Интерьер (топология) - Interior (topology)

Смысл

Икс

это внутренняя точка

S

. Смысл

у

находится на границе

S

.

В математика особенно в топология, то интерьер из подмножество $S$ из топологическое пространство $Икс$ это союз всех подмножеств $S$ которые открыто в $Икс$ . Точка, которая находится внутри $S$ является внутренняя точка из $S$ .

Интерьер $S$ это дополнять из закрытие дополнения $S$ . В этом смысле интерьер и закрытие двойной понятия.

В внешний вид набора $S$ является дополнением закрытия $S$ ; он состоит из точек, не входящих ни в набор, ни в его граница. Внутреннее, граничное и внешнее подмножество вместе раздел все пространство на три блока (или меньше, если один или несколько из них пусты). Интерьер и экстерьер всегда открыто а граница всегда закрыто. Наборы с пустым интерьером получили название граничные наборы.^[1]

Определения

Внутренняя точка

Если $S$ является подмножеством Евклидово пространство, тогда $Икс$ это внутренняя точка $S$ если существует открытый мяч сосредоточен на $Икс$ который полностью содержится в $S$ . (Это проиллюстрировано во вводном разделе этой статьи.)

Это определение обобщается на любое подмножество $S$ из метрическое пространство $Икс$ с метрикой $d$ : $Икс$ это внутренняя точка $S$ если существует $р > 0$ , так что $у$ в $S$ всякий раз, когда расстояние $d (Икс, у) < р$ .

Это определение обобщается на топологические пространства заменив "открытый мяч" на "открытый набор ". Позволять $S$ быть подмножеством топологического пространства $Икс$ . потом $Икс$ это внутренняя точка $S$ если $Икс$ содержится в открытом подмножестве $Икс$ который полностью содержится в $S$ . (Эквивалентно, $Икс$ это внутренняя точка $S$ если $S$ это окрестности из $Икс$ .)

Интерьер набора

В интерьер подмножества $S$ топологического пространства $Икс$ , обозначаемый $Int S$ или $S °$ , может быть определен любым из следующих эквивалентных способов:

$Int S$ является самым большим открытым подмножеством $Икс$ содержится (как подмножество) в $S$ ;
$Int S$ является объединением всех открытых множеств $Икс$ содержалась в $S$ ;
$Int S$ - множество всех внутренних точек $S$ .

Примеры

а

это внутренняя точка

M

, поскольку существует ε-окрестность точки a, которая является подмножеством

M

.

В любом пространстве внутренность пустого множества - это пустое множество.
В любом пространстве $Икс$ , если $S \subseteq Икс$ , тогда $int S \subseteq S$ .
Если $Икс$ евклидово пространство $ℝ$ из действительные числа, тогда $int ([0, 1]) = (0, 1)$ .
Если $Икс$ евклидово пространство $ℝ$ , то внутренность множества $ℚ$ из рациональное число пусто.
Если $Икс$ это комплексная плоскость ${ Displaystyle mathbb {C} = mathbb {R} ^ {2}}$ , тогда ${ Displaystyle mathrm {int} ( {z in mathbb {C}: | z | leq 1 }) = {z in mathbb {C}: | z | <1 }.}$
В любом евклидовом пространстве интерьер любого конечный набор это пустое множество.

На множество действительных чисел можно поставить другую топологию, а не стандартную.

Если $Икс = ℝ$ , где $ℝ$ имеет топология нижнего предела, то int ([0, 1]) = [0, 1).
Если учесть $ℝ$ топология, в которой каждый набор открыт, то $int ([0, 1]) = [0, 1]$ .
Если учесть $ℝ$ топология, в которой единственными открытыми множествами являются пустые множества и $ℝ$ сам тогда $int ([0, 1])$ это пустое множество.

Эти примеры показывают, что внутренняя часть набора зависит от топологии основного пространства. Последние два примера являются частными случаями следующего.

В любой дискретное пространство, поскольку каждый набор открыт, каждый набор равен своей внутренней части.
В любой недискретное пространство $Икс$ , поскольку единственные открытые множества - это пустое множество и $Икс$ сам, у нас есть $Икс = int Икс$ и для каждого правильное подмножество $S$ из $Икс$ , $int S$ это пустое множество.

Свойства

Позволять $Икс$ - топологическое пространство и пусть $S$ и $Т$ быть подмножеством $Икс$ .

$Int S$ является открыто в $Икс$ .
Если $Т$ открыт в $Икс$ тогда $Т \subseteq S$ если и только если $Т \subseteq Int S$ .
$Int S$ открытое подмножество $S$ когда $S$ дается топология подпространства.
$S$ открытое подмножество $Икс$ если и только если $S = int S$ .
Интенсивный: $Int S \subseteq S$ .
Идемпотентность: $Int (Int S) = Int S$ .
Сохраняет/распределяет по бинарное пересечение: $Int (S \cap Т) = (Инт S) \cap (Int Т)$ .
Монотонный/неубывающая по отношению к $\subseteq$ : Если $S \subseteq Т$ тогда $Int S \subseteq Int Т$ .

