Строго сингулярный оператор - Википедия - Strictly singular operator

В функциональный анализ, филиал математика, а строго сингулярный оператор это ограниченный линейный оператор между нормированными пространствами, который не ограничен снизу ни на каком бесконечномерном подпространстве.

Определения.

Позволять Икс и Y быть нормированные линейные пространства, и обозначим через B (X, Y) пространство ограниченные операторы формы ${ displaystyle T: X to Y}$. Позволять ${ Displaystyle A substeq X}$ быть любым подмножеством. Мы говорим что Т является ограниченный снизу на ${ displaystyle A}$ всякий раз, когда есть постоянная ${ Displaystyle с in (0, infty)}$ такой, что для всех ${ displaystyle x in A}$, неравенство ${ Displaystyle | Tx | geq с | х |}$ держит. Если А = Хмы просто говорим, что Т является ограниченный снизу.

Теперь предположим Икс и Y являются банаховыми пространствами, и пусть ${ displaystyle Id_ {X} in B (X)}$ и ${ displaystyle Id_ {Y} in B (Y)}$ обозначают соответствующие тождественные операторы. Оператор ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$ называется несущественный в любое время ${ displaystyle Id_ {X} -ST}$ это Фредгольмов оператор для каждого ${ Displaystyle S в В (Y, X)}$. Эквивалентно, Т несущественно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle Id_ {Y} -TS}$ Фредгольм для каждого ${ Displaystyle S в В (Y, X)}$. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {E}} (X, Y)}$ набор всех несущественных операторов в ${ Displaystyle B (X, Y)}$.

Оператор ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$ называется строго единичный когда он не может быть ограничен снизу ни на каком бесконечномерном подпространстве Икс. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {SS}} (X, Y)}$ множество всех строго сингулярных операторов в ${ Displaystyle B (X, Y)}$. Мы говорим что ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$ является конечно строго особый всякий раз для каждого ${ displaystyle epsilon> 0}$ Существует ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$ такое, что для каждого подпространства E из Икс удовлетворение ${ displaystyle { text {dim}} (E) geq n}$, есть ${ displaystyle x in E}$ такой, что ${ displaystyle | Tx | < epsilon | x |}$. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {FSS}} (X, Y)}$ множество всех конечно строго сингулярных операторов в ${ Displaystyle B (X, Y)}$.

Позволять ${ displaystyle B_ {X} = {x in X: | x | leq 1 }}$ обозначим замкнутый единичный шар в Икс. Оператор ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$ является компактный в любое время ${ Displaystyle TB_ {X} = {Tx: x in B_ {X} }}$ является относительно компактным по норме подмножеством Y, и обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {K}} (X, Y)}$ множество всех таких компактных операторов.

Характеристики.

Строго сингулярные операторы можно рассматривать как обобщение компактные операторы, так как всякий компактный оператор строго сингулярен. У этих двух классов есть общие важные свойства. Например, если Икс это Банахово пространство и Т - строго сингулярный оператор в В (Х) тогда это спектр ${ displaystyle sigma (T)}$ удовлетворяет следующим свойствам: (i) мощность из ${ displaystyle sigma (T)}$ не более чем счетно; (ii) ${ Displaystyle 0 в sigma (T)}$ (кроме, возможно, тривиального случая, когда Икс конечномерно); (iii) ноль - единственно возможный предельная точка из ${ displaystyle sigma (T)}$; и (iv) любое ненулевое ${ displaystyle lambda in sigma (T)}$ - собственное значение. Эта же «спектральная теорема», состоящая из (i) - (iv), выполняется для несущественных операторов в В (Х).

Классы ${ Displaystyle { mathcal {K}}}$, ${ displaystyle { mathcal {FSS}}}$, ${ displaystyle { mathcal {SS}}}$, и ${ displaystyle { mathcal {E}}}$ все формы закрыты по нормам операторские идеалы. Это означает, что когда Икс и Y являются банаховыми пространствами, компонентные пространства ${ Displaystyle { mathcal {K}} (X, Y)}$, ${ Displaystyle { mathcal {FSS}} (X, Y)}$, ${ Displaystyle { mathcal {SS}} (X, Y)}$, и ${ Displaystyle { mathcal {E}} (X, Y)}$ каждое замкнутое подпространство (в операторной норме) B (X, Y), такие, что классы инвариантны относительно композиции с произвольными ограниченными линейными операторами.

В общем, у нас есть ${ Displaystyle { mathcal {K}} (X, Y) subset { mathcal {FSS}} (X, Y) subset { mathcal {SS}} (X, Y) subset { mathcal {E }} (X, Y)}$, и каждое из включений может быть или не быть строгим, в зависимости от выбора Икс и Y.

Примеры.

