Подключенное пространство - Connected space

Связанные и отключенные подпространства р²

Сверху вниз: красное пространство А, розовое пространство B, желтое пространство C и оранжевое пространство D все связаны, а зеленые насаждения E (сделано из подмножества E1, E₂, E₃, а E₄) является отключен. Более того, А и B являются также односвязный (род 0), а C и D не: C имеет род 1 и D имеет род 4.

В топология и смежные отрасли математика, а связанное пространство это топологическое пространство это не может быть представлено как союз из двух или более непересекающийся непустой открытые подмножества. Связность - одна из главных топологические свойства которые используются для различения топологических пространств.

Подмножество топологического пространства Икс это подключенный набор если это связанное пространство, если рассматривать его как подпространство из Икс.

Некоторые связанные, но более сильные условия: путь подключен, односвязный, и n-связанный. Еще одно родственное понятие локально связанный, что не влечет и не следует из связности.

Формальное определение

А топологическое пространство Икс как говорят отключен если это объединение двух непересекающихся открытых множеств. Иначе, Икс как говорят связаны. А подмножество топологического пространства называется связным, если оно связно по своей топологии подпространства. Некоторые авторы исключают пустой набор (с его уникальной топологией) как связное пространство, но в этой статье не следует этой практике.

Для топологического пространства Икс следующие условия эквивалентны:

Икс связно, то есть его нельзя разделить на два непересекающихся непустых открытых множества.
Икс нельзя разделить на два непересекающихся непустых закрытые наборы.
Единственные подмножества Икс которые бывают как открытыми, так и закрытыми (Clopen наборы ) находятся Икс и пустой набор.
Единственные подмножества Икс с пустым граница находятся Икс и пустой набор.
Икс нельзя записать как объединение двух непустых отдельные наборы (множества, для которых одно не пересекается с замыканием другого).
Все непрерывный функции от Икс to {0,1} являются постоянными, где {0,1} - двухточечное пространство с дискретной топологией.

Исторически сложилось так, что эта современная формулировка понятия связанности (в терминах отсутствия разделения Икс на две отдельные группы) впервые появились (независимо) с Н.Дж. Леннесом, Фриджес Рис, и Феликс Хаусдорф в начале 20 века. Видеть ^[1] для подробностей.

Подключенные компоненты

В максимальный связанные подмножества (упорядоченные по включение ) непустого топологического пространства называются связанные компоненты пространства. Компоненты любого топологического пространства Икс сформировать раздел изИкс: они есть непересекающийся, непустые, и их объединение составляет все пространство. Каждый компонент является закрытое подмножество оригинального пространства. Отсюда следует, что в случае, когда их количество конечно, каждый компонент также является открытым подмножеством. Однако, если их число бесконечно, это может быть не так; например, компоненты связности множества рациональное число одноточечные множества (синглтоны ), которые не открыты.

Позволять ${displaystyle Gamma _ {x}}$ быть связной компонентой Икс в топологическом пространстве Икс, и ${displaystyle Gamma _ {x} '}$ быть пересечением всех прищемить наборы, содержащие Икс (называется квазикомпонентный из Икс.) Потом ${displaystyle Gamma _ {x} subset Gamma '_ {x}}$ где равенство выполняется, если Икс компактно хаусдорфово или локально связно.

Не связанные пространства

Пространство, в котором все компоненты являются одноточечными множествами, называется полностью отключен. В связи с этим имуществом есть пространство Икс называется полностью отделен если для любых двух различных элементов Икс и у из Икссуществуют непересекающиеся открытые наборы U содержащий Икс и V содержащий у такой, что Икс это союз U и V. Ясно, что любое полностью разделенное пространство полностью отключено, но обратное неверно. Например, возьмем две копии рациональных чисел Q, и идентифицировать их в каждой точке, кроме нуля. Результирующее пространство с фактор-топологией полностью отключено. Однако, рассматривая две копии нуля, можно увидеть, что пространство не разделено полностью. На самом деле это даже не Хаусдорф, и условие быть полностью отделенным строго сильнее, чем условие быть Хаусдорфом.

