Операторная алгебра - Operator algebra

В функциональный анализ, филиал математика, операторная алгебра является алгебра из непрерывный линейные операторы на топологическое векторное пространство, с умножением, заданным композицией отображений.

Результаты, полученные при изучении операторных алгебр, сформулированы в алгебраический термины, в то время как используемые методы высоко аналитичны.[1] Хотя изучение операторных алгебр обычно классифицируется как раздел функционального анализа, оно имеет прямое приложение к теория представлений, дифференциальная геометрия, квантовая статистическая механика, квантовая информация, и квантовая теория поля.

Обзор

Операторные алгебры можно использовать для изучения произвольных наборов операторов с малой алгебраической связью. одновременно. С этой точки зрения операторные алгебры можно рассматривать как обобщение спектральная теория одного оператора. В общем случае операторные алгебры некоммутативный кольца.

Операторная алгебра обычно должна быть закрыто в указанном операторе топология внутри алгебры целых непрерывных линейных операторов. В частности, это набор операторов, обладающих как алгебраическими, так и топологическими свойствами замыкания. В некоторых дисциплинах такие свойства аксиомизированный а алгебры с определенной топологической структурой становятся предметом исследования.

Хотя алгебры операторов изучаются в различных контекстах (например, алгебры операторов псевдодифференциальные операторы действуя на пространствах распределения ), период, термин операторная алгебра обычно используется по отношению к алгебрам ограниченные операторы на Банахово пространство или, даже более конкретно, применительно к алгебрам операторов на отделяемый Гильбертово пространство, наделенный оператором норма топология.

В случае операторов в гильбертовом пространстве оператор Эрмитово сопряженный map на операторах дает естественный инволюция который обеспечивает дополнительную алгебраическую структуру, которую можно наложить на алгебру. В этом контексте наиболее изученными примерами являются: самосопряженный операторные алгебры, что означает, что они замкнуты относительно присоединения. К ним относятся C * -алгебры и алгебры фон Неймана. C * -алгебры легко абстрактно охарактеризовать условием, связывающим норму, инволюцию и умножение. Такие абстрактно определенные C * -алгебры можно отождествить с некоторой замкнутой подалгебра алгебры непрерывных линейных операторов в подходящем гильбертовом пространстве. Аналогичный результат верен для алгебр фон Неймана.

Коммутативные самосопряженные операторные алгебры можно рассматривать как алгебру сложный -значные непрерывные функции на локально компактное пространство, или что из измеримые функции на стандартное измеряемое пространство. Таким образом, общие операторные алгебры часто рассматриваются как некоммутативные обобщения этих алгебр или как структура базовое пространство на котором определены функции. Эта точка зрения разрабатывается как философия некоммутативная геометрия, который пытается изучать различные неклассические и / или патологические объекты с помощью некоммутативных операторных алгебр.

Примеры несамосопряженных операторных алгебр:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Теория операторных алгебр I Автор Масамичи Такесаки, Springer 2012, стр. Vi

дальнейшее чтение

  • Блэкадар, Брюс (2005). Операторные алгебры: теория C * -алгебр и алгебры фон Неймана. Энциклопедия математических наук. Springer-Verlag. ISBN  3-540-28486-9.
  • М. Такесаки, Теория операторных алгебр I, Спрингер, 2001.