Список интегралов от экспоненциальных функций - Википедия - List of integrals of exponential functions

Ниже приводится список интегралы из экспоненциальные функции. Полный список встроенных функций см. список интегралов.

Неопределенный интеграл

Неопределенные интегралы равны первообразный функции. Константа ( постоянная интеграции ) может быть добавлено к правой части любой из этих формул, но здесь опущено для краткости.

Интегралы от многочленов

${ displaystyle int xe ^ {cx} , dx = e ^ {cx} left ({ frac {cx-1} {c ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle int x ^ {2} e ^ {cx} , dx = e ^ {cx} left ({ frac {x ^ {2}} {c}} - { frac {2x} {c ^ {2}}} + { frac {2} {c ^ {3}}} right)}$

${ displaystyle { begin {align} int x ^ {n} e ^ {cx} , dx & = { frac {1} {c}} x ^ {n} e ^ {cx} - { frac { n} {c}} int x ^ {n-1} e ^ {cx} , dx & = left ({ frac { partial} { partial c}} right) ^ {n} { frac {e ^ {cx}} {c}} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {i} { frac {n!} {(ni)! c ^ {i + 1}}} x ^ {ni} & = e ^ {cx} sum _ {i = 0} ^ {n} (- 1) ^ {ni} { гидроразрыв {п!} {i! c ^ {n-i + 1}}} x ^ {i} end {выравнивается}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x}} , dx = ln | x | + sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(cx) ^ {n}} {n cdot n!}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n}}} , dx = { frac {1} {n-1}} left (- { frac {e ^ { cx}} {x ^ {n-1}}} + c int { frac {e ^ {cx}} {x ^ {n-1}}} , dx right) qquad { text {( for}} n neq 1 { text {)}}}$

Интегралы, содержащие только экспоненциальные функции

${ displaystyle int f '(x) e ^ {f (x)} , dx = e ^ {f (x)}}$

${ displaystyle int e ^ {cx} , dx = { frac {1} {c}} e ^ {cx}}$

${ displaystyle int a ^ {cx} , dx = { frac {1} {c cdot ln a}} a ^ {cx} qquad { text {for}} a> 0, a neq 1}$

Интегралы с экспоненциальными и тригонометрическими функциями

${ displaystyle { begin {align} int e ^ {cx} sin bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c sin bx-b cos bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} sin (bx- phi) qquad { text {where}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {align}}}$

${ displaystyle { begin {align} int e ^ {cx} cos bx , dx & = { frac {e ^ {cx}} {c ^ {2} + b ^ {2}}} (c cos bx + b sin bx) & = { frac {e ^ {cx}} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} cos (bx- phi) qquad { text {where}} cos ( phi) = { frac {c} { sqrt {c ^ {2} + b ^ {2}}}} end {align}}}$

${ displaystyle int e ^ {cx} sin ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} sin ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c sin xn cos x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} sin ^ { п-2} х , dx}$

${ displaystyle int e ^ {cx} cos ^ {n} x , dx = { frac {e ^ {cx} cos ^ {n-1} x} {c ^ {2} + n ^ { 2}}} (c cos x + n sin x) + { frac {n (n-1)} {c ^ {2} + n ^ {2}}} int e ^ {cx} cos ^ {п-2} х , дх}$

Интегралы, включающие функцию ошибок

В следующих формулах Эрф это функция ошибки и Ei это экспоненциальный интеграл.

${ displaystyle int e ^ {cx} ln x , dx = { frac {1} {c}} left (e ^ {cx} ln | x | - operatorname {Ei} (cx) верно)}$

${ displaystyle int xe ^ {cx ^ {2}} , dx = { frac {1} {2c}} e ^ {cx ^ {2}}}$

${ displaystyle int e ^ {- cx ^ {2}} , dx = { sqrt { frac { pi} {4c}}} operatorname {erf} ({ sqrt {c}} x)}$

${ displaystyle int xe ^ {- cx ^ {2}} , dx = - { frac {1} {2c}} e ^ {- cx ^ {2}}}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x ^ {2}}} , dx = - { frac {e ^ {- x ^ {2}}} {x }} - { sqrt { pi}} operatorname {erf} (x)}$

