Константа интеграции - Constant of integration

В исчисление, то постоянная интеграции, часто обозначаемый ${ displaystyle C}$ , - константа, добавляемая в конец первообразный функции ${ displaystyle f (x)}$ чтобы указать, что неопределенный интеграл из ${ displaystyle f (x)}$ (т.е. набор из всех первообразные из ${ displaystyle f (x)}$ ), на подключенный домен, определяется только вплоть до аддитивная константа.^[1]^[2]^[3]^[4] Эта константа выражает неоднозначность, присущую конструкции первообразных.

Более конкретно, если функция ${ displaystyle f (x)}$ определяется на интервал, и ${ Displaystyle F (х)}$ является первообразной от ${ displaystyle f (x)}$ , то набор все первообразные ${ displaystyle f (x)}$ задается функциями ${ Displaystyle F (x) + C}$ , куда ${ displaystyle C}$ - произвольная константа (это означает, что любой значение ${ displaystyle C}$ сделал бы ${ Displaystyle F (x) + C}$ действительный первообразный продукт). По этой причине неопределенный интеграл часто записывают как ${ Displaystyle int е (х) , dx = F (x) + C}$ ,^[5] хотя константа интегрирования может иногда опускаться в списки интегралов для простоты.

Источник

В производная любой постоянной функции равна нулю. После того, как кто-то нашел одно первообразное ${ Displaystyle F (х)}$ для функции ${ displaystyle f (x)}$ , добавляя или вычитая любую константу ${ displaystyle C}$ даст нам еще одно первообразное, потому что ${ Displaystyle (F (x) + C) '= F ,' (x) + C , '= F ,' (x)}$ . Константа - это способ выразить, что каждая функция, по крайней мере, с одной первообразной, будет иметь их бесконечное количество.

Позволять ${ Displaystyle F: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle G: mathbb {R} rightarrow mathbb {R}}$ - две всюду дифференцируемые функции. Предположим, что ${ Displaystyle F , '(х) = G ,' (х)}$ для каждого реального числа Икс. Тогда существует действительное число ${ displaystyle C}$ такой, что ${ Displaystyle F (x) -G (x) = C}$ для каждого реального числа Икс.

Чтобы доказать это, обратите внимание, что ${ Displaystyle [F (x) -G (x)] '= 0}$ . Так ${ displaystyle F}$ можно заменить на ${ Displaystyle F-G}$ , и ${ displaystyle G}$ постоянной функцией ${ displaystyle 0}$ , ставя целью доказать, что всюду дифференцируемая функция, производная которой всегда равна нулю, должна быть постоянной:

Выберите реальное число ${ displaystyle a}$ , и разреши ${ Displaystyle C = F (а)}$ . Для любого Икс, то основная теорема исчисления, вместе с предположением, что производная от ${ displaystyle F}$ обращается в нуль, означает, что

{ Displaystyle { begin {align} & 0 = int _ {a} ^ {x} F '(t) dt & 0 = F (x) -F (a) & 0 = F (x) - C & F (x) = C конец {выровнено}}}

тем самым показывая, что ${ displaystyle F}$ - постоянная функция.

Два факта имеют решающее значение в этом доказательстве. Во-первых, настоящая линия связаны. Если бы реальная линия не была подключена, мы не всегда могли бы интегрироваться с фиксированной а к любому данному Икс. Например, если мы попросим функции, определенные на объединении интервалов [0,1] и [2,3], и если а были 0, то было бы невозможно интегрировать от 0 до 3, потому что функция не определена между 1 и 2. Здесь будет два константы, по одной на каждую связный компонент из домен. В общем, заменяя константы на локально постоянные функции, мы можем распространить эту теорему на несвязные области. Например, есть две константы интегрирования для ${ displaystyle textstyle int dx / x}$ , и бесконечно много для ${ displaystyle textstyle int tan x , dx,}$ так, например, общий вид интеграла от 1 /Икс является:^[6]^[7]

{ displaystyle int {1 over x} , dx = { begin {cases} ln left | x right | + C ^ {-} & x <0 ln left | x right | + C ^ {+} & x> 0 end {case}}}

Второй, ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ считались всюду дифференцируемыми. Если ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ не дифференцируемы ни в одной точке, то теорема может быть неверной. В качестве примера пусть ${ Displaystyle F (х)}$ быть Ступенчатая функция Хевисайда, который равен нулю при отрицательных значениях Икс и один для неотрицательных значений Икс, и разреши ${ Displaystyle G (х) = 0}$ . Тогда производная от ${ displaystyle F}$ равна нулю там, где он определен, а производная от ${ displaystyle G}$ всегда равен нулю. Но ясно, что ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ не отличаются на константу, даже если предполагается, что ${ displaystyle F}$ и ${ displaystyle G}$ везде непрерывны и почти всюду дифференцируемая теорема все еще не верна. В качестве примера возьмем ${ displaystyle F}$ быть Функция Кантора и снова пусть ${ displaystyle G}$ = 0.

