}} ln left | { frac {2 { sqrt {c}} R + bx + 2c} {x}} right |, ~ c> 0}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xR}} = - { frac {1} { sqrt {c}}} operatorname {arsinh} left ({ frac {bx + 2c} {| x | { sqrt {4ac-b ^ {2}}}}} right), ~ c <0}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xR}} = { frac {1} { sqrt {-c}}} operatorname {arcsin} left ({ frac {bx + 2c} {| x | { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} right), ~ c <0, b ^ {2} -4ac> 0}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xR}} = - { frac {2} {bx}} left ({ sqrt {ax ^ {2} + bx}} right), ~ c = 0}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2}} {R}} , dx = { frac {2ax-3b} {4a ^ {2}}} R + { frac {3b ^ {2} - 4ac} {8a ^ {2}}} int { frac {dx} {R}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {x ^ {2} R}} = - { frac {R} {cx}} - { frac {b} {2c}} int { frac {dx } {xR}}}$

${ displaystyle int R , dx = { frac {2ax + b} {4a}} R + { frac {4ac-b ^ {2}} {8a}} int { frac {dx} {R} }}$

${ displaystyle int xR , dx = { frac {R ^ {3}} {3a}} - { frac {b (2ax + b)} {8a ^ {2}}} R - { frac { b (4ac-b ^ {2})} {16a ^ {2}}} int { frac {dx} {R}}}$

${ displaystyle int x ^ {2} R , dx = { frac {6ax-5b} {24a ^ {2}}} R ^ {3} + { frac {5b ^ {2} -4ac} { 16a ^ {2}}} int R , dx}$

${ displaystyle int { frac {R} {x}} , dx = R + { frac {b} {2}} int { frac {dx} {R}} + c int { frac { dx} {xR}}}$

${ displaystyle int { frac {R} {x ^ {2}}} , dx = - { frac {R} {x}} + a int { frac {dx} {R}} + { frac {b} {2}} int { frac {dx} {xR}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {2} , dx} {R ^ {3}}} = { frac {(2b ^ {2} -4ac) x + 2bc} {a (4ac-b ^ {2}) R}} + { frac {1} {a}} int { frac {dx} {R}}}$

Интегралы с участием S = √топор + б

${ displaystyle int S , dx = { frac {2S ^ {3}} {3a}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {S}} = { frac {2S} {a}}}$

${ displaystyle int { frac {dx} {xS}} = { begin {cases} - { dfrac {2} { sqrt {b}}} operatorname {arcoth} left ({ dfrac {S } { sqrt {b}}} right) & { mbox {(для}} b> 0, quad ax> 0 { mbox {)}} - { dfrac {2} { sqrt { b}}} operatorname {artanh} left ({ dfrac {S} { sqrt {b}}} right) & { mbox {(для}} b> 0, quad ax <0 { mbox {)}} { dfrac {2} { sqrt {-b}}} arctan left ({ dfrac {S} { sqrt {-b}}} right) & { mbox {( for}} b <0 { mbox {)}} end {case}}}$

${ displaystyle int { frac {S} {x}} , dx = { begin {cases} 2 left (S - { sqrt {b}} , operatorname {arcoth} left ({ dfrac {S} { sqrt {b}}} right) right) & { mbox {(для}} b> 0, quad ax> 0 { mbox {)}} 2 left (S - { sqrt {b}} , operatorname {artanh} left ({ dfrac {S} { sqrt {b}}} right) right) & { mbox {(для}} b> 0 , quad ax <0 { mbox {)}} 2 left (S - { sqrt {-b}} arctan left ({ dfrac {S} { sqrt {-b}}} right) right) & { mbox {(для}} b <0 { mbox {)}} end {case}}}$

${ displaystyle int { frac {x ^ {n}} {S}} , dx = { frac {2} {a (2n + 1)}} left (x ^ {n} S-bn int { frac {x ^ {n-1}} {S}} , dx right)}$

${ displaystyle int x ^ {n} S , dx = { frac {2} {a (2n + 3)}} left (x ^ {n} S ^ {3} -nb int x ^ { n-1} S , dx right)}$

${ displaystyle int { frac {1} {x ^ {n} S}} , dx = - { frac {1} {b (n-1)}} left ({ frac {S} { x ^ {n-1}}} + left (n - { frac {3} {2}} right) a int { frac {dx} {x ^ {n-1} S}} right )}$

Рекомендации

• Пирс, Бенджамин Осгуд (1929) [1899]. «Глава 3». Краткая таблица интегралов (3-е изд. Изм.). Бостон: Джинн и Ко, стр. 16–30.
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред., Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами 1972, Довер: Нью-Йорк. (Видеть Глава 3.)
• Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. Цвиллинджер, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276. (Также несколько предыдущих выпусков.)