Статья со списком Википедии
В этих выражениях
ϕ ( Икс ) = 1 2 π е − 1 2 Икс 2 { displaystyle phi (x) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} e ^ {- { frac {1} {2}} x ^ {2}}} это стандартный нормальный функция плотности вероятности,
Φ ( Икс ) = ∫ − ∞ Икс ϕ ( т ) d т = 1 2 ( 1 + Эрф ( Икс 2 ) ) { Displaystyle Phi (x) = int _ {- infty} ^ {x} phi (t) , dt = { frac {1} {2}} left (1+ operatorname {erf} left ({ frac {x} { sqrt {2}}} right) right)} соответствующий кумулятивная функция распределения (куда Эрф это функция ошибки ) и
Т ( час , а ) = ϕ ( час ) ∫ 0 а ϕ ( час Икс ) 1 + Икс 2 d Икс { Displaystyle Т (ч, а) = фи (ч) int _ {0} ^ {а} { гидроразрыва { фи (hx)} {1 + х ^ {2}}} , dx} является T функция Оуэна .
Оуэн[nb 1]
Неопределенные интегралы ∫ ϕ ( Икс ) d Икс = Φ ( Икс ) + C { Displaystyle int phi (x) , dx = Phi (x) + C} ∫ Икс ϕ ( Икс ) d Икс = − ϕ ( Икс ) + C { Displaystyle Int х фи (х) , dx = - фи (х) + С} ∫ Икс 2 ϕ ( Икс ) d Икс = Φ ( Икс ) − Икс ϕ ( Икс ) + C { Displaystyle int х ^ {2} phi (x) , dx = Phi (x) -x phi (x) + C} ∫ Икс 2 k + 1 ϕ ( Икс ) d Икс = − ϕ ( Икс ) ∑ j = 0 k ( 2 k ) ! ! ( 2 j ) ! ! Икс 2 j + C { Displaystyle int х ^ {2k + 1} phi (x) , dx = - phi (x) sum _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k) !!} { (2j) !!}} x ^ {2j} + C} [nb 2] ∫ Икс 2 k + 2 ϕ ( Икс ) d Икс = − ϕ ( Икс ) ∑ j = 0 k ( 2 k + 1 ) ! ! ( 2 j + 1 ) ! ! Икс 2 j + 1 + ( 2 k + 1 ) ! ! Φ ( Икс ) + C { displaystyle int x ^ {2k + 2} phi (x) , dx = - phi (x) sum _ {j = 0} ^ {k} { frac {(2k + 1) !! } {(2j + 1) !!}} x ^ {2j + 1} + (2k + 1) !! , Phi (x) + C} В этих интегралах п !! это двойной факториал : даже для п он равен произведению всех четных чисел от 2 до п , а для нечетных п это произведение всех нечетных чисел от 1 до п ; дополнительно предполагается, что 0!! = (−1)!! = 1 .
∫ ϕ ( Икс ) 2 d Икс = 1 2 π Φ ( Икс 2 ) + C { displaystyle int phi (x) ^ {2} , dx = { frac {1} {2 { sqrt { pi}}}} Phi left (x { sqrt {2}} вправо) + C} ∫ ϕ ( Икс ) ϕ ( а + б Икс ) d Икс = 1 т ϕ ( а т ) Φ ( т Икс + а б т ) + C , т = 1 + б 2 { displaystyle int phi (x) phi (a + bx) , dx = { frac {1} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left (tx + { frac {ab} {t}} right) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} [№ 3] ∫ Икс ϕ ( а + б Икс ) d Икс = − 1 б 2 ( ϕ ( а + б Икс ) + а Φ ( а + б Икс ) ) + C { displaystyle int x phi (a + bx) , dx = - { frac {1} {b ^ {2}}} left ( phi (a + bx) + a Phi (a + bx ) right) + C} ∫ Икс 2 ϕ ( а + б Икс ) d Икс = 1 б 3 ( ( а 2 + 1 ) Φ ( а + б Икс ) + ( а − б Икс ) ϕ ( а + б Икс ) ) + C { displaystyle int x ^ {2} phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b ^ {3}}} left ((a ^ {2} +1) Phi ( a + bx) + (a-bx) phi (a + bx) right) + C} ∫ ϕ ( а + б Икс ) п d Икс = 1 б п ( 2 π ) п − 1 Φ ( п ( а + б Икс ) ) + C { displaystyle int phi (a + bx) ^ {n} , dx = { frac {1} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ sqrt {n}} (a + bx) right) + C} ∫ Φ ( а + б Икс ) d Икс = 1 б ( ( а + б Икс ) Φ ( а + б Икс ) + ϕ ( а + б Икс ) ) + C { Displaystyle int Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {b}} left ((a + bx) Phi (a + bx) + phi (a + bx) вправо) + C} ∫ Икс Φ ( а + б Икс ) d Икс = 1 2 б 2 ( ( б 2 Икс 2 − а 2 − 1 ) Φ ( а + б Икс ) + ( б Икс − а ) ϕ ( а + б Икс ) ) + C { displaystyle int x Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {2b ^ {2}}} left ((b ^ {2} x ^ {2} -a ^ {2 } -1) Phi (a + bx) + (bx-a) phi (a + bx) right) + C} ∫ Икс 2 Φ ( а + б Икс ) d Икс = 1 3 б 3 ( ( б 3 Икс 3 + а 3 + 3 а ) Φ ( а + б Икс ) + ( б 2 Икс 2 − а б Икс + а 2 + 2 ) ϕ ( а + б Икс ) ) + C { displaystyle int x ^ {2} Phi (a + bx) , dx = { frac {1} {3b ^ {3}}} left ((b ^ {3} x ^ {3} + a ^ {3} + 3a) Phi (a + bx) + (b ^ {2} x ^ {2} -abx + a ^ {2} +2) phi (a + bx) right) + C } ∫ Икс п Φ ( Икс ) d Икс = 1 п + 1 ( ( Икс п + 1 − п Икс п − 1 ) Φ ( Икс ) + Икс п ϕ ( Икс ) + п ( п − 1 ) ∫ Икс п − 2 Φ ( Икс ) d Икс ) + C { displaystyle int x ^ {n} Phi (x) , dx = { frac {1} {n + 1}} left ( left (x ^ {n + 1} -nx ^ {n- 1} right) Phi (x) + x ^ {n} phi (x) + n (n-1) int x ^ {n-2} Phi (x) , dx right) + C } ∫ Икс ϕ ( Икс ) Φ ( а + б Икс ) d Икс = б т ϕ ( а т ) Φ ( Икс т + а б т ) − ϕ ( Икс ) Φ ( а + б Икс ) + C , т = 1 + б 2 { displaystyle int x phi (x) Phi (a + bx) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left (xt + { frac {ab} {t}} right) - phi (x) Phi (a + bx) + C, qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2} }}} ∫ Φ ( Икс ) 2 d Икс = Икс Φ ( Икс ) 2 + 2 Φ ( Икс ) ϕ ( Икс ) − 1 π Φ ( Икс 2 ) + C { Displaystyle int Phi (x) ^ {2} , dx = x Phi (x) ^ {2} +2 Phi (x) phi (x) - { frac {1} { sqrt { pi}}} Phi left (x { sqrt {2}} right) + C} ∫ е c Икс ϕ ( б Икс ) п d Икс = е c 2 2 п б 2 б п ( 2 π ) п − 1 Φ ( б 2 Икс п − c б п ) + C , б ≠ 0 , п > 0 { displaystyle int e ^ {cx} phi (bx) ^ {n} , dx = { frac {e ^ { frac {c ^ {2}} {2nb ^ {2}}}} {b { sqrt {n (2 pi) ^ {n-1}}}}} Phi left ({ frac {b ^ {2} xn-c} {b { sqrt {n}}}}} right) + C, qquad b neq 0, n> 0} Определенные интегралы ∫ − ∞ ∞ Икс 2 ϕ ( Икс ) п d Икс = 1 п 3 ( 2 π ) п − 1 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) ^ {n} , dx = { frac {1} { sqrt {n ^ {3} ( 2 pi) ^ {n-1}}}}} ∫ − ∞ 0 ϕ ( а Икс ) Φ ( б Икс ) d Икс = 1 2 π | а | ( π 2 − арктан ( б | а | ) ) { displaystyle int _ {- infty} ^ {0} phi (ax) Phi (bx) dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} - arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)} ∫ 0 ∞ ϕ ( а Икс ) Φ ( б Икс ) d Икс = 1 2 π | а | ( π 2 + арктан ( б | а | ) ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} phi (ax) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 pi | a |}} left ({ frac { pi} {2}} + arctan left ({ frac {b} {| a |}} right) right)} ∫ 0 ∞ Икс ϕ ( Икс ) Φ ( б Икс ) d Икс = 1 2 2 π ( 1 + б 1 + б 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {2 { sqrt {2 pi}}}} left (1 + { frac {b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} right)} ∫ 0 ∞ Икс 2 ϕ ( Икс ) Φ ( б Икс ) d Икс = 1 4 + 1 2 π ( б 1 + б 2 + арктан ( б ) ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2} phi (x) Phi (bx) , dx = { frac {1} {4}} + { frac {1} {2 pi}} left ({ frac {b} {1 + b ^ {2}}} + arctan (b) right)} ∫ 0 ∞ Икс ϕ ( Икс ) 2 Φ ( Икс ) d Икс = 1 4 π 3 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x phi (x) ^ {2} Phi (x) , dx = { frac {1} {4 pi { sqrt {3}} }}} ∫ 0 ∞ Φ ( б Икс ) 2 ϕ ( Икс ) d Икс = 1 2 π ( арктан ( б ) + арктан 1 + 2 б 2 ) { displaystyle int _ {0} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} {2 pi}} left ( arctan ( б) + arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}} right)} ∫ − ∞ ∞ Φ ( а + б Икс ) 2 ϕ ( Икс ) d Икс = Φ ( а 1 + б 2 ) − 2 Т ( а 1 + б 2 , 1 1 + 2 б 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} right) -2T left ({ frac {a} { sqrt {1 + b ^ {2}}}}, { frac {1} { sqrt { 1 + 2b ^ {2}}}} right)} ∫ − ∞ ∞ Икс Φ ( а + б Икс ) 2 ϕ ( Икс ) d Икс = 2 б 1 + б 2 ϕ ( а т ) Φ ( а 1 + б 2 1 + 2 б 2 ) { Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} х Phi (a + bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {2b} { sqrt {1 + b ^ {2}}}} phi left ({ frac {a} {t}} right) Phi left ({ frac {a} {{ sqrt {1 + b ^ {2}}}) { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}}} right)} [№ 4] ∫ − ∞ ∞ Φ ( б Икс ) 2 ϕ ( Икс ) d Икс = 1 π арктан 1 + 2 б 2 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (bx) ^ {2} phi (x) , dx = { frac {1} { pi}} arctan { sqrt {1 + 2b ^ {2}}}} ∫ − ∞ ∞ Икс ϕ ( Икс ) Φ ( б Икс ) d Икс = ∫ − ∞ ∞ Икс ϕ ( Икс ) Φ ( б Икс ) 2 d Икс = б 2 π ( 1 + б 2 ) { Displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} х phi (x) Phi (bx) , dx = int _ {- infty} ^ { infty} x phi (x) Phi (bx) ^ {2} , dx = { frac {b} { sqrt {2 pi (1 + b ^ {2})}}}} ∫ − ∞ ∞ Φ ( а + б Икс ) ϕ ( Икс ) d Икс = Φ ( а 1 + б 2 ) { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} Phi (a + bx) phi (x) , dx = Phi left ({ frac {a} { sqrt {1 + b) ^ {2}}}} right)} ∫ − ∞ ∞ Икс Φ ( а + б Икс ) ϕ ( Икс ) d Икс = б т ϕ ( а т ) , т = 1 + б 2 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac {a} {t}} right), qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} ∫ 0 ∞ Икс Φ ( а + б Икс ) ϕ ( Икс ) d Икс = б т ϕ ( а т ) Φ ( − а б т ) + 1 2 π Φ ( а ) , т = 1 + б 2 { displaystyle int _ {0} ^ { infty} x Phi (a + bx) phi (x) , dx = { frac {b} {t}} phi left ({ frac { a} {t}} right) Phi left (- { frac {ab} {t}} right) + { frac {1} { sqrt {2 pi}}} Phi (a) , qquad t = { sqrt {1 + b ^ {2}}}} ∫ − ∞ ∞ пер ( Икс 2 ) 1 σ ϕ ( Икс σ ) d Икс = пер ( σ 2 ) − γ − пер 2 ≈ пер ( σ 2 ) − 1.27036 { displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} ln (x ^ {2}) { frac {1} { sigma}} phi left ({ frac {x} { sigma }} right) , dx = ln ( sigma ^ {2}) - gamma - ln 2 приблизительно ln ( sigma ^ {2}) - 1.27036} Рекомендации Patel, Jagdish K .; Прочтите, Кэмпбелл Б. (1996). Справочник по нормальному распределению (2-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8247-9342-0 CS1 maint: ref = harv (связь) Оуэн, Д. (1980). «Таблица нормальных интегралов». Коммуникации в статистике: моделирование и вычисления . B9 : 389–419. CS1 maint: ref = harv (связь)