Например, предположим, что кто-то хочет найти первообразные ${ Displaystyle соз (х)}$ . Одним из таких первообразных является ${ Displaystyle грех (х)}$ . Еще один ${ Displaystyle грех (х) +1}$ . Третий - это ${ Displaystyle грех (х) - пи}$ . У каждого из них есть производная ${ Displaystyle соз (х)}$ , поэтому все они являются первообразными ${ Displaystyle соз (х)}$ .

Оказывается, сложение и вычитание констант - единственная гибкость, которая у нас есть при нахождении различных первообразных одной и той же функции. То есть все первообразные с точностью до константы одинаковы. Чтобы выразить этот факт для ${ Displaystyle соз (х)}$ , мы пишем:

{ displaystyle int cos (x) , dx = sin (x) + C.}

Замена ${ displaystyle C}$ по количеству произведет первообразную. Написав ${ displaystyle C}$ вместо числа, однако, компактное описание всех возможных первообразных ${ Displaystyle соз (х)}$ получается. ${ displaystyle C}$ называется постоянная интеграции. Легко определить, что все эти функции действительно являются первообразными от ${ Displaystyle соз (х)}$ :

{ displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} [ sin (x) + C] & = { frac {d} {dx}} [ sin (x)] + { гидроразрыв {d} {dx}} [C] & = cos (x) +0 & = cos (x) end {align}}}

Необходимость

На первый взгляд может показаться, что константа не нужна, поскольку ее можно обнулить. Кроме того, при оценке определенные интегралы с использованием основная теорема исчисления, константа всегда отменяется сама собой.

Однако попытка установить константу равной нулю не всегда имеет смысл. Например, ${ Displaystyle 2 грех (х) соз (х)}$ можно интегрировать как минимум тремя различными способами:

{ Displaystyle { begin {align} int 2 sin (x) cos (x) , dx & = & sin ^ {2} (x) + C & = & - cos ^ {2} (x) + 1 + C & = & - { frac {1} {2}} cos (2x) + C int 2 sin (x) cos (x) , dx & = & - cos ^ {2 } (x) + C & = & sin ^ {2} (x) -1 + C & = & - { frac {1} {2}} cos (2x) + C int 2 sin (x ) cos (x) , dx & = & - { frac {1} {2}} cos (2x) + C & = & sin ^ {2} (x) + C & = & - cos ^ {2 } (x) + C end {выровнено}}}

Итак, установка ${ displaystyle C}$ в ноль можно оставить константу. Это означает, что для данной функции не существует «простейшей первообразной».

Еще проблема с настройкой ${ displaystyle C}$ равен нулю, это то, что иногда мы хотим найти первообразную, которая имеет заданное значение в данной точке (как в проблема начального значения ). Например, чтобы получить первообразную ${ Displaystyle соз (х)}$ который имеет значение 100 при Икс = π, то только одно значение ${ displaystyle C}$ будет работать (в этом случае ${ displaystyle C}$ = 100).

Это ограничение можно перефразировать на языке дифференциальные уравнения. Нахождение неопределенного интеграла от функции ${ displaystyle f (x)}$ то же самое, что и решение дифференциального уравнения ${ displaystyle { frac {dy} {dx}} = f (x)}$ . Любое дифференциальное уравнение будет иметь множество решений, и каждая константа представляет собой уникальное решение корректной проблема начального значения. Наложив условие, что наша первообразная принимает значение 100 при Икс = π - начальное условие. Каждому начальному условию соответствует одно и только одно значение ${ displaystyle C}$ так что без ${ displaystyle C}$ было бы невозможно решить проблему.

Есть еще одно оправдание, исходящее от абстрактная алгебра. Пространство всех (подходящих) действительных функций на действительные числа это векторное пространство, а дифференциальный оператор ${ displaystyle { frac {d} {dx}}}$ это линейный оператор. Оператор ${ displaystyle { frac {d} {dx}}}$ отображает функцию в ноль тогда и только тогда, когда эта функция постоянна. Следовательно, ядро из ${ displaystyle { frac {d} {dx}}}$ - пространство всех постоянных функций. Процесс неопределенного интегрирования сводится к поиску прообраза данной функции. Для данной функции нет канонического прообраза, но набор всех таких прообразов формирует смежный. Выбор константы такой же, как и выбор элемента смежного класса. В этом контексте решение проблема начального значения интерпретируется как лежащий в гиперплоскость предоставленный первоначальные условия.

Константа интеграции - Constant of integration

Источник

Необходимость

Рекомендации