Род (математика) - Википедия - Genus (mathematics)

Поверхность рода 2

В математика, род (множественное число роды) имеет несколько разных, но тесно связанных значений. Наиболее распространенное понятие - род (ориентируемый ) поверхность, - это количество "дырок", так что сфера имеет род 0 и тор имеет род 1. Это уточняется ниже.

Топология

Ориентируемые поверхности

Чашка кофе и пончик, показанные на этой анимации, имеют первый род.

В род из связаны ориентируемая поверхность - это целое число представляет максимальное количество вырубок вдоль непересекающихся замкнутые простые кривые без рендеринга результирующего многообразие отключен.^[1] Он равен количеству ручки в теме. В качестве альтернативы его можно определить в терминах Эйлерова характеристика χ, через отношения χ = 2 − 2грамм за закрытые поверхности, куда грамм это род. Для поверхностей с б граница компоненты, уравнение читается как χ = 2 − 2грамм − б. С точки зрения непрофессионала, это количество «дырок» в объекте («дырки» интерпретируются как дырки от бублика; в этом смысле полая сфера будет считаться не имеющей дыр). Пончик или тор имеет 1 такое отверстие, а сфера - 0. На зеленой поверхности, изображенной выше, есть 2 отверстия соответствующего типа.

Например:

• В сфера S² и диск оба имеют нулевой род.
• А тор имеет род один, как и поверхность кофейной кружки с ручкой. Отсюда шутка «топологи - это люди, которые не могут отличить пончик от кофейной кружки».

Явное построение поверхностей рода грамм приведено в статье о фундаментальный многоугольник.

• Род ориентируемых поверхностей
• 

  род 0

• 

  род 1

• 

  род 2

• 

  род 3

Проще говоря, ценность рода ориентируемой поверхности равна количеству "дырок", которые она имеет.^[2]

Неориентируемые поверхности

В неориентируемый род, полукруг, или же Род Эйлера связной неориентируемой замкнутой поверхности - положительное целое число, представляющее количество кросс-кепки прикреплен к сфера. В качестве альтернативы его можно определить для замкнутой поверхности в терминах эйлеровой характеристики χ с помощью соотношения χ = 2 - k, куда k - неориентируемый род.

Например:

• А реальная проективная плоскость имеет неориентируемый род один.
• А Бутылка Клейна имеет неориентируемый род два.

Морской узел

В род из морской узел K определяется как минимальный род всех Поверхности Зейферта за K.^[3] Однако поверхность Зейферта узла является многообразие с краем, причем граница является узлом, т.е. гомеоморфной единичной окружности. Род такой поверхности определяется как род двумерного многообразия, которое получается склейкой единичного круга по границе.

Ручка

В род 3-х мерного ручка - целое число, представляющее максимальное количество вырубок вдоль заложенного диски без отключения образовавшегося коллектора. Он равен количеству ручек на нем.

Например:

• А мяч имеет нулевой род.
• Полный тор D² × S¹ имеет род один.

Теория графов

В род из график минимальное целое число п такой, что граф можно нарисовать, не пересекаясь на сфере с п ручки (т.е.ориентированная поверхность рода п). Таким образом, планарный граф имеет род 0, потому что его можно нарисовать на сфере без самопересечения.

В неориентируемый род из график это минимальное целое число п такой, что граф можно нарисовать, не пересекая себя на сфере с п кросс-шапки (то есть неориентируемая поверхность (неориентируемой) рода п). (Это число также называют полукруг.)

В Род Эйлера минимальное целое число п такой, что граф можно нарисовать, не пересекая себя на сфере с п колпачки или на сфере с п / 2 ручки.^[4]

В топологическая теория графов существует несколько определений рода группа. Артур Т. Уайт ввел следующую концепцию. Род группы грамм минимальный род (связного, неориентированного) Граф Кэли за грамм.

В проблема рода графов является НП-полный.^[5]

Алгебраическая геометрия

Есть два связанных определения род любой проективной алгебраической схема Икс: the арифметический род и геометрический род.^[6] Когда Икс является алгебраическая кривая с поле определения сложные числа, и если Икс не имеет особые точки, то эти определения согласуются и совпадают с топологическим определением, примененным к Риманова поверхность из Икс (это многообразие сложных точек). Например, определение эллиптическая кривая из алгебраическая геометрия является связная неособая проективная кривая рода 1 с заданной рациональная точка в теме.

Посредством Теорема Римана-Роха, неприводимая плоская кривая степени ${ displaystyle d}$ заданный исчезающим геометрическим местом секции ${ displaystyle s in Gamma ( mathbb {P} ^ {2}, { mathcal {O}} _ { mathbb {P} ^ {2}} (d))}$ имеет геометрический род

${ displaystyle g = { frac {(d-1) (d-2)} {2}} - s,}$

куда s - количество особенностей при правильном подсчете.

Биология

Род можно также вычислить для графика, охватываемого сетью химических взаимодействий в нуклеиновых кислотах или белках. В частности, можно изучать рост рода по цепи. Такая функция (называемая следом рода) показывает топологическую сложность и доменную структуру биомолекул.^[7]

Смотрите также

• Группа (математика)
• Арифметический род
• Геометрический род
• Род мультипликативной последовательности
• Род квадратичной формы
• Род спиноров

Рекомендации

Указатель статей, связанных с тем же именем Этот статья включает список связанных элементов с одинаковыми именами (или похожими именами). Если внутренняя ссылка неправильно привел вас сюда, вы можете изменить ссылку, чтобы она указывала непосредственно на предполагаемую статью.