Граница (топология) - Boundary (topology)

Набор (голубой) и его граница (темно-синий).

В топология и математика в целом граница подмножества S из топологическое пространство Икс это набор точек, к которым можно подойти как из S и снаружи S. Точнее, это набор точек в закрытие из S не принадлежащий к интерьер из S. Элемент границы S называется граничная точка из S. Период, термин пограничная операция относится к поиску или взятию границы набора. Обозначения, используемые для границы множества S включить bd (S), fr (S), и ${ displaystyle partial S}$ . Некоторые авторы (например, Уиллард, в Общая топология) используйте термин граница вместо границы в попытке избежать путаницы с другое определение используется в алгебраическая топология и теория коллекторы. Несмотря на широкое признание значения терминов «граница» и «граница», они иногда использовались для обозначения других множеств. Например, термин «граница» использовался для описания остаток из S, а именно S \ S (множество граничных точек не в S).^{[нужна цитата ]} Феликс Хаусдорф^[1] назвал пересечение S с его границей граница из S (термин «граница» используется для обозначения этого набора в Метрические пространства Э. Т. Копсон).

А связный компонент границы S называется граничный компонент из S.

Общие определения

Есть несколько эквивалентных определений границы подмножества S топологического пространства Икс:

то закрытие из ${ displaystyle S}$ минус интерьер из ${ displaystyle S}$ : ${ displaystyle partial S: = { bar {S}} setminus S ^ { circ}}$
пересечение закрытия ${ displaystyle S}$ с закрытием своего дополнять: ${ displaystyle partial S: = { overline {S}} cap { overline {(X setminus S)}}}$
набор точек ${ displaystyle p in X}$ так что каждый окрестности из ${ displaystyle p}$ содержит хотя бы одну точку ${ displaystyle S}$ и хотя бы один пункт не ${ displaystyle S}$ : ${ displaystyle partial S: = {p in X mid forall O ni p: O cap S neq emptyset , { text {and}} , O cap S ^ {c} neq emptyset }}$

Примеры

Граница гиперболических составляющих Набор Мандельброта

Рассмотрим реальную линию ${ Displaystyle mathbb {R}}$ с обычной топологией (т.е. топологией, базисные наборы находятся открытые интервалы ) и ${ displaystyle mathbb {Q}}$ , подмножество рациональных чисел (с пустыми интерьер ). Надо

${ displaystyle partial (0,5) = partial [0,5) = partial (0,5] = partial [0,5] = {0,5 }}$
${ displaystyle partial varnothing = varnothing}$
${ Displaystyle partial mathbb {Q} = mathbb {R}}$
${ Displaystyle partial ( mathbb {Q} cap [0,1]) = [0,1]}$

Эти последние два примера иллюстрируют тот факт, что граница плотный набор с пустым интерьером его закрытие.

В пространстве рациональных чисел с обычной топологией ( топология подпространства из ${ Displaystyle mathbb {R}}$ ) граница ${ Displaystyle (- infty, а)}$ , где а иррационально, пусто.

Граница множества - это топологический понятие и может измениться при изменении топологии. Например, учитывая обычную топологию на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , граница замкнутого диска ${ displaystyle Omega = {(x, y) | x ^ {2} + y ^ {2} leq 1 }}$ окружность диска: ${ displaystyle partial Omega = {(x, y) | x ^ {2} + y ^ {2} = 1 }}$ . Если диск рассматривается как набор в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ со своей обычной топологией, т.е. ${ displaystyle Omega = {(x, y, 0) | x ^ {2} + y ^ {2} leq 1 }}$ , то границей диска является сам диск: ${ Displaystyle partial Omega = Omega}$ . Если диск рассматривается как собственное топологическое пространство (с топологией подпространства ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ ), то граница диска пуста.

Свойства

Граница множества закрыто.^[2]
Граница внутренней части множества, так же как и граница замыкания множества, оба содержатся в границе множества.
Множество является границей некоторого открытого множества тогда и только тогда, когда оно замкнуто и нигде не плотный.
Граница множества - это граница дополнения множества: ${ Displaystyle partial S = partial (S ^ {C})}$ .
Внутренняя часть границы замкнутого множества - это пустое множество.

Отсюда:

п является граничной точкой множества тогда и только тогда, когда каждая окрестность п содержит хотя бы одну точку в наборе и хотя бы одну точку не в наборе.
Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит свою границу, и открыто тогда и только тогда, когда он не пересекается со своей границей.
Замыкание множества равно объединению множества с его границей: ${ displaystyle { overline {S}} = S cup partial S}$ .
Граница набора пуста тогда и только тогда, когда набор одновременно закрыт и открыт (то есть Clopen набор ).
Внутри границы замыкания множества есть пустое множество.

Концептуальный Диаграмма Венна показывая отношения между различными точками подмножества S р^п. A = набор предельные точки S, B = набор граничные точки S, область, закрашенная зеленым цветом = набор внутренние точки S, область заштрихована желтым = набор изолированные точки из S, области, закрашенные черным цветом = пустые множества. Каждая точка S является либо внутренней, либо граничной точкой. Кроме того, каждая точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Аналогично, каждая граничная точка S является либо точкой накопления, либо изолированной точкой. Изолированные точки всегда являются граничными точками.

Граница границы

Для любого набора S, ∂S ⊇ ∂∂S, причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда граница S не имеет внутренних точек, что будет, например, если S либо закрыто, либо открыто. Поскольку граница множества замкнута, ${ displaystyle partial partial S = partial partial partial S}$ для любого набора S. Таким образом, граничный оператор удовлетворяет ослабленному виду идемпотентность.

Обсуждая границы коллекторы или симплексы и их симплициальные комплексы, часто встречается утверждение, что граница границы всегда пуста. Действительно, конструкция особые гомологии критически опирается на этот факт. Объяснение очевидного несоответствия состоит в том, что топологическая граница (предмет этой статьи) - это понятие, немного отличающееся от границы многообразия или симплициального комплекса. Например, граница открытого диска, рассматриваемая как многообразие, пуста, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, представляет собой круг, окружающий диск. И наоборот, граница замкнутого диска, рассматриваемого как многообразие, является ограничивающей окружностью, как и его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество реальной плоскости, в то время как его топологическая граница, рассматриваемая как подмножество самого себя, пуста. (В частности, топологическая граница зависит от объемлющего пространства, тогда как граница многообразия инвариантна.)

Смотрите также

См. Обсуждение границы в топологическое многообразие Больше подробностей.
Граничная точка
Теорема плотности Лебега, для теоретико-меры характеризации и свойств границы
Поверхность (топология)

использованная литература

^ Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Veit. п.214. ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.
^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN 0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества А, Брды (А) закрыто.

дальнейшее чтение

Мункрес, Дж. Р. (2000). Топология. Прентис-Холл. ISBN 0-13-181629-2.
Уиллард, С. (1970). Общая топология. Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-08707-3.
ван ден Дрис, Л. (1998). Приручить топологию. ISBN 978-0521598385.

[1] Хаусдорф, Феликс (1914). Grundzüge der Mengenlehre. Лейпциг: Veit. п.214. ISBN 978-0-8284-0061-9. Перепечатано Челси в 1949 году.

[2] Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Дувр. п. 86. ISBN 0-486-66352-3. Следствие 4.15. Для каждого подмножества А, Брды (А) закрыто.

[1]

[2]