Групповая алгебра локально компактной группы - Group algebra of a locally compact group

В функциональный анализ и смежные области математика, то групповая алгебра любая из различных конструкций, которые можно присвоить локально компактная группа ан операторная алгебра (или в более общем смысле Банахова алгебра ), такие, что представления алгебры связаны с представлениями группы. По сути, они похожи на групповое кольцо связанный с дискретной группой.

Алгебра C_c(г) непрерывных функций с компактным носителем

Если г это локально компактная хаусдорфова группа, г несет существенно единственную левоинвариантную счетно аддитивную Мера Бореля μ называется Мера Хаара. Используя меру Хаара, можно определить свертка операция на пространстве C_c(г) комплекснозначных непрерывных функций на г с участием компактная опора; C_c(г) может быть дано любое из различных нормы и завершение будет групповой алгеброй.

Чтобы определить операцию свертки, пусть ж и г быть двумя функциями в C_c(г). Для т в г, определить

{ displaystyle [f * g] (t) = int _ {G} f (s) g left (s ^ {- 1} t right) , d mu (s).}

Дело в том, что ж * г непрерывно непосредственно из теорема о доминируемой сходимости. Также

{ displaystyle operatorname {Support} (f * g) substeq operatorname {Support} (f) cdot operatorname {Support} (g)}

где точка означает продукт в г. C_c(г) также имеет естественный инволюция определяется:

{ displaystyle f ^ {*} (s) = { overline {f (s ^ {- 1})}} , Delta (s ^ {- 1})}

где Δ - модульная функция на г. С этой инволюцией это *-алгебра.

Теорема. С нормой:
${ Displaystyle | е | _ {1}: = int _ {G} | f (s) | , d mu (s),}$
C_c(г) становится инволютивным нормированная алгебра с приблизительная личность.

Приближенное тождество может быть проиндексировано на основе окрестности тождества, состоящего из компактов. Действительно, если V - компактная окрестность единицы, пусть ж_V - неотрицательная непрерывная функция, поддерживаемая в V такой, что

{ displaystyle int _ {V} f_ {V} (g) , d mu (g) ​​= 1.}

Потом {ж_V}_V это приблизительное тождество. Групповая алгебра имеет тождество, а не только приблизительное тождество, тогда и только тогда, когда топология группы является дискретная топология.

Обратите внимание, что для дискретных групп C_c(г) то же самое, что и комплексное групповое кольцо C[г].

Важность групповой алгебры состоит в том, что она фиксирует унитарное представительство теория г как показано в следующем

Теорема. Позволять г - локально компактная группа. Если U является сильно непрерывным унитарным представлением г в гильбертовом пространстве ЧАС, тогда
${ Displaystyle pi _ {U} (е) = int _ {G} е (г) U (г) , д му (г)}$
является невырожденным ограниченным * -представлением нормированной алгебры C_c(г). Карта
${ Displaystyle U mapsto pi _ {U}}$
является биекцией между множеством сильно непрерывных унитарных представлений г и невырожденные ограниченные * -представления C_c(г). Это биекция уважает унитарную эквивалентность и сильное сдерживание. Особенно, $π$ _U неприводимо тогда и только тогда, когда U неприводимо.

Невырожденность представления $π$ из C_c(г) в гильбертовом пространстве ЧАС_$π$ Значит это

{ displaystyle left { pi (f) xi: f in operatorname {C} _ {c} (G), xi in H _ { pi} right }}

плотно в ЧАС_$π$.

Алгебра свертки L¹(г)

Это стандартная теорема теория меры что завершение C_c(г) в L¹(г) норма изоморфна пространству L¹(г) классов эквивалентности функций, интегрируемых относительно Мера Хаара, где, как обычно, две функции считаются эквивалентными тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры Хаара.

Теорема. L¹(г) это Банахова * -алгебра с продуктом свертки и инволюцией, определенными выше, и с L¹ норма. L¹(г) также имеет ограниченную приближенную единицу.

Групповая С * -алгебра C *(г)

Позволять C[г] быть групповое кольцо из дискретная группа г.

Для локально компактной группы г, группа C * -алгебра C *(г) из г определяется как C * -оборачивающая алгебра L¹(г), т.е. завершение C_c(г) относительно наибольшей C * -нормы:

{ Displaystyle | е | _ {C ^ {*}}: = sup _ { pi} | pi (f) |,}

где $π$ пробегает все невырожденные * -представления C_c(г) на гильбертовых пространствах. Когда г дискретно, из неравенства треугольника следует, что для любого такого $π$ , надо:

{ Displaystyle | пи (е) | leq | е | _ {1},}

следовательно, норма определена правильно.

Из определения следует, что C *(г) имеет следующие универсальная собственность: любой * -гомоморфизм из C[г] некоторым B(ЧАС) (С * -алгебра ограниченные операторы на некоторых Гильбертово пространство ЧАС) факторов через карта включения:

{ displaystyle mathbf {C} [G] hookrightarrow C _ { max} ^ {*} (G).}

Приведенная групповая C * -алгебра C_р*(г)

Приведенная групповая C * -алгебра C_р*(г) является завершением C_c(г) по норме

{ Displaystyle | е | _ {C_ {r} ^ {*}}: = sup left { | f * g | _ {2}: | g | _ {2} = 1 правильно},}

где

{ Displaystyle | е | _ {2} = { sqrt { int _ {G} | е | ^ {2} , d mu}}}

это L² норма. С момента завершения C_c(г) в отношении L² норма - гильбертово пространство, C_р* norm - норма ограниченного оператора, действующего на L²(г) сверткой с ж а значит, C * -норма.

Эквивалентно, C_р*(г) - C * -алгебра, порожденная образом левого регулярного представления на ℓ²(г).

В общем, C_р*(г) является частным от C *(г). Приведенная групповая C * -алгебра изоморфна нередуцированной групповой C * -алгебре, определенной выше, тогда и только тогда, когда г является послушный.

алгебры фон Неймана, ассоциированные с группами

Групповая алгебра фон Неймана Вт *(г) из г является обертывающей алгеброй фон Неймана C *(г).

Для дискретной группы г, мы можем рассмотреть Гильбертово пространство ℓ²(г) для которого г является ортонормированный базис. поскольку г работает на ℓ²(г) переставляя базисные векторы, мы можем идентифицировать комплексное групповое кольцо C[г] с подалгеброй алгебры ограниченные операторы на ℓ²(г). Слабое замыкание этой подалгебры, NG, это алгебра фон Неймана.

Центр NG можно описать в терминах этих элементов г чья класс сопряженности конечно. В частности, если элемент идентичности г является единственным элементом группы с этим свойством (то есть г имеет свойство класса бесконечной сопряженности ), центр NG состоит только из сложных кратных идентичности.

NG изоморфен гиперконечный тип II₁ фактор если и только если г является счетный, послушный, и обладает свойством бесконечного класса сопряженности.

Смотрите также

Заметки

использованная литература

Ланг, С. (2002). Алгебра. Тексты для выпускников по математике. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Винберг, Э. (2003). Курс алгебры. Аспирантура по математике. 56. Дои:10,1090 / г / м2 / 056. ISBN 978-0-8218-3318-6.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Диксмье, Дж. (2003). C * -алгебры. Северная Голландия. ISBN 978-0444557476.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Кириллов, А.А. (1976). Элементы теории представлений. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer. ISBN 978-3-642-66243-0.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Лумис, Л. Х. (2011). Введение в абстрактный гармонический анализ. Дуврские книги по математике. Dover Publications. ISBN 978-0486481234.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
А.И. Штерн (2001) [1994], «Групповая алгебра локально компактной группы», Энциклопедия математики, EMS Press Эта статья включает материал из групповой $ C ^ * $ - алгебры по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.