Приведенные выше утверждения останутся верными, если все экземпляры символов / слов

"интерьер", "Int", "открытый", "подмножество" и "самый большой"

соответственно заменяются на

"закрытие", "Cl", "закрытый", "расширенный" и "наименьший"

меняются местами следующие символы:

"⊆" заменено на "⊇"
"∪" заменено на "∩"

Подробнее по этому поводу см. оператор интерьера ниже или статья Аксиомы замыкания Куратовского.

Другие свойства включают:

Если $S$ закрыт в $Икс$ и $Int Т = \emptyset$ тогда $Int (S \cup Т) = Int S$ .^[2]

Внутренний оператор

В оператор интерьера ^о двойственен закрытие оператор ^—, в том смысле, что

{ Displaystyle S ^ { circ} = X обратная косая черта { overline {(X обратная косая черта S)}}}

,

а также

{ displaystyle { bar {S}} = X обратная косая черта (X обратная косая черта S) ^ { circ}}

,

где $Икс$ это топологическое пространство содержащий $S$ , а обратная косая черта относится к теоретико-множественная разница.

Поэтому абстрактная теория операторов замыкания и Аксиомы замыкания Куратовского легко переводятся на язык внутренних операторов, заменяя множества их дополнениями.

Как правило, внутренний оператор не общается с профсоюзами. Однако в полное метрическое пространство имеет место следующий результат:

Теорема^[3] (К. Урсеску) — Позволять $Икс$ быть полное метрическое пространство и разреши ${ Displaystyle S_ {1}, S_ {2}, ldots}$ последовательность подмножеств $Икс$ .

Если каждый $S я$ закрыт в $Икс$ тогда ${ displaystyle operatorname {cl} left ( cup _ {i in mathbb {N}} operatorname {int} S_ {i} right) = operatorname {cl} operatorname {int} left ( чашка _ {я in mathbb {N}} S_ {i} right)}$ .
Если каждый $S я$ открыт в $Икс$ тогда ${ displaystyle operatorname {int} left ( cap _ {i in mathbb {N}} operatorname {cl} S_ {i} right) = operatorname {int} operatorname {cl} left ( cap _ {i in mathbb {N}} S_ {i} right)}$ .

Внешний вид комплекта

В внешний вид подмножества $S$ топологического пространства $Икс$ , обозначенный $доб S$ или $Ext S$ , это интерьер $int (Икс \ S)$ своего относительного дополнения. В качестве альтернативы его можно определить как $Икс \ S—$ , дополнение закрытия $S$ . Многие свойства прямо следуют из свойств внутреннего оператора, например следующие.

$доб S$ открытое множество, не пересекающееся с $S$ .
$доб S$ является объединением всех открытых множеств, не пересекающихся с $S$ .
$доб S$ - наибольшее открытое множество, не пересекающееся с $S$ .
Если $S \subseteq Т$ , тогда $доб (S)$ это надмножество $доб Т$ .

В отличие от внутреннего оператора ext не идемпотентна, но имеет место следующее:

$доб (доб S)$ это надмножество $int S$ .

Внутренние непересекающиеся формы

Красные формы не пересекаются внутри с синим Треугольником. Зеленая и желтая формы внутренне не пересекаются с синим треугольником, но только желтая форма полностью не пересекается с синим треугольником.

Две формы $а$ и $б$ называются внутренне непересекающийся если пересечение их интерьеров пусто. Внутренние непересекающиеся формы могут пересекаться, а могут и не пересекаться по своей границе.

Смотрите также

использованная литература

^ Куратовски, Казимеж (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Варшава: Польская академия наук. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.
^ Наричи и Бекенштейн 2011 С. 371-423.
^ Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

Список используемой литературы

Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Диксмье, Жак (1984). Общая топология. Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Бербериана, С. К. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Часар, Акош (1978). Общая топология. Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC 4146011.
Дугунджи, Джеймс (1966). Топология. Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию. Нью-Йорк: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC 9218750.
Келли, Джон Л. (1975). Общая топология. Тексты для выпускников по математике. 27. Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC 338047.
Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Верхний Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Шуберт, Хорст (1968). Топология. Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC 463753.
Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

внешние ссылки

Интерьер в PlanetMath.

[1] Куратовски, Казимеж (1922). "Sur l'Operation Ā de l'Analysis Situs" (PDF). Fundamenta Mathematicae. Варшава: Польская академия наук. 3: 182–199. ISSN 0016-2736.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011371-423-2] Наричи и Бекенштейн 2011 С. 371-423.

[Zalinescu_2002_p._33-3] Залинеску, C (2002). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах. Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific. п. 33. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.

[1]

[2]

[3]

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки