Компактный оператор - Википедия - Compact operator

В функциональный анализ, филиал математика, а компактный оператор это линейный оператор L из Банахово пространство Икс в другое банахово пространство Y, так что изображение под L любого ограниченного подмножества Икс это относительно компактный подмножество (имеет компактный закрытие ) из Y. Такой оператор обязательно является ограниченный оператор, и так непрерывно.^[1]

Любой ограниченный оператор L который имеет конечный классифицировать компактный оператор; действительно, класс компактных операторов является естественным обобщением класса операторы конечного ранга в бесконечномерном пространстве. Когда Y это Гильбертово пространство, верно, что любой компактный оператор является пределом операторов конечного ранга,^[2] так что класс компактных операторов может быть определен альтернативно как замыкание множества операторов конечного ранга в топология нормы. Верно ли это вообще для банаховых пространств ( свойство аппроксимации ) долгие годы был нерешенным вопросом; в 1973 г. Пер Энфло привел контрпример.^[3]

Истоки теории компактных операторов лежат в теории интегральные уравнения, где интегральные операторы предоставляют конкретные примеры таких операторов. Типичный Интегральное уравнение Фредгольма рождает компактный оператор K на функциональные пространства; свойство компактности показано равностепенная непрерывность. Метод аппроксимации операторами конечного ранга является основным при численном решении таких уравнений. Абстрактная идея Фредгольмов оператор происходит от этой связи.

Эквивалентные составы

Линейная карта Т : Икс → Y между двумя топологические векторные пространства как говорят компактный если существует окрестность U происхождения в Икс такой, что Т (U) относительно компактное подмножество Y.^[4]

Позволять Икс и Y быть нормированными пространствами и Т : Икс → Y линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Т компактный оператор;
образ единичного шара Икс под Т является относительно компактный в Y;
образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является относительно компактный в Y;
существует район U из 0 в Икс и компактное подмножество ${ displaystyle V substeq Y}$ такой, что ${ Displaystyle Т (U) substeq V}$ ;
для любой ограниченной последовательности ${ displaystyle (x_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ в Икс, последовательность ${ displaystyle (Tx_ {n}) _ {n in mathbb {N}}}$ содержит сходящуюся подпоследовательность.

Если вдобавок Y является банаховым, эти утверждения также эквивалентны:

образ любого ограниченного подмножества Икс под Т является полностью ограниченный в Y.

Если линейный оператор компактен, то легко видеть, что он ограничен и, следовательно, непрерывен.

Важные свойства

В следующих, Икс, Y, Z, W - банаховы пространства, B (Икс, Y) - пространство ограниченных операторов из Икс к Y с норма оператора, К (Икс, Y) - пространство компактных операторов из Икс к Y, B (Икс) = B (Икс, Икс), К (Икс) = K (Икс, Икс), ${ displaystyle id_ {X}}$ это оператор идентификации наИкс.

K (Икс, Y) - замкнутое подпространство в B (Икс, Y) (в топологии нормы):^[5]
- То есть предположим Т_п, п ∈ N, - последовательность компактных операторов из одного банахова пространства в другое, и предположим, что Т_п сходится к Т с уважением к норма оператора. потом Т также компактный.
Наоборот, если Икс, Y являются гильбертовыми пространствами, то любой компактный оператор из Икс к Y является пределом операторов конечного ранга. Примечательно, что это неверно для общих банаховых пространств. Икс и Y.
${ Displaystyle B (Y, Z) circ K (X, Y) circ B (W, X) substeq K (W, Z).}$ В частности, K (Икс) образует двусторонний идеальный в B (Икс).
Любой компактный оператор строго единичный, но не наоборот.^[6]
Ограниченный линейный оператор между банаховыми пространствами компактен тогда и только тогда, когда его сопряженный компактен (Теорема Шаудера).
Если Т : Икс → Y ограничено и компактно, то:
- закрытие диапазона Т является отделяемый.^[5]^[7]
- если диапазон Т закрыт в Y, то диапазон Т конечномерна.^[5]^[7]
Если Икс является банаховым пространством и если существует обратимый ограниченный компактный оператор Т : Икс → Икс тогда Икс обязательно конечномерно.^[7]

Теперь предположим, что Т : Икс → Икс - ограниченный компактный линейный оператор, Икс является банаховым пространством, а ${ displaystyle T ^ {*}: X ^ {*} to X ^ {*}}$ это прилегающий или же транспонировать из Т.