Примеры

Закрытый интервал $[0, 2]$ в стандарт топология подпространства подключен; хотя его можно, например, записать как объединение $[0, 1)$ и $[1, 2]$ , второй набор не открыт в выбранной топологии $[0, 2]$ .
Союз $[0, 1)$ и $(1, 2]$ отключен; оба этих интервала открыты в стандартном топологическом пространстве $[0, 1) \cup (1, 2]$ .
$(0, 1) \cup {3}$ отключен.
А выпуклое подмножество из р^п подключен; это на самом деле односвязный.
А Евклидова плоскость исключая начало координат (0, 0), связано, но не односвязно. Трехмерное евклидово пространство без начала координат связано и даже односвязно. Напротив, одномерное евклидово пространство без начала координат не связано.
Евклидова плоскость с удаленной прямой линией не соединена, так как состоит из двух полуплоскостей.
ℝ, Пространство действительные числа с обычной топологией, связано.
Если удалить хотя бы одну точку из ℝ, остальная часть отключается. Однако, если убрать даже счетное бесконечное количество очков из ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , куда $п \geq 2$ , остаток связан. Если $п \geq 3$ , тогда ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ остается односвязным после удаления счетного числа точек.
Любой топологическое векторное пространство, например любой Гильбертово пространство или же Банахово пространство, над связным полем (например, ${displaystyle mathbb {R}}$ или же ${displaystyle mathbb {C}}$ ), односвязно.
Каждый дискретное топологическое пространство хотя бы с двумя элементами отключен, фактически такое пространство полностью отключен. Самый простой пример - это дискретное двухточечное пространство.^[2]
С другой стороны, может быть связано конечное множество. Например, спектр кольцо дискретной оценки состоит из двух точек и соединен. Это пример Пространство Серпинского.
В Кантор набор полностью отключен; поскольку набор содержит несчетное количество точек, он имеет несчетное количество компонентов.
Если пробел Икс является гомотопический эквивалент в связанное пространство, затем Икс сам связан.
В синусоида тополога является примером набора, который связан, но не связан ни путями, ни локально.
В общая линейная группа ${displaystyle operatorname {GL} (n, mathbf {R})}$ (то есть группа п-к-п вещественных обратимых матриц) состоит из двух связных компонентов: один с матрицами положительного определителя, а другой - отрицательного определителя. В частности, это не связано. В отличие, ${displaystyle operatorname {GL} (n, mathbf {C})}$ подключен. В более общем смысле, множество обратимых ограниченных операторов в комплексном гильбертовом пространстве связно.
Спектры коммутативных местное кольцо и области целостности связаны. В более общем смысле следующие эквиваленты^[3]
1. Спектр коммутативного кольца р подключен
2. Каждый конечно порожденный проективный модуль над р имеет постоянный ранг.
3. р не имеет идемпотент ${displaystyle eq 0,1}$ (т.е. р не является произведением двух колец нетривиальным образом).

Пример несвязанного пространства - это плоскость с удаленной из нее бесконечной линией. Другие примеры несвязных пространств (т. Е. Несвязных пространств) включают плоскость с кольцо удалены, а также объединение двух непересекающихся замкнутых диски, где все примеры этого абзаца имеют топология подпространства индуцировано двумерным евклидовым пространством.

Связность путей

Это подпространство р² связан с путями, потому что путь может быть проведен между любыми двумя точками в пространстве.

А связное пространство является более сильным понятием связности, требующим структуры дорожка. А дорожка с точки Икс в точку у в топологическое пространство Икс является непрерывной функцией ƒ от единичный интервал [0,1] до Икс с ƒ(0) = Икс и ƒ(1) = у. А компонент пути из Икс является класс эквивалентности из Икс под отношение эквивалентности что делает Икс эквивалентно у если есть путь из Икс к у. Космос Икс как говорят соединенный путём (или же путевое соединение или же 0-связанный), если существует ровно одна компонента пути, т.е. если существует путь, соединяющий любые две точки в Икс. Опять же, многие авторы исключают пустое пространство (обратите внимание, однако, что по этому определению пустое пространство не линейно связно, потому что оно имеет нулевые компоненты пути; существует уникальное отношение эквивалентности на пустом множестве, которое имеет нулевые классы эквивалентности).

Каждое линейно связное пространство связано. Обратное не всегда верно: примеры связанных пространств, которые не связаны между собой, включают расширенные длинная линия L* и синусоида тополога.

Подмножества реальная линия р подключены если и только если они связаны путями; эти подмножества являются интервалы из р.Также открытые подмножества р^п или же C^п связаны тогда и только тогда, когда они линейно связаны. Кроме того, связность и линейная связность одинаковы для конечные топологические пространства.

Связность дуги

Пространство Икс как говорят соединенный дугой или же соединенный по дуге если любые две различные точки могут быть соединены дуга, это путь ƒ который является гомеоморфизм между единичным интервалом [0, 1] и его изображение ƒ([0, 1]). Его можно показать каждый Пространство Хаусдорфа то есть линейно связное, то дуговое. Пример пространства, связанного линейно, но не связного по дуге, предоставляется путем добавления второй копии 0 '0 к неотрицательным действительным числам [0, ∞). Один наделяет этот набор частичный заказ указав, что 0 '< а для любого положительного числа а, но оставляя 0 и 0 'несопоставимыми. Затем наделяют этот набор топология заказа. То есть берутся открытые интервалы (а, б) = {Икс | а < Икс < б} и полуоткрытые интервалы [0,а) = {Икс | 0 ≤ х <а}, [0', а) = {Икс | 0' ≤ Икс < а} как основание для топологии. Полученное пространство - это Т₁ пространство, но не Пространство Хаусдорфа. Ясно, что 0 и 0 'могут быть соединены путем, но не дугой в этом пространстве.

