Идеальный оператор - Википедия - Operator ideal

В функциональный анализ, филиал математика, идеальный оператор особый вид учебный класс из непрерывные линейные операторы между Банаховы пространства. Если оператор ${ displaystyle T}$ принадлежит операторскому идеалу ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ , то для любых операторов ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ который может быть составлен с ${ displaystyle T}$ в качестве ${ displaystyle BTA}$ , тогда ${ displaystyle BTA}$ класс ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ также. Дополнительно для того, чтобы ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ чтобы быть операторным идеалом, он должен содержать класс всех операторов банахова пространства конечного ранга.

Формальное определение

Позволять ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ обозначают класс непрерывных линейных операторов, действующих между произвольными банаховыми пространствами. Для любого подкласса ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ из ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ и любые два банаховых пространства ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ над тем же полем ${ Displaystyle mathbb {K} in { mathbb {R}, mathbb {C} }}$ , обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ множество непрерывных линейных операторов вида ${ displaystyle T: X to Y}$ такой, что ${ displaystyle T in { mathcal {J}}}$ . В этом случае мы говорим, что ${ Displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ это компонент из ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ . Идеальный оператор - это подкласс ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ из ${ Displaystyle { mathcal {L}}}$ , содержащую каждый единичный оператор, действующий в одномерном банаховом пространстве, такой, что для любых двух банаховых пространств ${ displaystyle X}$ и ${ displaystyle Y}$ над тем же полем ${ Displaystyle mathbb {K}}$ , следующие два условия для ${ Displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ довольны:

(1) Если

{ Displaystyle S, Т in { mathcal {J}} (X, Y)}

тогда

{ Displaystyle S + T in { mathcal {J}} (X, Y)}

; и

(2) если

{ displaystyle W}

и

{ displaystyle Z}

являются банаховыми пространствами над

{ Displaystyle mathbb {K}}

с

{ displaystyle A in { mathcal {L}} (W, X)}

и

{ Displaystyle B in { mathcal {L}} (Y, Z)}

, и если

{ displaystyle T in { mathcal {J}} (X, Y)}

, тогда

{ displaystyle BTA in { mathcal {J}} (W, Z)}

.

Свойства и примеры

Операторские идеалы обладают следующими хорошими свойствами.

Каждый компонент ${ Displaystyle { mathcal {J}} (X, Y)}$ операторного идеала образует линейное подпространство ${ Displaystyle { mathcal {L}} (X, Y)}$ , хотя в целом это не нужно закрывать по норме.
Каждый операторный идеал содержит все операторы конечного ранга. В частности, операторы конечного ранга образуют наименьший операторный идеал.
Для каждого оператора идеально ${ Displaystyle { mathcal {J}}}$ , каждый компонент формы ${ Displaystyle { mathcal {J}} (X): = { mathcal {J}} (X, X)}$ образует идеальный в алгебраическом смысле.

Кроме того, некоторые очень хорошо известные классы являются замкнутыми по норме операторными идеалами, т. Е. Операторными идеалами, компоненты которых всегда замкнуты по норме. К ним относятся, помимо прочего, следующее.

Идеальный оператор - Википедия - Operator ideal

Формальное определение

Свойства и примеры

Рекомендации