Для любого Т ∈ K (Икс), ${ displaystyle operatorname {Id} _ {X} -T}$ это Фредгольмов оператор индекса 0. В частности, ${ displaystyle operatorname {Im} , ( operatorname {Id} _ {X} -T)}$ закрыто. Это существенно для развития спектральных свойств компактных операторов. Можно заметить сходство этого свойства с тем, что если M и N подпространства банахова пространства, где M закрыт и N конечномерно, то M + N тоже закрыто.
Если S : Икс → Икс - любой линейный ограниченный оператор, то оба ${ Displaystyle S circ T}$ и ${ displaystyle T circ S}$ компактные операторы.^[5]
Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ тогда диапазон ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ закрыто и ядро ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ конечномерна, где ${ displaystyle operatorname {Id} _ {X}: X to X}$ это тождественная карта.^[5]
Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ то следующие числа конечны и равны:^[5]

{ displaystyle operatorname {dim} operatorname {ker} left (T- lambda operatorname {Id} _ {X} right) = operatorname {dim} X / operatorname {Im} left (T- lambda operatorname {Id} _ {X} right) = operatorname {dim} operatorname {ker} left (T * - lambda operatorname {Id} _ {B ^ {*}} right) = operatorname {dim} X ^ {*} / operatorname {Im} left (T ^ {*} - lambda operatorname {Id} _ {X ^ {*}} right)}

Если ${ displaystyle lambda neq 0}$ и ${ displaystyle lambda in sigma (T)}$ тогда ${ displaystyle lambda}$ является собственным значением обоих Т и ${ displaystyle T ^ {*}}$ .^[5]
Спектр Т, ${ displaystyle sigma (T)}$ , компактный, счетный, и имеет не более одного предельная точка, что обязательно будет 0.^[5]
Если Икс бесконечномерно, то 0 принадлежит к спектру Т (т.е. ${ Displaystyle 0 в sigma (T)}$ ).^[5]
Для каждого ${ displaystyle r> 0}$ , набор ${ displaystyle E_ {r} = left { lambda in sigma (T): | lambda |> r right }}$ конечно и для любого ненулевого ${ displaystyle lambda in sigma (T)}$ , диапазон ${ displaystyle T- lambda operatorname {Id} _ {X}}$ это правильное подмножество из Икс.^[5]

Истоки теории интегральных уравнений

Важнейшим свойством компактных операторов является Альтернатива Фредгольма, утверждающий, что существование решения линейных уравнений вида

${ Displaystyle ( лямбда К + I) и = е ,}$

(где K - компактный оператор, f - заданная функция, а u - неизвестная функция, для которой необходимо решить) ведет себя так же, как и в конечных измерениях. В спектральная теория компактных операторов затем следует, и это связано с Фриджес Рис (1918). Он показывает, что компактный оператор K на бесконечномерном банаховом пространстве имеет спектр, который является либо конечным подмножеством C который включает 0, или спектр представляет собой счетно бесконечный подмножество C который имеет 0 в качестве единственного предельная точка. Более того, в любом случае ненулевые элементы спектра равны собственные значения из K с конечными кратностями (так что K - λя имеет конечномерную ядро для всех комплексных λ ≠ 0).

Важным примером компактного оператора является компактное вложение из Соболевские пространства, который вместе с Неравенство Гординга и Теорема Лакса – Милграма, можно использовать для преобразования эллиптическая краевая задача в интегральное уравнение Фредгольма.^[8] Тогда существование решения и спектральные свойства следуют из теории компактных операторов; в частности, эллиптическая краевая задача в ограниченной области имеет бесконечно много изолированных собственных значений. Одним из следствий этого является то, что твердое тело может колебаться только на отдельных частотах, задаваемых собственными значениями, и всегда существуют произвольно высокие частоты колебаний.

