Односвязное пространство - Википедия - Simply connected space

В топология, а топологическое пространство называется односвязный (или же 1-связный, или же 1-односвязный^[1]) если это соединенный путём и каждый путь между двумя точками может быть непрерывно преобразован (интуитивно для вложенных пространств, оставаясь внутри пространства) в любой другой такой путь, сохраняя при этом две рассматриваемые конечные точки. В фундаментальная группа топологического пространства является индикатором того, что пространство не может быть односвязным: линейно связное топологическое пространство односвязно тогда и только тогда, когда его фундаментальная группа тривиальна.

Определение и эквивалентные формулировки

Эта форма представляет собой набор, который не является просто связанным, потому что любая петля, охватывающая одно или несколько отверстий, не может быть сжата до точки без выхода из области.

А топологическое пространство Икс называется односвязный если он подключен по пути и любой цикл в Икс определяется ж : S¹ → Икс можно свести к точке: существует непрерывное отображение F : D² → Икс такой, что F ограничен S¹ является ж. Здесь S¹ и D² обозначает единичный круг и закрыто единичный диск в Евклидова плоскость соответственно.

Эквивалентная формулировка такова: Икс односвязен тогда и только тогда, когда он связан по путям, и всякий раз, когда п : [0,1] → Икс и q : [0,1] → Икс это два пути (т.е. непрерывные карты) с одинаковыми начальной и конечной точкой (п(0) = q(0) и п(1) = q(1)), то п можно непрерывно деформировать в q при сохранении фиксированных конечных точек. Явно существует гомотопия ${ Displaystyle F: [0,1] раз [0,1] rightarrow X}$ такой, что ${ Displaystyle F (х, 0) = р (х)}$ и ${ Displaystyle F (х, 1) = q (х)}$ .

Топологическое пространство Икс односвязно тогда и только тогда, когда Икс связано с путями и фундаментальная группа из Икс в каждой точке тривиален, т.е. состоит только из элемент идентичности. По аналогии, Икс односвязно тогда и только тогда, когда для всех точек ${ displaystyle x, y in X}$ , набор морфизмы ${ displaystyle operatorname {Hom} _ { Pi (X)} (x, y)}$ в фундаментальный группоид из Икс имеет только один элемент.^[2]

В комплексный анализ: открытое подмножество ${ Displaystyle X substeq mathbb {C}}$ односвязно тогда и только тогда, когда оба Икс и его дополнение в Сфера Римана подключены. Набор комплексных чисел, мнимая часть которых строго больше нуля и меньше единицы, представляет собой прекрасный пример неограниченного связного открытого подмножества плоскости, дополнение которого не связно. Тем не менее, это просто связано. Также стоит отметить, что ослабление требования, чтобы Икс быть связным приводит к интересному исследованию открытых подмножеств плоскости со связным расширенным дополнением. Например, (не обязательно связное) открытое множество имеет связное расширенное дополнение именно тогда, когда все его компоненты связности односвязны.

Неформальное обсуждение

Неформально объект в нашем пространстве просто связан, если он состоит из одной части и не имеет никаких «дырок», проходящих через него. Например, просто не соединяется ни пончик, ни кофейная чашка (с ручкой), а просто соединяется полый резиновый шарик. В двух измерениях круг не просто соединен, но диск и линия связаны. Пространства, которые связаны но не просто связанные называются неодносвязный или же многосвязный.

А сфера является односвязным, потому что каждая петля может быть сжата (на поверхности) до точки.

Определение исключает только ручка -образные отверстия. Сфера (или, что то же самое, резиновый шар с полым центром) просто связана, потому что любая петля на поверхности сферы может сжиматься до точки, даже если у нее есть «дыра» в центре полости. Более сильное условие, что объект не имеет отверстий любой измерение, называется сократимость.

Примеры

Тор - это не односвязная поверхность. Ни одну из двух цветных петель, показанных здесь, нельзя сжать до точки, не покидая поверхности. А полноторие также не просто связано, потому что пурпурная петля не может сузиться до точки, не покидая твердого тела.

В Евклидова плоскость р² просто связано, но р² минус начало координат (0,0) нет. Если п > 2, то оба р^п и р^п минус происхождение просто связаны.
Аналогично: п-мерная сфера S^п односвязно тогда и только тогда, когда п ≥ 2.
Каждый выпуклое подмножество из р^п просто связано.
А тор, (эллиптический) цилиндр, то Лента Мебиуса, то проективная плоскость и Бутылка Клейна не просто связаны.
Каждый топологическое векторное пространство просто связано; Это включает в себя Банаховы пространства и Гильбертовы пространства.
За п ≥ 2, специальная ортогональная группа ТАК(п,р) не просто связано и особая унитарная группа SU (п) односвязно.
Одноточечная компактификация р не просто связано (хотя р односвязно).
В длинная линия L односвязно, но его компактификация, удлиненная длинная линия L* нет (так как это даже не путь).

Характеристики

Поверхность (двумерная топологическая многообразие ) односвязен тогда и только тогда, когда он связан и его род (количество ручки поверхности) равно 0.

Универсальное покрытие любого (подходящего) помещения Икс односвязное пространство, которое отображается в Икс через карта покрытия.

Если Икс и Y находятся гомотопический эквивалент и Икс односвязно, то так же Y.

Образ односвязного множества при непрерывной функции не обязательно должен быть односвязным. Возьмем, к примеру, комплексную плоскость под экспоненциальной картой: изображение C - {0}, что не просто связано.

Понятие простой связности важно в комплексный анализ из-за следующих фактов:

В Интегральная теорема Коши заявляет, что если U является односвязным открытым подмножеством комплексная плоскость C, и ж : U → C это голоморфная функция, тогда ж имеет первообразный F на U, а ценность каждого линейный интеграл в U с подынтегральным выражением ж зависит только от конечных точек ты и v пути и может быть вычислено как F(v) - F(ты). Таким образом, интеграл не зависит от конкретного пути, соединяющего ты и v.
В Теорема Римана об отображении утверждает, что любое непустое открытое односвязное подмножество C (кроме C сам) является конформно эквивалентный к единичный диск.

Понятие простой связности также является важным условием в Гипотеза Пуанкаре.

Смотрите также

Фундаментальная группа - Математическая группа гомотопических классов петель в топологическом пространстве.
Отвод деформации
n-связное пространство
Связанный по пути
Единичное пространство