Всякая ограниченная линейная карта ${ displaystyle T: ell _ {p} to ell _ {q}}$, за ${ Displaystyle 1 Leq Q, р < infty}$, ${ displaystyle p neq q}$, строго сингулярно. Здесь, ${ displaystyle ell _ {p}}$ и ${ displaystyle ell _ {q}}$ находятся пробелы последовательности. Аналогично, всякая ограниченная линейная карта ${ displaystyle T: c_ {0} to ell _ {p}}$ и ${ displaystyle T: ell _ {p} to c_ {0}}$, за ${ Displaystyle 1 Leq р < infty}$, строго сингулярно. Здесь ${ displaystyle c_ {0}}$ - банахово пространство последовательностей, сходящихся к нулю. Это следствие теоремы Питта, которая утверждает, что такие Т, за q < п, компактны.

Если ${ Displaystyle 1 Leq р <д < infty}$ тогда оператор формального тождества ${ displaystyle I_ {p, q} in B ( ell _ {p}, ell _ {q})}$ конечно строго сингулярно, но не компактно. Если ${ displaystyle 1$

то существуют «операторы Пельчинского» в ${ Displaystyle В ( ell _ {p}, ell _ {q})}$ которые равномерно ограничены снизу на экземплярах ${ displaystyle ell _ {2} ^ {n}}$, ${ Displaystyle п в mathbb {N}}$, а значит, строго особые, но не конечно строго особые. В этом случае мы имеем ${ displaystyle { mathcal {K}} ( ell _ {p}, ell _ {q}) subsetneq { mathcal {FSS}} ( ell _ {p}, ell _ {q}) subsetneq { mathcal {SS}} ( ell _ {p}, ell _ {q})}$. Однако каждый несущественный оператор с codomain ${ displaystyle ell _ {q}}$ строго сингулярно, так что ${ Displaystyle { mathcal {SS}} ( ell _ {p}, ell _ {q}) = { mathcal {E}} ( ell _ {p}, ell _ {q})}$. С другой стороны, если Икс - любое сепарабельное банахово пространство, то существует ограниченный снизу оператор ${ Displaystyle Т в В (Х, ell _ { infty})}$ любой из которых является несущественным, но не строго единичным. Так, в частности, ${ displaystyle { mathcal {K}} ( ell _ {p}, ell _ { infty}) subsetneq { mathcal {FSS}} ( ell _ {p}, ell _ { infty} ) subsetneq { mathcal {SS}} ( ell _ {p}, ell _ { infty}) subsetneq { mathcal {E}} ( ell _ {p}, ell _ { infty} )}$ для всех ${ Displaystyle 1 <р < infty}$.

Двойственность.

Компактные операторы образуют симметричный идеал, что значит ${ Displaystyle T in { mathcal {K}} (X, Y)}$ если и только если ${ displaystyle T ^ {*} in { mathcal {K}} (Y ^ {*}, X ^ {*})}$. Однако это не относится к классам. ${ displaystyle { mathcal {FSS}}}$, ${ displaystyle { mathcal {SS}}}$, или же ${ displaystyle { mathcal {E}}}$. Чтобы установить отношения двойственности, мы введем дополнительные классы.

Если Z замкнутое подпространство банахова пространства Y тогда существует "канонический" сюрприз ${ displaystyle Q_ {Z}: от Y до Y / Z}$ определяется через естественное отображение ${ displaystyle y mapsto y + Z}$. Оператор ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$ называется строго собственный всякий раз, когда дано бесконечномерное замкнутое подпространство Z из Y, карта ${ displaystyle Q_ {Z} T}$ не может быть сюръективным. Обозначим через ${ Displaystyle { mathcal {SCS}} (X, Y)}$ подпространство строго сингулярных операторов в B (X, Y).

Теорема 1. Позволять Икс и Y - банаховы пространства, и пусть ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$. Если Т * строго сингулярно (соответственно, строго сингулярно), то Т строго сингулярно (соответственно, строго сингулярно).

Отметим, что существуют примеры строго сингулярных операторов, сопряженные к которым не являются ни строго сингулярными, ни строго копособенными (см. Пличко, 2004). Точно так же существуют строго сингулярные операторы, сопряженные к которым не являются строго сингулярными, например карта включения ${ displaystyle I: c_ {0} to ell _ { infty}}$. Так ${ displaystyle { mathcal {SS}}}$ не в полной двойственности с ${ displaystyle { mathcal {SCS}}}$.

Теорема 2. Позволять Икс и Y - банаховы пространства, и пусть ${ Displaystyle Т в В (X, Y)}$. Если Т * несущественно, то так Т.

Рекомендации

Айена, Пьетро, Фредгольм и локальная спектральная теория с приложениями к множителям (2004), ISBN  1-4020-1830-4.

Пличко, Анатолий, "Сверхстрого сингулярные и сверхстрого косингулярные операторы". Математические исследования Северной Голландии 197 (2004), стр. 239-255.

Этот математический анализ –Связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.