Компактные операторы из банахова пространства в себя образуют двусторонний идеальный в алгебра всех ограниченных операторов в пространстве. В самом деле, компактные операторы в бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве образуют максимальный идеал, поэтому фактор-алгебра, известный как Калкина алгебра, является просто. В более общем смысле компактные операторы образуют идеальный оператор.

Компактный оператор в гильбертовых пространствах

Для гильбертовых пространств другое эквивалентное определение компактных операторов дается следующим образом.

Оператор ${ displaystyle T}$ на бесконечномерном Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$

{ displaystyle T: { mathcal {H}} to { mathcal {H}}}

как говорят компактный если это можно записать в виде

{ displaystyle T = sum _ {n = 1} ^ { infty} lambda _ {n} langle f_ {n}, cdot rangle g_ {n} ,,}

куда ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, ldots}$ и ${ displaystyle g_ {1}, g_ {2}, ldots}$ являются ортонормированными множествами (не обязательно полными), и ${ displaystyle lambda _ {1}, lambda _ {2}, ldots}$ последовательность положительных чисел с пределом нуля, называемая сингулярные значения оператора. Сингулярные значения могут накапливать только на нуле. Если последовательность становится стационарной в нуле, то есть ${ displaystyle lambda _ {N + k} = 0}$ для некоторых ${ Displaystyle N in mathbb {N},}$ и каждый ${ Displaystyle к = 1,2, точки}$ , то оператор имеет конечный ранг, т.е., конечномерный диапазон и может быть записан как

{ displaystyle T = sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} langle f_ {n}, cdot rangle g_ {n} ,.}

Кронштейн ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ - скалярное произведение в гильбертовом пространстве; сумма в правой части сходится по операторной норме.

Важным подклассом компактных операторов является класс трассировки или ядерные операторы.

Полностью непрерывные операторы

Позволять Икс и Y - банаховы пространства. Ограниченный линейный оператор Т : Икс → Y называется полностью непрерывный если для каждого слабо сходящийся последовательность ${ displaystyle (x_ {n})}$ из Икс, последовательность ${ displaystyle (Tx_ {n})}$ сходится по норме в Y (Конвей 1985, §VI.3). Компактные операторы в банаховом пространстве всегда полностью непрерывны. Если Икс это рефлексивное банахово пространство, то каждый вполне непрерывный оператор Т : Икс → Y компактный.

Несколько сбивает с толку, что компактные операторы иногда называются «полностью непрерывными» в более ранней литературе, даже если они не обязательно являются полностью непрерывными по определению этой фразы в современной терминологии.

Примеры

Каждый оператор конечного ранга компактен.
За ${ displaystyle ell ^ {p}}$ и последовательность (т_п) стремящаяся к нулю, оператор умножения (Tx)_п = т_п Икс_п компактный.
Для некоторых фиксированных грамм ∈ C([0, 1]; р), определим линейный оператор Т из C([0, 1]; р) к C([0, 1]; р) к

{ displaystyle (Tf) (x) = int _ {0} ^ {x} f (t) g (t) , mathrm {d} t.}

Что оператор Т действительно компактно следует из Теорема Асколи.

В более общем смысле, если Ω - любая область в р^п и интегральное ядро k : Ω × Ω →р это Ядро Гильберта-Шмидта, то оператор Т на L²(Ω;р) определяется

{ Displaystyle (Tf) (x) = int _ { Omega} к (x, y) f (y) , mathrm {d} y}

компактный оператор.