${ displaystyle int {{ frac {1} { sigma { sqrt {2 pi}}}} e ^ {- { frac {1} {2}} left ({ frac {x- mu} { sigma}} right) ^ {2}}} , dx = { frac {1} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {x- mu} { sigma { sqrt {2}}}} right)}$

Другие интегралы

${ displaystyle int e ^ {x ^ {2}} , dx = e ^ {x ^ {2}} left ( sum _ {j = 0} ^ {n-1} c_ {2j} { гидроразрыв {1} {x ^ {2j + 1}}} right) + (2n-1) c_ {2n-2} int { frac {e ^ {x ^ {2}}} {x ^ {2n }}} , dx quad { text {допустим для любого}} n> 0,}$

куда ${ displaystyle c_ {2j} = { frac {1 cdot 3 cdot 5 cdots (2j-1)} {2 ^ {j + 1}}} = { frac {(2j)!} {j! 2 ^ {2j + 1}}} .}$

(Обратите внимание, что значение выражения равно независимый стоимости п, поэтому он не фигурирует в интеграле.)

${ displaystyle { int underbrace {x ^ {x ^ { cdot ^ { cdot ^ {x}}}}} _ {m} dx = sum _ {n = 0} ^ {m} { frac {(-1) ^ {n} (n + 1) ^ {n-1}} {n!}} Gamma (n + 1, - ln x) + sum _ {n = m + 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} a_ {mn} Gamma (n + 1, - ln x) qquad { text {(для}} x> 0 { text {)}}}}$

куда ${ displaystyle a_ {mn} = { begin {cases} 1 & { text {if}} n = 0, { dfrac {1} {n!}} & { text {if}} m = 1, { dfrac {1} {n}} sum _ {j = 1} ^ {n} ja_ {m, nj} a_ {m-1, j-1} & { text { в противном случае}} end {case}}}$

и Γ (Икс,у) это верхняя неполная гамма-функция.

${ displaystyle int { frac {1} {ae ^ { lambda x} + b}} , dx = { frac {x} {b}} - { frac {1} {b lambda}} ln left (ae ^ { lambda x} + b right)}$ когда ${ displaystyle b neq 0}$, ${ displaystyle lambda neq 0}$, и ${ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}$

${ displaystyle int { frac {e ^ {2 lambda x}} {ae ^ { lambda x} + b}} , dx = { frac {1} {a ^ {2} lambda}} left [ae ^ { lambda x} + bb ln left (ae ^ { lambda x} + b right) right]}$ когда ${ displaystyle a neq 0}$, ${ displaystyle lambda neq 0}$, и ${ displaystyle ae ^ { lambda x} + b> 0.}$

${ displaystyle int { frac {ae ^ {cx} -1} {be ^ {cx} -1}} , dx = { frac {(ab) log (1-be ^ {cx})} {bc}} + x.}$

Определенные интегралы

${ Displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ {1} e ^ {x cdot ln a + (1-x) cdot ln b} , dx & = int _ {0} ^ {1} left ({ frac {a} {b}} right) ^ {x} cdot b , dx & = int _ {0} ^ {1} a ^ {x} cdot b ^ {1-x} , dx & = { frac {ab} { ln a- ln b}} qquad { text {for}} a> 0, b> 0, a neq b end {выровнен}}}$

Последнее выражение - это логарифмическое среднее.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} , dx = { frac {1} {a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { pi over a}} quad (a> 0)}$ (в Гауссов интеграл )

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { sqrt { pi over a}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- { frac {b} {x ^ {2}}}} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}}} e ^ {- 2 { sqrt {ab}}} quad (a, b> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { sqrt { pi over a}} e ^ { tfrac {b ^ {2}} {4a}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {2}} e ^ {- 2bx} , dx = { sqrt { frac { pi} {a}} } e ^ { frac {b ^ {2}} {a}} quad (a> 0)}$ (видеть Интеграл от функции Гаусса )

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- a (xb) ^ {2}} , dx = b { sqrt { frac { pi} {a}}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} xe ^ {- ax ^ {2} + bx} , dx = { frac {{ sqrt { pi}} b} {2a ^ { 3/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { frac {1} {2}} { sqrt { пи над ^ {3}}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {2} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (2a + b ^ {2})} {4a ^ {5/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0 )}$