Локальная связанность

Топологическое пространство называется локально связанный в какой-то момент Икс если каждый район Икс содержит связную открытую окрестность. это локально связанный если у него есть основание связанных наборов. Можно показать, что пробел Икс локально связно тогда и только тогда, когда каждая компонента каждого открытого множества Икс открыт.

Аналогично топологическое пространство называется локально соединенный путём если у него есть база линейно связанных множеств. Открытое подмножество локально линейно связного пространства связано тогда и только тогда, когда оно линейно связано. Это обобщает более раннее утверждение о р^п и C^п, каждый из которых локально линейно связан. В общем, любой топологическое многообразие локально линейно связно.

Синусоидальная кривая тополога связана, но не связана локально

Локальное соединение не означает соединение, а локальное соединение по пути не означает соединение по пути. Простым примером локально связного (и локально линейно связанного) пространства, которое не связано (или линейно связного), является объединение двух отделенный интервалы в ${displaystyle mathbb {R}}$ , Такие как ${displaystyle (0,1) чашка (2,3)}$ .

Классическим примером связного пространства, которое не является локально связным, является так называемый синусоида тополога, определяется как ${displaystyle T = {(0,0)} чашка {(x, sin left ({frac {1} {x}} ight)): xin (0,1]}}$ , с Евклидова топология индуцированный включением в ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .

Установить операции

Примеры объединений и пересечений связанных множеств

В пересечение связных множеств не обязательно связаны.

В союз связных множеств не обязательно связаны, как можно увидеть, рассмотрев ${displaystyle X = (0,1) чашка (1,2)}$ .

Каждый эллипс является связным множеством, но объединение не связано, так как его можно разбить на два непересекающихся открытых множества. ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ .

Это означает, что если союз ${displaystyle X}$ отключается, то сборник ${displaystyle {X_ {i}}}$ могут быть разделены на две подгруппы, так что объединения подгрупп не пересекаются и открываются в ${displaystyle X}$ (см. картинку). Отсюда следует, что в некоторых случаях объединение связных множеств является обязательно подключен. Особенно:

Если общее пересечение всех множеств не пусто ( ${extstyle igcap X_ {i} eq emptyset}$ ), то очевидно, что их нельзя разбить на коллекции с непересекающиеся союзы. Следовательно объединение связных множеств с непустым пересечением связно.
Если пересечение каждой пары множеств не пусто ( ${displaystyle forall i, j: X_ {i} cap X_ {j} eq emptyset}$ ), то опять же их нельзя разделить на коллекции с непересекающимися объединениями, поэтому их объединение должно быть связано.
Если наборы могут быть упорядочены как «связанная цепочка», то есть проиндексированы целыми индексами и ${displaystyle forall i: X_ {i} cap X_ {i + 1} eq emptyset}$ , то снова их союз должен быть связан.
Если множества попарно не пересекаются и факторное пространство ${displaystyle X / {X_ {i}}}$ подключен, то $Икс$ должен быть подключен. В противном случае, если ${displaystyle Ucup V}$ это разделение $Икс$ тогда ${displaystyle q (U) чашка q (V)}$ является разделением факторпространства (поскольку ${displaystyle q (U), q (V)}$ не пересекаются и открыты в фактор-пространстве).^[4]

Два связанных набора, разность которых не связана

В установить разницу связных множеств не обязательно связаны. Однако если ${displaystyle Xsupseteq Y}$ и их отличие ${displaystyle Xsetminus Y}$ отключен (и, таким образом, может быть записан как объединение двух открытых множеств ${displaystyle X_ {1}}$ и ${displaystyle X_ {2}}$ ), то объединение ${displaystyle Y}$ с каждой такой компонентой связана (т.е. ${displaystyle Ycup X_ {i}}$ подключен для всех ${displaystyle i}$ ).

Доказательство:^[5] От противного, предположим ${displaystyle Ycup X_ {1}}$ не связано. Таким образом, его можно записать как объединение двух непересекающихся открытых множеств, например ${displaystyle Ycup X_ {1} = Z_ {1} чашка Z_ {2}}$ . Потому что ${displaystyle Y}$ связан, он должен полностью содержаться в одном из этих компонентов, скажем ${displaystyle Z_ {1}}$ , и поэтому ${displaystyle Z_ {2}}$ содержится в ${displaystyle X_ {1}}$ . Теперь мы знаем, что:

{displaystyle X = left (Ycup X_ {1} ight) cup X_ {2} = left (Z_ {1} cup Z_ {2} ight) cup X_ {2} = left (Z_ {1} cup X_ {2} ight) ) чашка слева (Z_ {2} крышка X_ {1} ight)}

Два множества в последнем объединении не пересекаются и открыты в ${displaystyle X}$ , поэтому есть разделение ${displaystyle X}$ , что противоречит тому, что ${displaystyle X}$ подключен.

Теоремы

Основная теорема связности: Позволять Икс и Y топологические пространства и пусть ƒ : Икс → Y - непрерывная функция. Если Икс (путь-) связан, то изображение ƒ(Икс) является (путевым) связным. Этот результат можно рассматривать как обобщение теорема о промежуточном значении.
Каждое линейно связное пространство связано.
Каждое локально линейно связное пространство локально связно.
Пространство, связанное локально, линейно связно тогда и только тогда, когда оно связано.
В закрытие связного подмножества связано. Более того, любое подмножество между подключенным подмножеством и его замыканием связано.
Подключенные компоненты всегда закрыто (но в целом не открыто)
Связные компоненты локально связного пространства также открыты.
Компоненты связности пространства являются непересекающимися объединениями компонент линейной связности (которые в общем случае не являются ни открытыми, ни замкнутыми).
Каждый частное связного (соответственно, локально связного, линейно связного, локально линейно связного) пространства связано (соответственно, локально связного, линейно связного, локально линейно связного).
Каждый товар семейства связных (соответственно линейно связных) пространств связно (соответственно линейно связно).
Каждое открытое подмножество локально связного (соответственно локально линейно связного) пространства локально связно (соответственно локально линейно связно).
Каждый многообразие локально линейно связно.
Связанное по дуге пространство соединено по пути, но связанное по дуге пространство не может быть соединено по дуге
Непрерывный образ дугообразно связного множества дугообразно связан.

Графики

Графики имеют подмножества, соединенные путями, а именно те подмножества, для которых каждая пара точек имеет путь из ребер, соединяющих их. Но не всегда возможно найти топологию на множестве точек, которая порождает одни и те же связные множества. В 5-тактный график (и любой п-цикл с п > 3 odd) - один из таких примеров.

Как следствие, понятие связности может быть сформулировано независимо от топологии пространства. А именно, существует категория связных пространств, состоящая из множеств с наборами связных подмножеств, удовлетворяющих аксиомам связности; их морфизмы - это те функции, которые отображают связанные множества в связанные множества (Маскат и Бухагиар 2006 ). Топологические пространства и графы - частные случаи связных пространств; действительно, конечные связные пространства - это в точности конечные графы.

Однако любой граф можно канонически превратить в топологическое пространство, рассматривая вершины как точки и ребра как копии единичного интервала (см. топологическая теория графов # Графы как топологические пространства ). Тогда можно показать, что граф связен (в теоретическом смысле графа) тогда и только тогда, когда он связан как топологическое пространство.

Более сильные формы связи

Есть более сильные формы связи для топологические пространства, например:

Если в топологическом пространстве не существует двух непересекающихся непустых открытых множеств, Икс, Икс должны быть связаны, и поэтому гиперсвязанные пространства тоже связаны.
Поскольку односвязное пространство по определению также требуется быть связным по путям, любое односвязное пространство также связано. Однако обратите внимание, что если требование «связности пути» исключено из определения простой связности, односвязное пространство не нужно подключать.
Еще более сильные версии подключения включают понятие сжимаемое пространство. Каждое стягиваемое пространство связано путями и, следовательно, также связано.

В общем, обратите внимание, что любое пространство, связанное по пути, должно быть связано, но существуют связанные пространства, которые не связаны по пути. В удалено пространство гребня дает такой пример, как и вышеупомянутый синусоида тополога.

Смотрите также

дальнейшее чтение

Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология, второе издание. Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2.
Вайсштейн, Эрик В. «Связанный набор». MathWorld.
В. И. Малыхин (2001) [1994], «Связанное пространство», Энциклопедия математики, EMS Press
Маскат, Дж; Бухагиар, Д. (2006). «Соединительные пространства» (PDF). Mem. Фак. Sci. Англ. Shimane Univ., Series B: Math. Sc. 39: 1–13. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-03-04. Получено 2010-05-17.CS1 maint: ref = harv (связь).

[1] Уайлдер, Р.Л. (1978). «Эволюция топологической концепции» связного"". Американская математика. Ежемесячно. 85 (9): 720–726. Дои:10.2307/2321676.

[2] Джордж Ф. Симмонс (1968). Введение в топологию и современный анализ. Книжная компания McGraw Hill. п. 144. ISBN 0-89874-551-9.

[3] Чарльз Вейбель, K-книга: Введение в алгебраическую K-теорию

[4] Брандсма, Хенно (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат с учетом факторных отображений и связности?». Обмен стеком.

[5] Марек (13 февраля 2013 г.). «Как доказать этот результат о связности?». Обмен стеком.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]