К Лемма Рисса, тождественный оператор является компактным тогда и только тогда, когда пространство конечномерно.^[9]

Смотрите также

Примечания

^ Конвей 1985, Раздел 2.4
^ Конвей 1985, Раздел 2.4
^ Энфло 1973
^ Шефер и Вольф, 1999 г., п. 98.
^ ^а ^б ^c ^d ^е ^ж ^грамм ^час ^я ^j Рудин 1991 С. 103-115.
^ Н.Л. Карозерс, Краткий курс теории банахового пространства, (2005) Студенческие тексты Лондонского математического общества 64, Cambridge University Press.
^ ^а ^б ^c Конвей 1990 С. 173-177.
^ Уильям Маклин, Сильно эллиптические системы и граничные интегральные уравнения, Cambridge University Press, 2000
^ Крейсциг 1978, Теоремы 2.5-3, 2.5-5.

Функциональный анализ (темы – глоссарий )
Пространства	Гильбертово пространство Банахово пространство Fréchet space топологическое векторное пространство
Теоремы	Теорема Хана – Банаха теорема о замкнутом графике принцип равномерной ограниченности Теорема Какутани о неподвижной точке Теорема Крейна – Мильмана теорема мин-макс Теорема Гельфанда – Наймарка. Теорема Банаха – Алаоглу
Операторы	ограниченный оператор компактный оператор сопряженный оператор унитарный оператор Оператор Гильберта – Шмидта класс трассировки неограниченный оператор
Алгебры	Банахова алгебра C * -алгебра спектр C * -алгебры операторная алгебра групповая алгебра локально компактной группы алгебра фон Неймана
Открытые проблемы	проблема инвариантного подпространства Гипотеза Малера
Приложения	Бесовское пространство Харди космос спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений тепловое ядро теорема об индексе вариационное исчисление функциональное исчисление интегральный оператор Многочлен Джонса топологическая квантовая теория поля некоммутативная геометрия Гипотеза Римана
Дополнительные темы	локально выпуклое пространство свойство аппроксимации сбалансированный набор Пространство Шварца слабая топология ствольное пространство Расстояние Банаха – Мазура Теория Томиты – Такесаки

Топологические векторные пространства (ТВС)
Базовые концепты	Банахово пространство Непрерывный линейный оператор Функционалы Гильбертово пространство Линейные операторы Локально выпуклое пространство Гомоморфизм Топологическое векторное пространство Векторное пространство
Основные результаты	Теорема о замкнутом графике Теорема Ф. Рисса Хан-Банах (разделение гиперплоскостей Векторнозначный Хан – Банах ) Открытое отображение (Банаха – Шаудера) (Ограниченный обратный ) Равномерная ограниченность (Банаха – Штейнгауза)
Карты	Почти открыто Билинейный (форма оператор ) и Полуторалинейные формы Закрыто Компактный оператор Непрерывный и Прерывистый Линейные карты Плотно очерченный Гомоморфизм Функционалы Норма Оператор Семинорм Сублинейный Транспонировать
Виды наборов	Абсолютно выпуклый / дисковый Поглощающий / Радиальный Аффинный Сбалансированный / По кругу Банаховые диски Граничные точки Ограниченный Дополненное подпространство Выпуклый Выпуклый конус (подмножество) Линейный конус (подмножество) Крайняя точка Предварительно компактный / полностью ограниченный Радиальный Радиально выпуклый / Звездообразный Симметричный
Установить операции	Аффинная оболочка (Относительный ) Алгебраический интерьер (основной) Выпуклый корпус Линейный пролет Дополнение Минковского Полярный (Квази ) Относительный интерьер
Типы ТВС	Асплунд B-Complete / Ptak Банах (Счетно ) Ствол (Ультра- ) Борнологический Браунер Полный (DF) -пространство Выдающийся F-пространство Фреше (приручить Фреше ) Гротендик Гильберта Infrabarreled Пространство интерполяции LB-пространство LF-пространство Локально выпуклое пространство Макки (Псевдо) Метризуемый Montel Квазибаррельский Квази-полный Квазинформированный (Полиномиально Полу- ) Рефлексивный Рис Шварц Полукомплект Смит Стереотип (B Строго Равномерно выпуклый (Квази ) Ультрабочий Равномерно гладкий Перепончатый С свойством аппроксимации