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {3} e ^ {- (ax ^ {2} + bx)} , dx = { frac {{ sqrt { pi} } (6a + b ^ {2}) b} {8a ^ {7/2}}} e ^ { frac {b ^ {2}} {4a}} quad ( operatorname {Re} (a)> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {2}} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma left ({ гидроразрыв {n + 1} {2}} right)} {2 left (a ^ { frac {n + 1} {2}} right)}} & (n> -1, a> 0) { dfrac {(2k-1) !!} {2 ^ {k + 1} a ^ {k}}} { sqrt { dfrac { pi} {a}}} & (n = 2k, k { text {integer}}, a> 0) { text {(!! - двойной факториал)}} { dfrac {k!} {2 (a ^ {k +1})}} & (n = 2k + 1, k { text {integer}}, a> 0) end {case}}}$

(Оператор ${ displaystyle !!}$ это Двойной факториал )

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { begin {cases} { dfrac { Gamma (n + 1)} {a ^ {n + 1}}} & (n> -1, operatorname {Re} (a)> 0) { dfrac {n!} {a ^ {n + 1}}} & (n = 0,1,2, ldots, operatorname {Re} (a)> 0) end {cases}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} left [1- e ^ {- a} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {a ^ {i}} {i!}} right]}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {b} x ^ {n} e ^ {- ax} , dx = { frac {n!} {a ^ {n + 1}}} left [1- e ^ {- ab} sum _ {i = 0} ^ {n} { frac {(ab) ^ {i}} {i!}} right]}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac {1} {b} }} Gamma left ({ frac {1} {b}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {n} e ^ {- ax ^ {b}} dx = { frac {1} {b}} a ^ {- { frac { n + 1} {b}}} Gamma left ({ frac {n + 1} {b}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( а> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} quad ( а> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} sin bx , dx = { frac {2ab} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2 }}} quad (а> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} xe ^ {- ax} cos bx , dx = { frac {a ^ {2} -b ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2}) ^ {2}}} quad (a> 0)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} sin bx} {x}} , dx = arctan { frac {b} {a}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} , dx = ln { frac {b} {a }}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} sin px , dx = arctan { frac {b } {p}} - arctan { frac {a} {p}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} -e ^ {- bx}} {x}} cos px , dx = { frac {1} { 2}} ln { frac {b ^ {2} + p ^ {2}} {a ^ {2} + p ^ {2}}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {e ^ {- ax} (1- cos x)} {x ^ {2}}} , dx = operatorname {arccot} a - { frac {a} {2}} ln (a ^ {2} +1)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta} d theta = 2 pi I_ {0} (x)}$ (я₀ это модифицированная функция Бесселя первого вида)

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {x cos theta + y sin theta} d theta = 2 pi I_ {0} left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} right)}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ^ {s-1}} {e ^ {x} / z-1}} , dx = operatorname {Li} _ {s } (z) Gamma (s),}$

куда ${ displaystyle operatorname {Li} _ {s} (z)}$ это Полилогарифм.

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac { sin mx} {e ^ {2 pi x} -1}} , dx = { frac {1} {4}} coth { frac {m} {2}} - { frac {1} {2m}}}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} ln x , dx = - gamma,}$

куда ${ displaystyle gamma}$ это Константа Эйлера – Маскерони что равно значению ряда определенных интегралов.

Наконец, хорошо известный результат,

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {я (m-n) phi} d phi = 2 pi delta _ {m, n}}$ (Для целых m, n)

куда ${ displaystyle delta _ {m, n}}$ это Дельта Кронекера.

Смотрите также

• Градштейн и Рыжик

дальнейшее чтение

• Молл, Виктор Гюго (12 ноября 2014 г.). Специальные интегралы Градштейна и Рыжика: доказательства - Том I. Серия: Монографии и исследования по математике. я (1-е изд.). Чепмен и Холл /CRC Press. ISBN  978-1-48225-651-2. Получено 2016-02-12.
• Молл, Виктор Гюго (2015-10-27). Специальные интегралы Градштейна и Рыжика: доказательства - Том II. Серия: Монографии и исследования по математике. II (1-е изд.). Чепмен и Холл /CRC Press. ISBN  978-1-48225-653-6. Получено 2016-02-12.

внешняя ссылка

• Онлайн-интегратор Wolfram Mathematica
• Молл, Виктор Гюго. «Список с формулами и доказательствами в ОТО». Получено 2016-02-12.